回歸與相關(guān)分析

回歸與相關(guān)分析第1頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第七章要點(diǎn)提示本章對(duì)兩個(gè)變量的相互關(guān)系進(jìn)行分析，是多元統(tǒng)計(jì)分析的基石。學(xué)習(xí)時(shí)①首先要求區(qū)分“回歸”術(shù)語(yǔ)古今含義的不同之處，充分認(rèn)識(shí)一元線性回歸與相關(guān)分析的基礎(chǔ)地位；②熟悉回歸關(guān)系與相關(guān)關(guān)系的本質(zhì)區(qū)別及兩者在統(tǒng)計(jì)表述方法上的聯(lián)系（如r與b在數(shù)學(xué)意義上的統(tǒng)一性）和各自的側(cè)重點(diǎn)；③重點(diǎn)掌握直線回歸與相關(guān)分析的顯著性檢驗(yàn)方法和雙變量回歸模型的協(xié)方差分析技術(shù)，以便將統(tǒng)計(jì)控制手段與試驗(yàn)控制手段一起綜合運(yùn)用到試驗(yàn)設(shè)計(jì)和統(tǒng)計(jì)分析中去。涉及教材內(nèi)容：第九章全五節(jié)，第十章、第十一章各一節(jié)。作業(yè)布置：教材第十、十一章所余三節(jié)內(nèi)容自習(xí)；

教材P191T5、T6、T9；

P224T7。第2頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第一節(jié)直線回歸一、回歸的含義“回歸”原文為regression，該術(shù)語(yǔ)最先由英國(guó)的F.Galton于1886年左右研究人類身高遺傳的規(guī)律時(shí)所作的“高爾頓解釋”中使用，詳情如右圖所示：高爾頓對(duì)此所作的解釋是：大自然有一種約束機(jī)制，使人類身高分布保持某種穩(wěn)定形態(tài)而不作兩極分化，也就是有回歸于中心的作用，這個(gè)中心值μ即該種族身高在一定歷史時(shí)期的平均值?，F(xiàn)在就“回歸”所作的定義是：如果兩個(gè)變量X和Y，總是Y隨著X的變化而變化，且這種變化關(guān)系不可逆，則稱X和Y為回歸關(guān)系。其中：

X叫自變量dependentvariable；Y叫因變量或依變量independentvariable。高：xg

71

72?gμ(69)

64?a矮：xa

67

調(diào)查n＝1074個(gè)家庭，統(tǒng)計(jì)結(jié)果：X＝68英寸?＝69英寸得：?＝X＋1(1英寸＝2.54cm)

但分組統(tǒng)計(jì)的結(jié)果卻并非如此父母為高個(gè)子組時(shí)，?g＜72＋1父母為矮個(gè)子組時(shí)，?a＞64＋1

走向指回歸的本意走向指回歸的今義第3頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第一節(jié)直線回歸二、建立直線回歸方程例7.1一些夏季害蟲(chóng)的盛發(fā)期遲早與春季溫度高低有關(guān)。江蘇武進(jìn)縣觀察1956-1964年3月下旬至4月中旬的3段旬均溫累積值X和一代三化螟盛發(fā)期Y(5月10日起算)所得結(jié)果如下，試予分析。解㈠描散點(diǎn)圖本例已知害蟲(chóng)盛發(fā)期遲早隨春季氣溫的變化而變化，且不可逆，又據(jù)散點(diǎn)圖反映的趨勢(shì)來(lái)看，在30—45℃的溫度范圍，盛發(fā)期天數(shù)隨值呈下降的線性變化關(guān)系。故可假定直線回歸方程為：

y＝a＋bx讀作“Y依x直線回歸”30354045年份195619571958195919601961196219631964ΣX(℃)35.534.131.740.336.840.231.739.244.2333.7Y(d)12169273139－170y＝a＋bx第4頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第一節(jié)直線回歸㈡數(shù)據(jù)整理由原始數(shù)據(jù)算出一級(jí)數(shù)據(jù)6個(gè)：ΣX＝333.7ΣY＝70ΣXY＝2436.4ΣX2＝12517.49ΣY2＝794n＝9

