高一數(shù)學(xué)必修二課件第八章 第五節(jié)曲線與方程

第五節(jié)曲線與方程1.曲線與方程一般地，在直角坐標(biāo)系中，如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程f(x,y)=0的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系:(1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是_____________.(2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是___________.那么，這個(gè)方程叫做___________，這條曲線叫做___________.這個(gè)方程的解曲線上的點(diǎn)曲線的方程方程的曲線2.求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的基本步驟判斷下面結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”).(1)f(x0,y0)=0是點(diǎn)P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上的充要條件.()(2)方程x2+xy=x的曲線是一個(gè)點(diǎn)和一條直線.()(3)到兩條互相垂直的直線距離相等的點(diǎn)的軌跡方程是x2=y2.()(4)方程y=與x=y2表示同一曲線.()【解析】(1)正確.由f(x0,y0)=0可知點(diǎn)P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上,又P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上時(shí)，有f(x0,y0)=0,∴f(x0,y0)=0是P(x0,y0)在曲線f(x,y)=0上的充要條件.(2)錯(cuò)誤.方程變?yōu)閤(x+y-1)=0,∴x=0或x+y-1=0,故方程表示直線x=0或直線x+y-1=0.(3)錯(cuò)誤.當(dāng)以兩條互相垂直的直線為x軸、y軸時(shí)，是x2=y2,否則不正確.(4)錯(cuò)誤.因?yàn)榉匠蘺=表示的曲線，只是方程x=y2表示曲線的一部分，故其不正確.答案：(1)√(2)×(3)×(4)×

1.方程y=表示的曲線是()(A)拋物線的一部分(B)雙曲線的一部分(C)圓(D)半圓【解析】選D.因?yàn)閥=,∴y≥0,∴x2+y2=9(y≥0)表示一個(gè)半圓.2.已知定點(diǎn)P(x0,y0)不在直線l:f(x,y)=0上，則方程f(x,y)-f(x0,y0)=0表示一條()(A)過(guò)點(diǎn)P且垂直于l的直線(B)過(guò)點(diǎn)P且平行于l的直線(C)不過(guò)點(diǎn)P但垂直于l的直線(D)不過(guò)點(diǎn)P但平行于l的直線【解析】選B.顯然定點(diǎn)P(x0,y0)滿足方程f(x,y)-f(x0,y0)=0，即直線f(x,y)-f(x0,y0)=0過(guò)點(diǎn)P，設(shè)直線l:f(x,y)=0的方程為Ax+By+C=0，即f(x,y)=Ax+By+C,∴f(x,y)-f(x0,y0)=0的方程為:Ax+By+C-(Ax0+By0+C)=0,∴Ax+By-Ax0-By0=0與l平行.綜上可知：B正確.3.已知點(diǎn)P是直線2x-y+3=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(-1，2)，Q是線段PM延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且|PM|=|MQ|，則Q點(diǎn)的軌跡方程是()(A)2x+y+1=0(B)2x-y-5=0(C)2x-y-1=0(D)2x-y+5=0【解析】選D.由題意知，M為PQ中點(diǎn)，設(shè)Q(x,y),則P點(diǎn)坐標(biāo)為(-2-x,4-y),代入2x-y+3=0得2x-y+5=0.4.已知△ABC的頂點(diǎn)B(0,0)，C(5,0)，AB邊上的中線長(zhǎng)|CD|=3,則頂點(diǎn)A的軌跡方程為_(kāi)______.【解析】設(shè)點(diǎn)A(x,y)，因?yàn)锽(0,0)，所以AB的中點(diǎn)D(),又C(5,0),|CD|=3，所以化簡(jiǎn)得：(x-10)2+y2=36.又∵△ABC中的三點(diǎn)A，B，C不能共線，所以去掉點(diǎn)(4,0)和(16,0).答案：(x-10)2+y2=36(除去點(diǎn)(4,0)和(16,0))考向1利用直接法求軌跡方程【典例1】(1)(2012·江西高考改編)已知三點(diǎn)O(0，0)，A(-2，1)，B(2，1)，若曲線C上任意一點(diǎn)M(x,y)滿足則曲線C的方程為_(kāi)____.(2)已知直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn)Q(2,0)和圓C：x2+y2=1,動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù)λ(λ＞0)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程.【思路點(diǎn)撥】(1)直接依據(jù)

