小學(xué)奧數(shù)知識(shí)匯總(個(gè)人總結(jié))

第一章計(jì)算專題考點(diǎn)分析1.數(shù)學(xué)基本功（四則混合運(yùn)算）加減法巧算：湊整法、見(jiàn)“9”寫(xiě)“10－1”(看整法)、基準(zhǔn)數(shù)、配對(duì)思想例如：725+45+655+2262014-563-484-516-437651-385+149643+（257－186）9+99+999+999967+66+74+72+68+70+69+75+71乘除法巧算：湊整法(4×25、8×125)、看整法、乘法分配律、提取公因數(shù)、等值變形例如：25×32×12843×9991003×65467×75＋25×4672929×22－88881÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷…÷（2010÷2011）÷（2011÷2012）（1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11）÷（27×25×24×22）注意：提取公因式時(shí)，如果前后沒(méi)有公因數(shù)時(shí)要觀察前后的數(shù)字有沒(méi)有倍數(shù)關(guān)系，然后把有倍數(shù)關(guān)系的數(shù)分裂成a×b的形式，再提取公因式，這種方法叫做整數(shù)的裂項(xiàng)。2.初中基本功（解方程）①用字母表示數(shù)：②方程的同解原理：1.有括號(hào)先去括號(hào)；2.移項(xiàng)要變號(hào)；3.合并同類項(xiàng)。③列方程解應(yīng)用題：設(shè)，列，解，答(驗(yàn)算）幾個(gè)重點(diǎn)：1.多元一次方程（兩種消元方法）2.分?jǐn)?shù)系方程（乘以最小公倍數(shù)去分母）3.特殊情況方程（輪換式方程組）無(wú)處不在的方程：直接運(yùn)用、解應(yīng)用題、幾何問(wèn)題、行程問(wèn)題、數(shù)論問(wèn)題……必須要熟練掌握的方程（組）：一元一次方程、二元一次方程組、三元一次方程組…特殊解方程技巧：設(shè)而不求＋打包思想直接假設(shè)＋間接假設(shè)例：3x＋12＝5x－1610(x＋2)＝4(2x＋7)20－4x＝6x＋107x＋6＝12x－4 12(x－2)＝5x＋42x＋50＝25×(2＋x)72－6x＝84－7x168－6x＝4(30－x)56－2(24－x)＝3x列方程解應(yīng)用題：1.小明的存錢罐里有5角和1元的硬幣共25枚，總錢數(shù)為19元。請(qǐng)問(wèn)：5角硬幣有____枚。3.分?jǐn)?shù)的計(jì)算（裂項(xiàng)、換元、通項(xiàng)歸納）①分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算：加減法、乘除法的運(yùn)算例：1．整體約分：2．連鎖約分：多分?jǐn)?shù)連乘，將分子、分母都化成乘積形式，伺機(jī)約分。②分?jǐn)?shù)的計(jì)算技巧：裂項(xiàng)（裂差、裂和）、換元、通項(xiàng)歸納例：【策略】1.反常的背后必有陰謀：找規(guī)律2.套用常用公式：裂項(xiàng)、平方和、立方和、平方差3.用簡(jiǎn)單字母代替：換元法4.很多題目不是做不出來(lái)，而是看不出來(lái)：整體觀察5.熟記一些骨灰級(jí)?？碱}型注意：分?jǐn)?shù)裂項(xiàng)：把分?jǐn)?shù)拆成分母中兩個(gè)因數(shù)的差，裂和是把分?jǐn)?shù)拆成分母中兩個(gè)因數(shù)的和。分?jǐn)?shù)換元：當(dāng)題目中出現(xiàn)大量相同或相似的數(shù)時(shí)，考慮換元，好寫(xiě)也好算。通項(xiàng)歸納：計(jì)算規(guī)律的終極方法。4.計(jì)算技巧（重要公式、常用結(jié)論）①兩個(gè)重要數(shù)列：求末項(xiàng)：首項(xiàng)＋(項(xiàng)數(shù)-1)×公差等差數(shù)列求項(xiàng)數(shù)：(末項(xiàng)-首項(xiàng))÷公差＋1求和：(首項(xiàng)＋末項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2（中間項(xiàng)×項(xiàng)數(shù)）高斯配對(duì)思想衍生公式：（1）1＋3＋5＋…＋(2n+1)＝n2（理解：從1開(kāi)始的連續(xù)奇數(shù)求和＝個(gè)數(shù)的平方）（2）2＋4＋6＋…＋2n＝n(n+1)（理解：從2開(kāi)始的連續(xù)偶數(shù)求和＝個(gè)數(shù)×比個(gè)數(shù)大1）（3）1