高中數(shù)學核心知識點常考題型精析：不等式(理)

高中數(shù)學核心知識點?？碱}型精析：不等式（理）一、不等式的大小比較1．若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有（）A．＞ B．＜ C．＞ D．＜2．已知x=lnπ，y=log52，，則（）A．x＜y＜z B．z＜x＜y C．z＜y＜x D．y＜z＜x3．下列不等式一定成立的是（）A．lg（x2+）＞lgx（x＞0） B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）C．x2+1≥2|x|（x∈R） D．（x∈R）4．設(shè)a=，b=，c=，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b＞c B．b＞a＞c C．c＞b＞a D．c＞a＞b5．設(shè)0＜x＜，則“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件二、一元二次不等式6．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集為{x|x＜﹣1或x＞}，則f（10x）＞0的解集為（）A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2} B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2} C．{x|x＞﹣lg2} D．{x|x＜﹣lg2}7．若不等式x2+ax+1≥0對一切成立，則a的最小值為（）A．0 B．﹣2 C． D．﹣38．不等式x2+x﹣2＜0的解集為_________．9．如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是區(qū)間（﹣3，3）的子集，則實數(shù)a的取值范圍是_________．10．已知函數(shù)f（x）=x2+（lga+2）x+lgb滿足f（﹣1）=﹣2且對于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．（1）求實數(shù)a，b的值；（2）解不等式f（x）＜x+5．11．不等式的解為_________．三、基本不等式求最值問題12．若實數(shù)x，y滿足xy=1，則x2+2y2的最小值為_________．13．設(shè)a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，則的最小值為_________．14．對于c＞0，當非零實數(shù)a，b滿足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大時，﹣+的最小值為_________．15．若對任意x＞0，≤a恒成立，則a的取值范圍是_________．16．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并說明理由．17．已知a，b，c均為正數(shù)，證明：≥6，并確定a，b，c為何值時，等號成立．18．已知a，b都是正實數(shù)，且a+b=1（Ⅰ）求證：≥4；（Ⅱ）求的最小值．19．香港違法“占中”行動對香港的經(jīng)濟、政治、社會及民生造成重大損失，據(jù)香港科技大學經(jīng)濟系教授雷鼎鳴測算，僅香港的“占中”行動開始后一個多月的時間，保守估計造成經(jīng)濟損失3500億港元，相等于平均每名港人承受了5萬港元的損失，為了挽回經(jīng)濟損失，某廠家擬在新年舉行大型的促銷活動，經(jīng)測算某產(chǎn)品當促銷費用為x萬元時，銷售量t萬件滿足t=5﹣（其中0≤x≤a2﹣3a+3，a為正常數(shù)）．現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品t萬件還需投入成本（10+2t）萬元（不含促銷費用），產(chǎn)品的銷售價格定為（4+）萬元/萬件．（1）將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；（2）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大．四、線性規(guī)劃求最值問題20．若變量x，y滿足約束條件，則z=x﹣2y的最大值為（）A．4 B．3 C．2 D．121．已知a＞0，x，y滿足約束條件，若z=2x+y的最小值為1，則a=（）A． B． C．1 D．222．設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=x+2y的最小值為（）A．2 B．3 C．4 D．523．已知x，y滿足約束條件，當目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）在該約束條件下取到最小值2時，a2+b2的最小值為（）A．5 B．4 C． D．224．若變量x，y滿足約束條件，且z=2x+y的最大值和最小值分別為m和n，則m﹣n=（）A．5 B．6 C．7 D．825．若x，y滿足且z=y﹣x的最小值為﹣4，則k的值為（）A．2 B．﹣2 C． D．﹣26．x、y滿足約束條件，若z=y﹣ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為（）A．或﹣1 B．2或 C．2或1 D．2或﹣127．已知滿足條件x2+y2≤1的點（x，y）構(gòu)成的平面區(qū)域面積為S1，滿足條件[x]2+[y]2≤1的點（x，y）構(gòu)成的平面區(qū)域的面積為S2，其中[x]、[y]分別表示不大于x，y的最大整數(shù)，例如：[﹣0.4]=﹣1，[1.6]=1，則S1與S2的關(guān)系是（）A．S1＜S2 B．S1=S2 C．S1＞S2 D．S1+S2=π+328．已知平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定．若M（x，y）為D上的動點，點A的坐標為（，1），則z=?的最大值為（）A．4 B．3 C．4 D．329．若變量x，y滿足約束條件，且z=2x+y的最小值為﹣6，則k=_________．30．設(shè)x、y滿足約束條件，則z=x+4y的最大值為_________．31．若變量x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最小值為_________．32．設(shè)z=kx+y，其中實數(shù)x，y滿足，若z的最大值為12，則實數(shù)k=_________．33．若點（x，y）位于曲線y=|x﹣1|與y=2所圍成的封閉區(qū)域，則2x﹣y的最小值為_________．34．鐵礦石A和B的含鐵率a，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如下表ab（萬噸）c（百萬元）A50%13B70%0.56某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9（萬噸）鐵，若要求CO2的排放量不超過2（萬噸）則購買鐵礦石的最少費用為_________（百萬元）35．已知非負實數(shù)x，y，z滿足=0，則x+y+1的最大值為_________．36．在直角坐標系xOy中，O為坐標原點，點M的橫縱坐標分別為莖葉圖中位數(shù)和眾數(shù)，若點N（x，y）的坐標滿足，求?的最大值．37．某營養(yǎng)師要求為某個兒童預訂午餐和晚餐．已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C；一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C．另外，該兒童這兩餐需要的營狀中至少含64個單位的碳水化合物和42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C．如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應當為該兒童分別預訂多少個單位的午餐和晚餐？五、絕對值不等式38．已知函數(shù)f（x）=，若|f（x）|≥ax，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，0] B．（﹣∞，1] C．[﹣2，1] D．[﹣2，0]39．不等式的解集是_________．40．設(shè)函數(shù)f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．