再由一級(jí)數(shù)據(jù)算出二級(jí)數(shù)據(jù)5個(gè)：SSX＝ΣX2

－(ΣX)2/n＝144.64SSY＝ΣY2

－(ΣY)2/n＝249.56SP＝ΣXY－ΣXΣY/n＝－159.04X＝ΣX/n＝37.08?＝ΣY/n＝7.78㈢計(jì)算三級(jí)數(shù)據(jù)

b＝SP/SSX

＝－1.10

＝(－159.04)÷144.64a＝?－bX＝48.55

＝7.78－(－1.10)×37.08

得所求直線回歸方程為：

y＝48.55－1.10xy＝48.55－1.10x3035404531.744.2第5頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第一節(jié)直線回歸三、直線回歸關(guān)系的顯著性檢驗(yàn)將a＝?－bx代入Y＝a＋bx得：

y＝?＋b(x－x)及y－?＝b(x－x)于是由因變量離均差的兩個(gè)線性分量：Σ(Y－?)2＝Σ〔(Y－y)＋(y

－?)〕2

可推導(dǎo)出因變量總SS的如下分解公式：Σ(Y－?)2＝Σ(Y－y)2＋Σ(y

－?)2

簡(jiǎn)寫(xiě)成：SSY＝SSQ＋

SSU＝Q＋U分別叫“離回歸平方和”與“回歸平方和”其計(jì)算公式及本例分解結(jié)果：

SSU＝SP2/

SSX＝159.042/144.64＝174.89SSQ＝SSY－

SSU＝249.56－174.89＝74.67

故F＝MSU/MSQ

＝16.4**

(F0.01,1,7＝12.25)

＝(174.89÷1)/(74.67÷7)

表明雙變量直線回歸關(guān)系極顯著,所得方程y＝48.55－1.10x可用于預(yù)測(cè)。也可對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行t-test來(lái)證實(shí)。只是要利用df(分子)＝1時(shí)，F(xiàn)＝t2的關(guān)系推導(dǎo)出回歸系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤Sb＝Se/√SSX其中，Se2＝SSQ/dfQ＝74.67÷7

＝10.67于是t-test的步驟如下：

H0:β=0(β為回歸系數(shù)b的真值)Sb＝√Se2/SSX

＝0.2715

＝√10.67÷144.64t＝(b－β)÷Sb＝(-1.1)÷0.2715＝-4.05(3)按自由度ν＝7查得兩尾t0.01=3.50(4)推斷：t＞t0.01H0

不成立?？梢?jiàn)t-test與F-test的效果完全一致。若顯著性檢驗(yàn)結(jié)果不顯著,則三選一：⑴Y與X沒(méi)有回歸關(guān)系；⑵Y與X有回歸關(guān)系，但不是直線回歸；⑶Y與X有回歸關(guān)系，但不是簡(jiǎn)單回歸，而是多元回歸。第6頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第二節(jié)直線相關(guān)一、相關(guān)的含義如果兩個(gè)變量X和Y，總是X和Y相互制約、平行變化，則稱X和Y為相關(guān)關(guān)系。此時(shí)，X和Y沒(méi)有嚴(yán)格意義上的自變量和因變量之分，既可以說(shuō)Y隨著X的變化而變化，也可以講X隨著Y的變化而變化。即不存在誰(shuí)決定誰(shuí)或誰(shuí)依賴誰(shuí)的問(wèn)題。如人或動(dòng)物的胸圍和體重，作物的生物產(chǎn)量和經(jīng)濟(jì)產(chǎn)量，樹(shù)干的胸徑與材積等?？梢?jiàn)，相關(guān)關(guān)系以雙向、平行為特征。但相關(guān)關(guān)系如果僅從數(shù)學(xué)角度看，和回歸關(guān)系是統(tǒng)一的，因?yàn)槠潆p變量變化規(guī)律如果是線性關(guān)系的話，也可以由根據(jù)“最小二乘法”原理得出的直線方程來(lái)表述，所以有些文獻(xiàn)不區(qū)分回歸關(guān)系和相關(guān)關(guān)系，將二者籠統(tǒng)地稱之“回歸”或者“相關(guān)”。從統(tǒng)計(jì)上講，相關(guān)分析的側(cè)重點(diǎn)和回歸分析不完全一樣。二、相關(guān)系數(shù)前已述及，具有線性回歸關(guān)系的雙變量中，Y變量的總變異量分解為：

SSY＝SSQ＋

SSU＝Q＋U

對(duì)于具有線性相關(guān)關(guān)系的雙變量，Y變量的總平方和也可以分解成同樣的兩個(gè)分量，只是分別改稱為“非相關(guān)平方和”與“相關(guān)平方和”于是有：r＝±√SSU/SSY

