天津市和平區(qū)2022年九年級上學期期末數(shù)學試題解析版

九年級上學期期末數(shù)學試題一、單選題1．下列圖形中，可以看作是中心對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．對于二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+4，下列說法錯誤的是（）A．開口向下B．當x>1時，y隨x的增大而減小C．函數(shù)圖象與x軸交于點（﹣1，0）和（3，0）D．當x＝1時，y有最小值43．如圖，兩個等圓⊙O1和⊙O2相交于A、B兩點，且⊙O1經(jīng)過⊙O2的圓心，則∠O1AB的度數(shù)為（）A．45° B．30° C．20° D．15°4．根據(jù)下列條件，判斷△ABC與△A′B′C′能相似的條件有（）①∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°，∠B′＝65°；②∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，，A′C′＝9cm，B′C′＝6cm；③AB＝10cm，BC＝12cm，AC＝15cm，A′B′＝150cm，B′C′＝180cm，A′C′＝225cm；④△ABC與△A′B′C′是有一個角為80°等腰三角形A．1對 B．2對 C．3對 D．4對5．如圖，要修建一個圓形噴水池，在池中心豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個噴水頭，使噴出的拋物線形水柱在與池中心的水平距離為1m處達到最高，高度為3m，水柱落地處離池中心3m，水管的長為（）A． B． C． D．6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝50°，將△ABC繞著點A順時針方向旋轉(zhuǎn)得△ADE，AB，CE相交于點F，若AD∥CE時，則∠BAE的大小是（）A．20° B．25° C．30° D．35°7．把形狀完全相同風景不同的兩張圖片全部從中剪斷，再把四張形狀相同的小圖片混合在一起，從四張圖片中隨機摸取兩張，則這兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率為（）A． B． C． D．8．如圖，AB，BC，CD分別與⊙O相切于E、F、G三點，且ABCD，BO＝3，CO＝4，則OF的長為（）A．5 B． C． D．9．如圖，在平行四邊形中，F(xiàn)是上一點，且，連結(jié)并延長交的延長線于點G，則的值為（）A． B． C． D．10．已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0，a，b，c為常數(shù)），如果a＞b＞c，且a+b+c＝0，則它的圖象可能是（）A． B．C． D．11．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A在第二象限，點B坐標為（﹣2，0），點C坐標為（﹣1，0），以點C為位似中心，在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C．若點A的對應點A′的坐標為（2，﹣3），點B的對應點B′的坐標為（1，0），則點A坐標為（）A．（﹣3，﹣2） B．（﹣2，）C．（﹣，） D．（﹣，2）12．已知二次函數(shù)y＝﹣（x﹣m）2﹣m+1（m為常數(shù)）．①二次函數(shù)圖象的頂點始終在直線y＝﹣x+1上②當x＜2時，y隨x的增大而增大，則m=2③點A（x1，y1）與點B（x2，y2）在函數(shù)圖象上，若x1＜x2，x1+x2＞2m，則y1＜y2其中，正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個二、填空題13．已知正六邊形的周長是24，則這個正六邊形的半徑為．14．一個質(zhì)地均勻的小正方體，六個面分別標有數(shù)字“1”、“2”、“3”、“4”、“5”、“6”，擲一次小正方體后，觀察朝上一面的數(shù)字出現(xiàn)偶數(shù)的概率是．15．用一個圓心角為120°，半徑為6的扇形作一個圓錐的側(cè)面，這個圓錐的底面圓的半徑是．16．如圖，等腰直角三角形ABC，∠C=90°，AC=BC=4，M為AB的中點，∠PMQ=45°，∠PMQ的兩邊分別交BC于點P，交AC于點Q，若BP=3，則AQ=．17．已知拋物線（其中b，c為常數(shù)）經(jīng)過不同兩點，，且該二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點，則的值為．三、解答題18．如圖（1）如圖①，AB，CD是⊙O的兩條平行弦，OE⊥CD交⊙O于點E，則弧AC弧BD（填“>”，“<”或“=”）；（2）如圖②，△PAB是⊙O的內(nèi)接三角形，OE⊥AB交⊙O于點E，則∠APE∠BPE（填“>”，“<”或“=”）；（3）如圖③，△PAB是⊙O的內(nèi)接三角形，∠QPA是它的外角，在弧AP上有一點G，滿足PG平分∠QPA，請用無刻度的直尺，畫出線段PG．（不要求證明）19．（1）解一元二次方程：x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2；（2）求證：無論m取何值時，方程（x﹣3）（x﹣2）﹣m2＝0總有兩個不相等的實數(shù)根．20．已知AB是⊙O的直徑，點C在⊙O上，D為弧BC的中點．（1）如圖①，連接AC，AD，OD，求證：ODAC；（2）如圖②，過點D作DE⊥AB交⊙O于點E，直徑EF交AC于點G，若G為AC的中點，⊙O的半徑為2，求AC的長．21．已知AB是⊙O直徑，點C為⊙O上一點，過點C作⊙O的切線PC交AB的延長線于點P，D為弧AC上一點，連接BD，BC，DC．（1）如圖①，若∠D=26°，求∠PCB的大??；（2）如圖②，若四邊形CDBP為平行四邊形，求∠PCB，∠ADC的大小．22．如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12cm，BC＝24cm，動點P從點A開始沿邊AB向點B以2cm/s的速度移動，動點Q從點B開始沿邊BC向點C以4cm/s的速度移動，如果P、Q兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，設(shè)運動時間為s．（1）用含t的式子表示：AP＝cm，BP＝cm，BQ＝cm，cm2，cm2；（2）當△PBQ的面積為32cm2時，求運動時間；（3）四邊形APQC的面積能否等于72cm2？若能，求出運動的時間；若不能，說明理由．23．九（1）班數(shù)學興趣小組經(jīng)過市場調(diào)查，整理出某種商品在第x（1≤x≤90）天的售價與銷售量的相關(guān)信息如下表：時間x（天）1≤x＜5050≤x≤90售價（元/件）x＋4090每天銷量（件）200－2x已知該商品的進價為每件30元，設(shè)銷售該商品的每天利潤為y元[（1）求出y與x的函數(shù)關(guān)系式；（2）問銷售該商品第幾天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是多少？（3）該商品在銷售過程中，共有多少天每天銷售利潤不低于4800元？請直接寫出結(jié)果.24．（1）如圖①，△PAM是等邊三角形，在邊PM上取點B（點B不與點P，M重合），連接AB，將線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AC，連接BC，MC．①△MAC可以看作△PAB繞點逆時針旋轉(zhuǎn)（度）得到的；②∠PMC=（度）．（2）如圖②，△PAM是等腰三角形，∠PAM=90°，AP=AM=，在邊PM上取點B（點B不與點P，M重合），連接AB，將線段AB繞點A旋轉(zhuǎn)，得到線段AC，旋轉(zhuǎn)角為α，連接PC，BC．①當α=90°時，若△PBC的面積為1.5，求PB的長；②若AB=，求△PBC面積的最大值（直接寫出結(jié)果即可）．25．已知拋物線（m為常數(shù)），點A（-1，-1），B（3，7）．（1）當拋物線經(jīng)過點A時，求拋物線解析式和頂點坐標；（2）拋物線的頂點隨著m的變化而移動，當頂點移動到最高處時，①求拋物線的解析式；②在直線AB下方的拋物線上有一點E，過點E作EF⊥x軸，交直線AB于點F，求線段EF取最大值時的點E的坐標；（3）若拋物線與線段AB只有一個交點，求m的取值范圍．