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2（理解：自然數(shù)上坡下坡數(shù)列求和＝山頂?shù)钠椒剑├航鑱?lái)還去法等比數(shù)列求和乘公比錯(cuò)位相減法公式法例：②四個(gè)重要的公式：（1）平方和公式：12＋22＋32＋42＋52＋…＋n2＝EQ\F(1,6)n(n+1)(2n+1)（2）立方和公式：13＋23＋33＋43＋…＋n3＝(1＋2＋3＋4…＋n)2＝EQ\F(1,4)n2(n+1)2（3）平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)（理解：兩數(shù)的平方差＝兩數(shù)和×兩數(shù)差）（4）完全平方公式：(a±b)2＝a2＋b2±2ab（理解：首平方尾平方，2倍乘積看中央）例：③循環(huán)小數(shù)與分?jǐn)?shù)的互化：（1）純循環(huán)小數(shù)：0.4＝EQ\F(147,999)（2）混循環(huán)小數(shù)：0.1＝EQ\F(147-1,990)理解：分母：9的個(gè)數(shù)＝循環(huán)節(jié)位數(shù)0的個(gè)數(shù)＝不循環(huán)小數(shù)位數(shù)分子：從小數(shù)點(diǎn)后開(kāi)始，到第一個(gè)循環(huán)節(jié)結(jié)束減去不循環(huán)部分【策略】分?jǐn)?shù)小數(shù)靈活轉(zhuǎn)化：怎么容易怎么來(lái)，一般加減法用小數(shù)，乘除法用分?jǐn)?shù)。④重復(fù)數(shù)分拆：abcabcabc＝abc×1001001（理解：1的個(gè)數(shù)看重復(fù)了幾次；0的個(gè)數(shù)比循環(huán)節(jié)少1）⑤常用數(shù)的拆分：1001＝7×11×13111＝3×3712345679×9＝11111111111112＝1234321EQ\F(1,7)＝0.4285EQ\F(2,7)＝0.8571EQ\F(1,7)＝0.2857……5.定義新運(yùn)算、比較與估算：定義新運(yùn)算：照貓畫(huà)虎，or看透本質(zhì)找規(guī)律。難點(diǎn)就是尋找兩數(shù)之間的運(yùn)算規(guī)律。例：我們規(guī)定：△n＝n×(n＋1)，比如：△1＝1×2，△2＝2×3，△3＝3×4。請(qǐng)問(wèn)：⑴要使等式成立，那么方框內(nèi)應(yīng)填入多少？⑵計(jì)算：△1＋△2＋△3＋…＋△100。比較與估算：化小數(shù)，通分法，比倒數(shù)，設(shè)標(biāo)準(zhǔn)，糖水法，放縮法等等。例：已知，，比較A和B的大小，并計(jì)算出它們的差。計(jì)算是數(shù)學(xué)基本功，基本功一定要扎實(shí)，各重點(diǎn)中學(xué)都很看重，為必考考點(diǎn)。計(jì)算?？碱}型有兩種：區(qū)重點(diǎn)：分?jǐn)?shù)小數(shù)四則混合運(yùn)算——乘法分配律逆用。市重點(diǎn)：抵消思想—裂項(xiàng)，整體約分與連鎖約分等。第二章計(jì)數(shù)專題考點(diǎn)分析1.枚舉歸納（分類枚舉、數(shù)形枚舉）一般用于計(jì)數(shù)比較少的（10個(gè)以內(nèi)）情況，但是列舉要有順序，不能想一個(gè)列一個(gè)，容易遺漏。例：用兩個(gè)1，一個(gè)2，一個(gè)3可以組成多少個(gè)不同的四位數(shù)？2.加乘原理（分類相加、分步相乘）①加法原理與遞推法：加法分類，類類獨(dú)立。區(qū)分方法：或者…，或者…例：一樓梯共10級(jí)，規(guī)定每步只能跨上一級(jí)或兩級(jí)，要登上第10級(jí)，共有多少種不同走法？②乘法原理與優(yōu)先排序法、排除法：乘法分步，步步相關(guān)。區(qū)分方法：先…再…例：用0～9這十個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？3.排列組合（有序排列、無(wú)序組合）①排列：排列的表示方法及基礎(chǔ)解題題型。捆綁法：用于解決“必須排在一起”的問(wèn)題，先捆相鄰，再排整體。例：動(dòng)物園有5只金絲猴和3只大象，每只都要單獨(dú)表演一個(gè)節(jié)目，問(wèn)：如果3只大象的節(jié)目要排在一起，有多少種不同的排法？插空法：用于解決“必須分隔開(kāi)”、“不能相鄰”的問(wèn)題，先排別人，然后插空例：動(dòng)物園有5只金絲猴和3只大象，每只都要單獨(dú)表演一個(gè)節(jié)目，問(wèn)：如果每?jī)蓚€(gè)大象節(jié)目間至少安排一個(gè)金絲猴節(jié)目有多少種不同的排法？