第2講矩陣運算與分塊

１、定義一、矩陣的加法設(shè)有兩個矩陣那末矩陣與的和記作，規(guī)定為第2講矩陣運算與分塊說明

只有當(dāng)兩個矩陣是同型矩陣時，才能進行加法運算.例如2、矩陣加法的運算規(guī)律1、定義二、數(shù)與矩陣相乘2、數(shù)乘矩陣的運算規(guī)律矩陣相加與數(shù)乘矩陣合起來,統(tǒng)稱為矩陣的線性運算.（設(shè)為矩陣，為數(shù)）設(shè)有兩個線性變換（1）（2）當(dāng)我們想求從到的線性變換時,可將(2)代入(1),有（3）三、矩陣與矩陣相乘如果我們用矩陣分別表示

(1),(2),(3)

式的系數(shù)矩陣,則我們看到矩陣C中第i行第j列的元素是矩陣A中第一般地,我們有i行的元素與矩陣B中第j列的對應(yīng)元素乘積的和,并且矩陣C的行數(shù)與列數(shù)分別等于矩陣A的行數(shù)與矩陣B的列數(shù),同時矩陣A的列數(shù)必須與矩陣B的行數(shù)相等.我們把矩陣C稱為矩陣A與B的乘積,記作１、定義并把此乘積記作設(shè)是一個矩陣，是一個矩陣，那末規(guī)定矩陣與矩陣的乘積是一個矩陣，其中例3設(shè)例4故解注意

只有當(dāng)?shù)谝粋€矩陣的列數(shù)等于第二個矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘.例如不存在.２、矩陣乘法的運算規(guī)律（其中為數(shù)）;

若A是階矩陣，則為A的次冪，即并且注意

矩陣不滿足交換律，即：例

設(shè)則但也有例外，比如設(shè)則有此時，稱A與B是可交換的。例設(shè)求所有可與A交換的矩陣。解：設(shè)用待定系數(shù)法求得例5

計算下列乘積：解列向量行向量解=(）定義

把矩陣的行換成同序數(shù)的列得到的新矩陣，叫做的轉(zhuǎn)置矩陣，記作.例１、轉(zhuǎn)置矩陣四、矩陣的其它運算轉(zhuǎn)置矩陣的運算性質(zhì)例5已知解法1解法2五、對稱矩陣定義設(shè)為階方陣，如果滿足，即那末稱為對稱矩陣.對稱陣的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等.說明性質(zhì)

1.兩個（反）對稱矩陣的和（差）還是對稱積矩陣。

2.數(shù)k與（反）對稱矩陣的乘積還是對稱矩陣。注：兩個對稱舉著的乘積不一定是對稱矩陣?yán)缋O(shè)A,B是反對稱矩陣，試證：（1）是對稱矩陣；（2）AB-BA是反對稱矩陣。六、矩陣的分塊

對于行數(shù)和列數(shù)較高的矩陣，為了簡化運算，經(jīng)常采用分塊法，使大矩陣的運算化成小矩陣的運算.具體做法是：將矩陣用若干條縱線和橫線分成許多個小矩陣，每一個小矩陣稱為的子塊，以子塊為元素的形式上的矩陣稱為分塊矩陣.例即即分塊矩陣的運算規(guī)則例例1設(shè)解則又于是例2其中其中(4)轉(zhuǎn)置五、小結(jié)矩陣運算加法數(shù)與矩陣相乘矩陣與矩陣相乘轉(zhuǎn)置矩陣對稱陣與伴隨矩陣方陣的行列式思考題成立的充要條件是什么?思考題解答答故成立的充要條件為作業(yè)（36頁