記f（x）≤1的解集為M，g（x）≤4的解集為N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）當x∈M∩N時，證明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．41．已知函數(shù)f（x）=+．（1）求f（x）≥f（4）的解集；（2）設(shè)函數(shù)g（x）=k（x﹣3），k∈R，若f（x）＞g（x）對任意的x∈R都成立，求k的取值范圍．六、不等式與集合42．設(shè)平面點集，則A∩B所表示的平面圖形的面積為（）A． B． C． D．43．已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，則A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1） B．（﹣1，） C．﹙，3﹚ D．（3，+∞）44．設(shè)集合M={a，a+1}，N={x∈R|x2≤4}，若M∪N=N，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．[﹣2，2] D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）45．給定區(qū)域D：．令點集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點}，則T中的點共確定_________條不同的直線．46．函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（1）=l，f′（x）＜，則不等式f（x）＜+的解集為_________．七、不等式中的取值范圍問題47．設(shè)m＞1，在約束條件下，目標函數(shù)z=x+my的最大值小于2，則m的取值范圍為（）A．（1，） B．（，+∞） C．（1，3） D．（3，+∞）48．已知O是坐標原點，點A（﹣1，1），若點M（x，y）為平面區(qū)域，上的一個動點，則?的取值范圍是（）A．[﹣1，0] B．[0，1] C．[0，2] D．[﹣1，2]49．設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D，若指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象上存在區(qū)域D上的點，則a的取值范圍是（）A．（1，3] B．[2，3] C．（1，2] D．[3，+∞]50．當實數(shù)x，y滿足時，1≤ax+y≤4恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_________．51．若f（x）=﹣，則滿足f（x）＜0的x的取值范圍是_________．52．設(shè)函數(shù)f（x）=，若f（f（a））≤2，則實數(shù)a的取值范圍是_________．53．設(shè)x，y滿足約束條件：；則z=x﹣2y的取值范圍為_________．54．若x，y滿足約束條件，則x﹣y的取值范圍是_________．55．已知﹣1＜x+y＜4且2＜x﹣y＜3，則z=2x﹣3y的取值范圍是_________．（答案用區(qū)間表示）56．已知二元一次不等式組表示的平面區(qū)域為D，若圓O：x2+y2=r2（r＞0）上存在點（x0，y0）∈D，則r的取值范圍為_________．57．在平面直角坐標系中，不等式組（a為常數(shù)）表示的平面區(qū)域的面積是9，那么實數(shù)a的值為_________．八、不等式在概率中的應用58．設(shè)不等式組，表示的平面區(qū)域為D，在區(qū)域D內(nèi)隨機取一個點，則此點到坐標原點的距離大于2的概率是（）A． B． C． D．59．假設(shè)每天從甲地去乙地的旅客人數(shù)X是服從正態(tài)分布N（800，502）的隨機變量．記一天中從甲地去乙地的旅客人數(shù)不超過900的概率為p0．（Ⅰ）求p0的值；（參考數(shù)據(jù)：若X～N（μ，σ2），有P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974．）（Ⅱ）某客運公司用A，B兩種型號的車輛承擔甲、乙兩地間的長途客運業(yè)務，每車每天往返一次，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，從甲地去乙地的營運成本分別為1600元/輛和2400元/輛．公司擬組建一個不超過21輛車的客運車隊，并要求B型車不多于A型車7輛．若每天要以不小于p0的概率運完從甲地去乙地的旅客，且使公司從甲地去乙地的營運成本最小，那么應配備A型車、B型車各多少輛？

高中數(shù)學核心知識點?？碱}型精析：不等式（理）參考答案與試題解析一、不等式的大小比較1．若a＞b＞0，c＜d＜0，則一定有（）A．＞B．＜C．＞D．＜考點：不等式比較大小；不等關(guān)系與不等式．專題：不等式的解法及應用．分析：利用特例法，判斷選項即可．解答：解：不妨令a=3，b=1，c=﹣3，d=﹣1，則，，∴A、B不正確；，=﹣，∴C不正確，D正確．解法二：∵c＜d＜0，∴﹣c＞﹣d＞0，∵a＞b＞0，∴﹣ac＞﹣bd，∴，∴．故選：D．點評：本題考查不等式比較大小，特值法有效，導數(shù)計算正確．2．已知x=lnπ，y=log52，，則（）A．x＜y＜zB．z＜x＜yC．z＜y＜xD．y＜z＜x考點：不等式比較大?。畬ｎ}：計算題；壓軸題．分析：利用x=lnπ＞1，0＜y=log52＜，1＞z=＞，即可得到答案．解答：解：∵x=lnπ＞lne=1，0＜log52＜log5=，即y∈（0，）；1=e0＞=＞=，即z∈（，1），∴y＜z＜x．故選：D．點評：本題考查不等式比較大小，掌握對數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．3．下列不等式一定成立的是（）A．lg（x2+）＞lgx（x＞0）B．sinx+≥2（x≠kx，k∈Z）C．x2+1≥2|x|（x∈R）D．（x∈R）考點：不等式比較大?。畬ｎ}：探究型．分析：由題意，可對四個選項逐一驗證，其中C選項用配方法驗證，A，B，D三個選項代入特殊值排除即可解答：解：A選項不成立，當x=時，不等式兩邊相等；B選項不成立，這是因為正弦值可以是負的，故不一定能得出sinx+≥2；C選項是正確的，這是因為x2+1≥2|x|（x∈R）?（|x|﹣1）2≥0；D選項不正確，令x=0，則不等式左右兩邊都為1，不等式不成立．綜上，C選項是正確的．故選：C．點評：本題考查不等式大小的比較，不等式大小比較是高考中的?？碱}，類型較多，根據(jù)題設(shè)選擇比較的方法是解題的關(guān)鍵4．設(shè)a=，b=，c=，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．a(chǎn)＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞b＞aD．c＞a＞b考點：不等式比較大?。畬ｎ}：不等式的解法及應用．分析：化為a==，b==，c=，即可比較出大小．解答：解：∵a==，b==，c=，36e2＞49e＞64，∴a＜b＜c．故選：C．點評：本題考查了不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．5．設(shè)0＜x＜，則“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件考點：不等關(guān)系與不等式；必要條件、充分條件與充要條件的判斷；正弦函數(shù)的單調(diào)性．分析：由x的范圍得到sinx的范圍，則由xsinx＜1能得到xsin2x＜1，反之不成立．答案可求．解答：解：∵0＜x＜，∴0＜sinx＜1，故xsin2x＜xsinx，若“xsinx＜1”，則“xsin2x＜1”若“xsin2x＜1”，則xsinx＜不一定小于1．由此可知，“xsin2x＜1”是“xsinx＜1”的必要而不充分條件故選B．點評：本題考查了充分條件、必要條件的判定方法，判斷充要條件的方法是：①若p?q為真命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的充分不必要條件；②若p?q為假命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的必要不充分條件；③若p?q為真命題且q?p為真命題，則命題p是命題q的充要條件；④若p?q為假命題且q?p為假命題，則命題p是命題q的即不充分也不必要條件．⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍，再根據(jù)“誰大誰必要，誰小誰充分”的原則，判斷命題p與命題q的關(guān)系．是基礎(chǔ)題．二、一元二次不等式6．已知一元二次不等式f（x）＜0的解集為{x|x＜﹣1或x＞}，則f（10x）＞0的解集為（）A．{x|x＜﹣1或x＞﹣lg2}B．{x|﹣1＜x＜﹣lg2}C．{x|x＞﹣lg2}D．{x|x＜﹣lg2}考點：其他不等式的解法；一元二次不等式的解法．專題：不等式的解法及應用．分析：由題意可得f（10x）＞0等價于﹣1＜10x＜，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得解集．解答：解：由題意可知f（x）＞0的解集為{x|﹣1＜x＜}，故可得f（10x）＞0等價于﹣1＜10x＜，由指數(shù)函數(shù)的值域為（0，+∞）一定有10x＞﹣1，而10x＜可化為10x＜，即10x＜10﹣lg2，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知：x＜﹣lg2故選：D點評：本題考查一元二次不等式的解集，涉及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及對數(shù)的運算，屬中檔題．7．若不等式x2+ax+1≥0對一切成立，則a的最小值為（）A．0B．﹣2C．D．﹣3考點：一元二次不等式與二次函數(shù)．分析：令f（x）=x2+ax+1，要使得f（x）≥0在區(qū)間（0，）恒成立，只要f（x）在區(qū)間（0，）上的最小值大于等于0即可得到答案．解答：解：設(shè)f（x）=x2+ax+1，則對稱軸為x=若≥，即a≤﹣1時，則f（x）在〔0，〕上是減函數(shù)，應有f（）≥0?﹣≤a≤﹣1若≤0，即a≥0時，則f（x）在〔0，〕上是增函數(shù)，應有f（0）=1＞0恒成立，故a≥0若0≤≤，即﹣1≤a≤0，則應有f（）=恒成立，故﹣1≤a≤0綜上，有﹣≤a．故選：C點評：本題主要考查一元二次函數(shù)求最值的問題．一元二次函數(shù)的最值是高考中必考內(nèi)容，要注意一元二次函數(shù)的開口方向、對稱軸、端點值．8．不等式x2+x﹣2＜0的解集為（﹣2，1）．考點：一元二次不等式的解法．專題：不等式的解法及應用．分析：先求相應二次方程x2+x﹣2=0的兩根，根據(jù)二次函數(shù)y=x2+x﹣2的圖象即可寫出不等式的解集．解答：解：方程x2+x﹣2=0的兩根為﹣2，1，且函數(shù)y=x2+x﹣2的圖象開口向上，所以不等式x2+x﹣2＜0的解集為（﹣2，1）．故答案為：（﹣2，1）．點評：本題考查一元二次不等式的解法，屬基礎(chǔ)題，深刻理解“三個二次”間的關(guān)系是解決該類題目的關(guān)鍵，解二次不等式的基本步驟是：求二次方程的根；作出草圖；據(jù)圖象寫出解集．9．如果不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是區(qū)間（﹣3，3）的子集，則實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，5]．考點：一元二次不等式的解法．專題：不等式的解法及應用．分析：將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)，利用函數(shù)根與不等式解之間的關(guān)系即可得到結(jié)論．解答：解：不等式x2＜|x﹣1|+a等價為x2﹣|x﹣1|﹣a＜0，設(shè)f（x）=x2﹣|x﹣1|﹣a，若不等式x2＜|x﹣1|+a的解集是區(qū)間（﹣3，3）的子集，則，即，則，解得a≤5，故答案為：（﹣∞，5]點評：本題主要考查不等式的應用，利用不等式和函數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為函數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．10．已知函數(shù)f（x）=x2+（lga+2）x+lgb滿足f（﹣1）=﹣2且對于任意x∈R，恒有f（x）≥2x成立．（1）求實數(shù)a，b的值；（2）解不等式f（x）＜x+5．考點：一元二次不等式的解法；二次函數(shù)的性質(zhì)；函數(shù)最值的應用．專題：綜合題．分析：（1）由f（﹣1）=﹣2，代入函數(shù)解析式得到關(guān)于lga與lgb的等式記作①，化簡后得到關(guān)于a與b的等式記作②，又因為f（x）≥2x恒成立，把f（x）的解析式代入后，令△≤0得到關(guān)于lga與lgb的不等式，把①代入后得到關(guān)于lgb的不等式，根據(jù)平方大于等于0，即可求出b的值，把b的值代入②即可求出a的值；（2）由（1）求出的a與b的值代入f（x）的解析式中即可確定出f（x）的解析式，然后把f（x）的解析式代入到f（x）＜x+5中，得到關(guān)于x的一元二次不等式，求出一元二次不等式的解集即可．解答：解（1）由f（﹣1）=﹣2知，lgb﹣lga+1=0①，所以②．又f（x）≥2x恒成立，f（x）﹣2x≥0恒成立，則有x2+x?lga+lgb≥0恒成立，故△=（lga）2﹣4lgb≤0，將①式代入上式得：（lgb）2﹣2lgb+1≤0，即（lgb﹣1）2≤0，故lgb=1即b=10，代入②得，a=100；（2）由（1）知f（x）=x2+4x+1，f（x）＜x+5，即x2+4x+1＜x+5，所以x2+3x﹣4＜0，解得﹣4＜x＜1，因此不等式的解集為{x|﹣4＜x＜1}．點評：此題考查學生掌握不等式恒成立時所滿足的條件，以及會求一元二次不等式的解集，是一道中檔題．11．不等式的解為．考點：其他不等式的解法．專題：計算題．分析：通過移項通分，利用兩個數(shù)的商小于等于0等價于它們的積小于等于0，注意分母不為0；再解二次不等式即可．解答：解：原不等式同解于同解于同解于即解得故答案為：點評：本題考查將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式、注意：分母不為0；考查二次不等式的解法．三、基本不等式求最值問題12．若實數(shù)x，y滿足xy=1，則x2+2y2的最小值為2．考點：基本不等式．專題：不等式的解法及應用．分析：由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．解答：解：∵xy=1，∴y=∴x2+2y2=x2+≥2=2，當且僅當x2=，即x=±時取等號，故答案為：2點評：本題考查基本不等式，屬基礎(chǔ)題．13．設(shè)a，b，m，n∈R，且a2+b2=5，ma+nb=5，則的最小值為．考點：基本不等式．專題：不等式的解法及應用．分析：根據(jù)柯西不等式（a2+b2）（c2+d2）≥（ac+bd）2當且僅當ad=bc取等號，問題即可解決．解答：解：由柯西不等式得，（ma+nb）2≤（m2+n2）（a2+b2）∵a2+b2=5，ma+nb=5，∴（m2+n2）≥5∴的最小值為故答案為：點評：本題主要考查了柯西不等式，解題關(guān)鍵在于清楚等號成立的條件，屬于中檔題．14．對于c＞0，當非零實數(shù)a，b滿足4a2﹣2ab+4b2﹣c=0且使|2a+b|最大時，﹣+的最小值為﹣2．考點：基本不等式．專題：不等式的解法及應用．分析：首先把：4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，轉(zhuǎn)化為=，再由柯西不等式得到|2a+b|2，分別用b表示a，c，在代入到﹣+得到關(guān)于b的二次函數(shù)，求出最小值即可．解答：解：∵4a2﹣2ab+4b2﹣c=0，∴=由柯西不等式得，[][]=|2a+b|2故當|2a+b|最大時，有∴∴﹣+===，當b=時，取得最小值為﹣2．故答案為：﹣2點評：本題考查了柯西不等式，以及二次函數(shù)的最值問題，屬于難題．15．若對任意x＞0，≤a恒成立，則a的取值范圍是a≥．考點：基本不等式在最值問題中的應用．專題：計算題．分析：根據(jù)x+≥2代入中求得的最大值為進而a的范圍可得．解答：解：∵x＞0，∴x+≥2（當且僅當x=1時取等號），∴=≤=，即的最大值為，故答案為：a≥點評：本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用．屬基礎(chǔ)題．16．若a＞0，b＞0，且+=．（Ⅰ）求a3+b3的最小值；（Ⅱ）是否存在a，b，使得2a+3b=6？并說明理由．考點：基本不等式；基本不等式在最值問題中的應用．專題：不等式的解法及應用．分析：（Ⅰ）由條件利用基本不等式求得ab≥4，再利用基本不等式求得a3+b3的最小值．（Ⅱ）根據(jù)ab≥4及基本不等式求的2a+3b＞8，從而可得不存在a，b，使得2a+3b=6．