定序法：用于隊(duì)列中有人位置固定的問(wèn)題，先排列所有人，再把固定位置的人的順序除去例：有8個(gè)豆苗寶寶排隊(duì)合影，甲站在乙的左邊，且乙站在丙的左邊的不同排法有多少種？排除法：用于從正在考慮過(guò)于復(fù)雜的問(wèn)題，先排列所有的可能性，再把不可能的情況減掉例：還是這8個(gè)豆苗寶寶排隊(duì)合影，甲不站在左端，乙不站在右端的不同排法有多少種？②組合：組合的表示方法、組合的特殊公式及基礎(chǔ)解題題型插板法：專門解決無(wú)差異的物體放在不同位置的問(wèn)題例：將7個(gè)籃球分給3個(gè)同學(xué)，若每個(gè)同學(xué)至少得到1個(gè)籃球，有多少種分法？將7個(gè)籃球分給3個(gè)同學(xué)，若允許有的同學(xué)得不到籃球，有多少種分法？將13個(gè)籃球分給3個(gè)同學(xué)，若每個(gè)同學(xué)至少得3個(gè)籃球，有多少種不同的分法?注意：組合的插板法只能適用于“每人至少分一個(gè)的情況”，如果是分多或者不分，則要轉(zhuǎn)化條件成每人分一個(gè)的情況才可以。4.容斥原理（韋恩圖及意義）①容斥原理運(yùn)算原理：不考慮重疊，先計(jì)算結(jié)果，之后減去重疊部分的計(jì)數(shù)方式。韋恩圖：運(yùn)用代數(shù)思想，標(biāo)注條件對(duì)號(hào)入座例：某科室有12人，其中6人會(huì)英語(yǔ)，5人會(huì)俄語(yǔ)，5人會(huì)日語(yǔ)，3人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)俄語(yǔ)，2人既會(huì)俄語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，2人既會(huì)英語(yǔ)又會(huì)日語(yǔ)，1人三種語(yǔ)言全會(huì)。只會(huì)1種外語(yǔ)的人比1種外語(yǔ)也不會(huì)的人多個(gè)。②幾何題目中的應(yīng)用：找到中間懸空?qǐng)D形是由誰(shuí)跟誰(shuí)交叉得到的依據(jù)①中的成果列容斥算式例：在長(zhǎng)方形ABCD中，AD＝15cm，AB＝8cm，四邊形OEFG的面積是9cm2，求陰影總面積。5.概率與統(tǒng)計(jì)（古典概型、概率可乘性）概率的兩個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)：①古典概型：A的概率＝A發(fā)生的情況數(shù)÷情況總數(shù)②概率可乘性：相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率＝各個(gè)事件概率的乘積例：學(xué)校門口經(jīng)常有小販搞摸獎(jiǎng)活動(dòng)。某小販在一只口袋里裝有顏色不同的50只小球，其中紅球1只，黃球2個(gè)，綠球10個(gè)，其余為白球。攪拌均勻后，每2元摸一個(gè)球，獎(jiǎng)品的情況標(biāo)準(zhǔn)在球上（紅8元，黃5元，綠1元，白0元）。如果花4元錢，同時(shí)摸2個(gè)球，那么獲10元獎(jiǎng)品的概率是多少？6.計(jì)數(shù)方法綜合（標(biāo)數(shù)法、遞推法、對(duì)應(yīng)法、整體法）①標(biāo)數(shù)法：用于最短路線問(wèn)題。例：如圖，要從A去B，C不能通過(guò)，最短線路有______條。②遞推法：枚舉，找數(shù)列規(guī)律，從最簡(jiǎn)單的情況下思考遞變規(guī)律例：在平面上畫(huà)8個(gè)圓，最多可以把平面分成_______部分。③對(duì)應(yīng)法：通過(guò)一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，把復(fù)雜計(jì)數(shù)轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)的方法；結(jié)合抵消思想解決差值問(wèn)題。例：從1985到4891的整數(shù)中，十位數(shù)字與個(gè)位數(shù)字相同的數(shù)共有多少個(gè)？④整體法：找到共同特征，看成一個(gè)整體，同樣的道理，把復(fù)雜的情況簡(jiǎn)單化。計(jì)數(shù)比較抽象，考查條理性(分類、分步)，對(duì)小學(xué)生來(lái)說(shuō)殺傷力比較強(qiáng)！分類思想，枚舉觀察的解題思路為考查重點(diǎn)。一道題如果僅僅是因?yàn)閿?shù)大而顯得難，不用考慮，趕緊找規(guī)律，利用分類瓦解難題，利用特例或簡(jiǎn)單題目找解題方法。第三章數(shù)論專題考點(diǎn)分析1.