二面角測(cè)模擬試題

二面角【知識(shí)網(wǎng)絡(luò)】1、二面角的平面角的定義三要素；2、作二面角的平面角的主要方法；3、二面角的范圍：；4.二面角的求法。【典型例題】例1：（1）正四棱錐的一個(gè)對(duì)角面與側(cè)面的面積之比為，則側(cè)面與底面所成的二面角為（）A． B． C． D．答案：D。解析：設(shè)高為h，斜高為，∴，即θ=。（2）60°的二面角，動(dòng)點(diǎn)A∈α，動(dòng)點(diǎn)B∈β，AA1⊥β，垂足為A1，且AA1=a，，那么B點(diǎn)到平面α的最大距離是（）A、B、C、D、答案：A。解析：如圖過A1作A1M⊥，垂足為M，連結(jié)AM，則AM⊥，所以∠AMA1為二面角的平面角，即∠AMA1=60°，又AA1⊥β，AA1=a，，所以A1A⊥A1B，則A1B=a，故B點(diǎn)的軌跡是平面β內(nèi)以A1為圓心，a為半徑的圓，顯然當(dāng)B、A1、M三點(diǎn)共線時(shí)，點(diǎn)B到平面α的距離最大，其最大距離為。（3）兩個(gè)同底的正棱錐P—ABC和Q—ABC都內(nèi)接于同一個(gè)半徑為R的球O，設(shè)正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，側(cè)面與底面所成的二面角分別為α、β，則等于（）A、B、C、D、答案：A。解析：不妨設(shè)球心O在底面ABC上，則α=β，BO=R，，故選A。（4）平面α與平面β相交成銳角θ，面α內(nèi)一個(gè)圓在面β上的射影是離心率為的橢圓，則角θ等于_______。αβαβ答案:30°.解析:，即。（5）．正方形的夾角的余弦值是答案：。解析：令正方形邊長(zhǎng)為a，則在△BCF中，，∴。例2：如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱長(zhǎng)都相等，D、E分別為AC1，BB1的中點(diǎn)。（1）求證：DE∥平面A1B1C1；（2）求二面角A1—DE—B1的大小。答案：（1）取A1C1中點(diǎn)F，連結(jié)B1F，DF，∵D1E分別為AC1和BB1的中點(diǎn)，DF∥AA1，DF=AA1，B1E∥AA1，B1E=AA1，∴DF∥B1E，DF=B1E，∴DEB1F為平行四邊形，∴DE∥B1F，又B1F在平面A1B1C1內(nèi)，DE不在平面A1B1C1，∴DE∥平面A1（2）連結(jié)A1D，A1E，在正棱柱ABC—A1B1C1中，因?yàn)槠矫鍭1B1C1⊥平面ACC1A1，A1C1是平面A1B1C1與平面ACC1A1的交線，又因?yàn)锽1F在平面A1B1C1內(nèi)，且B1F⊥A1C1，，所以B1F⊥平面ACC1A1，又DE∥B1F，所以DE⊥平面ACC1A1所以∠FDA1為二面角A1—DE—B1的平面角。并且∠FDA1=∠A1DC1，設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為1，因?yàn)椤螦A1C1=900，D是AC1的中點(diǎn)，所以即為所求的二面角的度數(shù)。例3：點(diǎn)是邊長(zhǎng)為4的正方形的中心，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)．沿對(duì)角線把正方形折成直二面角D－AC－B．（Ⅰ）求的大??；（Ⅱ）求二面角的正切值．DMHGOFABEGHMABCDEFOC答案：（Ⅰ）如圖，過點(diǎn)E作EG⊥DMHGOFABEGHMABCDEFOC因?yàn)槎娼荄－AC－B為直二面角，又在中，，．．（Ⅱ）過點(diǎn)G作GM垂直于FO的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，連EM．