2023年安徽省合肥市廬陽區(qū)第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試試題含解析

2022-2023學(xué)年高一下數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．下列命題中正確的是（）A．第一象限角必是銳角； B．相等的角終邊必相同；C．終邊相同的角相等； D．不相等的角其終邊必不相同.2．已知，滿足，則（）A． B． C． D．3．等比數(shù)列中，，則等于()A．16 B．±4 C．-4 D．44．若函數(shù)，又，，且的最小值為，則正數(shù)的值是（）A． B． C． D．5．甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員最近五場(chǎng)比賽的得分如莖葉圖所示，則（）A．甲的中位數(shù)和平均數(shù)都比乙高B．甲的中位數(shù)和平均數(shù)都比乙低C．甲的中位數(shù)比乙的中位數(shù)高，但平均數(shù)比乙的平均數(shù)低D．甲的中位數(shù)比乙的中位數(shù)低，但平均數(shù)比乙的平均數(shù)高6．在中，，則（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列滿足，則（）A．2 B． C． D．8．在北京召開的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)如圖所示，它是由個(gè)相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個(gè)大正方形，若直角三角形中較小的銳角為，大正方形的面積是，小正方形的面積是，則()A． B． C． D．9．角的終邊過點(diǎn)，則等于（）A． B． C． D．10．在中，是斜邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍為（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．設(shè)，用，表示所有形如的正整數(shù)集合，其中且，為集合中的所有元素之和，則的通項(xiàng)公式為_______12．在數(shù)列中，若，（），則________13．直棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，BC=CA=CC1，則BM與AN所成的角的余弦值為．14．在行列式中，元素的代數(shù)余子式的值是________.15．適合條件的角的取值范圍是______.16．已知，，則的值為．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖所示，是邊長(zhǎng)為的正三角形，點(diǎn)四等分線段．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，且，求實(shí)數(shù)的值．18．2015年我國(guó)將加快階梯水價(jià)推行，原則是“?；尽⒔C(jī)制、促節(jié)約”，其中“保基本”是指保證至少80%的居民用戶用水價(jià)格不變．為響應(yīng)國(guó)家政策，制定合理的階梯用水價(jià)格，某城市采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法分別從郊區(qū)和城區(qū)抽取5戶和20戶居民的年人均用水量進(jìn)行調(diào)研，抽取的數(shù)據(jù)的莖葉圖如下（單位：噸）：（1）在郊區(qū)的這5戶居民中隨機(jī)抽取2戶，求其年人均用水量都不超過30噸的概率；（2）設(shè)該城市郊區(qū)和城區(qū)的居民戶數(shù)比為，現(xiàn)將年人均用水量不超過30噸的用戶定義為第一階梯用戶，并保證這一梯次的居民用戶用水價(jià)格保持不變．試根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，分析此方案是否符合國(guó)家“保基本”政策．19．定義：對(duì)于任意，滿足條件且（是與無關(guān)的常數(shù)）的無窮數(shù)列稱為數(shù)列.（1）若，證明：數(shù)列是數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的通項(xiàng)為，且數(shù)列是數(shù)列，求常數(shù)的取值范圍；（3）設(shè)數(shù)列，若數(shù)列是數(shù)列，求的取值范圍.20．在△ABC中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別是a，b，c，已知cos2A﹣3cos（B+C）=1．（1）求角A的大小；（2）若△ABC的面積S=5，b=5，求sinBsinC的值．21．如圖，在平面四邊形中，已知，，在上取點(diǎn)，使得，連接，若，。（1）求的值；（2）求的長(zhǎng)。

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解析】

根據(jù)終邊相同的角和象限角的定義，舉反例或直接進(jìn)行判斷可得最后結(jié)果.【詳解】是第一象限角，但不是銳角，故A錯(cuò)誤；與終邊相同，但他們不相等，故C錯(cuò)誤；與不相等，但他們的終邊相同，故D錯(cuò)誤；因?yàn)榻堑氖歼呍趚軸的非負(fù)半軸上，則相等的角終邊必相同，故B正確.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了終邊相同的角和象限角的定義，利用定義舉出反例進(jìn)行判斷是解決本題的關(guān)鍵.2、A【解析】

