人教八下18.2勾股定理的逆定理 導學案

勾股定理的逆定理導學案學習目標、重點、難點【學習目標】靈活運用勾股定理的逆定理解決有關(guān)問題【重點難點】靈活運用勾股定理的逆定理解決有關(guān)問題.知識概覽圖如果三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形如果三角形中有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個三角形是直角三角形逆命題、逆定理勾股定理的逆定理新課導引以3cm,4cm,5cm為三角形的三邊長,畫出這個三角形,度量最長邊所對應(yīng)內(nèi)角的度數(shù),就可以求出這個三角形的面積.問題探究根據(jù)題目所給的條件,我們可以畫出這個三角形,如右圖所示,度量得到∠C=90°,即這個三角形是直角三角形,其面積是×3×4=6(cm2).我們知道a2+b2=c2,這三個數(shù)a,b,c可以被稱為勾股數(shù).由勾股數(shù)作為三角形的三邊長組成的三角形是什么樣的三角形呢?已知a,b,c是直角三角形的三邊長,那么a2+b2=c2,反之,已知a2+b2=c2,能判斷由此構(gòu)成的三角形是直角三角形嗎?教材精華知識點1逆命題、逆定理（1）逆命題：在兩個命題中，如果一個命題的題設(shè)和結(jié)論分別是另一個命題的結(jié)論和題設(shè)，那么這兩個命題叫做互逆命題，如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.①判斷一件事情的句子叫命題.②每個命題都由條件(或題設(shè))和結(jié)論兩部分組成,條件是已知事項,結(jié)論是由已知事項推出的事項.一般地,命題都可以寫成“如果……那么……”的形式，用“如果”開始的部分是條件（題設(shè)），用“那么”開始的部分是結(jié)論.一些命題前面的“附加部分”屬題設(shè).③命題有真假之分，正確的命題稱為真命題；錯誤的命題稱為假命題.④把一個命題的條件和結(jié)論互換就得到它的逆命題，所以每個命題都有逆命題.⑤一個命題是正確的，但它的逆命題不一定正確.⑥在數(shù)學中，說明一個命題是假命題，通常只需舉出一個反例，而要說明一個命題是真命題，則必須經(jīng)過證明，幾個正確的例子是不能說明這個命題的真實性的.證明與反例是解決數(shù)學問題的兩種不可分割的重要方法.（2）逆定理：如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，它也是一個定理，稱這兩個定理互為逆定理，其中一個定理稱為另一個定理的逆定理.①經(jīng)過證明被確認的命題叫做定理.例如:兩直線平行,內(nèi)錯角相等.再如:對頂角相等.②一個命題一定有逆命題,而一個定理則不一定有逆定理.③命題有真有假,而定理都是正確的,即都是真命題.知識點2勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.例如:52+122=132,62+82=102,分別以5,12,13和6,8,10為邊長作兩個三角形,則這兩個三角形都是直角三角形.【拓展】(1)此定理是直角三角形的判定定理.必須已知三角形的三邊長,且滿足兩短邊長的平方和等于最長邊長的平方,才可判斷這個三角形是直角三角形,且最長邊所對的角是直角.（2）不能機械地認為c邊所對的角必是直角,例如:a2-b2=c2,則a邊所對的角是直角.（3）a2+b2是否等于c2,需通過計算進一步驗證,不能開始就寫成a2+b2=c2.（4）利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是否是直角三角形的步驟是:①確定最大邊(不妨設(shè)為c);②計算c2與a2+b2的值;③比較c2與a2+b2是否相等,若相等,則此三角形是直角三角形,否則就不是直角三角形.（5）勾股定理與其逆定理的區(qū)別:勾股定理是以“一個三角形是直角三角形”為前提條件，進而得到“這個直角三角形的三邊長的數(shù)量關(guān)系，即a2+b2=c2”；而勾股定理的逆定理是以“一個三角形的三邊滿足a2+b2=c2”為前提條件，進而得到“這個三角形是直角三角形”.