小波變換在信號處理中的應(yīng)用200911課件

第1頁小波變換在信號處理中的應(yīng)用一、從傅里葉變換到小波變換二、連續(xù)小波變換三、一維離散小波變換與重構(gòu)四、二維離散小波變換與重構(gòu)五、幾種常用小波六、舉例（基于Matlab環(huán)境）第2頁

小波分析是近15年來發(fā)展起來的一種新的時頻分析方法，我們可以先粗略地區(qū)分一下時域分析和頻域分析。時域分析的基本目標：-邊緣檢測和分割；-將短時的物理現(xiàn)象作為一個瞬態(tài)過程分析。頻域分析的基本目標：區(qū)分突發(fā)信號和穩(wěn)定信號以及定量分析其能量。一、從傅里葉變換到小波變換第3頁一、從傅里葉變換到小波變換（1）傅立葉變換的定義1.連續(xù)傅立葉變換對離散傅立葉變換對第5頁3.傅立葉變換的局限性

由左圖我們看不出任何頻域的性質(zhì)，但從右圖中我們可以明顯看出該信號的頻率成分，也可以明顯的看出信號的頻率特性。雖然傅里葉變換能夠?qū)⑿盘柕臅r域特征和頻域特征聯(lián)系起來，能分別從信號的時域和頻域觀察，但不能把兩者有機的結(jié)合起來。在實際信號處理過程中，尤其是對非平穩(wěn)信號的處理中，信號在任一時刻附近的頻域特征都很重要。第6頁（2）短時傅立葉變換

基本思想：把非穩(wěn)態(tài)信號看成一系列短時平穩(wěn)信號的疊加，這個過程是通過加時間窗來實現(xiàn)的。一般選用能量集中在低頻處的實的偶函數(shù)作為窗函數(shù)，通過平移窗函數(shù)來實現(xiàn)時間域的局部化性質(zhì)。其表達式為：其中“＊”表示復(fù)共軛，g(t)是有緊支集的函數(shù)，f(t)是被分析的信號，在這個變換中，起著頻限的作用，g(t)起著時限的作用。隨著時間的變化，g(t)所確定的“時間窗”在t軸上移動，使f(t)“逐漸”進行分析。第7頁g(t)往往被稱之為窗口函數(shù)，大致反映了f(t)在時刻ω頻率處“信號成分”的相對含量。這樣信號在窗函數(shù)上的展開就可以表示為在這一區(qū)域內(nèi)的狀態(tài)，并把這一區(qū)域稱為窗口，和分別稱為窗口的時寬和頻寬，表示了時頻分析中的分辨率，窗寬越小則分辨率就越高。很顯然和都非常小，以便有更好的時頻分析效果，但和相互制約的。（2）短時傅立葉變換第9頁（3）小波變換第10頁(4)小波的時間和頻率特性

運用小波基，可以提取信號中的“指定時間”和“指定頻率”的變化。時間：提取信號中“指定時間”（時間A或時間B）的變化。顧名思義，小波在某時間發(fā)生的小的波動。頻率：提取信號中時間A的比較慢速變化，稱較低頻率成分；而提取信號中時間B的比較快速變化，稱較高頻率成分。

時間A時間B第11頁(5)小波的3個特點小波變換，既具有頻率分析的性質(zhì)，又能表示發(fā)生的時間。有利于分析確定時間發(fā)生的現(xiàn)象。（傅里葉變換只具有頻率分析的性質(zhì)）小波變換的多分辨度的變換，有利于各分辨度不同特征的提取（圖象壓縮，邊緣抽取，噪聲過濾等）小波變換比快速Fourier變換還要快一個數(shù)量級。信號長度為M時，F(xiàn)ourier變換（左）和小波變換（右）計算復(fù)雜性分別如下公式：