∵二面角D－AC－B為直二面角，∴平面DAC⊥平面BAC，交線為AC，又∵EG⊥AC，∴EG⊥平面BAC．∵GM⊥OF，由三垂線定理，得EM⊥OF．∴就是二面角的平面角．在RtEGM中，，，，∴．所以，二面角的正切值為．αMαβ例4：已知P、Q、M分別是45°的二面角α—l—β的面α、β和棱l上的點(diǎn)，直線MQ是直線PQ在β上的射影（如圖），若PQ和β成角，l和MQ成θ角，PM=aαMαβ答案：作PH⊥β于H，∵M(jìn)Q是PQ在β上的射影，∴H在MQ上.作HN⊥l于N，并連結(jié)PN，易證PN⊥l，∴∠PNH是二面角α—l—β的平面角，即∠PNH=45°.設(shè)PQ=x，則NH=PH=xsin，，MN=NH·cotθ=xsin·cotθ.在Rt△PMN中，∵PM2=PN2+MN2，，故.【課內(nèi)練習(xí)】1．已知二面角α—AB—β的平面角是銳角θ，α內(nèi)一點(diǎn)C到β的距離為3，點(diǎn)C到棱AB的距離為4，那么tanθ的值等于 （）A． B． C． D．答案：D。解析：。2．正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角的余弦值為自變量，則相鄰兩側(cè)面所成二面的余弦值與之間的函數(shù)解析式是（）A． B． C． D．答案：C。解析：令側(cè)棱長(zhǎng)為a，相鄰側(cè)面的二面角為2θ，則∴。3．將=600,邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD沿對(duì)角線AC折成二面角,若[60°,120°],則折后兩條對(duì)角線之間的距離的最值為（）A．最小值為,最大值為B．最小值為,最大值為C．最小值為,最大值為D．最小值為,最大值為答案：B。解析：令A(yù)C的中點(diǎn)為O，過O作OH⊥BD于H，則OH=OB。4．在△ABC中，∠ABC=90°，AB=BC=a，BD⊥AC于D，以BD為棱折成直二面角A—BD—C，P是AB上的一點(diǎn)，若二面角P—CD—B為60°，則AP=.答案：。解析：令A(yù)P=x，則BP=，過P作PH⊥BD于H，則∠PDB=60°，∴在△APD中。5．如圖，點(diǎn)A在銳二面角-MN-的棱MN上，在面內(nèi)引射線AP，使AP與MN所成的∠PAM為45°，與面所成的角為30°，求二面角-MN-的大?。鸢福?5°．解析：取AP上一點(diǎn)B，作BH⊥于H，連結(jié)AH，則∠BAH為射線AP與平面所成的角，∴∠BAH=30°，再作BQ⊥MN，交MN于Q，連結(jié)HQ，則HQ為BQ在平面內(nèi)的射影．易證HQ⊥MN，∴∠BQH為二面角-MN-的平面角．設(shè)BQ=a，在Rt△BAQ中，∠BQA=90°，∠BAM=45°，∴，在Rt△BAH中∠BHA=90°，∠BAH=30°，∴．在Rt△BHQ中，∠BHQ=90°，BQ=a，，，∵∠BQH是銳角，∴∠BQH=45即二面角-MN-等于45°．6.如圖，矩形ABCD中，DC=，AD=1，在DC上截取DE=1，將△ADE沿AE翻折到D1點(diǎn)，點(diǎn)D1在平面ABC上的射影落在AC上時(shí)，二面角D1—AE—B的平面角的余弦值是________.答案：2-。解析：過D1作D1O⊥AE于O，D1H⊥面ABC于H，在△D1AE中，D1O=，AO=，在Rt△AOH中，∠OAH=15°，∴OH=，∴在Rt△D1OH中，。7．已知二面角α—l—β等于θ，PA⊥α，PB⊥β，A、B為垂足，若PA=m，PB=n，求P到棱l的距離.答案：在平面α內(nèi)作AC⊥l于C，連結(jié)BC、PC.α，l⊥AC，∴l(xiāng)⊥PC即PC是P到l的距離.