知識(shí)講解-平面向量的實(shí)際背景及基本概念-基礎(chǔ)

平向的際景基概【習(xí)標(biāo)1.了解向量的實(shí)際背景.2.理解平面向量的含義，理解向的幾何表示的意義和方.3．掌握向量、零向量、單位向、相等向量的概念，會(huì)表示向.4．理解兩個(gè)向量共線的含義.【點(diǎn)理要一向的念1．向量既大小又有方向的量叫做向.2．?dāng)?shù)量：只有大小，沒(méi)有方向量（如年齡、身高、長(zhǎng)度、面積、體積和質(zhì)量等數(shù)．要詮：（）書(shū)所學(xué)向量是自由向量，即只有大小和方向，而無(wú)特定的位置，這樣的向量可以作任意移．（）一個(gè)量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個(gè)要素．（）量與數(shù)量的區(qū)別：數(shù)量與數(shù)量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大?。虻氖?．有向線段：具有方向的線段做有向線段，有向線段包含三個(gè)要素：起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度．2.向量的表示方:(1)字母表示法如

a,,

等(2)幾何表示法以A為點(diǎn)B終點(diǎn)作有向線段

AB

（注意始點(diǎn)一定要寫(xiě)在終點(diǎn)的前面用一條有向線段

AB

表示向量，通常我們就說(shuō)向量

AB

.要詮：（）字母表示向量便于向量運(yùn)算；（）有向線段來(lái)表示向量，顯示了圖形的直觀性．應(yīng)該注意的是有向線段是向量的表示，不說(shuō)向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個(gè)要素，用有向線段表示向量時(shí)，與它的始點(diǎn)位置無(wú)關(guān)，即同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量或相等的向量．要三向的關(guān)念1．向量的模:向量的大小叫向量(就是用來(lái)表示向量的有向線段的長(zhǎng))要詮：（）量

的模

|a

．（）量不能比較大小，但

||

是實(shí)數(shù)，可以比較大?。?．零向量長(zhǎng)為零的向量叫零.記作

，它的方向是任意的．3．單位向量:長(zhǎng)度等于1個(gè)位向.要詮：（）畫(huà)單位向量時(shí)，長(zhǎng)度1可根據(jù)需要任意設(shè)定；（）一個(gè)向量除以它的模，得到的向量就是一個(gè)單位向量，并且它的方向與該向量相同．4．相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相的向.要詮：在平面內(nèi)，相等的向量有無(wú)數(shù)多個(gè)，它們的方向相同且長(zhǎng)度相等．

要四向的線平方向相同或相反的非零向量，叫共線向共線向量又稱(chēng)為平行向).規(guī)定:

與任一向量共線.要詮：1.零向量的方向是任意的，注意0

與的含義與書(shū)寫(xiě)區(qū).2.平行向量可以在同一直線上區(qū)別于兩平行線的位置關(guān)系共線向量可以相互平行要?jiǎng)e在同一直線上的線段的位置關(guān).3．共線向量與相等向量的關(guān)系相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．【型題類(lèi)一向的本念例．下列各題中，哪些是向量？哪些不是向量？（1）密度）浮力）風(fēng)速）度．【思路點(diǎn)撥】抓住向量的兩個(gè)特征：長(zhǎng)度和方向進(jìn)行辨析．【解析】浮力和風(fēng)速既有大小又有方向，所以是向量，其他的量只有大小沒(méi)有方向，不是向量故（3是向量）是向量．【總結(jié)升華】實(shí)問(wèn)題中的一量，如溫度、電量等，盡管它們有正、負(fù)之分，但沒(méi)有方向，故表示數(shù)量，而向量是一個(gè)既有大小又有方向的量，如位移、速度、加速度、力等．向量和數(shù)量是有質(zhì)區(qū)別的兩個(gè)概念．舉反：【變式1】下列物理量中，不能稱(chēng)為向量的（）A質(zhì)量速度C位移D．【答案】A例22015春山梁山縣期中）下列說(shuō)法：①平行向量一定相等；②不相等的向量一定不平行；③共線向量一定相等；④相等向量一定共線；⑤長(zhǎng)度相等的向量是相等向量；⑥平行于同一個(gè)向量的兩個(gè)向量是共線向量．其中，說(shuō)法錯(cuò)誤的是________．【答案】①②③⑤⑥【解析】①平行向量不一定相等，因此①不正確；②不相等的向量可能平行，因此②不正確；③共線向量不一定相等，因此③不正確；④相等向量一定共線，正確；⑤長(zhǎng)度相等的向量不一定是相等向量，因此⑤不正確；⑥平行于同一個(gè)向量的兩個(gè)向量是共線向量，不一定正確．例如：給出不共線的非零向量a它們都與

