用特征方程求數(shù)列的通項(xiàng)

n22n22用征程數(shù)的項(xiàng)一遞數(shù)特方的究探遞推(迭代)是中學(xué)數(shù)學(xué)中一個(gè)非重要的概念和方法推數(shù)列問(wèn)題能力要求高在聯(lián)系密切，蘊(yùn)含著不少精妙的數(shù)學(xué)思想和方法。遞推數(shù)列的特征方程是怎樣來(lái)的？（、若列

n

,1

n

(n

其項(xiàng)式求一采如下參法將推列化等數(shù)：設(shè)

n

(則n

n

catn

，令

(

，即

t

，當(dāng)c

時(shí)可得a

n

d()cc

，知數(shù)列

d是以c

為公比的等比數(shù)列，a

dccc

將

a

代入并整理，得

n

bc

n

c

n

.故列

n

對(duì)的征方是,pa（、階性推列nnn仿上，用上述參數(shù)法我們來(lái)探數(shù)列

n

n

的

特征：不妨設(shè)

n

tatann

n

)，a

n

)an

n

,

令

st

（※）（）方程組（※有兩組不同的實(shí)數(shù)解

(t(st)

,則

n

(a)1nn

,

n

a(aa2n2

n

),即

n

1

n

2

n

比為s、的比數(shù)列，由等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得2

n

)1n2111

n

①

a

a)2

②∵

t

由上兩式①②去

n

可得

a1.st

aa21.sst1

.（）方程組（※有兩組相等的解，易證此時(shí)t2

t1

，則

n

aa1n

(1

n

1

)1

nns1n22nns1n22

1

n

2

，

a21

,即

是等差數(shù)列，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式可知

n.211

，所以

a12s11

211

.

1

n

．這樣，我們通過(guò)參數(shù)方法，將遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比（差）數(shù)列，從而求得二階線性遞推數(shù)列的通項(xiàng)，若將方程組（※）消去t即2ps0，然s、s就方程x2px的根，我們不妨稱方程為二階線性遞推數(shù)列paqa的特征方nn程，所有論若遞推式

n

pan

n

,

則特方為

x

2

px、若方有相根s、s，則21

n22

；、若方有等

，

)n1

n

其

c

、

c

可初條確。（）式性推列

a

a

（

,,,Rc0

將上述方法繼續(xù)類比，仿照前面方法，等式兩邊同加參數(shù))①，

t

，則令

t

bact

，即

2

)t0

②，記的兩根為

t

，（）若

t

，將

t

分別代入①式可得a

ct)

a1

，aact)22

a以上兩式相除得

aan11nactan22

于是得到a

為等比數(shù)列公比為acta

，數(shù)列

n

n

可由

aa11)aa2

求得；（若

t

將

t

代入①式可得

a

)

a1

,考慮到上式結(jié)構(gòu)特2

1a21a2點(diǎn)，兩邊取倒數(shù)得a

11ct1

a)a1

③由于

t

時(shí)方程③的兩根滿足

2t

ac

，∴

ctdct1于是④式可變形為

a

1can1

11∴a1

c為等差數(shù)列，其公差為，act1∴數(shù)

n

n

可由

1cnaan1111

求得．這樣利上述方法我們可以把分式線性遞推數(shù)列轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列或等差數(shù)列而求得其通項(xiàng)。如果我們引入分式線性遞推數(shù)列

a

a

ax的特征方程為x，cx即

cx

2

)x

，此特征方程的兩根恰好是方程②兩根的相反數(shù)，于是我們得到如下結(jié)論：分線遞數(shù)

a

a

的征程

x

axcx、若程兩異、s，

a成比列其比1；a2、若程兩根

2

1，a1

c成差列其差.a1值得指出的是，上述結(jié)論在求相應(yīng)數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí)固然有用但將遞數(shù)轉(zhuǎn)為比等）列思方更重。如對(duì)于其形式的遞推數(shù)列，我們也可借鑒前面的參數(shù)法，求得通項(xiàng)公式，其結(jié)論與特征方程法完全一致，三例例、已知數(shù)列

a2

n

aan

n

(

，求通項(xiàng)公式a。n解

設(shè)

n

taann

n

)