＝SP/√SSXSSY

“r”叫相關(guān)系數(shù)，其絕對(duì)值越大，

SSU所占的比重就越大，在散點(diǎn)圖上就表現(xiàn)為各散點(diǎn)越靠近直線；反之，即SSQ所占的比重越大，各散點(diǎn)越遠(yuǎn)離直線。并且有以下性質(zhì)：⑴r的正負(fù)和b一樣取決于SP的正負(fù)；r＞0，正相關(guān)；r＜0，負(fù)相關(guān)⑵r∈〔－1，1〕或r∈（－1，1）；⑶決定系數(shù)

r2＝b·b`或r＝±√b·b`第7頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第二節(jié)直線相關(guān)三、相關(guān)分析舉例例7.2為研究綿羊胸圍（cm）和體重（kg）的相互關(guān)系，調(diào)查了10只綿羊胸圍和體重的對(duì)應(yīng)觀察值X和Y，所得結(jié)果如下表，試予分析。解㈠描散點(diǎn)圖本例已知綿羊胸圍（X）和體重（Y）為相關(guān)關(guān)系，散點(diǎn)圖也顯示兩者的變化規(guī)律呈線性正相關(guān)，SP＞0。故可假定直線相關(guān)方程為：

y＝a＋bx或x＝a`

＋b`y后一個(gè)方程也可寫(xiě)成：y＝a`

＋b`x綿羊12345678910ΣX(cm)68707071717173747676720Y(kg)50606865697271737577680y＝a＋bx807468625650第8頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第二節(jié)直線相關(guān)㈡數(shù)據(jù)整理由原始數(shù)據(jù)算出一級(jí)數(shù)據(jù)6個(gè)：ΣX＝720ΣY＝680ΣXY＝49123ΣX2＝51904ΣY2＝46818n＝10

再由一級(jí)數(shù)據(jù)算出二級(jí)數(shù)據(jù)5個(gè)：SSX＝ΣX2

－(ΣX)2/n＝64SSY＝ΣY2

－(ΣY)2/n＝578SP＝ΣXY－ΣXΣY/n＝163X＝ΣX/n＝72?＝ΣY/n＝68㈢計(jì)算三級(jí)數(shù)據(jù)

b＝SP/SSX

＝163÷64＝2.547a＝72－2.547×68＝－115.4b`

＝SP/SSY

＝163÷578＝0.282a`

＝68－0.282×72＝52.82

即所求相關(guān)方程可以有兩個(gè)(如右圖)r＝SP/√SSXSSY

＝

0.8475r2＝b·b`＝2.547×0.282＝0.7192y＝52.82＋0.282x767268405060708080706050y＝2.547x－115.4第9頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第二節(jié)直線相關(guān)㈣、直線相關(guān)關(guān)系的顯著性檢驗(yàn)和直線回歸關(guān)系的顯著性檢驗(yàn)原理一樣，直線相關(guān)關(guān)系的雙變量也可導(dǎo)出Y變量總SS的如下分解公式：Σ(Y－?)2＝Σ(Y－y)2＋Σ(y

－?)2

簡(jiǎn)寫(xiě)成：SSY＝SSQ＋

SSU＝Q＋U分別叫“非相關(guān)平方和”與“相關(guān)平方和”其計(jì)算公式引用三級(jí)數(shù)據(jù)后簡(jiǎn)化為：

SSY＝(1－r2)SSY＋r2

SSY或者SSX＝(1－r2)SSX＋r2

SSXSSU＝r2SSY＝0.7182×

578＝415SSQ＝(1－r2)SSY＝0.2818×

578＝163故F＝MSU/MSQ

＝20.4**

(F0.01,1,8＝11.26)

＝(n－2)

r2

/(1－r2)

表明雙變量直線相關(guān)關(guān)系極其顯著,所得兩個(gè)直線相關(guān)方程都可用于預(yù)測(cè)。也可對(duì)回歸系數(shù)進(jìn)行t-test來(lái)證實(shí)。只是要利用df(分子)＝1時(shí)，F(xiàn)＝t2的關(guān)系推導(dǎo)出相關(guān)系數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)誤：Sr＝√(1－r2)

/(n－2)

并且Se2＝SSQ/dfQ＝163÷8

＝20.4于是t-test的步驟如下：

H0:ρ=0(ρ為相關(guān)系數(shù)r的真值)Sr＝√0.2818÷8＝0.1877t＝(r－ρ)÷Sr＝0.8475÷0.1877＝4.516(3)按自由度ν＝8查得兩尾t0.01=3.355(4)推斷：t＞t0.01H0

不成立?？梢?jiàn)t-test與F-test的效果完全一致。若顯著性檢驗(yàn)結(jié)果不顯著,則三選一：⑴Y與X沒(méi)有相關(guān)關(guān)系；⑵Y與X有相關(guān)關(guān)系，但不是直線相關(guān)；⑶Y與X有相關(guān)關(guān)系，但不是簡(jiǎn)單相關(guān)，而是復(fù)相關(guān)。第10頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第二節(jié)直線相關(guān)四、回歸與相關(guān)關(guān)系的統(tǒng)一性既然相關(guān)關(guān)系和回歸關(guān)系的顯著性檢驗(yàn)原理一樣，那么，不論回歸還是相關(guān)關(guān)系，其檢驗(yàn)都可用“相關(guān)系數(shù)”r