整除問(wèn)題（整除問(wèn)題、整除特性、整除技巧）整除的四大系列：①2系列：能被2整除的只需看末一位能否被2整除能被4整除的只需看末兩位能否被4整除能被8整除的只需看末三位能否被8整除（依此類推）②3系列：能被3整除的只需看各位數(shù)字之和能否被3整除能被9整除的只需看各位數(shù)字之和能否被9整除（不能依此類推）能被99整除的從右開(kāi)始，兩位數(shù)為一段，各段數(shù)之和是99的倍數(shù)。③5系列：能被5整除的只需看末位是否為0或5能被25整除的只需看末兩位能否被25整除能被125整除的只需看末三位能否被125整除（依此類推）④7、11、13系列：從右開(kāi)始，三位數(shù)為一段，奇數(shù)段之和與偶數(shù)段之和的差如果是7、11、13的倍數(shù)，則其為7、11、13的倍數(shù)。另外：被11整數(shù)還有：從右開(kāi)始，奇數(shù)位之和與偶數(shù)位之和的差是11的倍數(shù)，則其也能被11整除。合數(shù)的整除特征：判斷一個(gè)數(shù)能否被某個(gè)合數(shù)整除，一般的方法先分解質(zhì)因數(shù)，觀察因數(shù)之間的關(guān)系。整除性質(zhì)：①如果自然數(shù)a為M的倍數(shù)，則ka為M的倍數(shù)。(k為正整數(shù))②如果自然數(shù)a、b均為M的倍數(shù)，則a＋b，a－b均為M的倍數(shù)。③如果a為M的倍數(shù)，p為M的約數(shù)，則a為p的倍數(shù)。④如果a為M的倍數(shù)，且a為N的倍數(shù)，則a為[M，N]的倍數(shù)。整除技巧：①除數(shù)分拆：(互質(zhì)分拆，要有特征)②除數(shù)合并：(結(jié)合試除，或有特征)③試除技巧：(末尾未知，除數(shù)較大)④同余劃刪：(從前往后，剩的純粹)⑤斷位技巧：(兩不得罪，最小公倍)例1：有一個(gè)兩位數(shù)不能被3、6、9整除，加上8后就能被3、6、9整除了，請(qǐng)問(wèn)這個(gè)兩位數(shù)最大是多少？例2：書(shū)法興趣小組的72名同學(xué)每人都買了一本相同的字帖，共計(jì)□85.□元，你能算出每本字帖多少錢么？例3：用1、2、3、4(每個(gè)數(shù)恰用一次)組成的四位數(shù)中，其中共有多少個(gè)能被11整除？2.約數(shù)倍數(shù)（約數(shù)三定律、完全平方數(shù)、短除模型）約數(shù)三定律：約數(shù)個(gè)數(shù)定律：(指數(shù)＋1)再連乘約數(shù)和定律：(每個(gè)質(zhì)因子不同次冪相加)再連乘約數(shù)積定律：自身的n次方(n＝約數(shù)個(gè)數(shù)÷2)例1：恰有8個(gè)約數(shù)的兩位數(shù)有______個(gè)。例2：360的所有約數(shù)的和為多少？所有約數(shù)的積為多少？短除模型例1：已知兩個(gè)自然數(shù)的和為54，其最小公倍與最大公約差為14，求這兩個(gè)數(shù)。若三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中存在兩個(gè)偶數(shù),那么它們的最小公倍數(shù)為三個(gè)數(shù)乘積的一半；若三個(gè)連續(xù)的自然數(shù)中只存在一個(gè)偶數(shù)，那么它們的最小公倍數(shù)為三個(gè)數(shù)的乘積。例2：3個(gè)連續(xù)的自然數(shù)的最小公倍數(shù)是9828,那么這3個(gè)自然數(shù)的和等于多少?完全平方數(shù)：①特征例1：一天，小明在做一道題，聲稱答案是完全平方數(shù)，只見(jiàn)這道題是這樣：A＝1＋1×2＋1×2×3＋…＋1×2×3×…×100，老師一眼就瞅出了小明說(shuō)錯(cuò)了，你發(fā)現(xiàn)了嗎？例2：記S＝(1×2×3×…×n)＋(4k＋3)，這里n≥3，當(dāng)k在1至100間取正整數(shù)時(shí)，有______個(gè)不同的k，使得S為一個(gè)正整數(shù)的平方？②奇數(shù)個(gè)約數(shù)完全平方數(shù)偶指性例3：已知自然數(shù)n滿足：12!除以n得到一個(gè)完全平方數(shù)，則n的最小值為_(kāi)______。例4：禮堂里有100盞燈，依次按1～100的順序排號(hào)。每盞燈由一根燈繩控制，拉一個(gè)亮，再拉一下滅。100個(gè)學(xué)生依次進(jìn)入禮堂，第1名學(xué)生把編號(hào)為1的倍數(shù)的燈都拉一下，第2名學(xué)生把編號(hào)為2的倍數(shù)的燈都拉一下……第100名學(xué)生把編號(hào)為100的倍數(shù)的燈都拉一下；最后禮堂里有________盞燈是亮的？