（6）勾股定理的逆定理的作用是運用此定理來判斷一個三角形是否是直角三角形.勾股定理的逆定理經(jīng)常與勾股定理綜合運用，一般先用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是直角三角形，再用勾股定理及直角三角形的性質(zhì)進行有關(guān)的計算或證明.知識點3勾股數(shù)（1）滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)a,b,c稱為勾股數(shù).（2）對于任意兩個整數(shù)m,n(m＞n＞0)，m2+n2,m2-n2,2mn這三個數(shù)就是一組勾股數(shù)，可見勾股數(shù)有無數(shù)組.（3）常見的勾股數(shù)有：①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15.應(yīng)熟記.【拓展】（1）3，4，5既是勾股數(shù)，又是三個連續(xù)整數(shù)，它們非常特殊，不要認為凡是三個連續(xù)整數(shù)都是勾股數(shù).(2)每組勾股數(shù)以相同倍數(shù)擴大得到的一組數(shù)也是勾股數(shù).若m,n,p(m＜n＜p)是勾股數(shù)，則m2+n2=p2,則（am）2+(an)2=a2m2+a2n2=a2(m2+n2)=a2p2=(ap)2(a為正整數(shù)).所以am,an,ap也是一組勾股數(shù).例如：3，4，5與6，8，10和9，12，15都是勾股數(shù).課堂檢測基本概念題1、說出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？（1）兩條直線平行，同位角相等；（2）全等三角形的對應(yīng)角相等.基礎(chǔ)知識應(yīng)用題2、在△ABC中，a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2,其中m，n是正整數(shù)，且m＞n.試判斷△ABC是否是直角三角形.綜合應(yīng)用題3、“遠航”號、“海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定方向航行，“遠航”號每小時航行16海里，“海天”號每小時航行12海里，它們離開港口一個半小時后相距30海里，如果知道“遠航”號沿東北方向航行，能知道“海天”號沿哪個方向航行嗎？探索創(chuàng)新題4、（閱讀理解題）我們給出如下定義：若一個四邊形中存在相鄰兩邊的平方和等于一條對角線的平方，則稱這個四邊形為勾股四邊形，這兩條相鄰的邊稱為這個四邊形的勾股邊.（1）寫出你所學過的特殊四邊形是勾股四邊形的兩種圖形的名稱：______、_______；（2）如圖18-49所示，已知網(wǎng)格點（小正方形的頂點）O（0，0），A（3，0），B（0，4），請你畫出以網(wǎng)格點O為頂點，OA，OB為勾股邊且對角線相等的勾股四邊形OAMB；（3）如圖18-50所示，將△ABC繞頂點B按順時釘方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△DBE，連接AD，DC，∠DCB=30°。求證DC2+BC2=AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形.體驗中考1、（09·衡陽）如圖18-54所示，A，B，C分別表示三個村莊，AB=1000米，BC=600米，AC=800米，在社會主義新農(nóng)村建設(shè)中，為了豐富群眾生活，擬建一個文化活動中心，要求這三個村莊到活動中心的距離相等，則活動中心P的位置就在（）A．AB中點B．BC中點C．AC中點D．∠C的平分線與AB的交點2、（08·河北）在一平直河岸l同側(cè)有A，B兩個村莊，A，B到l的距離分別是3km和2km，AB=akm（a＞1）.現(xiàn)計劃在河岸l上建一抽水站P，用輸水管向兩個村莊供水.