解答：解：（Ⅰ）∵a＞0，b＞0，且+=，∴=+≥2，∴ab≥2，當且僅當a=b=時取等號．∵a3+b3≥2≥2=4，當且僅當a=b=時取等號，∴a3+b3的最小值為4．（Ⅱ）由（1）可知，2a+3b≥2=2≥4＞6，故不存在a，b，使得2a+3b=6成立．點評：本題主要考查基本不等式在最值中的應用，要注意檢驗等號成立條件是否具備，屬于基礎(chǔ)題．17．已知a，b，c均為正數(shù)，證明：≥6，并確定a，b，c為何值時，等號成立．考點：基本不等式．專題：證明題；壓軸題．分析：證法一：兩次利用基本不等式放小，此處不用考慮等號成立的條件，因等號不成立不影響不等號的傳遞性．證法二：先用基本不等式推出a2+b2+c2≥ab+bc+ac與兩者之和用基本不等式放小，整體上只用了一次放縮法．其本質(zhì)與證法一同．解答：證明：證法一：因為a，b，c均為正數(shù)，由平均值不等式得①所以②故．又③所以原不等式成立．當且僅當a=b=c時，①式和②式等號成立．當且僅當時，③式等號成立．即當且僅當a=b=c=時，原式等號成立．證法二：因為a，b，c均為正數(shù)，由基本不等式得所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①同理②故③所以原不等式成立．當且僅當a=b=c時，①式和②式等號成立，當且僅當a=b=c，（ab）2=（bc）2=（ac）2=3時，③式等號成立．即當且僅當a=b=c=時，原式等號成立．點評：考查放縮法在證明不等式中的應用，本題在用縮法時多次用到基本不等式，請讀者體會本題證明過程中不考慮等號是否成立的原理，并與利用基本不等式求最值再據(jù)最值成立的條件求參數(shù)題型比較．深入分析等號成立的條件什么時候必須考慮，什么時候可以不考慮．18．已知a，b都是正實數(shù)，且a+b=1（Ⅰ）求證：≥4；（Ⅱ）求的最小值．考點：基本不等式．專題：不等式的解法及應用．分析：（I）利用基本不等式的性質(zhì)即可得出；（II）利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．解答：（I）證明：，（II）解：≥，即，又∵得，即，∴．∴當且僅當上式等號成立．點評：本題考查了基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．19．香港違法“占中”行動對香港的經(jīng)濟、政治、社會及民生造成重大損失，據(jù)香港科技大學經(jīng)濟系教授雷鼎鳴測算，僅香港的“占中”行動開始后一個多月的時間，保守估計造成經(jīng)濟損失3500億港元，相等于平均每名港人承受了5萬港元的損失，為了挽回經(jīng)濟損失，某廠家擬在新年舉行大型的促銷活動，經(jīng)測算某產(chǎn)品當促銷費用為x萬元時，銷售量t萬件滿足t=5﹣（其中0≤x≤a2﹣3a+3，a為正常數(shù)）．現(xiàn)假定生產(chǎn)量與銷售量相等，已知生產(chǎn)該產(chǎn)品t萬件還需投入成本（10+2t）萬元（不含促銷費用），產(chǎn)品的銷售價格定為（4+）萬元/萬件．（1）將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；（2）促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大．考點：基本不等式在最值問題中的應用；函數(shù)模型的選擇與應用．專題：應用題；函數(shù)的性質(zhì)及應用．分析：（1）確定該產(chǎn)品售價為2×（）萬元，y=2×（）×t﹣10﹣2t﹣x，銷售量t萬件滿足t=5﹣代入化簡得該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；（2）分類討論，利用基本不等式及函數(shù)的單調(diào)性，可求廠家的利潤最大．解答：解：（1）由題意知，該產(chǎn)品售價為2×（）萬元，y=2×（）×t﹣10﹣2t﹣x，銷售量t萬件滿足t=5﹣代入化簡得y=20﹣（+x），（0≤x≤a2﹣3a+3）（2）y=21﹣（+x+1）≤21﹣2=17當且僅當=x+1即x=1時，上式取等號當1≤a2﹣3a+3，即a≥2或0＜a≤1時，促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大；當a2﹣3a+3＜1，即1＜a＜2時，y=＞0，故y=21﹣（+x+1）在0≤x≤a2﹣3a+3上單調(diào)遞增，所以在0≤x≤a2﹣3a+3時，函數(shù)有最大值．促銷費用投入x=a2﹣3a+3萬元時，廠家的利潤最大綜上述，當a≥2或0＜a≤1時，促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大；當1＜a＜2時，促銷費用投入x=a2﹣3a+3萬元時，廠家的利潤最大．點評：本題考查函數(shù)模型的選擇與應用，考查基本不等式的運用，確定函數(shù)解析式是關(guān)鍵．四、線性規(guī)劃求最值問題20．若變量x，y滿足約束條件，則z=x﹣2y的最大值為（）A．4B．3C．2D．1考點：簡單線性規(guī)劃的應用．專題：計算題；數(shù)形結(jié)合．分析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，再利用幾何意義求最值，z=x﹣2y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最小值即可．解答：解：畫出可行域（如圖），z=x﹣2y?y=x﹣z，由圖可知，當直線l經(jīng)過點A（1，﹣1）時，z最大，且最大值為zmax=1﹣2×（﹣1）=3．故選：B．點評：本小題主要考查線性規(guī)劃知識、作圖、識圖能力及計算能力，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．21．已知a＞0，x，y滿足約束條件，若z=2x+y的最小值為1，則a=（）A．B．C．1D．2考點：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應用．分析：先根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=2x+y，再利用z的幾何意義求最值，只需求出直線z=2x+y過可行域內(nèi)的點B時，從而得到a值即可．解答：解：先根據(jù)約束條件畫出可行域，設(shè)z=2x+y，將最大值轉(zhuǎn)化為y軸上的截距，當直線z=2x+y經(jīng)過點B時，z最小，由得：，代入直線y=a（x﹣3）得，a=故選：B．點評：本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．借助于平面區(qū)域特性，用幾何方法處理代數(shù)問題，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想．線性規(guī)劃中的最優(yōu)解，通常是利用平移直線法確定．22．設(shè)變量x，y滿足約束條件，則目標函數(shù)z=x+2y的最小值為（）A．2B．3C．4D．5考點：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應用．分析：作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值．解答：解：作出不等式對應的平面區(qū)域，由z=x+2y，得y=﹣，平移直線y=﹣，由圖象可知當直線y=﹣經(jīng)過點B（1，1）時，直線y=﹣的截距最小，此時z最?。藭rz的最小值為z=1+2×1=3，故選：B．點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．23．已知x，y滿足約束條件，當目標函數(shù)z=ax+by（a＞0，b＞0）在該約束條件下取到最小值2時，a2+b2的最小值為（）A．5B．4C．D．2考點：簡單線性規(guī)劃．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：由約束條件正?？尚杏?，然后求出使目標函數(shù)取得最小值的點的坐標，代入目標函數(shù)得到2a+b﹣2=0．a(chǎn)2+b2的幾何意義為坐標原點到直線2a+b﹣2=0的距離的平方，然后由點到直線的距離公式得答案．解答：解：由約束條件作可行域如圖，聯(lián)立，解得：A（2，1）．化目標函數(shù)為直線方程得：（b＞0）．由圖可知，當直線過A點時，直線在y軸上的截距最小，z最?。?a+b=2．即2a+b﹣2=0．則a2+b2的最小值為．故選：B．