直線的傾斜角和斜率,直線方程

一直的斜和率．直線的傾斜角概念的注意點(diǎn)：）注意旋轉(zhuǎn)方向：逆時(shí)針）規(guī)定平行x（或與x軸重合）的直線傾斜角為0°）直線傾斜角的范圍是0°<180°．直線的傾率：直線的傾斜角的正切值tan（斜角不為時(shí)）。概念注意點(diǎn)：）傾斜角為的直線無斜率）斜率k可是任何實(shí)數(shù)，每條直線都存在唯一的傾斜角，但不是每條直線都有斜率）=0°，；時(shí)，k>0=90°，存在<180°，k<0。．斜率公式：設(shè)直線l傾斜角為(≠90°)P(x，P(x，y)(x)是直線l上同兩點(diǎn)，直線l的斜12率為k，則：

，當(dāng)

=90°時(shí)，或x=x時(shí)，直線l垂于軸，它的率不存在。1例．過A(-20)，B(-5兩點(diǎn)的直線的斜率和傾斜角。解k==-1，即tan，∵0°≤

<180°，∴

。點(diǎn)：知直線的斜率，可以直接得出直線的傾斜角，但要注意角的范圍。例．直線l的率為k且，求直線傾斜角解1當(dāng)-1<k<0時(shí)，∈)，則，

的范圍。當(dāng)時(shí)

=0，當(dāng)0<k<1時(shí)

∈(0

)，則0<<解2作

，

∈，π)時(shí)的圖形：由上圖可知：-1<k<1時(shí)∈，）（）。點(diǎn)：1、當(dāng)直線的斜率在某一區(qū)間內(nèi)時(shí)要注意對傾斜角范圍的討論。、利用正切函數(shù)圖像中正切來表示傾斜角和斜率關(guān)系也是一種很好的方法。二直方的種式．兩個(gè)獨(dú)立的條件確定一條直線，常見的確定直線的方法有以下兩種（1）由一個(gè)定點(diǎn)和確定的方向可確定一條直，這在解析幾何中表現(xiàn)為直線的點(diǎn)斜式方程及其特例斜截式1

程。（2）由兩個(gè)不重合的點(diǎn)確定一條直線，這在析幾何中表現(xiàn)為直線的兩點(diǎn)式方程和其特例截距式。．點(diǎn)斜式和斜截式方程（1）經(jīng)過定點(diǎn)P(x，y)，斜率為k直線l方程為y-y)稱為直線方程的點(diǎn)斜式。00000（2）當(dāng)定點(diǎn)P(x，y)是直線l與y軸交點(diǎn)(0b)時(shí)，方程成為y=kx+b稱為直線方程的斜截式。0注：①由于點(diǎn)斜式與斜截式方程都是用斜率k來表的，故這兩類方程不能用于表示垂直于x軸直線，這點(diǎn)在解題中應(yīng)注意，否則會漏解。②斜截選擇的是縱截距，但距離是兩回事。．（）經(jīng)過不同的兩點(diǎn)(x，y)，(x，y)(x≠x，y)的直線方程：，稱為直線的12122兩點(diǎn)式方程。（2）當(dāng)直線經(jīng)過特殊兩(a，0)，，，即在，y軸的截距分別為a，，且，時(shí)直線的方程為：

，稱為直線的截式方程。注截距式方程是兩點(diǎn)式方程特例們具有更大的局限性點(diǎn)方程不能表示與坐標(biāo)軸平的直線；截距式方程不能表示與坐標(biāo)軸平行的直線和經(jīng)過原點(diǎn)的直線。②截距式方程通常用于解決直線與坐標(biāo)軸所圍成三角形的面積與周長等問題。例．傾斜角是直線y軸的截距為-。解∵直線x+1中k=-

的斜角的一半，且別滿足下列條件的直線方程。①經(jīng)過(-4，1)②在，∴此直的傾斜角為，由題意，所求直線的傾斜角為，斜率k'=①過點(diǎn)-4，，，即:

。+1②∵在y軸截距為10∴y=。點(diǎn)：1.通過已知直線求出所求直線的斜率，后分別由點(diǎn)斜式和斜截式求出直線的方程．最后結(jié)果往往表達(dá)成斜截式的形式。例．滿足下列條件的直線方程。(1)過點(diǎn)，，，。(2)在x軸y軸上的截距分別為4，-5。(3)過點(diǎn)，且在坐標(biāo)軸上截距相。解由兩點(diǎn)式方程得：化簡得。由截距式得：(3)當(dāng)l過點(diǎn)時(shí)l的程為，得3x-2y=0。

=1。當(dāng)l不原點(diǎn)時(shí)，設(shè)l的程為

=1∵過點(diǎn)，3)，∴

=1，即a=5?！鄉(xiāng):x+y=5。點(diǎn)：①要根據(jù)不同的要求，選擇當(dāng)?shù)姆匠绦问?。②截距相等要注意分過原點(diǎn)和不過原點(diǎn)兩種情況考慮。例．線l過點(diǎn)A(-2，3)且與兩坐標(biāo)軸圍三角形的面積為，求直線l的程。解要與坐標(biāo)軸圍成三角形，則l不垂直于x軸，設(shè)l的方程為y-3=k(x+2)2

22令，，y=0，得x=--2，于是l在軸上的截距分別-和。22由題意得：|(2k+3)(-，即：+2)=±8若(+2)=8，化簡得：4k+4k+9=0，∈。若(+2)=-8，化簡得：4k。解得：k=-1