利用向量有關(guān)運(yùn)算化簡(jiǎn)得x,y的方程.(2)可設(shè)出動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo)，依據(jù)動(dòng)點(diǎn)M到圓C的切線長(zhǎng)與|MQ|的比等于常數(shù)λ(λ＞0)即可得出方程.【規(guī)范解答】(1)由=(-2-x,1-y),=(2-x,1-y),=(x，y)·(0,2)=2y,由已知得=2y+2,化簡(jiǎn)得曲線C的方程為x2=4y.答案：x2=4y(2)設(shè)直線MN切圓C于N點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)M的集合為：P={M||MN|=λ|MQ|}，因?yàn)閳AC的半徑|CN|=1,所以|MN|2=|MC|2-|CN|2=|MC|2-1，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(x,y)，則化簡(jiǎn)整理得：(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+1+4λ2=0(λ＞0).【互動(dòng)探究】本例題(2)中的條件不變，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡.【解析】由例題解析可知：曲線的方程為(λ2-1)(x2+y2)-4λ2x+1+4λ2=0(λ>0)，因?yàn)棣耍?,所以當(dāng)λ=1時(shí)，方程化為4x-5=0,它表示一條直線;當(dāng)λ≠1時(shí)，方程化為：它表示圓心為(,0),半徑為的圓.【拓展提升】1.直接法求曲線方程的一般步驟(1)建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y).(2)列出幾何等量關(guān)系式.(3)用坐標(biāo)條件變?yōu)榉匠蘤(x，y)=0.(4)變方程為最簡(jiǎn)方程.(5)檢驗(yàn)，就是要檢驗(yàn)點(diǎn)軌跡的純粹性與完備性.2.直接法適合求解的軌跡類型(1)若待求軌跡上的動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)與一些幾何量滿足的等量關(guān)系，而該等量關(guān)系又易于表達(dá)成含x,y的等式時(shí)，一般用直接法求軌跡方程.(2)題目給出了等量關(guān)系，直接代入即可得方程.【變式備選】已知點(diǎn)M，N為兩個(gè)定點(diǎn)，|MN|=6,且動(dòng)點(diǎn)P滿足

=6，求點(diǎn)P的軌跡方程.【解析】以點(diǎn)M，N所在的直線為x軸，MN的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，則M(-3,0)，N(3,0),設(shè)P(x,y)，則

=(-3-x,-y)，=(3-x,-y),=(-3-x,-y)·(3-x,-y)，又因?yàn)?/p>

=6,所以(-3-x,-y)·(3-x,-y)=6，化簡(jiǎn)整理得：x2+y2=15.考向2利用定義法求軌跡方程【典例2】(1)(2013·北京模擬)△ABC的頂點(diǎn)A(-5，0)，B(5，0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x=3上，則頂點(diǎn)C的軌跡方程是_______.(2)(2013·吉首模擬)已知A(-，0)，B是圓F：(x-)2+y2=4(F為圓心)上一動(dòng)點(diǎn)，線段AB的垂直平分線交BF于P，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.【思路點(diǎn)撥】(1)根據(jù)題設(shè)條件，尋找動(dòng)點(diǎn)C與兩定點(diǎn)A，B距離的差滿足的等量關(guān)系|CA|-|CB|=6,由雙曲線的定義得出所求軌跡為雙曲線的一部分，再求其方程.(2)根據(jù)題設(shè)條件，尋找動(dòng)點(diǎn)P與兩點(diǎn)A，F(xiàn)距離的和滿足的等量關(guān)系|PA|+|PF|=2，用定義法求方程.【規(guī)范解答】(1)如圖，|AD|=|AE|=8，|BF|=|BE|=2,|CD|=|CF|,所以|CA|-|CB|=8-2=6.根據(jù)雙曲線的定義，所求軌跡是以A，B為焦點(diǎn)，實(shí)軸長(zhǎng)為6的雙曲線的右支，方程為=1(x>3).答案：