根據(jù)對(duì)數(shù)的化簡(jiǎn)公式得到,由指數(shù)的運(yùn)算公式得到=，由對(duì)數(shù)的性質(zhì)得到>0,，進(jìn)而得到結(jié)果.【詳解】已知,=,>0,進(jìn)而得到.故答案為A.【點(diǎn)睛】本題考查了指對(duì)函數(shù)的運(yùn)算公式和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)；比較大小常用的方法有：兩式做差和0比較，分式注意同分，進(jìn)行因式分解為兩式相乘的形式；或者利用不等式求得最值，判斷最值和0的關(guān)系.3、D【解析】分析：利用等比中項(xiàng)求解．詳解：，因?yàn)闉檎?，解得．點(diǎn)睛：等比數(shù)列的性質(zhì)：若，則．4、D【解析】，由，得，，由，得，則，當(dāng)時(shí)，取得最小值，則，解得，故選D.5、B【解析】

分別計(jì)算出兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和平均數(shù)即可得出選項(xiàng).【詳解】根據(jù)題意：甲的平均數(shù)為：，中位數(shù)為29，乙的平均數(shù)為：，中位數(shù)為30，所以甲的中位數(shù)和平均數(shù)都比乙低.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查根據(jù)莖葉圖表示的數(shù)據(jù)分別辨析平均數(shù)和中位數(shù)的大小關(guān)系，分別計(jì)算求解即可得出答案.6、B【解析】

根據(jù)向量的三角形法則進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】∵，∴，又則故選：B【點(diǎn)睛】本題考查向量加減混合運(yùn)算及其幾何意義，靈活應(yīng)用向量運(yùn)算的三角形法則即可求解，屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】

利用數(shù)列的遞推關(guān)系式，逐步求解數(shù)列的即可．【詳解】解：數(shù)列滿足，，所以，．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．8、C【解析】

根據(jù)題意即可算出每個(gè)直角三角形的面積，再根據(jù)勾股定理和面積關(guān)系即可算出三角形的兩條直角邊．從而算出【詳解】由題意得直角三角形的面積,設(shè)三角形的邊長(zhǎng)分別為，則有，所以，所以，選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的面積公式以及直角三角形中，正弦、余弦的計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．9、B【解析】由三角函數(shù)的定義知，x＝－1，y＝2，r＝＝，∴sinα＝＝.10、A【解析】

可借助直線方程和平面直角坐標(biāo)系，代換出之間的關(guān)系，再結(jié)合向量的數(shù)量積公式進(jìn)行求解即可【詳解】如圖所示：設(shè)直線方程為：，，，由得，可設(shè)，則，，，，當(dāng)時(shí)，，故故選A【點(diǎn)睛】本題考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，向量法在幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

把集合中每個(gè)數(shù)都表示為2的0到的指數(shù)冪相加的形式，并確定，，，，每個(gè)數(shù)都出現(xiàn)次，于是利用等比數(shù)列求和公式計(jì)算，可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．【詳解】由題意可知，，，，是0，1，2，，的一個(gè)排列，且集合中共有個(gè)數(shù)，若把集合中每個(gè)數(shù)表示為的形式，則，，，，每個(gè)數(shù)都出現(xiàn)次，因此，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題以數(shù)列新定義為問題背景，考查等比數(shù)列的求和公式，考查學(xué)生的理解能力與計(jì)算能力，屬于中等題．12、【解析】

由題意，得到數(shù)列表示首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可求解.【詳解】由題意，數(shù)列中，滿足，（），即（），所以數(shù)列表示首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的定義和通項(xiàng)公式的應(yīng)用，其中解答中熟記等差數(shù)列的定義，合理利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.13、【解析】試題分析：畫出圖形，找出BM與AN所成角的平面角，利用解三角形求出BM與AN所成角的余弦值．解：直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BCA=90°，M，N分別是A1B1，A1C1的中點(diǎn)，如圖：BC的中點(diǎn)為O，連結(jié)ON，MN，OB，∴MNOB，∴MN0B是平行四邊形，∴BM與AN所成角就是∠ANO，∵BC=CA=CC1，設(shè)BC=CA=CC1=2，∴CO=1，AO=，AN=，MB==，在△ANO中，由余弦定理得：cos∠ANO===．故答案為．考點(diǎn)：異面直線及其所成的角．14、【解析】

