高中數(shù)學 選修第二冊 一元函數(shù)的導數(shù)及其應用第8課時

5.3.1函數(shù)的單調性(第一課時)主講人：徐雙香學校：安徽省潛山野寨中學問題1

圖(1)是某高臺跳水運動員的重心相對于水面的高度h隨時間t變化的函數(shù)h(t)=-4.9t2+4.8t+11的圖象

運動員從起跳到最高點，以及從最高點到入水這兩段時間的運動狀態(tài)有什么區(qū)別？如何從數(shù)學上刻畫這種區(qū)別？探究新知

a=,b是函數(shù)h(t)的零點.圖(2)是跳水運動員的速度v隨時間t變化的函數(shù)v(t)=h′(t)=-9.8t+4.8的圖象.觀察圖象可以發(fā)現(xiàn)：

(1)從起跳到最高點，運動員的重心處于上升狀態(tài)，離水面的高度h隨時間t的增加而增加,即h(t)單調遞增.相應地，v(t)=h′(t)>0.

(2)從最高點到入水，運動員的重心處于下降狀態(tài)，離水面的高度h隨時間t的增加而減小,即h(t)單調遞減.相應地，v(t)=h′(t)<0.思考：我們看到，函數(shù)h(t)的單調性與h′(t)的正負有內(nèi)在聯(lián)系.那么，我們能否由h′(t)的正負來判斷函數(shù)h(t)的單調性呢？對于高臺跳水問題，可以發(fā)現(xiàn)：當t∈(0,a)時，h′(t)>0，函數(shù)h(t)的圖象是“上升”的，函數(shù)h(t)在(0,a)上單調遞增；當t∈(a,b)時，h′(t)<0，函數(shù)h(t)的圖象是“下降”的，函數(shù)h(t)在(a,b)上單調遞減.

這種情況是否具有一般性呢？探究新知問題2觀察下面一些函數(shù)的圖象，你能說明函數(shù)的單調性與導數(shù)的正負的關系嗎？探究新知xyOy＝x(1)xyOy＝x2(2)xyOy＝x3(3)xyO(4)探究新知xyOf(x)＝x(1)xyOf′(x)＝1在(-∞,+∞)上，f(x)單調遞增在(-∞,+∞)上，f′(x)>0探究新知在(-∞,

0)上，f(x)單調遞減在(-∞,

0)上，f′(x)<0xyOf(x)＝x2(2)xyOf′(x)＝2x在(0,+∞)上，f(x)單調遞增在(0,+∞)上，f′(x)>0探究新知在(-∞,

0)上，f(x)單調遞增在(-∞,

0)上，f′(x)>0xyOf′(x)＝3x2在(0,+∞)上，f(x)單調遞增在(0,+∞)上，f′(x)>0xyOf(x)＝x3(3)探究新知在(-∞,

0)上，f(x)單調遞減在(-∞,

0)上，f′(x)<0在(0,+∞)上，f(x)單調遞減在(0,+∞)上，f′(x)<0xyO(4)xyO探究新知xyO(4)xyOxyOf′(x)＝3x2xyOf(x)＝x3(3)問題3為什么函數(shù)的單調性與導數(shù)的正負之間有這樣的關系？探究新知導數(shù)f′(x0)函數(shù)y=f(x)的圖象在點(x0,f(x0))處切線的斜率在x=x0處f′(x0)>0y=f(x)的圖象上升，函數(shù)在x=x0附近單調遞增切線“左下右上”上升探究新知導數(shù)f′(x1)函數(shù)y=f(x)的圖象在點(x1,f(x1))處切線的斜率在x=x1處f′(x1)<0y=f(x)的圖象下降，函數(shù)在x=x1附近單調遞減切線“左上右下”下降問題3為什么函數(shù)的單調性與導數(shù)的正負之間有這樣的關系？一般地，函數(shù)f(x)的單調性與導函數(shù)f′(x)的正負之間具有如下的關系：在某個區(qū)間(a,b)上，如果f′(x)>0

，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調遞增；在某個區(qū)間(a,b)上，如果f′(x)<0，那么函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)上單調遞減.

概念形成思考：如果在某個區(qū)間上恒有f′(x)=0，那么函數(shù)f(x)有什么特性？例1

利用導數(shù)判斷下列函數(shù)的單調性：（1）（2）

（3）解:（1）因為，其定義域為.所以所以，函數(shù)在上單調遞增，如右圖所示.典例分析解:（2）因為

，所以所以，函數(shù)在上單調遞減，如右圖所示.典例分析例1

利用導數(shù)判斷下列函數(shù)的單調性：（1）（2）

（3）解:（3）因為，所以所以，函數(shù)在區(qū)間和上分別單調遞增，如右圖所示.典例分析例1

利用導數(shù)判斷下列函數(shù)的單調性：（1）（2）

（3）判斷下列函數(shù)的單調性：

鞏固練習

例2已知導函數(shù)的下列信息：當1<x<4時，f′(x)>0；當x<1，或x>4時，f′(x)<0；當x=1，或x=4時，f′(x)=0.試畫出函數(shù)f(x)圖象的大致形狀.

解：當1<x<4時，f′(x)>0，可知f(x)在區(qū)間

(1,4)上單調遞增；當x<1，或x>4時，f′(x)<0，可知f(x)在區(qū)間(-∞,1)和(4,+∞)都單調遞減；當x=1，或x=4時，f′(x)=0，這兩點比較特殊，我們稱它們?yōu)椤芭R界點”典例分析2.函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示，試畫出函數(shù)y=f′(x)圖象的大致形狀.鞏固練習鞏固練習3.設函數(shù)y=f(x)在定義域內(nèi)可導,f(x)的圖象如左圖所示，則導函數(shù)y=f′(x)的圖象可能是()

小結2.利用f′(x)的正負畫f(x)圖像的大致形狀；

利用f(x)圖象判斷f′(x)的正負，進而畫出f′(x)圖象的大致形狀.1.函數(shù)f(x)的單調性與導函數(shù)f′(x)的正負之間具有如下的關系：在某個區(qū)間上，如果，那么函數(shù)在區(qū)間上單調遞增；在某個區(qū)間上，如果，那么函數(shù)