答案解析部分1．【答案】A【知識點】中心對稱及中心對稱圖形【解析】【解答】解：B、C、D三個選項的圖形旋轉(zhuǎn)180°后，均不能與原來的圖形重合，不符合題意，A選項是中心對稱圖形．故本選項符合題意．故答案為：A．【分析】中心對稱圖形：把一個圖形繞著某一點旋轉(zhuǎn)180°后，旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，據(jù)此逐一判斷即可.2．【答案】D【知識點】二次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)【解析】【解答】解：，，開口向下，故A不合題意；當時，y隨x的增大而減小，故B不合題意；令可得，解得：，，拋物線與x軸的交點坐標為和，故C不合題意；∵對稱軸為，頂點坐標為，當時，y有最大值，最大值為4，故D符合題意．故答案為：D．【分析】由于y＝﹣（x﹣1）2+4中a=-1＜0，可知拋物線開口向下，由解析式可得對稱軸為直線x=1，頂點坐標為（1，4），再求出y=0時x的值，即得拋物線與x軸的交點坐標，據(jù)此逐一判斷即可.3．【答案】B【知識點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；圓周角定理；相交兩圓的性質(zhì)【解析】【解答】解：連接O1O2，AO2，O1B，∵O1B=O1A∴∵⊙O1和⊙O2是等圓，∴AO1=O1O2=AO2，∴△AO2O1是等邊三角形，∴∠AO2O1=60°，∴∠O1AB=∠AO2O1=30°．故答案為：B．【分析】連接O1O2，AO2，O1B，可求出△AO2O1是等邊三角形，可得∠AO2O1=60°，根據(jù)圓周角定理可得∠O1AB=∠AO2O1=30°.4．【答案】C【知識點】相似三角形的判定【解析】【解答】解：（1）∵∠C＝∠C′＝90°，∠A＝25°．∴∠B＝65°．∵∠C＝∠C′，∠B＝∠B′．∴．（2）∵∠C＝90°，AC＝6cm，BC＝4cm，，A′C′＝9，B′C′＝6．∴，．∴．（3）∵AB＝10cm，BC＝12cm，AC＝15cm，A′B′＝150cm，B′C′＝180cm，A′C′＝225cm；∴．∴．（4）∵沒有指明80°的角是頂角還是底角．∴無法判定兩三角形相似．∴共有3對．故答案為：C．【分析】根據(jù)①有兩組角對應相等的兩個三角形相似，②兩組對應邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，③三邊對應成比例的兩個三角形相似，據(jù)此逐一判斷即可.5．【答案】A【知識點】二次函數(shù)的實際應用-噴水問題【解析】【解答】解：由題意可知點（1，3）是拋物線的頂點，∴設(shè)這段拋物線的解析式為y=a（x-1）2+3．∵該拋物線過點（3，0），∴0=a（3-1）2+3，解得：a=-．∴y=-（x-1）2+3．∵當x=0時，y=-（0-1）2+3=-+3=，∴水管應長m．故答案為：A

