知識講解直線、平面平行的判定提高

直、面行判【習標1.掌握直線與平面平行的判定定；2.掌握兩平面平行的判定定理；3．能熟練應用直線與平面、平與平面平行的判定定理解決相關(guān)問題．【點理【清堂線平的定性39945知識解1】要一直和面行判文語：直線和平面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與平面平行簡記為：線線平行，線面平.圖語：符語：ab，a//ba//要詮：

.（1用該定理判斷直線與面行時，必須具備三個條件：①直線a在面，即a②直線平面，即③直線，b平，即a∥．

；；這三個條件缺一不可，缺少其中任何一個，結(jié)論就不一定成立．（2定理的作用將直線和平面平行的判定轉(zhuǎn)化為直線與直線平行的判定，也就是說，要證明一條直線和一個平平行，只要在平面內(nèi)找一條直線與已知直線平行即可．要二兩面行判文語：如果一個平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平.圖語：符語：若a、b，ab，////，//要詮：（）理中平行于同一個平面的兩條直線必須是相交的．（）理充分體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化的思想，即把面面平行轉(zhuǎn)化為線面平行，可概述為：線面平平行．

面面要三判平與面行常方1．利用定義：證明兩個平面沒公共點，有時直接證明非常困難，往往采用反證法．2．利用判定定理：要證明兩個面平行，只需在其中一個平面內(nèi)找兩條相交直線，分別證明它們平行于另一個平面，于是這兩個平面平行，或在一個平面內(nèi)找到兩條相交的直線分別與另一個平內(nèi)兩條相交的直線平行．

3．平面平行的傳遞性：即若兩平面都平行于第三個平面，則這兩個平面互相平行．【型題類一直與面行判例1已知，BC，是不在同一平面內(nèi)的三條線段EF，G分是，BCCD中點，求證：AC//面EFGBD//面EFG【解析】欲證明AC∥平面EFG，根據(jù)直線和面平行的判定定理，只需證明AC平行于平面內(nèi)的一條直線，如右圖可知，只需證明AC∥．證明：如右圖，連接ACBD，，，EG．在△中E，分是，BC中點，∴ACEF，又AC

平面EFGEF

平面，于是AC∥平面EFG同理可證BD平面EFG．【結(jié)華線面平行的判定定理判定直線與平平行的順序是在平面內(nèi)尋找直線的平行線）明兩條直線平行）判定定理得出結(jié)論．例．已知有公共邊兩個全等的矩形ABCD和不同一個平面內(nèi)PQ分為對角線BD上點，且AP=DQ如右圖．求證PQ平面CBE．證：PM交BE點M，QNBC于，PM∥．∴

PMEPBQ，．∵AP=DQ，∴．又∵，EA=BD，∴PM//QN∴四邊形PMNQ是平行四邊形．∴∥．綜上，PQ面CBEMN平面CBE又∵∥MN，PQ平面．【總結(jié)升華】證線面平行，需證線線平行，尋找平行線是解決此類問題的關(guān)鍵．舉反：【變式】如右圖所示，在四棱錐—，底面ABCD是矩形⊥平面ABCD，AP=AB，E，F(xiàn)別是，PC的中點．（1證明：EF∥平面；（2求三棱錐E—ABC的積V【解析）PBC中E，別是PB，PC的點，EFBC又BC∥，EF∥．又∵AD

平面PAD，EF

平面，∴EF平面PAD．（2連接AEAC，，過作EG交于，如下圖，則EG⊥平面ABCD且

EG

12

．在△PAB中AP=AB，∠PAB=90°，BP=2

∴

AB

，

22

．∴

S

ABC

11222

，∴

EABC

1S323

．【變式22016陜西模擬）如圖，在直四棱柱ABCD—

C11

中，底面ABCD為腰梯形AB∥CD，=4，=CD=2，，E，E分是棱，的點．11設F是AB的點，證明：直線EE∥面FCC．1【思路點撥】取

11

的中點為

1

，連接

1

，

1

，要證明直線

1

∥平面

FCC1

，只需證明

1∥

1

，就證明了

1

∥平面

FCC1

內(nèi)的直線，即可推得結(jié)論；【答案】詳見證明【證明】方法一：取

的點為，接FF，CF111

，由于

1

∥

1

∥

1

，所以

1

∈平面

FCC1

，因此平面

FCC1

即

為CFF平面．1連接，F(xiàn)C，由于FCD，所以四邊形DCF1111

為平行四邊形，因此

∥FC11

．又

1

∥

1

，得

1

∥

，EE平FCC，F(xiàn)C111

平面

FCC1

，故

1

∥平面

FCC1

．方法二：因為F為的中點=2AB，AB，所以CD，此四邊形AFCD為行四邊形，所以AD∥FC．

1

∥

1

，F(xiàn)C∩

1

=C，F(xiàn)C

平面

FCC1

，所以平面

A1

∥平面FCC，又面，以EE∥面．111【變式如所示是所平面外一點分別在PA上且PE∶＝∶FD．求證：∥面PBC．【證明】連接AF延交于G，連接．在ABCD中

易證△BFG△．∴

GFBFFD

，∴∥．而EF

平面，PG包于面PBC∴∥面PBC．例3．如果平面外的一條直線和平面任何一條直線都沒有公共點，則這條直線和平面平行．【證明】假設a不行∵a，∴與交．設a=A過A在內(nèi)作直b則，∴∩．這與已知矛盾，a．【總結(jié)升華】判定（或證明）直線與平面平行的常用方法：（1定義法：證明直線與平面沒有公共點，若直接證明有點困難，則借助反證法來完成證明．（2判定定理法：在平面內(nèi)找到一條直線與它平行，這是最常用的方法．（3面面法：利用面面平行的性質(zhì)（以后學習）來完成證明．舉反：【變式1】如圖所示，四面體A—BCD中EG別是棱BCCDDA的中點，則在四體的棱中，與平面行的有幾條？分別是哪幾條？【解析】因為，分別是BC的中點，所以∥BD，BD面EFG，