點評：本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，訓練了點到直線距離公式的應用，是中檔題．24．若變量x，y滿足約束條件，且z=2x+y的最大值和最小值分別為m和n，則m﹣n=（）A．5B．6C．7D．8考點：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應用．分析：作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用z的幾何意義，進行平移即可得到結(jié)論．解答：解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當直線y=﹣2x+z經(jīng)過點A，直線y=﹣2x+z的截距最小，此時z最小，由，解得，即A（﹣1，﹣1），此時z=﹣2﹣1=﹣3，此時n=﹣3，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當直線y=﹣2x+z經(jīng)過點B，直線y=﹣2x+z的截距最大，此時z最大，由，解得，即B（2，﹣1），此時z=2×2﹣1=3，即m=3，則m﹣n=3﹣（﹣3）=6，故選：B．點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用z的幾何意義，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．25．若x，y滿足且z=y﹣x的最小值為﹣4，則k的值為（）A．2B．﹣2C．D．﹣考點：簡單線性規(guī)劃．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：對不等式組中的kx﹣y+2≥0討論，當k≥0時，可行域內(nèi)沒有使目標函數(shù)z=y﹣x取得最小值的最優(yōu)解，k＜0時，若直線kx﹣y+2=0與x軸的交點在x+y﹣2=0與x軸的交點的左邊，z=y﹣x的最小值為﹣2，不合題意，由此結(jié)合約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，由圖得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案．解答：解：對不等式組中的kx﹣y+2≥0討論，可知直線kx﹣y+2=0與x軸的交點在x+y﹣2=0與x軸的交點的右邊，故由約束條件作出可行域如圖，由kx﹣y+2=0，得x=，∴B（﹣）．由z=y﹣x得y=x+z．由圖可知，當直線y=x+z過B（﹣）時直線在y軸上的截距最小，即z最小．此時，解得：k=﹣．故選：D．點評：本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．26．x、y滿足約束條件，若z=y﹣ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則實數(shù)a的值為（）A．或﹣1B．2或C．2或1D．2或﹣1考點：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應用．分析：作出不等式組對應的平面區(qū)域，利用目標函數(shù)的幾何意義，得到直線y=ax+z斜率的變化，從而求出a的取值．解答：解：作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：（陰影部分ABC）．由z=y﹣ax得y=ax+z，即直線的截距最大，z也最大．若a=0，此時y=z，此時，目標函數(shù)只在A處取得最大值，不滿足條件，若a＞0，目標函數(shù)y=ax+z的斜率k=a＞0，要使z=y﹣ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則直線y=ax+z與直線2x﹣y+2=0平行，此時a=2，若a＜0，目標函數(shù)y=ax+z的斜率k=a＜0，要使z=y﹣ax取得最大值的最優(yōu)解不唯一，則直線y=ax+z與直線x+y﹣2=0，平行，此時a=﹣1，綜上a=﹣1或a=2，故選：D點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用目標函數(shù)的幾何意義，結(jié)合數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想是解決此類問題的基本方法．注意要對a進行分類討論，同時需要弄清楚最優(yōu)解的定義．27．已知滿足條件x2+y2≤1的點（x，y）構(gòu)成的平面區(qū)域面積為S1，滿足條件[x]2+[y]2≤1的點（x，y）構(gòu)成的平面區(qū)域的面積為S2，其中[x]、[y]分別表示不大于x，y的最大整數(shù)，例如：[﹣0.4]=﹣1，[1.6]=1，則S1與S2的關(guān)系是（）A．S1＜S2B．S1=S2C．S1＞S2D．S1+S2=π+3考點：二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．專題：計算題；不等式的解法及應用；直線與圓．分析：先把滿足條件x2+y2≤1的點（x，y）構(gòu)成的平面區(qū)域，滿足條件[x]2+[y]2≤1的點（x，y）構(gòu)成的平面區(qū)域表達出來，然后看二者的區(qū)域的面積，再求S1與S2的關(guān)系．解答：解：滿足條件x2+y2≤1的點（x，y）構(gòu)成的平面區(qū)域為一個圓；其面積為：π當0≤x＜1，0≤y＜1時，滿足條件[x]2+[y]2≤1；當0≤x＜1，1≤y＜2時，滿足條件[x]2+[y]2≤1；當0≤x＜1，﹣1≤y＜0時，滿足條件[x]2+[y]2≤1；當﹣1≤x＜0，0≤y＜1時，滿足條件[x]2+[y]2≤1；當0≤y＜1，1≤x＜2時，滿足條件[x]2+[y]2≤1；∴滿足條件[x]2+[y]2≤1的點（x，y）構(gòu)成的平面區(qū)域是五個邊長為1的正方形，其面積為：5綜上得：S1與S2的關(guān)系是S1＜S2，故選A．點評：本題類似線性規(guī)劃，處理兩個不等式的形式中，第二個難度較大，[x]2+[y]2≤1的平面區(qū)域不易理解．28．已知平面直角坐標系xOy上的區(qū)域D由不等式組給定．若M（x，y）為D上的動點，點A的坐標為（，1），則z=?的最大值為（）A．4B．3C．4D．3考點：二元一次不等式（組）與平面區(qū)域．專題：計算題；作圖題．分析：首先畫出可行域，z=?代入坐標變?yōu)閦=x+y，即y=﹣x+z，z表示斜率為的直線在y軸上的截距，故求z的最大值，即求y=﹣x+z與可行域有公共點時在y軸上的截距的最大值．解答：解：如圖所示：z=?=x+y，即y=﹣x+z首先做出直線l0：y=﹣x，將l0平行移動，當經(jīng)過B點時在y軸上的截距最大，從而z最大．因為B（，2），故z的最大值為4．故選：C．點評：本題考查線形規(guī)劃問題，考查數(shù)形結(jié)合解題．29．若變量x，y滿足約束條件，且z=2x+y的最小值為﹣6，則k=﹣2．考點：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應用．分析：作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即先確定z的最優(yōu)解，然后確定k的值即可．解答：解：作出不等式對應的平面區(qū)域，（陰影部分）由z=2x+y，得y=﹣2x+z，平移直線y=﹣2x+z，由圖象可知當直線y=﹣2x+z經(jīng)過點A時，直線y=﹣2x+z的截距最小，此時z最?。繕撕瘮?shù)為2x+y=﹣6，由，解得，即A（﹣2，﹣2），∵點A也在直線y=k上，∴k=﹣2，故答案為：﹣2．點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．30．設(shè)x、y滿足約束條件，則z=x+4y的最大值為5．考點：簡單線性規(guī)劃．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：由約束條件作出可行域，化目標函數(shù)為直線方程的斜截式，由圖得到最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求出最優(yōu)解的坐標，代入目標函數(shù)得答案．解答：解：由約束條件作出可行域如圖，聯(lián)立，解得C（1，1）．化目標函數(shù)z=x+4y為直線方程的斜截式，得．由圖可知，當直線過C點時，直線在y軸上的截距最大，z最大．此時zmax=1+4×1=5．故答案為：5．點評：本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．