【分析】由題意可知點（1，3）是拋物線的頂點，可設(shè)頂點式為y=a（x-1）2+3，將（3，0）代入解析式中求出a值即得解析式，再求出x=0時的y值即可.6．【答案】C【知識點】平行線的性質(zhì)；三角形內(nèi)角和定理；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵將△ABC繞點A順時針方向旋轉(zhuǎn)得△ADE，∴∠DAE=∠BAC=50°，AE=AC，∵AD∥CE，∴∠DAE=∠AEC=50°，∵AE=AC，∴∠AEC=∠ACE=50°，∴∠EAC=180°-50°-50°=80°，∴∠BAE=∠EAC-∠BAC=80°-50°=30°，故答案為：C．【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得∠DAE=∠BAC=50°，AE=AC，由平行線的性質(zhì)可得∠DAE=∠AEC=50°，由AE=AC可得∠AEC=∠ACE=50°，利用三角形的內(nèi)角和求出∠EAC=80°，根據(jù)∠BAE=∠EAC-∠BAC即可求解.7．【答案】B【知識點】列表法與樹狀圖法【解析】【解答】解：設(shè)四張小圖片分別用A，a，B，b表示，畫樹狀圖得：由圖可得，共有12種等可能的結(jié)果，其中摸取兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的結(jié)果共有4種，∴摸取兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的概率為：，故答案為：B．

【分析】利用樹狀圖列舉出共有12種等可能的結(jié)果，其中摸取兩張小圖片恰好合成一張完整圖片的結(jié)果共有4種，然后利用概率公式計算即可.8．【答案】D【知識點】平行線的性質(zhì)；三角形的面積；勾股定理；切線的性質(zhì)；切線長定理【解析】【解答】解：連接OF，OE，OG，∵AB、BC、CD分別與相切，∴，，，且，∴OB平分，OC平分，∴，，∵，∴，∴，∴，，∴，∴，故答案為：D．