③完全平方數(shù)在數(shù)論中的應(yīng)用：兩個(gè)因數(shù)均為完全平方數(shù)的話，積一定為完全平方數(shù)兩個(gè)因數(shù)均非完全平方數(shù)的話，積是否為完全平方數(shù)不確定例5：能否找到這么一個(gè)數(shù)，它加上24和減去30所得到的兩個(gè)數(shù)都是完全平方數(shù)？3.質(zhì)數(shù)合數(shù)（質(zhì)數(shù)明星、分解質(zhì)因數(shù)）質(zhì)數(shù)明星：2奇偶性；5個(gè)位例：當(dāng)P和P2＋5都是質(zhì)數(shù)時(shí)，P5＋5＝______。分解質(zhì)因數(shù)：1．質(zhì)數(shù)：快速判斷2．唯一分解定律3．見(jiàn)積就拆——大質(zhì)因子分析例1：6個(gè)奇數(shù)的和為98，積為4267305。這6個(gè)奇數(shù)中最大數(shù)與最小數(shù)的和為_(kāi)_____。例2：2001個(gè)連續(xù)自然數(shù)和為a×b×c×d，若a、b、c、d均為質(zhì)數(shù)，則a＋b＋c＋d的最小值為_(kāi)_____?！静呗浴?.題目中提到質(zhì)數(shù)，但不考分解質(zhì)因數(shù)的話，考慮質(zhì)數(shù)明星2和5；2.分解質(zhì)因數(shù)衍生考點(diǎn)：約數(shù)倍數(shù)分析法、乘積末尾0的個(gè)數(shù)問(wèn)題，見(jiàn)積就拆技巧。4.余數(shù)問(wèn)題（余數(shù)求解、帶余除法、同余問(wèn)題、剩余問(wèn)題）余數(shù)定律：1．利用整除性質(zhì)求余數(shù)2．利用余數(shù)性質(zhì)求余數(shù)3．利用除數(shù)分拆求余數(shù)帶余除式：代數(shù)思想，化簡(jiǎn)題目數(shù)論方程去余化乘，借助約倍關(guān)系逐步驗(yàn)證例：已知2008被一些自然數(shù)去除，余數(shù)都是10。這樣的自然數(shù)共有______個(gè)。同余問(wèn)題：1．同余定理：如果a與b除以m余數(shù)相同，則a、b之差為m的倍數(shù)。2．①②去余化乘，找倍試約。例：一個(gè)自然數(shù)除429、791、500所得余數(shù)分別是a＋5、2a、a。求這個(gè)自然數(shù)與a的值。剩余問(wèn)題：例1：17…103除以9余______。例2：利用余數(shù)性質(zhì)求余數(shù)：20092009除以9余______。例3：利用除數(shù)分拆求余數(shù)：÷45余______。數(shù)論一直是升初和杯賽考查最多的專題，保守估計(jì)，平均每套試卷25%分值考查數(shù)論。小升初數(shù)論考查三重點(diǎn)：約數(shù)個(gè)數(shù)定律逆用，完全平方數(shù)，短除模型。“代數(shù)思想＋枚舉驗(yàn)證”數(shù)論殺傷力最強(qiáng)的武器。第四章行程專題考點(diǎn)分析相遇問(wèn)題追及問(wèn)題環(huán)形問(wèn)題火車過(guò)橋流水行船變速問(wèn)題多次相遇多節(jié)點(diǎn)行程多人行程間隔發(fā)車變道問(wèn)題扶梯問(wèn)題走走停停鐘表行程接送問(wèn)題……行程問(wèn)題：1．行程問(wèn)題三要素：路程，速度，時(shí)間。2．基本公式：路程÷速度＝時(shí)間路程÷時(shí)間＝速度速度×?xí)r間＝路程相遇問(wèn)題：1．新三要素：路程和，速度和，相遇時(shí)間。2．新基本公式：路程和÷速度和＝相遇時(shí)間路程和÷相遇時(shí)間＝速度和速度和×相遇時(shí)間＝路程和3.注意：相遇問(wèn)題中的隱藏的路程差，如同追及問(wèn)題。追及問(wèn)題：1．新三要素：路程差，速度差，追及時(shí)間。2．新基本公式：路程差÷速度差＝追及時(shí)間路程差÷追及時(shí)間＝速度差速度差×追及時(shí)間＝路程差3．注意：①特點(diǎn)，兩人的時(shí)間相同；②難點(diǎn)，是找到兩人的路程差。例1：夏夏和冬冬同時(shí)從兩地相向而行，夏夏每分鐘行50米，冬冬每分鐘行60米，兩人在距兩地中點(diǎn)50米處相遇，求兩地的距離是米。例2：有甲、乙、丙3人，甲每分鐘走100米，乙每分鐘走80米，丙每分鐘走60米?，F(xiàn)在甲從A地，乙、丙兩人從B地同時(shí)出發(fā)相向而行。在途中甲與乙相遇6分鐘后，甲又與丙相遇。那么，A、B兩地之間的距離是米。例3：甲乙二人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，如果兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇，又已知乙每分鐘行50米，求A、B兩地的距離是米。