高二數(shù)學蘇教版選修21講義第1部分第1章11112充分條件和必要條件

1．1.2充分條件和必需條件充分條件和必需條件如圖：p：開關A閉合，q：燈泡B亮．問題1：p與q有什么關系？提示：命題p建立，命題q必定建立．p：兩三角形相像，q：對應角相等．問題2：p與q有什么關系？提示：命題p建立，命題q必定建立．一般地，假如p?q，那么稱p是q的充分條件，q是p的必需條件．充要條件已知p：整數(shù)x是6的倍數(shù)；q：整數(shù)x是2和3的倍數(shù)．問題1：“若p，則q”是真命題嗎？提示：是．問題2：“若q，則p”是真命題嗎？提示：是．問題3：p是q的什么條件？提示：充要條件．1．假如2．假如3．假如4．假如

p?q，且q?p，那么稱p是q的充分必需條件．簡稱p是q的充要條件，記作p?q，且q?/p，那么稱p是q的充分不用要條件．p?/q，且q?p，那么稱p是q的必需不充分條件．p?/q，且q?/p，那么稱p是q的既不充分又不用要條件．

p?q.原命題“若p，則q”，抗命題為“若q，則p”，則p與q的關系有以下四種情況：原命題抗命題p、q的關系真假p是q的充分不用要條件q是p的必需不充分條件假真p是q的必需不充分條件q是p的充分不用要條件真真p與q互為充要條件假假p是q的既不充分也不用要條件q是p的既不充分也不用要條件[對應學生用書P6]充分條件和必需條件的判斷[例1]對于二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，以下結(jié)論正確的選項是________．①＝b2－4ac≥0是函數(shù)f(x)有零點的充要條件；②＝b2－4ac＝0是函數(shù)f(x)有零點的充分條件；③＝b2－4ac>0是函數(shù)f(x)有零點的必需條件；④＝b2－4ac<0是函數(shù)f(x)沒有零點的充要條件．[思路點撥

]

逐個分析

，依據(jù)二次函數(shù)與

的關系，判斷結(jié)論能否正確．[精解詳析

]①是正確的，由于＝b2－4ac≥0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根?f(x)＝ax2＋bx＋c有零點；②是正確的，由于＝b2－4ac＝0?方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根，所以函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零點，可是f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零點時，有可能>0；③是錯誤的，由于函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)有零點時，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有實根，但未必有＝b2－4ac>0，也有可能

＝0；④是正確的，由于

＝b2－4ac<0?

方程

ax2＋bx＋c＝0(a≠0)無實根

?

函數(shù)