∵PB⊥β，lβ，l⊥PC，∴l(xiāng)⊥BC.即∠ACB為二面角α—l—β的平面角，∠ACB=θ，∵l⊥AC，l⊥PC，l⊥BC，∴PACB是一個(gè)平面四邊形.又∠PAC=∠PBC=90°，∴四邊形PACB內(nèi)接于以PC為直徑的圓，∠APB=π－θ.在△APB中，由余弦定理，得AB2=PA2+PB2－2PA·PBcos∠APB=m2+n2+2mncosθ.由正弦定理，得，即為所求P到l的距離.8．如圖，在底面是直角梯形的四棱錐中，AD∥BC，∠ABC＝90°，且，又PA⊥平面ABCD，AD＝3AB＝3PA＝3a。（I）求二面角P—CD—A的正切值；（II）求點(diǎn)A到平面PBC的距離。答案：解：（1）在底面ABCD內(nèi)，過A作AE⊥CD，垂足為E，連結(jié)PE∵PA⊥平面ABCD，易證PE⊥CD∵∠PEA是二面角P—CD—A的平面角在中，在中，∴二面角P—CD—A的正切值為（II）在平面APB中，過A作AH⊥PB，垂足為H∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC又AB⊥BC，∴BC⊥平面PAB∴平面PBC⊥平面PAB∴AH⊥平面PBC故AH的長(zhǎng)即為點(diǎn)A到平面PBC的距離在等腰直角三角形PAB中，，所以點(diǎn)A到平面PBC的距離為9．如圖，四棱錐P—ABCD的底面是直角梯形，AB∥DC，AB⊥BC，且AB＝CD，側(cè)棱PB⊥底面ABCD，PC＝5，BC＝3，ΔPAB的面積等于6，若平面DPA與平面CPB所成的二面角為α，求的值.解析：延長(zhǎng)DA交CB的延長(zhǎng)線于E，連PE，則PE就是平面DPA和平面CPB的交線.∵AB∥DC，AB⊥BC，∴DC⊥BC，PB⊥底面ABCD.∴PB⊥DC，∴DC⊥平面PCE.作CF⊥PE于F，連DF由三垂線定理得PE⊥DF，∴∠DFC＝α.∵AB＝CD，PC＝5，BC＝3，∴PB＝4.SΔPAB＝6，∴AB＝3，CD＝6，＝＝.∴EB＝3，PE＝5.∵PB·EC＝CF·PE，∴CF＝.在直角ΔDCF中，tanα＝＝＝.10．如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90o，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，側(cè)面PBC⊥底面ABCD，⑴PA與BD是否互相垂直，請(qǐng)證明你的結(jié)論；⑵求二面角P－BD－C的正切值；⑶求證：平面PAD⊥平面PAB。答案：⑴PA與BD互相垂直，證明如下：取BC的中點(diǎn)O，連AO，交BD于點(diǎn)E，連PO，∵PB＝PC，∴PO⊥BC又∵面PBC⊥面ABCD，∴PO⊥面ABCD，由于Rt△ABORt△BCD∴∠BEO=∠OAB＋∠DBA＝∠DBC＋∠DBA＝90o，∴BD⊥AO，∴PA⊥BD⑵由⑴，易知∠PEO為二面角P－BD－C的平面角，設(shè)AB＝BC＝PB＝PC＝2CD＝2a，則，，∴二面角P－BD－C的正切值。⑶取PB的中點(diǎn)N，連CN，∵PC＝BC，∴CN⊥PB又∵面PBC⊥面PAB，∴CN⊥面PAB，取PA中點(diǎn)M，連DM、MN，則由MN∥AB∥DC，，得MNCD為平行四邊形∴CD∥DM，∴DM⊥平面PAB，又∵DM面PAB，∴平面PAD⊥平面PAB【作業(yè)本】A組1．把邊長(zhǎng)為的正△ABC沿高AD折成60°的二面角，則A到BC的距離是（）A． B． C． D．答案：C。解析：過A作AH⊥BC于H，連DH，在Rt△ADH中，AH=。2．空間三條射線PA，PB，PC滿足∠APC=∠APB=60°，∠BPC=90°，則二面角B-PA-C的度數(shù) （） A、等于90°B、是小于120°的鈍角 C、是大于等于120°小于等于135°的鈍角D、是大于135°小于等于150°的鈍角答案：B。