第13頁二、連續(xù)小波變換設(shè)函數(shù)，如果滿足：則稱為一個基本小波和小波母函數(shù)，式中為函數(shù)的傅立葉變換，上式也可稱為可容性條件。1.連續(xù)小波變換令：，稱為基本小波或母小波(MotherWavelet)依賴于生成的連續(xù)小波。式中為尺度因子，改變連續(xù)小波的形狀；為位移因子，改變連續(xù)小波的位移。連續(xù)小波在時域空間和頻域空間上都具有局部性，其作用等同于短時傅立葉變換中的窗函數(shù)。第14頁二、連續(xù)小波變換因此函數(shù)f(t)的小波變換為：尺度因子小波平移參數(shù)式中為函數(shù)的復(fù)共軛，由可容性條件得：的逆變換為：

式中：第15頁

像傅立葉分析一樣，小波分析就是把一個信號分解為將母小波經(jīng)過縮放和平移之后的一系列小波，因此小波是小波變換的基函數(shù)。小波變換可以理解為用經(jīng)過縮放和平移的一系列小波函數(shù)代替傅立葉變換的正弦波和余弦波進行傅立葉變換的結(jié)果。圖4表示了正弦波和小波的區(qū)別，由此可以看出，正弦波從負無窮一直延續(xù)到正無窮，正弦波是平滑而且是可預(yù)測的，而小波是一類在有限區(qū)間內(nèi)快速衰減到0的函數(shù)，其平均值為0，小波趨于不規(guī)則、不對稱。二、連續(xù)小波變換第17頁二、連續(xù)小波變換信號不同頻率分量的組成圖5信號傅立葉變換過程傅立葉變換過程18

基本小波函數(shù)ψ()的縮放和平移操作含義如下：

(1)縮放。簡單地講，縮放就是壓縮或伸展基本小波，縮放系數(shù)越小，則小波越窄，如圖6所示。圖6小波的縮放操作小波變換過程19(2)平移。簡單地講，平移就是小波的延遲或超前。在數(shù)學(xué)上，函數(shù)f(t)延遲k的表達式為f(t-k)，如圖7所示。圖7小波的平移操作(a)小波函數(shù)ψ(t)；(b)位移后的小波函數(shù)ψ(t-k)第21頁圖8計算系數(shù)值C

二、連續(xù)小波變換第22頁圖9計算平移后系數(shù)值C二、連續(xù)小波變換第23頁圖10計算尺度后系數(shù)值C

二、連續(xù)小波變換第25頁二、連續(xù)小波變換結(jié)論：尺度因子a越小，的波形變窄，的頻譜向高頻端擴展；a越大，波形變寬，的頻譜向低頻端擴展，從而實現(xiàn)過了時間－頻率窗的自適應(yīng)調(diào)節(jié)。連續(xù)小波變換的實質(zhì)就是以基函數(shù)的形式把信號f(t)分解為不同頻帶的子信號，實現(xiàn)信號在不同頻帶、不同時刻的合理分離，也可以視為一個濾波器。第26頁一維連續(xù)小波變換Matlab實現(xiàn)COEFS=cwt(S,SCALES,’wname’)COEFS=cwt(S,SCALES,’wname’,’plot’)COEFS=cwt(S,SCALES,’wname’,PLOTMODE)COEFS=cwt(S,SCALES,’wname’,PLOTMODE,XLIM)第29頁

小波基D小波基A原始信號小波系數(shù)wd小波系數(shù)wa正變換：原始信號在小波基上，獲得“小波系數(shù)”分量反變換：所有“小波分解”合成原始信號例如：小波分解a=小波系數(shù)wa×小波基A三、一維離散小波變換與重構(gòu)第30頁離散小波變換公式正變換反變換其中：是小波基函數(shù)信號s有M個樣本，J級小波變換：小波分解小波系數(shù)三、一維離散小波變換與重構(gòu)第31頁