環(huán)形問(wèn)題兩個(gè)重要考點(diǎn)：①同向而行：多走一圈，追上一次②相向而行：合走一圈，相遇一次例1：在300米的環(huán)形跑道上，田奇和王強(qiáng)同學(xué)同時(shí)同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑則半分鐘相遇，求兩人的速度各是多少？例2：佳佳和海海在操場(chǎng)上比賽跑步，海海每分鐘跑26米，佳佳每分鐘跑21米，一圈跑道長(zhǎng)50米，他們同時(shí)從起跑點(diǎn)出發(fā)，那么海海第四次超過(guò)佳佳需要分鐘。例3：在400米的環(huán)形跑道上，佳佳、海海兩人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，同向而行。4分鐘后，海海第一次追上佳佳，又經(jīng)過(guò)10分鐘海海第二次追上佳佳。已知海海的速度是每分鐘180米，那么佳佳的速度是，A、B兩地相距米。多次往返問(wèn)題：不同出發(fā)點(diǎn)的往返相遇：第一次相遇合走1個(gè)全長(zhǎng)，以后每次相遇合走2個(gè)全長(zhǎng)不同出發(fā)點(diǎn)的往返追及：第一次追及多走1個(gè)全長(zhǎng)，以后每次追及多走2個(gè)全長(zhǎng)相同出發(fā)點(diǎn)的往返相遇：每次相遇，合走2個(gè)全長(zhǎng)相同出發(fā)點(diǎn)的往返追及：每次追及，多走2個(gè)全長(zhǎng)例1：甲、乙兩車分別從相距60千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)，在A、B之間不斷往返．甲車的速度是每小時(shí)25千米，乙車的速度是每小時(shí)35千米．請(qǐng)問(wèn)：出發(fā)小時(shí)后兩車第5次迎面相遇。例2：甲、乙兩車從相距70千米的A、B兩地同時(shí)出發(fā)，在A、B間不斷往返行走，甲車每小時(shí)行40千米，乙車每小時(shí)行30千米，出發(fā)小時(shí)后甲第5次追上乙。例3：甲、乙兩車同時(shí)從A地出發(fā)，在相距70千米的A、B兩地之間不斷往返，甲車每小時(shí)行60千米，乙車每小時(shí)行80千米，出發(fā)小時(shí)后兩車第5次迎面相遇。例4：甲、乙兩車同時(shí)從A地出發(fā)，在相距50千米的A、B兩地之間不斷往返，甲的速度比乙快，第4次甲追上乙時(shí)，甲比乙多走了千米。流水行船三個(gè)重要考點(diǎn)：①四個(gè)速度間的關(guān)系：②兩船相向而行：水速不影響速度和；同向而行：水速不影響速度差③船上落物，船繼續(xù)前行時(shí)間＝船掉頭找回時(shí)間，與水速無(wú)關(guān)進(jìn)階方法：流水行船往返相遇問(wèn)題，用分段法分析法（某船一旦變速立即分段討論）題目中假缺條件，例如只給了某一個(gè)條件，可以用設(shè)數(shù)法。例1：A、B兩個(gè)碼頭間的水路為90千米，其中A碼頭在上游，B碼頭在下游。第一天水速為每小時(shí)3千米，甲、乙兩船分別從A、B兩碼頭同時(shí)起航同向而行，3小時(shí)后乙船追上甲船。已知甲船的靜水速為每小時(shí)18千米。乙船的靜水速度是。第二天由于漲水，水速變?yōu)槊啃r(shí)5千米。甲、乙兩船分別從A、B兩碼頭同時(shí)起航相向而行，出發(fā)小時(shí)后相遇。例2：一條小河上，A、B兩地相距140千米，甲、乙兩船分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)，相向而行。若甲、乙兩船的靜水速度分別為每小時(shí)40和30千米，則出發(fā)后小時(shí)相遇。例3：一條小河上，A在B上游120千米處，甲、乙兩船同時(shí)從B出發(fā)逆流而上開(kāi)往A。若甲、乙兩船的靜水速度分別為每小時(shí)70和50千米，水速為每小時(shí)10千米，則當(dāng)甲到達(dá)A時(shí)，乙距離A多少千米？例4：輪船從A城到B城需行3天，而從B城到A城需行4天。若從A城放一個(gè)無(wú)動(dòng)力的木筏，它順?biāo)紹城需天。例5：某人暢游長(zhǎng)江，逆流而上，在A處丟失一只水壺，他向前又游了20分鐘后，才發(fā)現(xiàn)丟失了水壺，立即返回追尋，在離A處2千米的地方追到，則他返回尋水壺用了分鐘?；疖囘^(guò)橋問(wèn)題：過(guò)橋路程＝車長(zhǎng)＋橋長(zhǎng)過(guò)橋時(shí)間＝過(guò)橋路程÷車速＝（車長(zhǎng)＋橋長(zhǎng)）÷車速錯(cuò)車問(wèn)題：錯(cuò)車路程＝兩車的車長(zhǎng)和錯(cuò)車時(shí)間＝錯(cuò)車路程÷兩車速度和（相遇問(wèn)題）超車問(wèn)題：超車路程＝兩車的車長(zhǎng)和超車時(shí)間＝超車路程÷兩車速度差（追及問(wèn)題）例1：一列火車通過(guò)440米的橋需要40秒，以同樣的速度穿過(guò)310米的隧道需要30秒。