進(jìn)一步簡(jiǎn)化如下：即由t2＝F＝(n－2)r2/(1－r2)

解得：r＝√t2/(n－2＋t2)

于是利用這一關(guān)系將各個(gè)自由度下的t臨界值t0.05和t0.01換算出相關(guān)系數(shù)r的臨界值r0.05和r0.01，從而得到直接用于檢驗(yàn)回歸或者是相關(guān)關(guān)系顯著性的臨界值表(附表10)。如從教材P376查得M＝2，dfQ＝8時(shí)

r0.05

＝0.632，r0.01

＝0.765今得r＝0.8475**＞r0.01

再由例7.1從P376查得M＝2，dfQ＝7時(shí)

r0.05

＝0.666，r0.01

＝0.798算得“r”

＝0.8371**＞r0.01

檢驗(yàn)效果與F-test或者是t-test完全一樣。例7.2關(guān)于體重(Y)的ANOVA表：SOVDFSSYMSFF0.01相關(guān)141541520.4**

11.26非相關(guān)816320.4總9578也可針對(duì)胸圍(X)做ANOVA表：SOVDFSSXMSFF0.01相關(guān)1464620.4**

11.26非相關(guān)8182.25總964例7.1只對(duì)盛發(fā)期(Y)做ANOVA表：SOVDFSSYMSFF0.01回歸117517516.4**

12.25離回歸77510.7總8250第11頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第三節(jié)多項(xiàng)式回歸例7.3觀測(cè)n＝7塊小麥田孕穗期的葉面積指數(shù)(x)和每667m2的籽粒產(chǎn)量(y)的關(guān)系，得結(jié)果如下，試就其數(shù)量變化特點(diǎn)建立多項(xiàng)式回歸方程并予以分析。解先描散點(diǎn)圖；初步判斷為二次多項(xiàng)式通常稱之為拋物線；這種變化關(guān)系在農(nóng)業(yè)和生物學(xué)領(lǐng)域普遍存在；完成這類實(shí)例分析的方法是將曲線單回歸的問(wèn)題通過(guò)變量代換轉(zhuǎn)化為二元線性回歸的問(wèn)題來(lái)解決，這也是完成更高次多項(xiàng)式回歸分析的基本點(diǎn)。田塊1234567Σ

X3.374.124.875.626.377.127.8739.34Y(kg)3493743883954013973842688第12頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四y2＝a＋b1x＋b2x2的圖象一、確定多項(xiàng)式方程次數(shù)的方法b2＜0

b2＞0當(dāng)兩個(gè)變數(shù)間的曲線關(guān)系很難確定時(shí)，可以使用多項(xiàng)式去逼近，稱為多項(xiàng)式回歸（polynomialregression)。最簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式是二次多項(xiàng)式，其方程為：y2＝a＋b1x＋b2x2

它的圖象是拋物線。當(dāng)b2＞0時(shí)，曲線凹向上，有一個(gè)極小值；b2＜0時(shí)，曲線凸向上，有一個(gè)極大值，見(jiàn)右圖。

本例(x,y)的散點(diǎn)圖呈單鋒趨勢(shì)，沒(méi)有明顯的其它凹凸變化，故預(yù)期可用二次式配合。但多項(xiàng)式回歸方程通常只能用于描述試驗(yàn)范圍內(nèi)Y依X的變化關(guān)系，外推一般不可靠，這一點(diǎn)首先必須明確。第13頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四三次多項(xiàng)式的方程為：y3＝a＋b1x＋b2x＋b3x3它的圖形是具有兩個(gè)彎曲(一個(gè)極大值和一個(gè)極小值)和一個(gè)拐點(diǎn)的曲線。當(dāng)b3＞0時(shí)，這類曲線由凸向上轉(zhuǎn)為凹向上；當(dāng)b3＜0時(shí)，這類曲線由凹向上轉(zhuǎn)為凸向上，見(jiàn)右圖。

多項(xiàng)式方程的一般形式：

y＝a＋b1x＋b2x2＋......＋bkxk

這是k-1個(gè)具有個(gè)彎曲(k-1個(gè)極值)和k-2

個(gè)拐點(diǎn)的曲線；兩個(gè)變數(shù)的n對(duì)觀察值最多可配到k＝n–1次多項(xiàng)式；k越大，包含的統(tǒng)計(jì)數(shù)越多，計(jì)算和解釋越復(fù)雜；一個(gè)多項(xiàng)式回歸方程應(yīng)取多少次為宜，可根據(jù)資料的散點(diǎn)圖作出初步選擇；散點(diǎn)圖趨勢(shì)所表現(xiàn)的曲線的

峰數(shù)＋谷數(shù)＋1，即為多項(xiàng)式回歸方程次數(shù)。散點(diǎn)波動(dòng)較大或峰谷兩側(cè)不對(duì)稱，可再高一次。一、確定多項(xiàng)式方程次數(shù)的方法b3＞0b3＜0y3=a+b1x+b2x2+b3x3