解析：令A(yù)P=BP=PC=a，在四面體A—PBC中，取AP的中點(diǎn)O，則在△OBC中，，∴90°<∠BOC<120°。3．棱錐底面是正方形，一條側(cè)棱垂直底面，不通過此棱的一個(gè)側(cè)面與底面成45o的二面角且最長(zhǎng)的側(cè)棱長(zhǎng)是15cm，則棱錐的高是（） A．cm B．cm C．cm D．cm答案：A.解析：令棱錐的高為a，則正方形的邊長(zhǎng)為a，∴，即。4．正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中對(duì)角線BD1＝8，BD1與側(cè)面B1BCC所成的為30°，則二面角C1—BD1—B1的正弦值為______答案：。解析：由條件可得底面邊長(zhǎng)為4，BC1=4，過B1作B1H⊥BC1于H，∴B1H=，過B1作BO⊥BD1于O，則B1O=4，∴。5．在平面角為600的二面角內(nèi)有一點(diǎn)P，P到α、β的距離分別為PC=2cm，PD=3cm，則P到棱l的距離為____________答案：cm。解析：CD=，∴P到的距離=。6．，點(diǎn)D到平面的距離為，則二面角-AB-的度數(shù)是________．答案：60°．解析：作DH⊥于H，DE⊥AB于E，連結(jié)EH，則EH是DE在平面內(nèi)的射影．由∴HE⊥AB，∴∠DEH為二面角-AB-的平面角．在Rt△DCE中，CD=100，∠BCD=30°，∴DE=CDsin30°=50，在Rt△DEH中，，∴∠DEH=60°，即二面角-AB-等于60°．7．如圖，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在邊AB上，F(xiàn)為PD的中點(diǎn)，AF∥平面PCE，（1）試確定E點(diǎn)位置；（2）若二面角P-CD-B為450，AD=2，CD=3，求直線AF到平面PCE的距離。答案：解：（1）過AF、AB作平面β交PC于點(diǎn)G，連FG、EG，∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在邊AB上，∴EA∥CD，∴EA∥平面PCD，∴EA∥FG∥CD，∵AF∥平面PCE，∴AF∥EG，則四邊形AEGF是平行四邊形又∵F為PD的中點(diǎn)，∴EA=FG=CD，則點(diǎn)E是邊AB的中點(diǎn).（2）延長(zhǎng)CE、DA交于點(diǎn)H，作AM⊥HC，垂足為點(diǎn)M；連接AM、PM，作AN⊥PM，垂足為點(diǎn)N.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥HC，則HC⊥平面PAM，∴HC⊥AN，則AN⊥平面PEC；又∵AF∥平面PCE，∴線段AN的長(zhǎng)是直線AF到平面PCE的距離.∵二面角P-CD-B為450，可證得∠PAD就是二面角P-CD-B的平面角，∴∠PAD=450.在Rt△PAD中，∵AD=2，∴PA=2.又在Rt△HCD中，∵EA=CD，CD=3，∴AH=AD=2.∵AM⊥HC，∴Rt△HCD∽R(shí)t△HAM，可求得AM=.在Rt△PAM中，∵S△PAM=PA?AM=AN?PM，∴AN=.8.如圖，三棱柱ABC—A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為2，側(cè)棱B1B與底面ABC成60o的角，且側(cè)面ABB1A1⊥底面ABC，⑴求證：AB⊥CB1；⑵求三棱錐B1－ABC的體積；⑶求二面角C－AB1－B的正切值。