31．若變量x，y滿足約束條件，則z=3x+y的最小值為1．考點：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應用．分析：作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最小值．解答：解：作出不等式對應的平面區(qū)域如圖，由z=3x+y，得y=﹣3x+z，平移直線y=﹣3x+z，由圖象可知當直線y=﹣3x+z，經(jīng)過點A（0，1）時，直線y=﹣3x+z的截距最小，此時z最小．此時z的最小值為z=0×3+1=1，故答案為：1點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．32．設(shè)z=kx+y，其中實數(shù)x，y滿足，若z的最大值為12，則實數(shù)k=2．考點：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應用．分析：先畫出可行域，得到角點坐標．再對k進行分類討論，通過平移直線z=kx+y得到最大值點A，即可得到答案．解答：解：可行域如圖：由得：A（4，4），同樣地，得B（0，2），z=kx+y，即y=﹣kx+z，分k＞0，k＜0兩種情況．當k＞0時，目標函數(shù)z=kx+y在A點取最大值，即直線z=kx+y在y軸上的截距z最大，即12=4k+4，得k=2；當k＜0時，①當k＞﹣時，目標函數(shù)z=kx+y在A點（4，4）時取最大值，即直線z=kx+y在y軸上的截距z最大，此時，12=4k+4，故k=2．②當k時，目標函數(shù)z=kx+y在B點（0，2）時取最大值，即直線z=kx+y在y軸上的截距z最大，此時，12=0×k+2，故k不存在．綜上，k=2．故答案為：2．點評：本題主要考查簡單線性規(guī)劃．解決此類問題的關(guān)鍵是正確畫出不等式組表示的可行域，將目標函數(shù)賦予幾何意義．33．若點（x，y）位于曲線y=|x﹣1|與y=2所圍成的封閉區(qū)域，則2x﹣y的最小值為﹣4．考點：簡單線性規(guī)劃．專題：壓軸題；不等式的解法及應用．分析：先根據(jù)曲線y=|x﹣1|與y=2所圍成的封閉區(qū)域畫出區(qū)域D，再利用線性規(guī)劃的方法求出目標函數(shù)2x﹣y的最大值即可．解答：解：如圖，封閉區(qū)域為三角形．令|x﹣1|=2，解得x1=﹣1，x2=3，所以三角形三個頂點坐標分別為（1，0，），（﹣1，2），（3，2），把z=2x﹣y變形為y=2x﹣z，則直線經(jīng)過點（﹣1，2）時z取得最小值；所以zmin=2×（﹣1）﹣2=﹣4，故2x﹣y在點（﹣1，2）取最小值﹣4．故答案為：﹣4．點評：本題考查簡單線性規(guī)劃以及利用線性規(guī)劃求函數(shù)的最值．屬于基礎(chǔ)題．34．鐵礦石A和B的含鐵率a，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c如下表ab（萬噸）c（百萬元）A50%13B70%0.56某冶煉廠至少要生產(chǎn)1.9（萬噸）鐵，若要求CO2的排放量不超過2（萬噸）則購買鐵礦石的最少費用為15（百萬元）考點：簡單線性規(guī)劃的應用．專題：計算題；壓軸題；圖表型．分析：本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應用，由已知條件中，鐵礦石A和B的含鐵率a，冶煉每萬噸鐵礦石的CO2排放量b及每萬噸鐵礦石的價格c，對應的表格，再根據(jù)生產(chǎn)量不少于1.9（萬噸）鐵，及CO2的排放量不超過2（萬噸）我們可以構(gòu)造出約束條件，并畫出可行域，利用角點法求出購買鐵礦石的最少費用．解答：解：設(shè)購買鐵礦石A和B各x，y萬噸，則購買鐵礦石的費用z=3x+6yx，y滿足約束條件表示平面區(qū)域如圖，則當直線z=3x+6y過點B（1，2）時，購買鐵礦石的最少費用z=15故答案為：15點評：在解決線性規(guī)劃的應用題時，其步驟為：①分析題目中相關(guān)量的關(guān)系，列出不等式組，即約束條件?②由約束條件畫出可行域?③分析目標函數(shù)Z與直線截距之間的關(guān)系?④使用平移直線法求出最優(yōu)解?⑤還原到現(xiàn)實問題中．35．已知非負實數(shù)x，y，z滿足=0，則x+y+1的最大值為．考點：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應用．分析：根據(jù)z是非負實數(shù)，得到約束條件為，然后利用線性規(guī)劃的知識進行求解決，解答：解：∵非負實數(shù)x，y，z滿足=0，∴z=，即，則不等式滿足，作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：設(shè)m=x+y+1，則y=﹣x+m﹣1，平移直線y=﹣x+m﹣1，由圖象知當直線經(jīng)過點A時，直線的截距最大，此時m最大，由，解得，即A（0，），此時m=x+y+1=，故答案為：；點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，根據(jù)條件求出約束條件是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強，思路比較新穎．36．在直角坐標系xOy中，O為坐標原點，點M的橫縱坐標分別為莖葉圖中位數(shù)和眾數(shù)，若點N（x，y）的坐標滿足，求?的最大值．考點：簡單線性規(guī)劃．專題：不等式的解法及應用．分析：根據(jù)莖葉圖求出M的坐標，根據(jù)向量的數(shù)量積關(guān)系結(jié)合線性規(guī)劃的內(nèi)容進行求解即可．解答：解：由莖葉圖可得中位數(shù)為23，眾數(shù)為23，故M（23，23），則?=23x+23y，設(shè)z=23x+23y，作出不等式組對應的平面區(qū)域如圖：作一直平行于z=23x+23y的直線，當直線和圓相切時，z=23x+23y確定最大值，由圓心到直線的距離d==，解得|z|=46，故z=46或z=﹣46，故?的最大值是46．點評：本題主要考查線性規(guī)劃的應用，涉及的知識點有莖葉圖的應用，平面向量的數(shù)量積的應用，點到直線的距離公式，綜合性較強．37．某營養(yǎng)師要求為某個兒童預訂午餐和晚餐．已知一個單位的午餐含12個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和6個單位的維生素C；一個單位的晚餐含8個單位的碳水化合物，6個單位的蛋白質(zhì)和10個單位的維生素C．另外，該兒童這兩餐需要的營狀中至少含64個單位的碳水化合物和42個單位的蛋白質(zhì)和54個單位的維生素C．如果一個單位的午餐、晚餐的費用分別是2.5元和4元，那么要滿足上述的營養(yǎng)要求，并且花費最少，應當為該兒童分別預訂多少個單位的午餐和晚餐？考點：簡單線性規(guī)劃的應用．分析：利用線性規(guī)劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應用．本題主要考查找出約束條件與目標函數(shù)，準確地描畫可行域，再利用圖形直線求得滿足題設(shè)的最優(yōu)解．解答：解：設(shè)為該兒童分別預訂x個單位的午餐和y個單位的晚餐，設(shè)費用為F，則F=2.5x+4y，由題意知約束條件為：畫出可行域如圖：變換目標函數(shù)：當目標函數(shù)過點A，即直線6x+6y=42與6x+10y=54的交點（4，3）時，F(xiàn)取得最小值．即要滿足營養(yǎng)要求，并且花費最少，應當為兒童分別預訂4個單位的午餐和3個單位的晚餐．點評：用圖解法解決線性規(guī)劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數(shù)是關(guān)鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數(shù)．然后將可行域各角點的值一一代入，最后比較，即可得到目標函數(shù)的最優(yōu)解．五、絕對值不等式38．已知函數(shù)f（x）=，若|f（x）|≥ax，則a的取值范圍是（）A．（﹣∞，0]B．（﹣∞，1]C．[﹣2，1]D．[﹣2，0]考點：其他不等式的解法．專題：壓軸題；不等式的解法及應用．分析：由函數(shù)圖象的變換，結(jié)合基本初等函數(shù)的圖象可作出函數(shù)y=|f（x）|的圖象，和函數(shù)y=ax的圖象，由導數(shù)求切線斜率可得l的斜率，進而數(shù)形結(jié)合可得a的范圍．