=1(x>3)(2)如圖，連接PA，依題意可知|PA|=|PB|.∴|PA|+|PF|=|PB|+|PF|=|BF|=2>1.∴P點(diǎn)軌跡為以A(-，0)，F(xiàn)(，0)為焦點(diǎn)，長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為1的橢圓.其方程可設(shè)為又∵c=,a=1,∴b2=a2-c2=故P點(diǎn)的軌跡方程為x2+y2=1.【拓展提升】定義法適合所求軌跡的特點(diǎn)及求解關(guān)鍵(1)特點(diǎn)：求軌跡方程時(shí)，若動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)、定線間的等量關(guān)系滿足圓、橢圓、雙曲線、拋物線的定義，則可直接根據(jù)定義先確定軌跡類型，再寫(xiě)出其方程.(2)關(guān)鍵：理解解析幾何中有關(guān)曲線的定義是解題關(guān)鍵.【提醒】利用定義法求軌跡方程時(shí)，還要看所求軌跡是否是完整的圓、橢圓、雙曲線、拋物線，如果不是完整的曲線，則應(yīng)對(duì)其中的變量x或y進(jìn)行限制.【變式訓(xùn)練】一動(dòng)圓與圓x2+y2+6x+5=0外切，同時(shí)與圓x2+y2-6x-91=0內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么曲線.【解析】如圖所示，設(shè)動(dòng)圓圓心M的坐標(biāo)為(x,y)，半徑為R，設(shè)已知圓的圓心分別為O1,O2,將圓的方程分別配方得：(x+3)2+y2=4,(x-3)2+y2=100，當(dāng)動(dòng)圓與圓O1相外切時(shí)，有|O1M|=R+2.①當(dāng)動(dòng)圓與圓O2相內(nèi)切時(shí)，有|O2M|=10-R.②將①②兩式相加，得|O1M|+|O2M|=12>|O1O2|,∴動(dòng)圓圓心M(x,y)到點(diǎn)O1(-3,0)和O2(3,0)的距離和是常數(shù)12,所以點(diǎn)M的軌跡是焦點(diǎn)為O1(-3,0),O2(3,0),長(zhǎng)軸長(zhǎng)等于12的橢圓.∴2c=6,2a=12,∴c=3,a=6,∴b2=36-9=27,∴圓心M的軌跡方程為=1,軌跡為橢圓.考向3利用相關(guān)點(diǎn)(代入)法、參數(shù)法求軌跡方程【典例3】(1)(2012·遼寧高考改編)如圖，橢圓C0:=1(a>b>0,a,b為常數(shù))，動(dòng)圓C1:x2+y2=t,b<t1<a.點(diǎn)A1,A2分別為C0的左、右頂點(diǎn)，C1與C0相交于A，B，C，D四點(diǎn)，則直線AA1與直線A2B交點(diǎn)M的軌跡方程為_(kāi)______.(2)(2012·湖北高考改編)設(shè)A是單位圓x2+y2=1上的任意一點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)A與x軸垂直的直線，D是直線l與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)M在直線l上，且滿足|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1).當(dāng)點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線C.求曲線C的方程，判斷曲線C為何種圓錐曲線，并求其焦點(diǎn)坐標(biāo).【思路點(diǎn)撥】(1)由A，B點(diǎn)的對(duì)稱性，可設(shè)出它們的坐標(biāo)，根據(jù)直線方程的點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線AA1，A2B的方程，由條件得到交點(diǎn)坐標(biāo)滿足的關(guān)系，消去所設(shè)參數(shù)得軌跡方程.(2)解答本題的關(guān)鍵是把點(diǎn)M的坐標(biāo)設(shè)出，利用代入法求軌跡.【規(guī)范解答】(1)設(shè)A(x1,y1),B(x1,-y1),又知A1(-a,0),A2(a,0),則直線A1A的方程為y=(x+a),①直線A2B的方程為y=(x-a).②由①×②得y2=(x2-a2).③由點(diǎn)A(x1,y1)在橢圓C0上，故從而代入③得=1(x<-a,y<0).答案：