f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)無零點．[答案]①②④[一點通]充分、必需條件判斷的常用方法：(1)定義法：分清條件和結(jié)論，利用定義判斷．(2)等價法：將不易判斷的命題轉(zhuǎn)變成它的等價命題判斷．1．從“?”、“/?”與“?”中選出合適的符號填空：(1)x>1________x>0；(2)a>b________a2>b2；(3)a2＋b2＝2ab________a＝b；(4)A??________A＝?.分析：(1)由于命題“若x>1，則x>0”為真命題，則x>1?x>0；(2)由于命題“若a>b，則a2>b2”為假命題，則a>b?/a2>b2；(3)由于命題“若a2＋b2＝2ab，則a＝b”為真命題，且抗命題也為真命題，故a2＋b2＝2ab?a＝b；(4)由于命題“若A??，則A＝?”為真命題，且抗命題也為真命題，故A???A＝?.答案：(1)?(2)?/(3)?(4)?2．(福建高考改編)已知會合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，則“a＝3”是“A?B”的________條件．分析：由于A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，若a＝3，則A＝{1,3}，所以A?B；若A?B，則a＝2或a＝3，所以A?B?/a＝3，所以“a＝3”是“A?B”的充分不用要條件．答案：充分不用要3．指出以下各題中p是q的什么條件(在“充分不用要條件”“必需不充分條件”、“充要條件”、“既不充分又不用要條件”中選一個作答)：(1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0；(2)p：兩個三角形相像，q：兩個三角形全等；(3)p：a>b，q：a＋c>b＋c；(4)p：a>b，q：ac>bc.解：(1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0?/x－3＝0，故p是q的充分不用要條件．(2)兩個三角形相像/?兩個三角形全等，但兩個三角形全等?兩個三角形相像，故p是q的必需不充分條件．(3)a>b?a＋c>b＋c，且a＋c>b＋c?a>b，故p是q的充要條件．(4)a>b?/ac>bc，且ac>bc?/a>b，故p是q的既不充分又不用要條件.充分條件、必需條件的應用[例2]已知p：2x2－3x－2≥0，q：x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0，若p是q的充分不用要條件，務實數(shù)a的取值范圍．[思路點撥]先利用不等式的解法確立數(shù)題p、q建立的條件，再依據(jù)p是q的充分不用要條件確立a的不等式組，求得a的范圍．[精解詳析]令M＝{x|2x2－3x－2≥0}{x|(2x＋1)(x－2)≥0}{x|x≤－12或x≥2}，N＝{x|x2－2(a－1)x＋a(a－2)≥0}{x|(x－a)[x－(a－2)]≥0}{x|x≤a－2或x≥a}．由已知p?q且q?/p，得MN.a－2≥－1，a－2>－1，∴2或2a<2，a≤2?3≤a<2或3<a≤2223?≤a≤2.即所求a的取值范圍是[3，2]．2[一點通]依據(jù)充分條件或必需條件求參數(shù)范圍：(1)記會合M＝{x|p(x)}，N＝{x|q(x)}；(2)若p是q的充分不用要條件，則MN，若p是q的必需不充分條件，則NM，若p是q的充要條件，則M＝N；(3)依據(jù)會合的關系列不等式(組)；(4)求參數(shù)范圍．4．已知p：對于x的不等式3－m3＋m，q：x(x－3)<0，若p是q的充分不用要條件，務實數(shù)m的2<x<2取值范圍．3－m3＋m，解：記A＝x2<x<2B＝{x|x(x－3)<0}＝{x|0<x<3}，若p是q的充分不用要條件，則AB.注意到B＝{x|0<x<3}≠?，分兩種狀況談論：(1)若A＝?，即3－m≥3＋m，求得m≤0，此時AB，符合題意；22(2)若A≠?，即3－m<3＋m，求得m>0，223－m>0，2要使AB，應有3＋m<3，解得0<m<3.2m>0綜上可得，實數(shù)m的取值范圍是(－∞，3)．5．已知條件p：x2＋x－6＝0，條件q：mx＋1＝0，且q是p的充分不用要條件，求m的值．解：由題意得p：A＝{x|x＝－3或x＝2}，當m＝0時，p＝B＝?，1當m≠0時，P：B＝x|x＝－m.∵q是p的充分不用要條件，∴BA.易知m＝0合適題意．當－1＝－3或－1＝2，即m＝1或m＝－1時，也合適題意．mm32m的值為－1或1或0.23求充要條件[例3]已知數(shù)列{an}的前[思路點撥]依據(jù)數(shù)列的前

項和Sn＝pn＋q(p≠0，p≠1)，求數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件．n項和Sn與數(shù)列通項an的關系，先求出數(shù)列的通項an，依據(jù)數(shù)列{an}為等比數(shù)列，研究q所滿足的條件，同時要注意充分性的證明．[精解詳析]a1＝S1＝p＋q.當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－1(p－1)，pnp－1∵p≠0，p≠1，∴pn－1p－1＝p.若{an}為等比數(shù)列，則a2＝an＋1＝p，a1anpp－1＝p，p＋q∵p≠0，∴p－1＝p＋q，∴q＝－1.∴{an}為等比數(shù)列的必需條件是q＝－1.下邊證明q＝－1是{an}為等比數(shù)列的充分條件．當q＝－1時，Sn＝pn－1(p≠0，p≠1)，a1＝S1＝p－1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝pn－pn－1＝pn－1(p－1)，∴an＝(p－1)pn－1(p≠0，p≠1)，anp－1pn－1an－1＝p－1pn－2＝p為常數(shù)，∴q＝－1時，數(shù)列{an}為等比數(shù)列．即數(shù)列{an}是等比數(shù)列的充要條件為q＝－1.[一點通]求充要條件一般有兩種方法：等價轉(zhuǎn)變法．將原命題進行等價變形或轉(zhuǎn)變，直至獲取其建立的充要條件，求解的過程同時也是證明的過程，由于求解的過程的每一步都是等價的，所以不需要將充分性和必需性分開來證．非等價轉(zhuǎn)變法．先找尋必需條件，馬上求充要條件的對象視為結(jié)論，找尋使之建立的條件；再證明此條件是該對象的充分條件，即從充分性和必需性雙方面說明．6．使函數(shù)f(x)＝|x－a|在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)的充分不用要條件為________．分析：由函數(shù)f(x)＝|x－a|的圖像知，函數(shù)f(x)＝|x－a|在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)的充要條件為a≤1，所以使“函數(shù)f(x)＝|x－a|在區(qū)間[1，＋∞)上為增函數(shù)”的充分不用要條件即求使“a≤1”建立的充分不用要條件，即填寫形如

