實(shí)變函數(shù)對(duì)等與基數(shù)

第二節(jié)對(duì)等與基數(shù)第一章集合及其基數(shù)定義1：設(shè)X,Y是兩個(gè)非空集合，若依照對(duì)應(yīng)法則f，對(duì)X中的每個(gè)x，均存在Y中唯一的y與之對(duì)應(yīng)，則稱這個(gè)對(duì)應(yīng)法則

f是從X到Y(jié)的一個(gè)映射，記作f:X→Y。X稱為f的定義域。１映射的定義當(dāng)映射f使y與x對(duì)應(yīng)時(shí)，y稱為x在映射f下的像。像的全體組成值域。對(duì)于某一固定的y，稱適應(yīng)關(guān)系y=f(x)的x的全體是元素y在映射f下的原像。注：模糊集：參見：《模糊集合、語言變量及模糊邏輯》，L.A.Zadeh例12、實(shí)數(shù)的加法運(yùn)算+:R×R→R1、定積分運(yùn)算為從[a,b]上的可積函數(shù)集到實(shí)數(shù)集的映射。3、集合A的特征函數(shù)（集合A與特征函數(shù)互相決定）稱為集A的特征函數(shù)，定義2：設(shè)X,Y是兩個(gè)非空集合，集合X到集合Y上的一一映射f滿足：(1)單射：(2)滿射：既是單射又是滿射的映射稱為雙射或一一映射。2集合運(yùn)算關(guān)于映射的性質(zhì)（像集）集合運(yùn)算關(guān)于映射的性質(zhì)（原像集）注：6），7）一般不能使等號(hào)成立，6）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)f為單射，7）等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)f為滿射證明的過程略3對(duì)等與勢1）設(shè)A,B是兩非空集合，若存在著A到B的一一映射（既單又滿），則稱A與B對(duì)等,注：稱與A對(duì)等的集合為與A有相同的勢（基數(shù)），記作勢是對(duì)有限集元素個(gè)數(shù)概念的推廣記作約定1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,...1,3,5,7,9,11,13,15,...2,4,6,8,10,12,14,16...n2n-12n0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4,...…,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...例2有限集與無限集的本質(zhì)區(qū)別：無限集可與其某個(gè)真子集合有相同多的元素個(gè)數(shù)（對(duì)等）且一定能做到，而有限集則不可能。例2Galileo在17世紀(jì)最先考慮自然數(shù)與自然數(shù)平方的多少,1870Cantor開始系統(tǒng)考慮.基數(shù)的大小比較4Bernstein定理例：由可知，試問如何構(gòu)造兩者間的既單又滿的映射。Bernstein定理的證明fλBernstein定理的證明證明:ABgfBernstein定理的證明（續(xù)）ABggfffABfgffgB