解答：解：由題意可作出函數(shù)y=|f（x）|的圖象，和函數(shù)y=ax的圖象，由圖象可知：函數(shù)y=ax的圖象為過原點的直線，當直線介于l和x軸之間符合題意，直線l為曲線的切線，且此時函數(shù)y=|f（x）|在第二象限的部分解析式為y=x2﹣2x，求其導數(shù)可得y′=2x﹣2，因為x≤0，故y′≤﹣2，故直線l的斜率為﹣2，故只需直線y=ax的斜率a介于﹣2與0之間即可，即a∈[﹣2，0]故選：D點評：本題考查其它不等式的解法，數(shù)形結(jié)合是解決問題的關(guān)鍵，屬中檔題．39．不等式的解集是[0，2]．考點：其他不等式的解法．專題：計算題；壓軸題；轉(zhuǎn)化思想．分析：法一是移項后平方，注意等價轉(zhuǎn)化為不等式組，化簡求交集即可；法二是化簡為等價不等式組的形式，求不等式組的解集．解答：解：法一：原不等式等價于解得0≤x≤2．法二：故答案為：[0，2]點評：本小題主要考查根式不等式的解法，利用平方去掉根號是解根式不等式的基本思路，也讓轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學思想體現(xiàn)得淋漓盡致．40．設(shè)函數(shù)f（x）=2|x﹣1|+x﹣1，g（x）=16x2﹣8x+1．記f（x）≤1的解集為M，g（x）≤4的解集為N．（Ⅰ）求M；（Ⅱ）當x∈M∩N時，證明：x2f（x）+x[f（x）]2≤．考點：其他不等式的解法；交集及其運算．專題：不等式的解法及應用．分析：（Ⅰ）由所給的不等式可得①，或②，分別求得①、②的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由g（x）≤4，求得N，可得M∩N=[0，]．當x∈M∩N時，f（x）=1﹣x，不等式的左邊化為﹣，顯然它小于或等于，要證的不等式得證．解答：解：（Ⅰ）由f（x）=2|x﹣1|+x﹣1≤1可得①，或②．解①求得1≤x≤，解②求得0≤x＜1．綜上，原不等式的解集為[0，]．（Ⅱ）證明：由g（x）=16x2﹣8x+1≤4，求得﹣≤x≤，∴N=[﹣，]，∴M∩N=[0，]．∵當x∈M∩N時，f（x）=1﹣x，∴x2f（x）+x[f（x）]2=xf（x）[x+f（x）]=﹣≤，故要證的不等式成立．點評：本題主要考查絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論、等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想，屬于中檔題．41．已知函數(shù)f（x）=+．（1）求f（x）≥f（4）的解集；（2）設(shè)函數(shù)g（x）=k（x﹣3），k∈R，若f（x）＞g（x）對任意的x∈R都成立，求k的取值范圍．考點：其他不等式的解法．專題：不等式的解法及應用．分析：（1）函數(shù)f（x）=|x﹣3|+|x+4|，不等式f（x）≥f（4）即|x﹣3|+|x+4|≥9．可得①，或②，或③．分別求得①、②、③的解集，再取并集，即得所求．（2）由題意可得，f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，作函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象如圖，由KPB=2，A（﹣4，7），可得KPA=﹣1，數(shù)形結(jié)合求得實數(shù)k的取值范圍．解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=+=+=|x﹣3|+|x+4|，∴f（x）≥f（4）即|x﹣3|+|x+4|≥9．∴①，或②，或③．得不等式①：x≤﹣5；解②可得x無解；解③求得：x≥4．所以f（x）≥f（4）的解集為{x|x≤﹣5，或x≥4}．（2）f（x）＞g（x）對任意的x∈R都成立，即f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，∵f（x）=|x﹣3|+|x+4|=．由于函數(shù)g（x）=k（x﹣3）的圖象為恒過定點P（3，0），且斜率k變化的一條直線，作函數(shù)y=f（x）和y=g（x）的圖象如圖，其中，KPB=2，A（﹣4，7），∴KPA=﹣1．由圖可知，要使得f（x）的圖象恒在g（x）圖象的上方，∴實數(shù)k的取值范圍為（﹣1，2]．點評：本題主要考查對由絕對值的函數(shù)，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．六、不等式與集合42．設(shè)平面點集，則A∩B所表示的平面圖形的面積為（）A．B．C．D．考點：二元一次不等式（組）與平面區(qū)域；交集及其運算．專題：計算題；壓軸題．分析：先分別畫出集合A與集合B表示的平面區(qū)域，再畫出它們的公共部分，最后利用圓的面積公式及圖形的對稱性，計算所求面積即可解答：解：∵?或其表示的平面區(qū)域如圖，（x﹣1）2+（y﹣1）2≤1表示以（1，1）為圓心，1為半徑的圓及其內(nèi)部區(qū)域，其面積為π∴A∩B所表示的平面圖形為上述兩區(qū)域的公共部分，如圖陰影區(qū)域，由于圓和y=均關(guān)于y=x對稱，故陰影部分面積為圓的面積的一半，即故選：D．點評：本題主要考查了二元不等式表示平面區(qū)域的知識和延伸，準確的畫出兩集合表示的平面區(qū)域是解決本題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題43．已知集合A={x∈R|3x+2＞0}，B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0}，則A∩B=（）A．（﹣∞，﹣1）B．（﹣1，）C．﹙，3﹚D．（3，+∞）考點：一元二次不等式的解法；交集及其運算．專題：計算題．分析：求出集合B，然后直接求解A∩B．解答：解：因為B={x∈R|（x+1）（x﹣3）＞0﹜={x|x＜﹣1或x＞3}，又集合A={x∈R|3x+2＞0﹜={x|x}，所以A∩B={x|x}∩{x|x＜﹣1或x＞3}={x|x＞3}，故選：D．點評：本題考查一元二次不等式的解法，交集及其運算，考查計算能力．44．設(shè)集合M={a，a+1}，N={x∈R|x2≤4}，若M∪N=N，則實數(shù)a的取值范圍為（）A．[﹣1，2]B．[﹣2，1]C．[﹣2，2]D．（﹣∞，﹣2]∪[2，+∞）考點：一元二次不等式的解法；并集及其運算．專題：集合．分析：解一元二次不等式化簡集合N，再結(jié)合M∪N=N列不等式組即可求出實數(shù)a的取值范圍．解答：解：由N={x∈R|x2≤4}={x∈R|﹣2≤x≤2}，又M∪N=N，則，解得：﹣2≤a≤1．∴實數(shù)a的取值范圍為﹣2≤a≤1．故選：B．點評：本題考查了并集及其運算，考查了一元二次不等式的解法，是基礎(chǔ)題．45．給定區(qū)域D：．令點集T={（x0，y0）∈D|x0，y0∈Z，（x0，y0）是z=x+y在D上取得最大值或最小值的點}，則T中的點共確定6條不同的直線．考點：簡單線性規(guī)劃的應用．專題：不等式的解法及應用．分析：先根據(jù)所給的可行域，利用幾何意義求最值，z=x+y表示直線在y軸上的截距，只需求出可行域直線在y軸上的截距最值即可，從而得出點集T中元素的個數(shù)，即可得出正確答案．解答：解：畫出不等式表示的平面區(qū)域，如圖．作出目標函數(shù)對應的直線，因為直線z=x+y與直線x+y=4平行，故直線z=x+y過直線x+y=4上的整數(shù)點：（4，0），（3，1），（2，2），（1，3）或（0，4）時，直線的縱截距最大，z最大；當直線過（0，1）時，直線的縱截距最小，z最小，從而點集T={（4，0），（3，1），（2，2），（1，3），（0，4），（0，1）}，經(jīng)過這六個點的直線一共有6條．即T中的點共確定6條不同的直線．故答案為：6．點評：本題主要考查了簡單的線性規(guī)劃，以及利用幾何意義求最值，屬于基礎(chǔ)題．46．函數(shù)y=f（x）（x∈R）滿足f（1）=l，f′（x）＜，則不等式f（x）＜+的解集為（1，+∞）．考點：其他不等式的解法．專題：計算題；函數(shù)的性質(zhì)及應用；導數(shù)的綜合應用；不等式的解法及應用．分析：所求解的不等式是抽象不等式，是與函數(shù)有關(guān)的不等式，函數(shù)的單調(diào)性和不等關(guān)系最密切．由f′（x）＜，構(gòu)造單調(diào)遞減函數(shù)h（x）=f（x）﹣x，運用單調(diào)遞減性求解即可．解答：解：∵f′（x）＜，∴f′（x）﹣＜0，設(shè)h（x）=f（x）﹣x，則h′（x）=f′（x）﹣＜0，∴h（x）是R上的減函數(shù)，且h（1）=f（1）﹣=1﹣=．