的圖象第14頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、建立多項(xiàng)式回歸方程㈠變量代換（代換得到的變量個(gè)數(shù)以m表示）設(shè)例7.3的二次多項(xiàng)式方程為：y2＝a＋b1x＋b2x2

令x1＝x，x2＝x2

；

則方程線性化為：y2＝a＋b1x1＋b2x2㈡數(shù)據(jù)整理由原始數(shù)據(jù)算出一級(jí)數(shù)據(jù)9個(gè)：

ΣX1＝ΣX＝39.34ΣY＝2688ΣX1Y＝ΣXY＝15229.56ΣX2

＝ΣX2＝236.8408ΣY2＝1034112.00ΣX1X2＝ΣX3＝1508.0760n＝7ΣX22＝ΣX4＝10029.7617ΣX2Y＝ΣX2Y＝92170.76

再由一級(jí)數(shù)據(jù)算出二級(jí)數(shù)據(jù)9個(gè)：

SS1＝ΣX2

－(ΣX)2/n＝15.75SS2＝ΣX22

－(ΣX2)2/n＝2016.39556

SP10＝ΣX1Y－ΣX1ΣY/n＝123SP20＝ΣX2Y－ΣX2ΣY/n＝1223.8928

SP12＝SP21＝ΣX1X2

－ΣX1ΣX2/n＝177.030704SSY＝1920?＝ΣY/n＝384x1＝ΣX1/n＝5.62x2＝ΣX2/n＝33.8344㈢仍按“最小二乘方”原理計(jì)算三級(jí)數(shù)據(jù)bi

例7.1已知a＝?－bx，則二次多項(xiàng)式可類推，即：a＝?－b1x1

－b2x2

也就是列方程組求算各回歸系數(shù)時(shí)，不必把常數(shù)項(xiàng)列為未知數(shù)求解，這樣一來(lái)，就可用階數(shù)更少的矩陣運(yùn)算來(lái)減少解方程的工作量。第15頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、建立多項(xiàng)式回歸方程

1、只將bi列為未知數(shù)求解的方法；對(duì)于任意次多項(xiàng)式，y＝a＋b1x＋b2x2＋......＋bkxk

若令x1＝x，x2＝x2，……,xk＝xk，則該式可化為：yk＝a＋b1x1＋b2x2＋......＋bkxk

這時(shí)多元線性方程采用矩陣方法只需求m=k元方程組的解。

SS11SP12

…SP1k

b1

SP10SP21SS22…SP1k

b2

SP20A

＝

..…

.，b＝.Z＝.

SPm1SPm2

…SSmkbk

SPm0

也就是說(shuō)，以二級(jí)數(shù)據(jù)為元素構(gòu)建的矩陣Ab＝Z階數(shù)只有m×m

。求得A-1，并由b＝A-1Z

可獲得相應(yīng)的多項(xiàng)式回歸方程中k個(gè)回歸系數(shù)bi的解，本例m=k=2，求解過(guò)程如下：A＝

SS11SP12

＝

15.750000177.030704

，Z＝SP10

＝123.0000

SP21SS22177.0307042016.395336SP20

1223.8926第16頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、建立多項(xiàng)式回歸方程

1、只將bi列為未知數(shù)求解的方法；采用矩陣方法求解的關(guān)鍵在于求逆矩陣，這屬于線性代數(shù)范圍的知識(shí)，教材分別在P171和P195提示了逆矩陣求算方法，本例用二級(jí)數(shù)據(jù)構(gòu)建兩個(gè)矩陣后簡(jiǎn)化了計(jì)算，只需對(duì)二階矩陣求逆(Cij叫高斯乘數(shù))，結(jié)果如下：A-1＝

SS11SP12

-1

＝

4.819803-0.42315765＝

C11

C12

SP21SS22-0.423157650.03764733C21C22

b＝A-1Z＝4.819803-0.42315765123.0000

＝

74.936168-0.423157650.037647331223.8926-5.972095

于是獲得本例多項(xiàng)式回歸方程中兩個(gè)回歸系數(shù)：b1＝74.9，b2＝-5.97a＝?－b1x1

－b2x2

＝384－74.9×5.62－(－5.97)×33.8344＝165.05I＝A-1A＝1.0000005680.000000346≈10(單位矩陣)0.0000063801.000003942

01第17頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、建立多項(xiàng)式回歸方程

2、把常數(shù)項(xiàng)a列為未知數(shù)求解的方法；對(duì)于任意次多項(xiàng)式，y＝a＋b1x＋b2x2＋......＋bkxk

若令x1＝x，x2＝x2，……,xk＝xk，則該式可化為：yk＝a＋b1x1＋b2x2＋......＋bkxk

一般的多元線性方程，采用矩陣方法需求m+1

元方程組的解。

1x12x22…xk21x12x122…x12ky11x11x21…xk11x11x112

…x11ky2X

＝

...….＝

...…

.，Y＝.