=1(x<-a,y<0)(2)設(shè)M(x,y)，A(x0,y0),則由|DM|=m|DA|(m>0,且m≠1),可得x=x0,|y|=m|y0|,所以x0=x,|y0|=①因?yàn)锳點(diǎn)在單位圓上運(yùn)動(dòng)，所以x+y=1.②將①式代入②式即得所求曲線C的方程為x2+=1(m>0,且m≠1).因?yàn)閙∈(0,1)∪(1,+∞),所以當(dāng)0<m<1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(-,0),(,0).當(dāng)m>1時(shí)，曲線C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，兩焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(0，-)，(0，

).【拓展提升】1.相關(guān)點(diǎn)法(代入法)適用的軌跡類型及使用過(guò)程動(dòng)點(diǎn)所滿足的條件不易得出或轉(zhuǎn)化為等式，但形成軌跡的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)卻隨另一動(dòng)點(diǎn)Q(x′,y′)的運(yùn)動(dòng)而有規(guī)律地運(yùn)動(dòng)，而且動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為給定的或容易求得的，則可先將x′，y′表示成x，y的式子，再代入Q的軌跡方程，整理化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.【提醒】用代入法求軌跡方程是將x′，y′表示成x，y的式子，同時(shí)注意x′，y′的限制條件.2.參數(shù)法適用的軌跡類型及使用過(guò)程有時(shí)求動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足的幾何條件不易得出，也無(wú)明顯的相關(guān)點(diǎn)，但卻較易發(fā)現(xiàn)(或經(jīng)分析可發(fā)現(xiàn))這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)常常受到另一個(gè)或兩個(gè)變量(斜率、比值、截距或坐標(biāo)等)的制約，即動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)(x,y)中的x,y分別隨另外變量的變化而變化，我們可稱這些變量為參數(shù)，建立軌跡的參數(shù)方程，這種方法叫參數(shù)法，如果需要得到軌跡的方程，只要根據(jù)參數(shù)滿足的約束條件消去參數(shù)即可.【變式訓(xùn)練】已知拋物線y2=4px(p>0),O為頂點(diǎn)，A，B為拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足OA⊥OB,如果OM⊥AB于M點(diǎn)，求點(diǎn)M的軌跡方程.【解析】設(shè)M(x,y)，①當(dāng)直線AB斜率存在時(shí)，設(shè)直線AB方程為y=kx+b,由OM⊥AB得k=由y2=4px及y=kx+b消去y,得k2x2+x(2kb-4p)+b2=0,所以x1x2=消去x，得ky2-4py+4pb=0.所以y1y2=由OA⊥OB，得y1y2=-x1x2,所以b=-4kp,故y=kx+b=k(x-4p),把k=-代入，得x2+y2-4px=0(x≠0)(*).②當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，M點(diǎn)坐標(biāo)為(4p,0)，適合(*)式.所以M的軌跡方程為x2+y2-4px=0(x≠0).【滿分指導(dǎo)】解答求軌跡方程的綜合題【典例】(12分)(2012·湖南高考)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1上的點(diǎn)均在圓C2：(x-5)2＋y2=9外，且對(duì)C1上任意一點(diǎn)M，M到直線x=-2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值.(1)求曲線C1的方程.(2)設(shè)P(x0,y0)(y0≠±3)為圓C2外一點(diǎn)，過(guò)P作圓C2的兩條切線，分別與曲線C1相交于點(diǎn)A，B和C，D.證明：當(dāng)P在直線x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四點(diǎn)A，B，C，D的縱坐標(biāo)之積為定值.【思路點(diǎn)撥】已知條件條件分析點(diǎn)M與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值得最小值為|MC2|-3M到直線x=-2的距離等于該點(diǎn)與圓C2上點(diǎn)的距離的最小值設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),得到|x+2|=-3或點(diǎn)M到C2的距離等于它到直線x=-5的距離點(diǎn)P在直線x=-4上運(yùn)動(dòng)可設(shè)P的坐標(biāo)為(-4，y0)過(guò)P作圓C2的兩條切線分別與曲線C1相交于A，B和C，D設(shè)出切線方程，與曲線方程聯(lián)立，由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B，C，D四點(diǎn)縱坐標(biāo)之積為定值