方案設(shè)計某班數(shù)學興趣小組設(shè)計了兩種鋪設(shè)管道方案：圖18-55是方案一的示意圖，設(shè)該方案中管道長度為,且=PB+BA（其中BP⊥l于點P）；圖18-56是方案二的示意圖，設(shè)該方案中管道長度在，且=PA+PB（其中點A′與點A關(guān)于l對稱，A′B與l交到點P）.觀察計算（1）在方案一中，=______km（用含a的式子表示）；（2）在方案二中，組長小宇為了計算的長，作了如圖18-57所示的鋪助線，請你按小宇同學的思路計算，=______km（用含a的式子表示）.探索歸納(1)①當a=4時，比較大小：______（填“＞”“＝”或“＜”）；②當a=6時，比較大?。篲______（填“＞”“＝”或“＜”）.方法指導當不易直接比較兩個正數(shù)m與n的大小時，可以對它們的平方進行比較：方法指導當不易直接比較兩個正數(shù)m與n的大小時，可以對它們的平方進行比較：∵m2-n2=(m+n)(m-n),m+n＞0，∴m2-n2與m-n的符號相同.當m2-n2＞0時，m-n＞0,即m＞n;當m2-n2=0時，m-n=0,即m=n;當m2-n2＜0時，m-n＜0,即m＜n.學后反思 【解題方法小結(jié)】根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方.附：課堂檢測及體驗中考答案課堂檢測1、解析命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，它的逆命題就是把原命題的結(jié)論作為題設(shè)，把原命題的題設(shè)作為結(jié)論，然后判斷原命題的逆命題是否正確.解：（1）逆命題是：同位角相等，兩直線平行.這個命題成立.（2）逆命題是：對應(yīng)角相等的三角形全等.這個命題不成立.2、解析題目中已給出三角形的三邊長，要判斷該三角形是否是直角三角形，只需直接運用勾股定理的逆定理就可以了，但關(guān)鍵是確定已知三邊長中哪一條邊是最大邊.【解題方法】已知三角形三邊的長，常常借助勾股定理的逆定理來探究三角形是不是直角三角形，在利用公式a2+b2=c2時一定要注意c是最大邊，即∠C=90°.解：因為m,n是正整數(shù)，且m＞n,所以m2+n2＞2mn,m2+n2＞m2-n2.即c＞b,c＞a.所以a2+b2=(m2-n2)+(2mn)2=m4-2m2n2+n4+4m2n2=m4+2m2n2+n4又因為c2=(m2+n2)2=m4+2m2n2+n4,所以a2+b2=c2.所以△ABC是直角三角形.3、解析我們可以根據(jù)題意畫出如圖18-47所示的圖形，可以看到，由于“遠航”號的航向已知，如果求出兩艘輪船所成的角，就能知道“海天”號的航向了.【解題方法】解決航海問題的應(yīng)用題，首先要從實際問題中抽象出數(shù)學模型，畫出圖形，結(jié)合其他知識求出直角三角形中未知邊或相關(guān)的量.解：根據(jù)題意可畫出圖18-47，PQ=16×=24,PR=12×=18,QR=30,在△PQR中，PQ2+PR2=242+182=576+324=900,QR2=302=900,所以PQ2+PR2=QR2.所以△PQR是直角三角形且∠RPQ=90°.又因為“遠航”號沿東北方向航行，可知∠QPN=45°，所以∠RPN=45°.同理，在△PQR′中，∠R′PQ=90°，∠R′PE=45°.由此可知“海天”號沿西北或東南方向航行.4、解析判斷一個四邊形是否是勾股四邊形，關(guān)鍵是利用勾股四邊形的定義.解：（1）正方形長方形（2）M1（3，4），M2（4，3），如圖18-51所示.證明：（3）連接EC，如圖18-52所示.因為△ABC≌△DBE，所以AC=DE，BC=BE.因為∠CBE=60°，所以△BCE是等邊三角形，所以EC=BC，∠BCE=60°.又因為∠DCB=30°，所以∠DCE=90°.在Rt△DCE中，根據(jù)勾股定理，得DC2+EC2=DE2，所以DC2+BC2=AC2，即四邊形ABCD是勾股四邊形.體驗中考1、A解析由AB=1000，BC=600，AC=800，得AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°.根據(jù)直角三角形斜邊等于斜邊一半，當P為AB中點時，PA=PB=PC.2、解析根據(jù)方法指導我們可以知道，要比較與的