【分析】連接OF，OE，OG，根據(jù)切線的性質(zhì)及切線長定理可得，由平行線的性質(zhì)可得，從而求出，利用勾股定理求出BC=5，然后根據(jù)即可求出OF.9．【答案】C【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)【解析】【解答】解：根據(jù)題意，∵四邊形是平行四邊形，∴AB∥CD，∴△ABF∽△DGF，∴，∴，∴，∴，∵AB∥CD，∴△ABE∽△CGE，∴；故答案為：C．【分析】由四邊形是平行四邊形，可證出△ABF∽△DGF，再利用平行線分線段成比例的了即可解決問題。10．【答案】C【知識點】二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象【解析】【解答】解：∵，∴函數(shù)圖象過，排除D；∵，，∴，排除A；由選項B可知，，對稱軸，得，與矛盾，排除B，故答案為：C．【分析】二次函數(shù)y＝ax2+bx+c中，由于，，可知函數(shù)圖象過，a＞0，據(jù)此排除A、D；由選項B可知，利用對稱軸可求出b＜0，與矛盾，故排除B，從而得解.11．【答案】C【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)；位似變換【解析】【解答】解：如圖，過點A作AE⊥x軸于E，過點A′作A′F⊥x軸于F．∵B（-2，0），C（-1，0），B′（1，0），A′（2，-3）∴OB=2，OC=OB′=1，OF=2，A′F=3，∴BC=1，CB′=2，CF=3，∵△ABC∽△A′B′C，∴，∴，∵∠ACE=∠A′CF，∠AEC=∠A′FC=90°，∴△AEC∽△A′FC，∴，∴，∴，∴，故答案為：C．

【分析】過點A作AE⊥x軸于E，過點A′作A′F⊥x軸于F．由已知點的坐標可求出BC=1，CB′=2，CF=3，由位似圖形知△ABC∽△A′B′C，利用相似三角形的性質(zhì)可求，證明△AEC∽△A′FC，可得，據(jù)此求出，從而求出，繼而得出點A坐標.12．【答案】B【知識點】二次函數(shù)圖象上點的坐標特征；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)【解析】【解答】解：①證明：圖象的頂點為（m，-m+1），設(shè)頂點坐標為（x，y），則x=m，y=-m+1，∴y=-x+1，即頂點始終在直線y=-x+1上，①符合題意；②，對稱軸，當時，y隨x的增大而增大，時，y隨x的增大而增大，，②不符合題意；③與點在函數(shù)圖象上，，，，∵x1＜x2，x1+x2＞2m，，，∴，③不符合題意．故答案為：B．【分析】①求出二次函數(shù)的頂點坐標，即可驗證；②拋物線的對稱軸為x=m，由于拋物線開口向下，可知當時，y隨x的增大而增大，結(jié)合已知可得，據(jù)此判斷即可；③將點A、B坐標代入二次函數(shù)解析式中求出，從而求出，由于x1＜x2，x1+x2＞2m，可得，據(jù)此即可判斷.13．【答案】4【知識點】正多邊形的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵正六邊形可以由其半徑分為六個全等的正三角形，而三角形的邊長就是正六邊形的半徑，又∵正六邊形的周長為24，∴正六邊形邊長為24÷6=4，∴正六邊形的半徑等于4．故答案為4．【分析】正六邊形可以由其半徑分為六個全等的正三角形，而三角形的邊長就是正六邊形的半徑，據(jù)此解答即可.14．【答案】【知識點】概率公式【解析】【解答】解：∵擲小正方體后共有6種等可能結(jié)果，其中朝上一面的數(shù)字出現(xiàn)偶數(shù)的有2、4、6這3種可能，∴朝上一面的數(shù)字出現(xiàn)偶數(shù)的概率是，故答案為：．【分析】用出現(xiàn)偶數(shù)朝上的結(jié)果數(shù)除以所有等可能的結(jié)果數(shù)即可．15．【答案】2【知識點】圓錐的計算【解析】【解答】扇形的弧長==4π，∴圓錐的底面半徑為4π÷2π=2．故答案為：2【分析】圓錐的弧長等于底面周長．16．【答案】【知識點】勾股定理；銳角三角函數(shù)的定義；等腰直角三角形；直角三角形斜邊上的中線【解析】【解答】解：如圖，連接CM，過點P作于點F，過點M作于點D，在中，，∵M為AB的中點，∴∵，∴，，∵在中，，∴，∵，∴，在中，，，∴，∴，在中，，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵在中，，∴在中，，∴，∴．故答案為：．【分析】連接CM，過點P作于點F，過點M作于點D，由勾股定理求出AB=4，由等腰直角三角形的性質(zhì)可得CM⊥AB，∠1=∠2=45°，從而得出，可求，在中，，可求.易求，由于=，據(jù)此求出DQ的長，利用AQ=AD+DQ即可求解.