1x1nx2n

…xkn1x1nx1n2

…x1nyn

求得X`X,X`Y和(X`X)-1，并由b＝(X`X)-1(X`Y)

獲得相應(yīng)的多項(xiàng)式回歸方程中k個(gè)回歸系數(shù)bi和一個(gè)常數(shù)項(xiàng)a的解。教材從直線回歸的內(nèi)容開(kāi)始就介紹了利用矩陣計(jì)算三級(jí)數(shù)據(jù)a和b并進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)的方法，以此作為用矩陣進(jìn)行多元回歸與相關(guān)分析的鋪墊。這在當(dāng)今電腦普及的時(shí)代意義非同小可，因?yàn)橛镁仃囘M(jìn)行回歸與相關(guān)分析可一石三鳥(niǎo)：⑴更容易理解計(jì)算機(jī)解方程的程序；⑵其中的m+1階(或m=k階)逆矩陣可驗(yàn)證所得方程組的解是否正確包括其精度是否足夠；⑶該逆矩陣的對(duì)角線上的元素用于檢驗(yàn)回歸與相關(guān)關(guān)系的顯著性非常方便。第18頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四

13.3711.356934914.1216.9744374X＝∶∶∶Y＝∶

17.8761.9369384739.34236.8408X`X＝39.34236.84081508.0760

236.84081508.076010029.76172688X`Y＝

15229.5692170.76E:\matlabR12\bin\win32\matlab.exe165.03532698b＝

74.89269841

－5.96825397

圖11.13小麥孕穗期葉面積指數(shù)與產(chǎn)量的關(guān)系至此即獲得了二元線性回歸方程y2＝165.03532698＋74.89269841x1

－5.96825397x2y2=165.04＋74.89x－5.97x2二、建立多項(xiàng)式回歸方程第19頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四本例互逆矩陣驗(yàn)算結(jié)果

(m＋1)×(m＋1)

34.52472939－12.762465601.10370464(X`X)-1＝

－12.762465604.81693498

－0.422904171.10370464－0.422904170.037624930.99926016－0.00000296－0.00001274

(X`X)(X`X)-1＝－0.023255000.99990676

－0.00040240

－0.04719600－0.000188300.99919211

1

00

≈

I

＝

0

1

0

0

0

1

739.34236.8408X`X＝

39.34236.84081508.0760236.84081508.076010029.7617第20頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四多項(xiàng)式回歸分析中，Y變量的總平方和SSY亦可分解為回歸和離回歸兩部分,即：SSY＝SSU＋SSQ

上式中，SSU為k次多項(xiàng)式的總回歸效應(yīng)平方和，即Y變量總變異中能被X的k次多項(xiàng)式所說(shuō)明的部分，計(jì)算過(guò)程用矩陣表述為：SSY＝Y(jié)`Y－(1`Y)2/n

＝1034112.00－26882/7＝1920.00SSQ為k次多項(xiàng)式的離回歸平方和，其中：SSQ＝Y(jié)`Y－b`(X`Y)＝12.7143

＝1034112.00－(165.0353269874.89269841–5.96825397)(X`Y)SSU

＝SSY－SSQ＝1920.00－12.7143＝1907.2857

也可利用二、三級(jí)數(shù)據(jù)直接計(jì)算總回歸效應(yīng)平方和SSU：

SSU

＝b1SP10＋b2SP20＝1907.9436

＝74.9362×123.0000＋(-5.9721)×1223.8928SSQ

＝SSY－SSU＝1920.00－1907.9436＝12.0564三、多項(xiàng)式回歸的假設(shè)測(cè)驗(yàn)第21頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四㈠總回歸關(guān)系的F-test將Y變量的總平方和SSy分解成多項(xiàng)式回歸(SSU)和離回歸(SSQ)兩部分。前者由X的各次分量項(xiàng)的引起，包括一次回歸效應(yīng)和二次回歸效應(yīng)，具有自由度df＝k；后者與X的不同無(wú)關(guān)，具有自由度df＝n-(k+1)，也就是誤差效應(yīng)。于是：

F＝(SSU/k)/(SSQ/[n-(k+1)])可測(cè)驗(yàn)多項(xiàng)式回歸關(guān)系的真實(shí)性。根據(jù)本例已算得的結(jié)果，可作成方差分析表于下。該表的F測(cè)驗(yàn)結(jié)果極其顯著，表明用所得二次多項(xiàng)式來(lái)描述葉面積指數(shù)與畝產(chǎn)量是可行的。二次多項(xiàng)式回歸關(guān)系的F-test表