根據(jù)余子式的定義，要求的代數(shù)余子式的值，這個(gè)元素在三階行列式中的位置是第一行第二列，那么化去第一行第二列得到的代數(shù)余子式，解出即可．【詳解】解：在行列式中，元素在第一行第二列，那么化去第一行第二列得到的代數(shù)余子式為：解這個(gè)余子式的值為，故元素的代數(shù)余子式的值是．故答案為：【點(diǎn)睛】考查學(xué)生會(huì)求行列式中元素的代數(shù)余子式，行列式的計(jì)算方法，屬于基礎(chǔ)題．15、【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的符號(hào)法則，得，從而求出的取值范圍.【詳解】，的取值范圍的解集為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)符號(hào)法則的應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題.16、3【解析】

，故答案為3.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）以作為基底，表示出，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算法則計(jì)算即可求出；（Ⅱ）由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算及其運(yùn)算可得：設(shè)，又，所以，解得，得解．【詳解】（Ⅰ）由題意得，則（Ⅱ）因?yàn)辄c(diǎn)Q是線段上一點(diǎn)，所以設(shè)，又，所以，故，解得，因此所求實(shí)數(shù)m的值為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量的線性運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算以及平面向量基本定理的應(yīng)用,屬于中檔題.18、（1）（2）符合【解析】

：（1）先列舉出從5戶郊區(qū)居民用戶中隨機(jī)抽取2戶，其年人均用水量構(gòu)成的所有基本事件，再列舉其中年人均用水量都不超過30噸的基本事件，最后計(jì)算即可．（2）設(shè)該城市郊區(qū)的居民用戶數(shù)為，則其城區(qū)的居民用戶數(shù)為5a．依題意計(jì)算該城市年人均用水量不超過30噸的居民用戶的百分率．【詳解】解：（1）從5戶郊區(qū)居民用戶中隨機(jī)抽取2戶，其年人均用水量構(gòu)成的所有基本事件是：（19,25），（19,28），（19,32），（19,34），（25,28），（25,32），（25,34），（28,32），（28,34），（32,34）共10個(gè)．其中年人均用水量都不超過30噸的基本事件是:（19,25），（19,28），（25,28）共3個(gè)．設(shè)“從5戶郊區(qū)居民用戶中隨機(jī)抽取2戶，其年人均用水量都不超過30噸”的事件為，則所求的概率為．（2）設(shè)該城市郊區(qū)的居民用戶數(shù)為，則其城區(qū)的居民用戶數(shù)為5a．依題意，該城市年人均用水量不超過30噸的居民用戶的百分率為：．故此方案符合國(guó)家“?；尽闭撸军c(diǎn)睛】本題考查了古典概型在實(shí)際生活中的應(yīng)用，要緊扣題意從題目中抽象出數(shù)學(xué)計(jì)算的模型．19、（1）證明見解析；（2）；（3）.【解析】

（1）根據(jù)題中的新定義代入即可證出.（2）設(shè)，，，代入通項(xiàng)解不等式組，使即可求解.（3）首先根據(jù)可求時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，根據(jù)題中新定義求出成立，可得，再驗(yàn)證恒成立即可求解.【詳解】（1），且，則滿足，則數(shù)列是數(shù)列.綜上所述，結(jié)論是：數(shù)列是數(shù)列.（2）設(shè)，，則，得，，，則數(shù)列的最大值為，則（3），當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，由，得，當(dāng)時(shí)，恒成立，則要使數(shù)列是數(shù)列，則的取值范圍為.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.20、（1）（2）【解析】試題分析：（1）根據(jù)二倍角公式,三角形內(nèi)角和,所以,整理為關(guān)于的二次方程，解得角的大?。唬?）根據(jù)三角形的面積公式和上一問角，代入后解得邊，這樣就知道,然后根據(jù)余弦定理再求，最后根據(jù)證得定理分別求得和.試題解析：（1）由cos2A－3cos(B＋C)＝1，得2cos2A＋3cosA－2＝0，即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0，解得cosA＝或cosA＝－2(舍去)．因?yàn)?<A<π，所以A＝.（2）由S＝bcsinA＝bc×＝bc＝5，得bc＝20，又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝.從而由正弦定理得sinBsinC＝sinA×sinA＝sin2A＝×＝.考點(diǎn)：1.二倍角公式；2.正余弦定理；3.三角形面積公式.【方法點(diǎn)睛】本題涉及到解三角形問題，所以有關(guān)三角問題的公式都有涉及，當(dāng)出現(xiàn)時(shí)，就要考慮一個(gè)條件，,,這樣就做到了有效的消元，涉及三角形的面積問題，就要考慮公式,靈活使用其中的