，k=-2

。故所求直線方程為y-3=-或。即x+2y-4=0，或9x+2y+12=0點(diǎn)：①在點(diǎn)斜式或斜截式方程中都有斜率，我們常把k作為未知數(shù)引入待定。②在截距上加了絕對值后才能使之成為線段長度。③本題用設(shè)截距式方程來求解還要簡單一些。本課練：．已知M(2-3)，，-2)直線l過P(1，1)，且與線段MN交，求直線l斜k的圍。提：k=-4，k=PMPN

，∴斜率k的范圍為-，[

，。．一直線過點(diǎn)，，且與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為，求此直線方程。解1同例，過程略。解2設(shè)l的程為

=1由題意：，得：

或，∴直線程-，化簡得：8x-5y+20=0，。在測選題1．若ab>0，ac>0，直線ax+by+c=0不過的象限是（）A、一B、二C三D四2．直線ax+by-ab=0(ab<0)的斜角是（）A、B、C、D、3．直線y=x·cos(arctank)+b(k<0)傾斜角是（）A、B、

C、D3

4．直線3x+2y=6的斜α的余弦值是（）A、B、CD5．直線3x-y=2的距式方程是）A、B、CD、6．直線x+2y+3=0的傾角為（）A、arctan(-)B、arctanC+arctanD、-arctan7．如果直線l沿x軸負(fù)向平移3單位，再沿y軸正方向平移一個(gè)單位后，又回到原來的位，那么直線l的斜是（）A、-B、CD、8．直線2x+y-3=0關(guān)于點(diǎn)A(11)對稱的直線方程為（）A、2x+y+3=0B、2x+y-3=0C2x+y=0D、2x+y-9=09．直線l：繞與的交點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)

所得直線的方程是（）A、x+y+2=0B、x+3y-2=0

C、3x-y-3=0

D、3x+y-6=010．將直線2x-3y-6=0繞著它與的交點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°的角后，在x軸的截距是（）A、-B、C-D答與析答：、2AB4、B5、D6、D7、A8、9、D10、B解：1.解：到帶有字母系數(shù)的問題，往往用特殊值法為簡便，由ab>0ac>0可為兩種情況：①，，c>0，設(shè)a=3，b=2，，則得直線方程3x+2y+1=0顯然不經(jīng)過第1象。②，，c<0，設(shè)a=-3，，c=-1，得同于①的結(jié)果。根據(jù)①，②應(yīng)選A。2．答案：。3．解：θ=arctank，k<0知，，令直線的傾斜角α，則且，選B。

另：接取k=-1代入驗(yàn)證。4．答案：。5解：線方程截距式為不正確，可排除A；

=1。由于方程

等號右端的常數(shù)項(xiàng)不是1，它不是截距式，因此A4

由于方程

中

前面是-”號。它不是截距式，可排除B由于方程

中

的分子前面系數(shù)不是1，不是截距式，可排除；由于方程

是由方程3x-y=2同變形得到的，且與直線方程截距式=1的式完全相符，它是截距式方程，故本題應(yīng)選D。6．解：直線的斜率k=-

<0知該直線的傾斜角在，π)內(nèi)因題設(shè)選擇支中只有與D示鈍角，并且tan(+arctan)=-cot(arctan)=-2-，tan(π-arctan)=-tan(arctan)=-，∴選。評：直線的傾斜角一定要注意范圍。7．解：題考查直線斜截式方程、平移公式。若此直線平行于y軸其方程為x=x，那么，沿x軸負(fù)方向平移3個(gè)位，得到x=x；y軸方向平移一個(gè)單位后得x=x-3，x=x不同不滿足題設(shè)條件，因此所求直線與y軸不行，它的斜率存在。設(shè)方為y=kx+b向左平移3個(gè)單得到l：y=k(x+3)+b，向平移1個(gè)位得到：y=k(x+3)+b+1。為與重，所以，以，k=-。選A。8．解用排除法設(shè)直線上點(diǎn)B(x，y)于A(1，1)稱的點(diǎn)為B'，則B'(2-x，2-y)，∵在線上∴2(2-x)+(2-y)-3=0即。故本題應(yīng)選。另：特值法?！唿c(diǎn)A(11)直線2x+y-3=0上∴直線關(guān)于A對的直線為其本身。故本題應(yīng)選B。9．解：直接法。l與軸于2，0)點(diǎn)，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)∴直線方程3x+y-6=0。故本題應(yīng)選D

后斜率為，10．解：直接法。已知直線斜率，轉(zhuǎn)°，直線斜率為k==5，此時(shí)直線方程為。y=0得，本題應(yīng)選。求線程一技例1.過點(diǎn)P（3）作直線l使它們被兩相交直線和所截得的線段恰被點(diǎn)分，求直線l的程。解：點(diǎn)y∵點(diǎn)（，）是線段AB的點(diǎn)，∴由中坐標(biāo)公式可設(shè)點(diǎn)(6-x,-y)，1111∵點(diǎn)A、B分別在直線和x+y+3=0上5

∴，之得由兩點(diǎn)式方程得直線l的方程為，即例求過點(diǎn)P（，），且滿足條件：與x軸y軸分別交于AB兩，且∶|BP|=3∶5的線方程。解：是

的分點(diǎn)，∴，設(shè)，0),B(0,b)，則，當(dāng)（，-4）是

的內(nèi)分點(diǎn)時(shí)，，定比分公式得當(dāng)（，-4）是

由直線方程截距式得所求直線方程為，即的外分點(diǎn)時(shí)，，定比分點(diǎn)公式可求得，故所求直線方程為4x-3y+8=0。例3射OAOB與x軸