答案：⑴在平面ABB1A1中，作B1D⊥AB，則B1D⊥平面ABC∴∠B1BD為B1B與平面ABC所成角，∴∠B1BD＝60o又∵△ABB1和△ABC均為正三角形，∴D為AB中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∴CB1⊥AB⑵易得⑶過D作DE⊥AB1，連CE，易證：CD⊥平面ABB1A1由三垂線定理知：CE⊥AB1，∴∠CED為二面角C－AB1－B的平面角。在Rt△CDE中，tan∠CED＝2，∴二面角C－AB1－B的正切值為2B組1．△ABC的BC邊上的高線為AD，BD=a，CD=b，將△ABC沿AD折成大小為θ的二面角B-AD-C，若，則三棱錐A-BCD的側(cè)面三角形ABC是（）A、銳角三角形B、鈍角三角形C、直角三角形D、形狀與a、b的值有關(guān)的三角形答案：C。解析：由BC⊥CD，BC⊥AD得BC⊥面ACD，∴△ABC為直角三角形。2．如圖，△ABC是簡(jiǎn)易遮陽棚，A，B是南北方向上兩個(gè)定點(diǎn)，正東方向射出的太陽光線與地面成40°角，為了使遮陰影面ABD面積最大，遮陽棚ABC與地面所成的角應(yīng)為（）A．75°B．60°C．50°D．45°答案：C。解析：過C作CH⊥AB于H，顯然CD⊥CH時(shí)DH有最大值，∴面ABC與地面所成角為50°。3．已知正方形，沿對(duì)角線折起，設(shè)與平面所成的角為，當(dāng)最大時(shí)，二面角等于（）A．B．C．D．答案：A。解析：當(dāng)面ABC⊥面ADC時(shí)α角最大，此時(shí)二面角B—AC—D為90°。4．已知三棱錐A—BCD的體積是V，棱BC的長(zhǎng)是a，面ABC和面DBC的面積分別是S1和S2，設(shè)面ABC和面DBC所成的二面角是α，則sinα=.答案：。解析：設(shè)棱錐的高為h，∴，面ABC的斜高為，∴。5．二面角α--β的平面角為120°，A、B∈，ACα，BDβ，AC⊥，BD⊥，若AB=AC=BD=1，則CD的長(zhǎng)______；答案：2。解析：。6．如圖，四邊形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，其中AB=3，PA=4，若在線段PD上存在點(diǎn)E使得BE⊥CE，求線段AD的取值范圍，并求當(dāng)線段PD上有且只有一個(gè)點(diǎn)E使得BE⊥CE時(shí)，二面角E—BC—A的正切值。PPAADDCBCB答案：若以BC為直徑的球面與線段PD有交點(diǎn)E，由于點(diǎn)E與BC確定的平面與球的截面是一個(gè)大圓，則必有BE⊥CE，因此問題轉(zhuǎn)化為以BC為直徑的球與線段PD有交點(diǎn)。設(shè)BC的中點(diǎn)為O（即球心），再取AD的中點(diǎn)M，易知OM⊥平面PAD，作ME⊥PD交PD于點(diǎn)E，連結(jié)OE，則OE⊥PD，所以O(shè)E即為點(diǎn)O到直線PD的距離，又因?yàn)镺D＞OC，OP＞OA＞OB，點(diǎn)P，D在球O外，所以要使以BC為直徑的球與線段PD有交點(diǎn)，只要使OE≤OC（設(shè)OC=OB=R）即可。由于△DEM∽△DAP，可求得ME=，所以O(shè)E2=9+令OE2≤R2，即9+≤R2，解之得R≥2所以AD=2R≥4，所以AD的取值范圍是[4，+∞，當(dāng)且僅當(dāng)AD=4時(shí)，點(diǎn)E在線段PD上惟一存在，此時(shí)易求得二面角E—BC—A的正切值為。7．如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD=2，DD1=AB=1，P、Q分別是CC1、C1D1的中點(diǎn)。點(diǎn)P到直線AD1的距離為⑴求證：AC∥平面BPQ；⑵求二面角B