執(zhí)行離散小波變換的有效方法是使用濾波器，該方法是Mallat于1988年提出的，稱為Mallat算法。這種方法實際上是一種信號分解的方法，在數(shù)字信號處理中常稱為雙通道子帶編碼。用濾波器執(zhí)行離散小波變換的概念如圖11所示。S表示原始的輸入信號，通過兩個互補的濾波器組，其中一個濾波器為低通濾波器，通過該濾波器可得到信號的近似值A(chǔ)（Approximations），另一個為高通濾波器，通過該濾波器可得到信號的細節(jié)值D（Detail）。三、一維離散小波變換第32頁圖11小波分解示意圖三、一維離散小波變換第33頁

在小波分析中，近似值是大的縮放因子計算的系數(shù)，表示信號的低頻分量，而細節(jié)值是小的縮放因子計算的系數(shù)，表示信號的高頻分量。實際應(yīng)用中，信號的低頻分量往往是最重要的，而高頻分量只起一個修飾的作用。如同一個人的聲音一樣，把高頻分量去掉后，聽起來聲音會發(fā)生改變，但還能聽出說的是什么內(nèi)容，但如果把低頻分量刪除后，就會什么內(nèi)容也聽不出來了。三、一維離散小波變換第34頁

由圖11可以看出離散小波變換可以表示成由低通濾波器和高通濾波器組成的一棵樹。原始信號經(jīng)過一對互補的濾波器組進行的分解稱為一級分解，信號的分解過程也可以不斷進行下去，也就是說可以進行多級分解。如果對信號的高頻分量不再分解，而對低頻分量進行連續(xù)分解，就可以得到信號不同分辨率下的低頻分量，這也稱為信號的多分辨率分析。如此進行下去，就會形成圖12所示的一棵比較大的分解樹，稱其為信號的小波分解樹（WaveletDecompositionTree）。實際中，分解的級數(shù)取決于要分析的信號數(shù)據(jù)特征及用戶的具體需要。三、一維離散小波變換35圖12多級信號分解示意圖（a）信號分解；(b)小波分數(shù)；（c）小波分解樹第36頁

對于一個信號，如采用圖11所示的方法，理論上產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量將是原始數(shù)據(jù)的兩倍。于是，根據(jù)奈奎斯特（Nyquist）采樣定理，可用下采樣的方法來減少數(shù)據(jù)量，即在每個通道內(nèi)（高通和低通通道）每兩個樣本數(shù)據(jù)取一個，便可得到離散小波變換的系數(shù)（Coefficient），分別用cA和cD表示，如圖13所示。圖中○表示下采樣?！⒁痪S離散小波變換第37頁圖13小波分解下采樣示意圖三、一維離散小波變換第38頁

在Matlab中，離散小波變換分解算法主要使用如下幾個常用命令：

dwt用于信號的單層分解

wavedec用于信號的多層分解

wmaxlev在多層分解前求最大的分解層數(shù)三、一維離散小波變換第39頁

將信號的小波分解的分量進行處理后，一般還要根據(jù)需要把信號恢復(fù)出來，也就是利用信號的小波分解的系數(shù)還原出原始信號，這一過程稱為小波重構(gòu)（WaveletReconstruction）或叫做小波合成（WaveletSynthesis）。這一合成過程的數(shù)學(xué)運算叫做逆離散小波變換（InverseDiscreteWaveletTransform，IDWT）。