17．【答案】3【知識點】二次函數(shù)圖象與坐標軸的交點問題；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)【解析】【解答】解：∵拋物線解析式為，∴對稱軸為直線x==b，∵拋物線經(jīng)過不同兩點，，∴A、B兩點關(guān)于直線x=b對稱，∴，∴，∵該二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點，∴△==≥0，∴≥0，即-4（b-2）2≥0，∴b=2，∴c=b-1=1，∴=3，故答案為：3

【分析】求出拋物線的對稱軸為直線x=b，由于A、B兩點關(guān)于直線x=b對稱，可得，求出.由于該二次函數(shù)的圖象與x軸有公共點，可得△≥0，據(jù)此求出b=2，代入求出c值即可.18．【答案】（1）=（2）=（3）解：如圖所示：連接AD、CB交于點H，連接HO并延長交于點G，連接PG，即為所求，【知識點】垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；圓周角定理；線段垂直平分線的判定【解析】【解答】解：（1）如圖所示：連接AO，BO，CO，DO，∵，，∴，∴OE平分，，∴，，∴，即，∴，故答案為：=；（2）如圖所示：連接OA、OB，∵，∴，∴，∴，，∴，故答案為：=；(3)∵，根據(jù)圖可得：即，由垂徑定理可得：點H在線段AB、CD的垂直平分線上，連接HO并延長交于點G，則點G恰好平分，即點G恰好平分與所對的圓周角的和，∴PG即為所求．

【分析】（1）連接AO，BO，CO，DO，由平行線的性質(zhì)求出，根據(jù)弧、弦、圓心角的關(guān)系可得，，從而求出，即得；

（2）連接OA、OB，由垂徑定理可得，即得，根據(jù)圓周角定理可得，，即可求解；

（3）連接AD、CB交于點H，連接HO并延長交于點G，連接PG，即為所求.19．【答案】（1）解：，，則，整理得：，解得：；（2）證明：把化為一般形式：，，故無論m為何值，4m2+1永遠大于0，則方程總有兩個不相等的實數(shù)根．【知識點】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判別式及應用【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程即可；

（2）先將方程化為一般式，可求出△，根據(jù)即可判斷.20．【答案】（1）證明：為的中點，，∴，，∴，∴，；（2）解：為中點，，由（1）得：，，是等腰直角三角形，，，，是等腰直角三角形，，．【知識點】平行線的判定；等腰三角形的性質(zhì)；垂徑定理；圓心角、弧、弦的關(guān)系；等腰直角三角形【解析】【分析】（1）由D為弧BC的中點可得，即得，由OD=OB，可得∠DAB=∠ADO，從而得出，根據(jù)平行線的判定即證；

（2）由垂徑定理可得，，再求出△DOE、△OGA是等腰直角三角形，可得，從而求出AC的長.21．【答案】（1）解：連接CO，∵，∴，∵，∴，∵PC與相切，∴，∴；（2）解：連接CO，AC，∵四邊形CDBP為平行四邊形，∴，∵AB為直徑，∴，即，∵PC與相切，∴，即，∴，∵，∴，則，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；∴，．【知識點】等腰三角形的性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；圓周角定理；切線的性質(zhì)【解析】【分析】（1）連接CO，由圓周角定理可得由OB=OC可得∠BCO=∠OBC=64°，由切線的性質(zhì)可得，根據(jù)即可求解；

（2）連接CO，AC，由平行四邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)圓周角定理、切線的性質(zhì)及余角的性質(zhì)可求出，，從而得出=，由圓周角定理及三角形外角的性質(zhì)可得，，即得，由OB=OC可得即得，繼而得出.22．【答案】（1）2t；12-2t；4t；-4t2+24t；4t2-24t+114（2）解：解得：或4，即當秒或4秒時，的面積是；（3）解：所以當t為3時的面積最小，最大小面積是．故四邊形APQC的面積不能能等于72cm2．【知識點】三角形的面積；一元二次方程的實際應用-幾何問題；三角形-動點問題【解析】【解答】解：（1）根據(jù)題意得：cm，cm，所以cm，∵，∴，∵∴故答案為：，，，；