，∴

n

)an

n令

4st

，可得t

，于是a

n

an

n

)

2

(

n

a

n

)2(a)21

n

，3

∴

a3nnn2n

，即

是以

131為項(xiàng)、為差的等差數(shù)列，4∴

nn

n

，從而

n

n

.例2、設(shè)數(shù)列

n

a

2,

5a2a

求a

.解：對(duì)等兩端同加參數(shù)

t

得

ta2taa2n

,令

t

7tt

，解之得

t

，

，代入上式得

a

，

,兩式相除得

a1aa3a

a11即為,公比為a

的等比數(shù)列，∴

1從而4

．四本小：．可特方解遞數(shù)的類型⑴．線性遞推關(guān)系：已

,1

n

(n⑵．齊次二階線性遞推關(guān)系：已知

a,a,

且

n

pan

n

,⑶．分式遞推關(guān)系：已

a，a

n

ancn特根程求⑴．

,n1的征根方程為x=px+q其根為,則n

n

an

)4

nnp1nnnp1n⑵

a

n

a(1a(2paqan

的特征根方程為

x2px

設(shè)兩實(shí)根為,①若,n

=

1

,其中

c,2

是由

,a12

確定②若,則c)n1

n

其中c,c是,a12

確定⑶

n

的特征根方程為

x

pxrx

若方程的兩根為若

1

且

,則

apan即nann

}等比數(shù)列若

1

且

,則

1r即apannn

}等差數(shù)列五練．知數(shù)列

{}足：n

1nN,4,a.3已知{

n

}滿足

1

=3,

2

=6,

n

=4

n

-4

n

求

n已知數(shù)列{a}滿足=6,nn

=2

n

+3求n各均為正數(shù)的{}a=a,=b且對(duì)任意的m+n=p+q的整數(shù)m，，，，n2都有

am(1)nmnq

14當(dāng),b=時(shí)，通項(xiàng)25

n已知列

1a2,nan

*

,求通項(xiàng)

n

.6．已知數(shù)列

{}足an1

n

(nn

*

)

，求數(shù)列

{}通項(xiàng)nn7．已知數(shù)列

{}n

滿足

aa2,4a1

an

(n*)n

，求數(shù)列

{}n

的通項(xiàng)

n8．已知數(shù)列

{}n

滿足

a1n

an2n

(n

，求數(shù)列

{}n

的通項(xiàng)

n9．已知數(shù)列

{}足an1

2an4an

(

*

)

，求數(shù)列

{}通項(xiàng)nn5

n2npna)n2npna)練答1作特征方程

x

13x則x.3222

1數(shù)列

為公比的等比數(shù)列于a

11111=（）()n()323323

,nN.2、：特征方程x=4x-4由征根方程得

=

=2故設(shè)

=(c+n2

n)

n

,其3=

c

+

c

2

,6=(

c

+2

c

2

)2，所以

c

=3,

c

2

=0,則

n

=3.

n3解作特征方程x=2x+3由特征根方程得所以a=3n1

+

c(2

其中3=c+,c-c，得=22

3,c=所以a=n+4

(n4、解由

aam)(1(1)(1mnp

得

aa1n)(1))(1)1n2

將a

1,b25

代入上式化簡(jiǎn)得

2aanan

考慮特征方程

x

2xx

得特征根

x

所以aa1annan

，所以數(shù)列

是以

a1a1

為首項(xiàng),公為

13的等比數(shù)列，故

a1n))a33n

n

即

n

5、解考慮征方程

x

1x

，得特征根

x

，n

1n1annn所以數(shù)列a

是以

1a1

為首項(xiàng)公差為1的差數(shù)列，故

1an

即

a

nn6．解其特征方程為

x

，解得

x12

，令

an

2

n

，6

122nnaana122nnaana由

ac12a

，得，

n

n7．解其特征方程為

x2

，解得

x1

12

，令an2

n

，由

c)2cc)

，得

，

n

2n8解特征方程為

x

x2x

x2

得

x1

aanaan由

2,1

得

a2

4