變異來(lái)源DFSSMSFF0.01

多項(xiàng)式回歸

21907.2857953.6429300.02**

18.00

離回歸

412.71433.1786

總61920.00第22頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四㈡總回歸關(guān)系的R-test同多元相關(guān)系數(shù)Ry.12..m相類似，k次多項(xiàng)式的回歸平方和占Y總平方和的比率的平方根值（記作Ry.x.x2,….,xk），可用來(lái)表示Y與X的多項(xiàng)式的相關(guān)密切程度，即有：Ry.x.x2,….,xk

＝√SSU/SSY

上式中的Ry.x.x2,….,xk叫相關(guān)指數(shù)。和線性相關(guān)的情況一樣：R2y.x.x2,….,xk＝SSU/SSY

表示k次多項(xiàng)式的決定系數(shù)，即在Y的總平方和SSY中，可由X的k次多項(xiàng)式引起的平方和SSU所占的比率。

Ry.x.x2,….,xk的顯著性可通過(guò)查表直接獲知。如本例查附表10，當(dāng)df＝4,k＝2(即附表10中的M＝k＋1＝3)時(shí)，R0.01＝0.949,于是:Ry.x.x2,….,xk＝√1907.2857÷1920.00＝0.9967**＞

R0.01

故Y與X的二次多項(xiàng)式的“復(fù)相關(guān)”(總回歸)關(guān)系極顯著。對(duì)于Ry.x.x2,….,xk的測(cè)驗(yàn)和本例F-test結(jié)論完全一致，擇一即可。但不論F-test還是R-test都只是一個(gè)綜合性測(cè)驗(yàn)，表明葉面積指數(shù)與畝產(chǎn)量需要一個(gè)多項(xiàng)式來(lái)描述，并不能證實(shí)k次項(xiàng)或者其它各次項(xiàng)的顯著性。第23頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四㈢各次分量項(xiàng)偏回歸關(guān)系的F-test本例總回歸效應(yīng)極顯著既然不能排除多項(xiàng)式方程中個(gè)別乃至若干個(gè)分量項(xiàng)不顯著的可能性，就有必要分別對(duì)各次分量項(xiàng)進(jìn)行偏回歸關(guān)系的F-test。這與多元線性回歸中偏回歸關(guān)系的假設(shè)測(cè)驗(yàn)相類似，亦需先計(jì)算各次分量項(xiàng)的偏回歸平方和SSbi，即：SSbi＝bi2/C(i+1)(i+1)

此時(shí)SSbi具有自由度df＝1，故由：F＝SSbi/(SSQ/[n-(k+1)])可測(cè)驗(yàn)第i次分量是否顯著。本例由逆矩陣對(duì)角線上的元素算得Y對(duì)各次分量項(xiàng)的偏回歸平方和為：

SSb1＝74.892698412/4.81693498＝1164.4160SSb2＝(-5.96825397)2/0.03762493＝946.7142變異來(lái)源DFSSMSFF0。01一次分量11164.41601164.4160366.33**21.20二次分量1946.7142946.7142297.84**離回歸412.71433.1786

總61920.00

結(jié)果表明，在用二次多項(xiàng)式描述葉面積指數(shù)與畝產(chǎn)量時(shí)，二次分量和一次分量均應(yīng)保留（但SSU≠SSb1＋SSb2

！

）。第24頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四各次分量項(xiàng)的F測(cè)驗(yàn)表變異來(lái)源DFSSMSFF0。01一次分量11164.41601164.4160366.33**21.20二次分量1946.7142946.7142297.84**離回歸412.71433.1786