這列火車的速度和車身長(zhǎng)各是多少？例2：小李在鐵路旁邊沿鐵路方向的公路上散步，他散步的速度是1.5米/秒，這時(shí)迎面開(kāi)來(lái)一列火車，從車頭到車尾經(jīng)過(guò)他身旁共用了20秒，已知火車全長(zhǎng)390米，那么火車的速度是例3：甲、乙兩人分別從A、B兩個(gè)城市出發(fā)相向而行，已知甲每秒行5米，乙每秒行10米，一列長(zhǎng)400米的列車從B開(kāi)往A，列車從乙身旁經(jīng)過(guò)用40秒鐘，這列火車從甲身旁經(jīng)過(guò)需要秒。走走停停問(wèn)題：花在跑步的總時(shí)間與停留時(shí)間無(wú)關(guān)，然后按照停留時(shí)間的規(guī)律插入到跑步時(shí)間里即可。例1：龜兔賽跑，全程1000米．兔子每分鐘跑50米，烏龜每分鐘爬5米．烏龜不停地爬，但兔子卻邊跑邊玩（玩的時(shí)候不前進(jìn)也不后退），兔子每跑了1分鐘然后玩20分鐘那么，先到達(dá)終點(diǎn)的比后到達(dá)終點(diǎn)的快分鐘。例2：龜兔賽跑，全程1000米．兔子每分鐘跑50米，烏龜每分鐘爬5米．烏龜不停地爬，但兔子卻邊跑邊玩（玩的時(shí)候不前進(jìn)也不后退），兔子先跑了1分鐘然后玩20分鐘，又跑2分鐘然后玩20分鐘，再跑3分鐘然后玩20分鐘……那么，先到達(dá)終點(diǎn)的比后到達(dá)終點(diǎn)的快分鐘。獵狗追兔問(wèn)題：分兩步，求比例，設(shè)速度。例1：獵狗前面26步遠(yuǎn)有一只野兔，獵狗追之。兔跑8步的時(shí)間狗跑5步，兔跑9步的距離等于狗跑4步的距離。問(wèn)：兔跑多少步后被獵狗抓獲？此時(shí)獵狗跑了步。間隔發(fā)車問(wèn)題：基本公式：車距＝車速×發(fā)車間隔時(shí)間車距＝車速和×相遇間隔時(shí)間車距＝車速差×追及間隔時(shí)間學(xué)會(huì)使用“設(shè)數(shù)法”“列方程求解”“比例法”等基本技巧。例1：某人沿3000米電車線路行走，每15分鐘有一輛電車從后面追上，每10分鐘有一輛電車迎面開(kāi)來(lái)。假設(shè)兩個(gè)起點(diǎn)站的發(fā)車間隔是相同的，求這個(gè)發(fā)車間隔。例2：某人沿電車線路行走，每15分鐘有一輛電車從后面追上，每10分鐘有一輛電車迎面開(kāi)來(lái)。假設(shè)兩個(gè)起點(diǎn)站的發(fā)車間隔是相同的，求這個(gè)發(fā)車間隔。例3：電車總站每隔一定時(shí)間發(fā)一輛車，甲、乙兩人同向行走。甲每隔10分鐘遇上一輛迎面開(kāi)來(lái)的電車；乙每隔12分鐘遇上一輛迎面開(kāi)來(lái)的電車．甲的速度是乙的2倍，電車總站的發(fā)車間隔是多少分鐘？扶梯問(wèn)題：①理解掌握人在自動(dòng)扶梯上行走時(shí)順（逆）行速度的概念（類似流水行船），以及人所走的臺(tái)階數(shù)、扶梯移動(dòng)的臺(tái)階數(shù)與扶梯可見(jiàn)部分的臺(tái)階數(shù)這三者的關(guān)系。②能夠解決速度和扶梯可見(jiàn)部分臺(tái)階數(shù)已知的扶梯問(wèn)題。難點(diǎn)：1.能夠利用行程問(wèn)題中的比例關(guān)系，解決扶梯可見(jiàn)部分臺(tái)階數(shù)未知的扶梯問(wèn)題．復(fù)合比公式：路程比＝速度比×?xí)r間比，想辦法將人之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成扶梯之間的關(guān)系2.注意以下等量關(guān)系：a）行走的路程（臺(tái)階數(shù)）＝行走速度×所用時(shí)間；b）扶梯移動(dòng)的路程（臺(tái)階數(shù)）＝扶梯速度×所用時(shí)間；c）順著扶梯走：扶梯可見(jiàn)部分的臺(tái)階數(shù)=行走的路程（臺(tái)階數(shù)）+扶梯移動(dòng)的路程（臺(tái)階數(shù)）；逆著扶梯走：扶梯可見(jiàn)部分的臺(tái)階數(shù)=行走的路程（臺(tái)階數(shù)）-扶梯移動(dòng)的路程（臺(tái)階數(shù)）例1：自動(dòng)扶梯從下向上勻速運(yùn)行，每秒上升1級(jí)臺(tái)階．樂(lè)樂(lè)從扶梯的下端往上走，每秒走4級(jí)臺(tái)階．已知自動(dòng)扶梯的可見(jiàn)部分共有150級(jí)臺(tái)階，請(qǐng)問(wèn)樂(lè)樂(lè)走完扶梯共走了多少級(jí)臺(tái)階？