平面EFG所以BD∥平面EFG同理AC平；取AB的點H連接EHHG則HE∥ACFGHGBD∥EF，所以四邊形EFGH為行四邊形，所以E，GH四點共面，所以AH∩平面EFG=H，與平面EFG不行；另外易知，AD，BC與面EFG不行．所以，四面體的6條中，與平面EFG行的棱有2條，即BDAC類二平與面行判例4．已知正方體ABCD—ABCD，求證：平面ABD平面BDC11111【解析】要證明兩個平面平行，由面面平行的判定定理知：須在某一平面內(nèi)尋找兩條相交且都另一平面平行的直線．【證明】如圖，

//

AB，DAB，∴11

//

CD，11∴四邊形ABCD為行四邊形，AD∥．111又平ABD，面ABD，1111∴BC∥平面ABD1同理，BD平面D，1又BD，平面ABD∥面BDC．11【總結(jié)升華】利用面面平行的判定定理判定兩個平面平行的程序是1）在第一個平面內(nèi)找出（或作出）兩條平行于第二個平面的直線說明這兩條直線是相交直線由判定定理得出結(jié)論．例．三棱柱ABCAB，D是BC上一點，且B∥面ACD，D是B11111求證：平面BD∥面ACD111【答案】詳見證明【證明】連接交AC于，1∵四邊形ACC是行四邊形，1∴是AC中點，連接ED1

的中點．

∵B∥面AC，1ED包于平面AC，1∴B與ED沒交點，1又∵ED包于平面，B含于平面ABC1∴∥A．1∵是AC中點，D是的中點．1又∵D是C的點，11∴，D，111∴∥面AC，AD∥面D．1111又BD111∴平面BD∥面ACD111

，【總結(jié)升華】應用判定定理時，一定要注意“兩條相交直線”這一關(guān)鍵性條件，問題最終轉(zhuǎn)化證明直線和直線的平行．舉反：【清堂空面平的定性例】【變式】點是△ABC所平面外一點，

G,G13

分別eq\o\ac(△,是)PBC△APC，△ABP的心，求證：面

G//1

面ABC證明：連

PG3

，并延長分別交AB，AC于M，，MQ因為

G,G3

為重心，所以MQ分為所在邊的中點又直線PM∩PQ=P所以直線，PQ確平面PMQ,在△中，因為

G,G32

為重心，所以

32M1G3

，所以

G/MQ23

因為

G23

面，

MQ

面，

G/MQ23

，所以

G23

面ABC同理

G//13

面，因為

GG，GG面GG，GG13212133

，G23

面，

G//13

面，所以面

G//1

面.類三平平間離求例6．如右圖所示，已知正三棱柱AB—ABCE分是ACA111的中點．（1求證：平面AB∥平面BEC；1（2當該棱柱各棱長都為，求1中兩個平行平面間的距離．【解析兩行平面間的距離可轉(zhuǎn)化為線面距離終可轉(zhuǎn)化為點面距離．

11線面平行判定定理面面11線面平行判定定理面面（1由于AE

//

EC此四邊形AEC是行四邊形則AE∥則AE∥面BEC同，11111BE∥面．由兩平面平行的判定定理得，平面ABE∥平面BEC．11111（2設行平面與面BEC間距離等于，則點A到平面BEC的離等于，由等積法1得

13

A

ABE

13

CABE

，即

SABES

．易知∠，BEC°．1則

S

ABE

13a2228

2

，S

15a152，2225

．故（）中兩個平行平面間的距離等于

55

a

．【總結(jié)升華】證明面面平行，轉(zhuǎn)化為證明線面平行，而要證線面平行，轉(zhuǎn)化為證明線線平行，線線平行

行

面面平行，在立體幾何中，通過線線、線面、面面間的位置關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化，使問題順利得到解決．熟練掌握這種轉(zhuǎn)化的思想方法，就能找到題的突破口．這是高考重點考查證明平行的方法，應引起重視．若兩個平面平行，則一個平面內(nèi)任一點到另一個平面的距離即為這兩個平行平面間的距離．類地，若一條直線與一個平面平行，則這條直線上任意一點到平面的距離即為直線到平面的距離．因，面面距離、線面距離最終轉(zhuǎn)化為點到平面的距離，而求點到平面的距離多用等體積方法（如本例中用VA

=V）距離．舉反：【變式1】直四棱柱

ABC1111

中，底面ABCD為方形，邊長為2，側(cè)棱

1

，M、N分別為

、D1

的中點，E、分別是

、D1111

的中點．(1)求證：平面AMN∥面；(2)求平面AMN與平面的離【解析】(1)證明：連接，別交、EF于P、Q．連接AC11交BD于O連接AP、O