三、一維離散小波重構(gòu)第40頁圖14小波重構(gòu)算法示意圖三、一維離散小波變換與重構(gòu)第41頁1）重構(gòu)近似信號與細節(jié)信號由圖14可知，由小波分解的近似系數(shù)和細節(jié)系數(shù)可以重構(gòu)出原始信號。同樣，可由近似系數(shù)和細節(jié)系數(shù)分別重構(gòu)出信號的近似值或細節(jié)值，這時只要近似系數(shù)或細節(jié)系數(shù)置為零即可。圖15是對第一層近似信號或細節(jié)信號進行重構(gòu)的示意圖。三、一維離散小波變換與重構(gòu)第42頁圖15重構(gòu)近似和細節(jié)信號示意（a）重構(gòu)近似信號；(b)重構(gòu)細節(jié)信號三、一維離散小波變換與重構(gòu)第43頁2）多層重構(gòu)在圖15中，重構(gòu)出信號的近似值A(chǔ)1與細節(jié)值D1之后，則原信號可用A1＋D1＝S重構(gòu)出來。對應(yīng)于信號的多層小波分解，小波的多層重構(gòu)如圖16所示。由圖16可見重構(gòu)過程為：A3＋D3＝A2；A2＋D2＝A1；A1+D1＝S。信號重構(gòu)中，濾波器的選擇非常重要，關(guān)系到能否重構(gòu)出滿意的原始信號。低通分解濾波器（L）和高通分解濾波器（H）及重構(gòu)濾波器組（L′和H′）構(gòu)成一個系統(tǒng)，這個系統(tǒng)稱為正交鏡像濾波器（QuadratureMirrorFilters，QMF）系統(tǒng)，如圖17所示。三、一維離散小波變換與重構(gòu)第44頁圖16多層小波重構(gòu)示意圖三、一維離散小波變換與重構(gòu)第45頁圖17多層小波分解和重構(gòu)示意圖三、一維離散小波變換與重構(gòu)第46頁用于離散小波重構(gòu)的命令主要有如下幾個：

idwt用于單層小波重構(gòu)

waverec用于多層小波重構(gòu)原始信號，要求輸入?yún)?shù)同小波分解得到結(jié)果的格式一致

wrcoef用于重構(gòu)小波系數(shù)至某一層次，要求輸入?yún)?shù)同小波分解得到結(jié)果的格式一致

upcoef用于重構(gòu)小波系數(shù)至上一層次，要求輸入?yún)?shù)同小波分解得到結(jié)果的格式一致用于得到某一層次的小波系數(shù)的命令主要有以下幾個：

detcoef求得某一層次的細節(jié)系數(shù)

appcoef求得某一層次的近似系數(shù)

upwlev重構(gòu)組織小波系數(shù)的排列形式三、一維離散小波變換與重構(gòu)第47頁

二維離散小波變換是一維離散小波變換的推廣，其實質(zhì)上是將二維信號在不同尺度上的分解，得到原始信號的近似值和細節(jié)值。由于信號是二維的，因此分解也是二維的。分解的結(jié)果為：近似分量cA、水平細節(jié)分量cH、垂直細節(jié)分量cV和對角細節(jié)分量cD。同樣也可以利用二維小波分解的結(jié)果在不同尺度上重構(gòu)信號。二維小波分解和重構(gòu)過程如圖18所示。四、二維離散小波變換與重構(gòu)48圖18二維小波分解和重構(gòu)過程示意圖（a）二維DWT；(b)二維IDWT第49頁五、幾種常用小波1.Haar小波2.Daubechies小波3.Symlet小波4.雙正交小波（biorNr.Nd）5.Coiflet小波6.Morlet小波7.Mexico草帽小波8.Meyer小波具有對稱性的小波不產(chǎn)生相位畸變，在圖像處理中非常有用。具有好的正則性的小波，易于獲得光滑的重構(gòu)曲線和圖像。小波函數(shù)和尺度函數(shù)如果存在消失矩，在壓縮時有用。第50頁基小波舉例第51頁基小波舉例第52頁基小波舉例第53頁基小波舉例第54頁基小波舉例第55頁六、舉例1.GUI用法簡介2.基于小波變換的圖像壓縮和去噪dwt和dwt2：用于單尺度一維和二維信號的離散小波變換；idwt和idwt2：實現(xiàn)單尺度一維和二維信號的離散小波反變換；wavedec和wavedec2：分別用于多尺度一維和二維信號的小波分解，即為多分辨率分析函數(shù)；appcoef和appcoef2：分別用于從多尺度一維和二維小波分解的分解結(jié)構(gòu)中提取信號的低頻系數(shù)；detcoef和detcoef2：分別用于從多尺度一維和二維小波分解的分解結(jié)構(gòu)中提取信號的高頻系數(shù)。第56頁一維連續(xù)小波變換舉例第57頁離散小波變換第58頁第59頁第60頁第61頁壓縮或去噪原理系數(shù)值百分比T第62頁T3T3第63頁二維離散小波變換舉例第64頁二維離散小波變換舉例第65頁二維離散小波逆變換第66頁信號去噪的基本步驟