【分析】（1）根據(jù)路程=速度×時間，可求出cm，cm，從而求出BP=AB-AP=12-2t，根據(jù)即可求解；

（2）根據(jù)△PBQ的面積為32cm2建立方程，求出t值即可；

（3）利用（1）結(jié)論，將四邊形APQC的面積解析式化為頂點式，即可求解.23．【答案】（1）解：當1≤x＜50時，，當50≤x≤90時，，綜上所述：.（2）解：當1≤x＜50時，二次函數(shù)開口下，二次函數(shù)對稱軸為x=45，當x=45時，y最大=-2×452+180×45+2000=6050，當50≤x≤90時，y隨x的增大而減小，當x=50時，y最大=6000，綜上所述，該商品第45天時，當天銷售利潤最大，最大利潤是6050元.（3）解：解，結(jié)合函數(shù)自變量取值范圍解得，解，結(jié)合函數(shù)自變量取值范圍解得所以當20≤x≤60時，即共41天，每天銷售利潤不低于4800元．【知識點】分段函數(shù)；二次函數(shù)的實際應用-銷售問題【解析】【分析】（1）根據(jù)單價乘以數(shù)量，可得利潤，可得答案.（2）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，可分別得出最大值，根據(jù)有理數(shù)的比較，可得答案.（3）根據(jù)二次函數(shù)值大于或等于4800，一次函數(shù)值大于或等于4800，可得不等式，根據(jù)解不等式組，可得答案．24．【答案】（1）A；60；120（2）解：①當線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AC，連接CM，∴∠BAC=90°，AB=AC，∵△PAM是等腰三角形，∠PAM=90°，AP=AM=，∴∠APM=∠AMP=45°，PM=2=4，∴∠PAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC=90°，∴∠PAB=∠MAC，∴△PAB≌△MAC(SAS)，∴∠APM=∠AMC=45°，PB=MC，∴∠PMC=∠AMP+∠AMC=90°．∴△PBC的面積=PBMC=PB2=1.5，解得：PB=(負值已舍)；當線段AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AC1，連接C1P，同理可得△MAB≌△PAC1(SAS)，∴∠AMB=∠APC1=45°，BM=PC1，∴∠MPC1=∠APM+∠APC1=90°．∴△PBC1的面積=PBPC1=PB(4-PB)=1.5，整理得：PB2-4PB+3=0，解得：PB=3或1；綜上，PB的長為3或1或；②(3+)【知識點】三角形的面積；等邊三角形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；等腰直角三角形；三角形全等的判定（SAS）【解析】【解答】解：（1）①∵△PAM是等邊三角形，∴PA=AM，∠PAM=∠APM=∠AMP=60°，∵線段AC是線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到的，∴△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠BAC=60°，∴∠PAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC=60°，∴∠PAB=∠MAC，∴△PAB≌△MAC(SAS)，∴△MAC可以看作△PAB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60（度）得到的，②∵△PAB≌△MAC，∴∠APM=∠AMC=60°，∴∠PMC=∠AMP+∠AMC=120°．故答案為：①A，60；②120；（2）②過點A作AD⊥PM于點D，∵△PAM是等腰三角形，∠PAM=90°，AP=AM=，∴AD=PD=DM=2，∵AB=，∴BD=，∴PB=2+1=3，∵線段AC是線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)得到的，∴線段AB旋轉(zhuǎn)到DA延長線上時，△PBC的面積取得最大值，如圖：∴△PBC面積的最大值=PBCD=PB(AC+AD)=3+．

【分析】（1）①根據(jù)SAS證明△PAB≌△MAC即可判斷；利用全等三角形的性質(zhì)可得∠APM=∠AMC=60°，從而得出∠PMC=∠AMP+∠AMC=120°．

（2）①分兩種情況：當線段AB繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段AC，連接CM，可得∠BAC=90°，AB=AC，證明△PAB≌△MAC(SAS)，可得∠APM=∠AMC=45°，PB=MC，從而得出∠PMC=∠AMP

+∠AMC=90°根據(jù)△PBC的面積=PBMC=PB2=