結(jié)果表明，在用二次多項(xiàng)式描述教材表11.4資料時(shí)，二次分量和一次分量均應(yīng)保留。㈢各次分量項(xiàng)偏回歸關(guān)系的F-test第25頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四課后習(xí)題以光呼吸抑制劑亞硫酸氫鈉的不同濃度溶液（x,100mg/L）噴射滬選19水稻，2小時(shí)后測(cè)定劍葉的光合強(qiáng)度（y,co2mg/dm/h），得結(jié)果于下表。試計(jì)算（1）光合強(qiáng)度依亞硫酸氫鈉濃度的多項(xiàng)式回歸方程及離回歸標(biāo)準(zhǔn)差。（2）光合強(qiáng)度最高時(shí)的亞硫酸氫鈉濃度。X012345Y19.1023.0523.3321.3320.0519.35第26頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四第四節(jié)協(xié)方差分析例7.4有一大豆浸種試驗(yàn)研究結(jié)果，k＝10，隨機(jī)區(qū)組設(shè)計(jì)，n＝3，每個(gè)試驗(yàn)小區(qū)（1.5m2）點(diǎn)播的種子粒數(shù)均等。以各小區(qū)大豆收獲時(shí)的籽粒干重（10g）為試驗(yàn)指標(biāo)進(jìn)行觀察記載?？紤]到每個(gè)小區(qū)結(jié)莢株數(shù)只占小區(qū)總株數(shù)的一部分，并且與該小區(qū)試驗(yàn)指標(biāo)之間可能存在著回歸關(guān)系，故在稱量小區(qū)干重y的同時(shí)，對(duì)其結(jié)莢株數(shù)x一并予以記載（見(jiàn)下圖），試進(jìn)行協(xié)方差分析。N6.5J176.5E206.8I157.3D1210.8G198.0B1910.5H2010.1F228.0C149.7A2513.0B2117.5F2313.3J2418.4H2216.5C2816.0A2017.2D2414.0I2318.8G2615.5E2115.0A2619.5C3020.6D2914.3E2623.2G3714.8F2815.5I2915.4J2820.5H2616.4B27肥力梯度第27頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四一、數(shù)據(jù)整理處理XYXYXYTxtTytXt?t?t`A259.72016.02615.07140.723.6713.5713.49B198.02113.02716.46737.422.3312.4712.75C148.02816.53019.57244.024.0014.6714.50D127.32417.22920.66545.121.6715.0315.49E206.52115.52614.36736.322.3312.1012.38F2210.12317.52814.87342.424.3314.1313.87G1910.82618.83723.28252.827.3317.6016.53H2010.52218.42920.56849.422.6716.4716.66I156.82314.02615.56736.322.3312.1012.38J176.52413.32815.46935.223.0011.7311.83Txr183232286701ΣXΣY419.623.37x?13.99Tyr84.2160.2175.2Cx＝(ΣX)2/nk＝16380SSx＝ΣX2

－Cx＝816.97Cy＝(ΣY)2/nk＝5868.8SSy＝ΣY2

－Cy＝628.69Cxy＝ΣXΣY/nk＝9804.7SPT＝ΣXY－Cxy＝574.16第28頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四二、dfT、SPT、SSx、SSy的分解dfT＝dft＋dfr

＋dfe29

＝9

＋2＋18SPT＝SPt

＋SPr＋SPeSPt＝ΣTxt·Tyt/n－Cxy＝52.68＝71×40.7＋67×37.4＋…＋69×35.2SPr＝ΣTxr·Tyr/k－Cxy＝463.57

＝183×84.2＋232×160.2＋286×175.2SPe＝SPT－SPt－SPr

＝57.91SSxt＝ΣTxt2/n－Cx＝71.64＝(712＋672＋……＋692)/3－16380SSxr＝ΣTxr2/k－Cx＝530.87＝(1832＋2322＋2862)/10－16380SSxe＝SSx

－SSxt－SSxr＝214.46SSyt＝ΣTyt2/n－Cy＝106.41＝(40.72＋37.42＋…＋35.22)/3－5868.8SSyr＝ΣTyr2/k－Cy＝476.07＝(84.22＋160.22＋175.22)/10－5868.8SSye＝SSy

－SSyt－SSyr＝46.21三、SSye、dfye

的再分解與F-testSSue＝SPe2/SSxe＝15.64

＝57.912/214.46SSQe＝SSye－SSue＝30.57

＝46.21－15.64dfye＝dfue＋dfQe18

＝1＋17得檢驗(yàn)回歸關(guān)系的ANOVA表如下：SOVDFSSMSFF0.01回歸115.6415.648.69**

8.41離回歸1730.571.80總1846.21

本例因?yàn)榻Y(jié)莢株數(shù)與籽粒干重的直線回歸關(guān)系極其顯著，必須將試驗(yàn)指標(biāo)的方差分析過(guò)程與回歸分析結(jié)合起來(lái)，也就是要做協(xié)方差分析。否則（即回歸關(guān)系的F-test不顯著）,就可不必理睬協(xié)變量而直接對(duì)干重指標(biāo)進(jìn)行方差分析。第29頁(yè)，共33頁(yè)，2023年，2月20日，星期四四、列協(xié)方差分析表，修正部分?jǐn)?shù)據(jù)后再進(jìn)行F-testSOVDFSSxSPSSySSy`DF`MS`FF0.01

處理t971.6452.68106.4179.3098.894.89**3.68

誤差e18214.4657.9146.2130.57171.80t＋e27286.10110.59152.62109.8726

區(qū)組2530.87463.57476.07

總29816.97574.16628.69

既然協(xié)變量x與試驗(yàn)結(jié)果y之間的回歸關(guān)系極其顯著，各誤差項(xiàng)或包含有誤差項(xiàng)的數(shù)據(jù)（平方和）就必須再分解為回歸效