一般說來，信號去噪的基本步驟主要包括如下三步：（1）信號的小波分解；（2）小波分解高頻系數(shù)的閾值量化；（3）信號的小波重構(gòu)。使用小波分解到低頻系數(shù)以及閾值量化處理后的高頻系數(shù)進行小波重構(gòu)。第67頁信號去噪的Matlab實現(xiàn)Matlab中實現(xiàn)了信號的閾值去噪，主要包括閾值獲取和閾值去噪兩方面。Matlab中實現(xiàn)信號閾值獲取的函數(shù)有ddencmp、thselect、wbmpen和wdcbm。Matlab中實現(xiàn)信號的閾值去噪的函數(shù)有wden、wdencmp、wthresh、wthcoef、wpthcoef以及wpdencmp。第68頁小波變換應(yīng)用—圖象去噪第69頁小波變換應(yīng)用—圖象去噪第70頁小波分析在圖象處理中的應(yīng)用

圖象是二維信號，其小波變換相當于二次一維信號的小波變換：。（1）第一次一維信號的小波變換相當于圖象的行變換。（2）第二次一維信號的小波變換相當于圖象的列變換。小波變換用于圖象壓縮有良好的效果，已形成圖象壓縮的標準如JPEG2000。第71頁

小波變換用于圖象特征抽取第1級斜線細節(jié)第1級水平細節(jié)第1級垂直細節(jié)水平細節(jié)近似圖象垂直細節(jié)斜線細節(jié)第72頁

第1級L1斜線細節(jié)第1級L1水平細節(jié)第1級L1垂直細節(jié)第2級L2細節(jié)近似圖象第3級L3小波系數(shù)分級方塊表示法第73頁

第3級L3分辨率第2級L2分辨率第1級L1分辨率

小波系數(shù)分級樹形表示法第74頁小波變換用于信號壓縮的基本步驟

一般說來，信號壓縮的基本步驟主要包括如下三步：（1）信號的小波分解；（2）對分解到高頻系數(shù)進行閾值量化處理，對分解到各層高頻信號進行閾值量化處理；（3）對閾值量化處理后的系數(shù)進行重構(gòu)。第75頁小波變換用于圖象壓縮采用小波進行壓縮。作“小波變換”后，統(tǒng)計特性有改善，消除行和列之間的相關(guān)關(guān)系。有損壓縮：根據(jù)視覺原理，不同分辨率小波系數(shù)進行比特分配。然后轉(zhuǎn)換到一維作熵編碼，如算術(shù)編碼或霍夫曼編碼。無損壓縮：選擇“整數(shù)小波變換”，無舍入誤差。但不能進行比特分配。

第76頁信號壓縮的Matlab實現(xiàn)Matlab中實現(xiàn)了信號的閾值去噪，主要包括閾值獲取和閾值去噪兩方面。Matlab中實現(xiàn)信號閾值獲取的函數(shù)有ddencmp、thselect、wbmpen和wdcbm。Matlab中實現(xiàn)信號的閾值去噪的函數(shù)有wden、wdencmp、wthresh、wthcoef、wpthcoef以及wpdencmp。第77頁小波變換應(yīng)用—圖象壓縮第78頁原始圖象直方圖分布第79頁小波變換系數(shù)直方圖分布第80頁小波變換應(yīng)用—圖象壓縮第81頁小波變換應(yīng)用—圖象壓縮第82頁小波變換應(yīng)用—圖象壓縮第83頁小波變換應(yīng)用—圖象壓縮第84頁小波變換用于數(shù)字水印

數(shù)字水印（DigitalWatermark）技術(shù)是指用信