不等式f（x）＜+，即為f（x）﹣x＜，即h（x）＜h（1），得x＞1，∴原不等式的解集為（1，+∞）．故答案為：（1，+∞）．點評：本題考查抽象不等式求解，關(guān)鍵是利用函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)已知條件和所要解的不等式，找到合適的函數(shù)作載體是關(guān)鍵．七、不等式中的取值范圍問題47．設(shè)m＞1，在約束條件下，目標函數(shù)z=x+my的最大值小于2，則m的取值范圍為（）A．（1，）B．（，+∞）C．（1，3）D．（3，+∞）考點：簡單線性規(guī)劃的應用．專題：壓軸題；數(shù)形結(jié)合．分析：根據(jù)m＞1，我們可以判斷直線y=mx的傾斜角位于區(qū)間（，）上，由此我們不難判斷出滿足約束條件的平面區(qū)域的形狀，再根據(jù)目標函數(shù)Z=X+my對應的直線與直線y=mx垂直，且在直線y=mx與直線x+y=1交點處取得最大值，由此構(gòu)造出關(guān)于m的不等式組，解不等式組即可求出m的取值范圍．解答：解：∵m＞1故直線y=mx與直線x+y=1交于點，目標函數(shù)Z=X+my對應的直線與直線y=mx垂直，且在點，取得最大值其關(guān)系如下圖所示：即，解得1﹣＜m＜又∵m＞1解得m∈（1，）故選：A．點評：本題考查的知識點是簡單線性規(guī)劃的應用，其中根據(jù)平面直線方程判斷出目標函數(shù)Z=X+my對應的直線與直線y=mx垂直，且在點取得最大值，并由此構(gòu)造出關(guān)于m的不等式組是解答本題的關(guān)鍵．48．已知O是坐標原點，點A（﹣1，1），若點M（x，y）為平面區(qū)域，上的一個動點，則?的取值范圍是（）A．[﹣1，0]B．[0，1]C．[0，2]D．[﹣1，2]考點：簡單線性規(guī)劃的應用；平面向量數(shù)量積的運算．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：先畫出滿足約束條件的平面區(qū)域，求出平面區(qū)域的角點后，逐一代入?分析比較后，即可得到?的取值范圍．解答：解：滿足約束條件的平面區(qū)域如下圖所示：將平面區(qū)域的三個頂點坐標分別代入平面向量數(shù)量積公式當x=1，y=1時，?=﹣1×1+1×1=0當x=1，y=2時，?=﹣1×1+1×2=1當x=0，y=2時，?=﹣1×0+1×2=2故?和取值范圍為[0，2]解法二：z=?=﹣x+y，即y=x+z當經(jīng)過P點（0，2）時在y軸上的截距最大，從而z最大，為2．當經(jīng)過S點（1，1）時在y軸上的截距最大，從而z最大，為0．故?和取值范圍為[0，2]故選：C點評：本題考查的知識點是線性規(guī)劃的簡單應用，其中畫出滿足條件的平面區(qū)域，并將三個角點的坐標分別代入平面向量數(shù)量積公式，進而判斷出結(jié)果是解答本題的關(guān)鍵．49．設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域為D，若指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象上存在區(qū)域D上的點，則a的取值范圍是（）A．（1，3]B．[2，3]C．（1，2]D．[3，+∞]考點：二元一次不等式（組）與平面區(qū)域；指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)．專題：計算題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合．分析：先依據(jù)不等式組，結(jié)合二元一次不等式（組）與平面區(qū)域的關(guān)系畫出其表示的平面區(qū)域，再利用指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象特征，結(jié)合區(qū)域的角上的點即可解決問題．解答：解：作出區(qū)域D的圖象，聯(lián)系指數(shù)函數(shù)y=ax的圖象，由得到點C（2，9），當圖象經(jīng)過區(qū)域的邊界點C（2，9）時，a可以取到最大值3，而顯然只要a大于1，圖象必然經(jīng)過區(qū)域內(nèi)的點．故選：A．點評：這是一道略微靈活的線性規(guī)劃問題，本題主要考查了用平面區(qū)域二元一次不等式組、指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)，以及簡單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題．50．當實數(shù)x，y滿足時，1≤ax+y≤4恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是[]．考點：簡單線性規(guī)劃．專題：數(shù)形結(jié)合．分析：由約束條件作出可行域，再由1≤ax+y≤4恒成立，結(jié)合可行域內(nèi)特殊點A，B，C的坐標滿足不等式列不等式組，求解不等式組得實數(shù)a的取值范圍．解答：解：由約束條件作可行域如圖，聯(lián)立，解得C（1，）．聯(lián)立，解得B（2，1）．在x﹣y﹣1=0中取y=0得A（1，0）．要使1≤ax+y≤4恒成立，則，解得：1．∴實數(shù)a的取值范圍是．解法二：令z=ax+y，當a＞0時，y=﹣ax+z，在B點取得最大值，A點取得最小值，可得，即1≤a≤；當a＜0時，y=﹣ax+z，在C點取得最大值，①a＜﹣1時，在B點取得最小值，可得，解得0≤a≤（不符合條件，舍去）②﹣1＜a＜0時，在A點取得最小值，可得，解得1≤a≤（不符合條件，舍去）綜上所述即：1≤a≤；故答案為：．點評：本題考查線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，訓練了不等式組得解法，是中檔題．51．若f（x）=﹣，則滿足f（x）＜0的x的取值范圍是（0，1）．考點：指、對數(shù)不等式的解法；其他不等式的解法．專題：不等式的解法及應用．分析：直接利用已知條件轉(zhuǎn)化不等式求解即可．解答：解：f（x）=﹣，若滿足f（x）＜0，即＜，∴，∵y=是增函數(shù)，∴的解集為：（0，1）．故答案為：（0，1）．點評：本題考查指數(shù)不等式的解法，函數(shù)的單調(diào)性的應用，考查計算能力．52．設(shè)函數(shù)f（x）=，若f（f（a））≤2，則實數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，]．考點：其他不等式的解法．專題：不等式的解法及應用．分析：畫出函數(shù)f（x）的圖象，由f（f（a））≤2，可得f（a）≥﹣2，數(shù)形結(jié)合求得實數(shù)a的取值范圍．解答：解：∵函數(shù)f（x）=，它的圖象如圖所示：由f（f（a））≤2，可得f（a）≥﹣2．由f（x）=﹣2，可得﹣x2=﹣2，即x=，故當f（f（a））≤2時，則實數(shù)a的取值范圍是a≤，故答案為：（﹣∞，]．點評：本題主要考查分段z函數(shù)的應用，其它不等式的解法，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想，屬于中檔題．53．設(shè)x，y滿足約束條件：；則z=x﹣2y的取值范圍為[﹣3，3]．考點：簡單線性規(guī)劃．專題：計算題．分析：先作出不等式組表示的平面區(qū)域，由z=x﹣2y可得，y=，則﹣表示直線x﹣2y﹣z=0在y軸上的截距，截距越大，z越小，結(jié)合函數(shù)的圖形可求z的最大與最小值，從而可求z的范圍解答：解：作出不等式組表示的平面區(qū)域由z=x﹣2y可得，y=，則﹣表示直線x﹣2y﹣z=0在y軸上的截距，截距越大，z越小結(jié)合函數(shù)的圖形可知，當直線x﹣2y﹣z=0平移到B時，截距最大，z最?。划斨本€x﹣2y﹣z=0平移到A時，截距最小，z最大由可得B（1，2），由可得A（3，0）∴Zmax=3，Zmin=﹣3則z=x﹣2y∈[﹣3，3]故答案為：[﹣3，3]點評：平面區(qū)域的范圍問題是線性規(guī)劃問題中一類重要題型，在解題時，關(guān)鍵是正確地畫出平面區(qū)域，分析表達式的幾何意義，然后結(jié)合數(shù)形結(jié)合的思想，分析圖形，找出滿足條件的點的坐標，即可求出答案．54．若x，y滿足約束條件，則x﹣y的取值范圍是[﹣3，0]．考點：簡單線性規(guī)劃．專題：計算題．分析：畫出約束條件表示的可行域，推出三角形的三個點的坐標，直接求出z=x﹣y的范圍．解答：解：約束條件，表示的可行域如圖，由解得A（0，3）、由解得B（0，）、由解得C（1，