平行，此時(shí)

，

不共線．綜上可得：說(shuō)法錯(cuò)誤的是①②③⑤⑥．故答案為：①②③⑤⑥

舉反：【清堂平向的際景基概例】【變式】判斷下列命題的正誤：（）向量與非零向量平行；（）度相等方向相反的向量共線；（）向量a與量共線，則與都非零向量；（）兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)、方向、長(zhǎng)度必須相等；（）兩個(gè)向量的模相等，則這兩個(gè)向量不是相等向量就是相反向量。（）非零向量,

是共線向量，則A、、、四共線；（）線的向量一定相等；（）等的向量一定共線．【答案】√√√××××√【變式】下列說(shuō)法正確的個(gè)數(shù)()①向量AB//DC，直線AB//直;②兩個(gè)向量當(dāng)且僅當(dāng)它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)才相等；③向量既有向線段AB；④在平行四邊形

ABCD

中，一定有

DC

.A.0個(gè)B.1個(gè)C.2個(gè)D.3個(gè)【答案】類(lèi)二向的示法例．在如圖所示的坐標(biāo)中，用直尺和圓規(guī)畫(huà)出下列向量．（1）

|OA

，點(diǎn)A在O正西方向；（2）

|OB2

，點(diǎn)B在O北西45方向；（3

|

，點(diǎn)C在O南東60°方向．【解析】如所示．【總結(jié)升華準(zhǔn)畫(huà)出向量的方法是先確定向量的起點(diǎn)確定方向然后根據(jù)向量的大小確定量的終點(diǎn)．例4．如下圖，E、、GH分是四邊形ABCD的各邊中點(diǎn)，分別出圖中：

(1)與向量(2)與向量(3)與向量

HGHGHG

相等的向量；平行的向量；模相等的向量；(4)與向量HG模相等、方向相反的向量．【解析】(1)與量HG相的向量有EF.(2)與向量HG平的向量有EF、FE、AC、CA、GH.(3)與向量HG模等的向量有G、EF、FE.(4)與向量HG模等、方向相反的向量有GH、FE.舉反：【變式2016安徽泗縣月考）如圖，，分別是△的AB，BC，CA的中點(diǎn)，在以A，B，，D，為起點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中，（1找出與向量EF相的量；（2找出與向量DF共線的量．【解析】（1）∵，F(xiàn)分為，的點(diǎn)，∴EFBA，且

12

，又是BA的點(diǎn)，∴

EFBD

，∴與向量

EF

相等的向量是

BDDA

；（2D，分為BA，AC的點(diǎn)，∴DF∥BC且

12

，又是BC的中點(diǎn)，∴

BEEC

，∴與向量DF相的向量是,EC．【變式2）向量OA相的向量有多少個(gè)？并把這些向量寫(xiě)出來(lái)．

（）否存在與向量

O

長(zhǎng)度相等、方向相反向量？（）向量

OA

共線的向量有哪些？【解析）3個(gè)CB、DO、EF（）在AO、、FE、BC（3向量

OA

共線的向量有：

AO

、

、

、

OD

、

DO

、

EF

、

FE

．類(lèi)三利向相或線行明例．如圖所示，四邊形ABCD，ABDC，、M分是、上的點(diǎn)，且

MA

．求證：

．【思路點(diǎn)撥】證明DNMB，證明這兩個(gè)向量的方向相同和大小相等．【證明】∵

，∴

|AB|DC|

且∥，∴四邊形ABCD是行四邊形，∴

|CB|

且DA∥．又∵與的向同，∴CBDA．同理可證，四邊形CNAM是行邊形，∴

CM

．∵

|CB|DA|，|CMNA

，∴

|MBDN

，又DNMB的向同，∴．【總結(jié)升華】本題主要目的是應(yīng)用四邊形的判定定理體會(huì)向量與幾何的聯(lián)系．若|ABDC