【規(guī)范解答】(1)方法一：設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y)，由已知得|x+2|=…………………2分易知圓C2上的點(diǎn)位于直線x=-2的右側(cè)，于是x+2>0，所以

①.……3分化簡(jiǎn)得曲線C1的方程為y2=20x.…………4分方法二:由題設(shè)知,曲線C1上任意一點(diǎn)M到圓心C2(5,0)的距離②等于它到直線x=-5的距離

.………………2分因此,曲線C1是以(5,0)為焦點(diǎn),直線x=-5為準(zhǔn)線的拋物線.………………3分故其方程為y2=20x.………4分(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí),P的坐標(biāo)為(-4,y0),又y0≠±3,則過(guò)P且與圓C2相切的直線的斜率k存在且不為0,每條切線都與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn),設(shè)切線方程為y-y0=k(x+4),即kx-y+y0+4k=0.…………………6分于是整理得72k2+18y0k+y-9=0③.(a)…………7分設(shè)過(guò)P所作的兩條切線PA，PC的斜率分別為k1,k2，則k1,k2是方程(a)的兩個(gè)實(shí)根，故k1+k2=(b)……………8分k1y2-20y+20(y0+4k1)=0④.(c)……………9分設(shè)四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)分別為y1,y2,y3,y4,則y1,y2是方程(c)的兩個(gè)實(shí)根,所以y1y2=(d)同理可得

(e)…………10分于是由(b),(d),(e)三式得y1y2y3y4=所以,當(dāng)P在直線x=-4上運(yùn)動(dòng)時(shí),四點(diǎn)A,B,C,D的縱坐標(biāo)之積為定值6400.………………12分【失分警示】(下文①②③④見(jiàn)規(guī)范解答過(guò)程)1.(2013·長(zhǎng)沙模擬)方程(x-y)(lg

x+lgy)=0表示的曲線是()(A)一條直線和一條雙曲線(B)兩條雙曲線(C)兩個(gè)點(diǎn)(D)以上答案都不對(duì)【解析】選D.(x-y)(lg

x+lgy)=0?x-y=0或lg(xy)=0(x>0,y>0),∴y=x或y=(x>0,y>0),故方程表示直線y=x和雙曲線y=中x>0的部分，所以選D.2.(2013·懷化模擬)已知點(diǎn)F(，0)，直線l:x=-,點(diǎn)B是l上的動(dòng)點(diǎn)，若過(guò)B垂直于y軸的直線與線段BF的垂直平分線交于點(diǎn)M，則點(diǎn)M的軌跡是()(A)雙曲線(B)橢圓(C)圓(D)拋物線【解析】選D.由已知：|MF|=|MB|.由拋物線定義知，點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，l為準(zhǔn)線的拋物線，故選D.3.(2013·衡陽(yáng)模擬)已知點(diǎn)A(1，0)和圓C：x2+y2=4上一點(diǎn)R，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P的軌跡方程為()(A)(x-)2+y2=1(B)(x+)2+y2=1(C)x2+(y-)2=1(D)x2+(y+)2=1【解析】選A.設(shè)P(x,y),R(x0,y0)，則有=(1-x0,-y0),=(x-1,y),又又R(x0,y0)在圓x2+y2=4上，∴(-2x+3)2+(-2y)2=4,即(x-)2+y2=1.4.(2012·四川高考改編)如圖，動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)A(-1,0)，B(2,0)構(gòu)成△MAB，且∠MBA=2∠MAB，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為C，則軌跡C的方程為_(kāi)______.【解析】設(shè)M的坐標(biāo)為(x,y),顯然有x>0，且y≠0.當(dāng)∠MBA=90°時(shí)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，±3).當(dāng)∠MBA≠90°時(shí)，x≠2，由∠MBA=2∠MAB，有化簡(jiǎn)可得3x2-y2-3=0.而點(diǎn)(2，±3)在曲線3x2-y2-3=0上，綜上可知，軌跡C的方程為3x2-y2-3=0(x>1).答案：3x2-y2-3=0(x>1)1.已知P是橢圓=1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1,F2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是_______.【解析】設(shè)P點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為M，由又設(shè)Q(x,y)，則