a≤p，且

p<1即可，故答案不獨一，可填

a≤0.答案：a≤07．設

n∈N*，一元二次方程

x2－4x＋n＝0有整數(shù)根的充要條件是

n＝________.分析：由于方程都是正整數(shù)解，由鑒別式程沒有整數(shù)解；而當n＝3時，方程有正整數(shù)解答案：3或4

“16－4n≥0”得“1≤n≤4”，逐個分析，當1、3；當n＝4時，方程有正整數(shù)解2.

n＝1、2時，方1．對于充分條件、必需條件、充要條件以及既不充分又不用要條件的關系有以下四種情況：(1)若pq，則p是q的充分不用要條件；(2)若qp，則p是q的必需不充分條件；(3)若p＝q，則p是q的充分必需條件，既充要條件；(4)若pq，且qp，則p是q的既不充分又不用要條件．2．依據(jù)充分條件、必需條件、充要條件的關系求參數(shù)的取值范圍，常常運用等價轉(zhuǎn)變的思想，利用互為逆否命題的等價性來解決．[對應課時追蹤訓練(二)]1．(安徽高考改編)“(2x－1)x＝0”是“x＝0”的________條件．分析：由(2x－1)x＝0可得x＝1或x＝0，由于“x＝1或x＝0”是“x＝0”的必需不充分條件，所以“(2x22－1)x＝0”是“x＝0”的必需不充分條件．答案：必需不充分2．已知直線l1：x＋ay＋6＝0和l2：(a－2)x＋3y＋2a＝0，則l1∥l2的充要條件是分析：由1×3－a×(a－2)＝0，得a＝3或－1，而a＝3時，兩條直線重合，所以答案：－13．對隨意實數(shù)a，b，c，給出以下命題：①“a＝b”是“ac＝bc”的充要條件；②“a>b”是“a2>b2”的充分條件；

a＝________.a＝－1.③“a<5”是“a<3”的必需條件；④“a＋5是無理數(shù)”是“

a是無理數(shù)”的充要條件．此中真命題的序號為

________．分析：①“a＝b”是

ac＝bc的充分不用要條件，故①錯，②

a>b是

a2>b2的既不充分也不用要條件，故②錯．③④正確．答案：③④4．(北京高考改編)“φ＝π”是“曲線y＝sin(2x＋φ)過坐標原點”的________條件．分析：由sinφ＝0可得φ＝kπ(k∈Z)，此為曲線y＝sin(2x＋φ)過坐標原點的充要條件，

故“φ＝π”是“曲線y＝sin(2x＋φ)過坐標原點”的充分不用要條件．答案：充分不用要5．若p：x(x－3)<0是q：2x－3<m的充分不用要條件，則實數(shù)m的取值范圍是________．分析：p：0<x<3，q：x<3＋m，2若p是q的充分不用要條件，則3＋m≥3，即m≥3.2答案：[3，＋∞)6．求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac<0.證明：(1)必需性：由于方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根，所以＝b2－4ac>0，x1x2＝c<0(x1，x2a為方程的兩根)，所以ac<0.(2)充分性：由ac<0可推得c<0(x1，x2為方程的兩根)．所以方程ax2＋bx＋c＝0＝b2－4ac>0及x1x2＝a有兩個相異實根，且兩根異號，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根．綜上所述，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負根的充要條件是ac<0.7．求直線l：ax－y＋b＝0經(jīng)過兩直線l1：2x－2y－3＝0和l2：3x－5y＋1＝0交點的充要條件．2x－2y－3＝0，17，11解：由3x－5y＋1＝0，得交點P44.若直線l：ax－y＋b＝0經(jīng)過點P，則a×17－11＋b＝0.∴17a＋4b＝11.44設a，b滿足17a＋4b＝11，則b＝11－17a，4代入方程ax－y＋b＝0，得ax－y＋11－17a＝0，41117整理，得y－4－ax－4＝0.∴直線l：ax－y＋b＝0恒過點17，11，此點即為l1與l2的交點．44綜上，直線l：ax－y＋b＝0經(jīng)過兩直線l1：2x－2y－3＝