例2：商場(chǎng)的自動(dòng)扶梯從下向上勻速運(yùn)行，為了知道扶梯可見(jiàn)部分的臺(tái)階數(shù)，早早先從扶梯下端往上走，走到上端時(shí)發(fā)現(xiàn)一共走了60級(jí)臺(tái)階；接著早早又以相同的速度從扶梯上端往下走，走到下端時(shí)發(fā)現(xiàn)一共走了120級(jí)臺(tái)階．那么自動(dòng)扶梯的可見(jiàn)部分有多少級(jí)臺(tái)階？例3：一部自動(dòng)扶梯從下向上勻速運(yùn)行，早早從扶梯的上端出發(fā)往下走，到達(dá)下端時(shí)共走了90級(jí)臺(tái)階；萌萌從下端往上走，到達(dá)上端時(shí)共走了50級(jí)臺(tái)階．如果早早在扶梯上的行走速度是萌萌的3倍，那么這部扶梯的可見(jiàn)部分有多少級(jí)臺(tái)階？接送問(wèn)題：1.能夠解決“車速不變，人速相同”的單車雙人的往返接送問(wèn)題；

2.能夠解決“車速不變，人速不同”的單車雙人的往返接送問(wèn)題。三種題型①畫(huà)圖（主要畫(huà)車的路程圖，注意圖形的對(duì)稱性）②比例法解題，主要借助：時(shí)間相同的情況下，人車速度比＝人車路程比③提前接送問(wèn)題，重點(diǎn)關(guān)注汽車少走的2段路程上，弄清車與人在這段路程上的時(shí)間關(guān)系例1：某學(xué)校的80名同學(xué)去距學(xué)校27千米的航空博物館參觀．不過(guò)學(xué)校只有一輛接送車，車上最多只能載40人（除了司機(jī)）．已知車速是45千米/時(shí)，同學(xué)們步行速度是3千米/時(shí)．那么他們最少需要多少分鐘才能到達(dá)博物館？例2：甲、乙兩班學(xué)生同時(shí)從學(xué)校出發(fā)前往天安門廣場(chǎng)參加國(guó)慶活動(dòng)，甲乙兩班學(xué)生的步行速度都是每小時(shí)3千米，學(xué)校有一輛汽車，它的速度是每小時(shí)50千米(空載和滿載時(shí)的速度是一樣的)，這輛汽車恰好能坐一個(gè)班的學(xué)生。為了使兩班學(xué)生在最短時(shí)間內(nèi)到達(dá)天安門廣場(chǎng)，那么甲班學(xué)生與乙班學(xué)生需要步行的距離之比是多少？甲需要步行全程的幾分之幾？例3：某科研單位每天派汽車早8點(diǎn)準(zhǔn)時(shí)到工程師家接他去上班．但今天早晨，工程師臨時(shí)決定提前到單位，于是他沒(méi)有等汽車來(lái)接，就自己步行去單位．步行途中遇到了前來(lái)接他的汽車，他馬上上車回到單位，上車時(shí)是7點(diǎn)55分，問(wèn)：工程師比平時(shí)提前多少分鐘到單位？中途變速行程：基礎(chǔ)題型：1.熟悉“速度相同的兩段路程，路程與時(shí)間差成正比”；2.掌握“提速”后走過(guò)的路程與“提前”的時(shí)間成正比?？偨Y(jié)：將變速后的過(guò)程與原速過(guò)程進(jìn)行比較，得到時(shí)間差，如果題目給出時(shí)間差的倍數(shù)關(guān)系，就可以求出路程的倍數(shù)關(guān)系，反之題目給出路程的倍數(shù)關(guān)系，也可以求出時(shí)間差的倍數(shù)關(guān)系例1：小明準(zhǔn)時(shí)從家出發(fā)，以100米/分的速度步行上學(xué)，恰好能準(zhǔn)時(shí)到學(xué)校．某天，當(dāng)他走了1000米，發(fā)現(xiàn)手表慢了5分鐘，因此立即跑步前進(jìn)，到學(xué)校恰好準(zhǔn)時(shí)上課．后來(lái)算了一下，如果小明從家開(kāi)始就跑步，可以比從家出發(fā)就一直步行早10分鐘到學(xué)校．那么小明跑步的速度是多少米/分？進(jìn)階題型：通過(guò)正反比和時(shí)間差，求解中途變速的行程問(wèn)題。總結(jié)：畫(huà)圖時(shí)用不同的線表示不同的速度，畫(huà)出2段平時(shí)的路程便于比較，其次把能標(biāo)上的數(shù)量都標(biāo)上，然后再按照去相同比不同的方法進(jìn)行比較，最后注意抓住平時(shí)的過(guò)程，利用它就能很好的聯(lián)系兩次變速過(guò)程的比較從而解決問(wèn)題。例2：小明從家騎車去上學(xué)．如果開(kāi)始行駛10分鐘后，將速度提高三分之一，就比平時(shí)提前5分鐘到學(xué)校；如果開(kāi)始行駛1200米后，再將速度提高二分之一，就比平時(shí)提前8分鐘到學(xué)校；請(qǐng)問(wèn)家到學(xué)校之間的路程是多少米？相遇點(diǎn)不變：按照“先不變，后變化”的步驟分析，學(xué)會(huì)抓住“路程相等，速度與時(shí)間成反比”解題。例3：甲、乙兩名騎車人分別從A、B兩地同時(shí)出發(fā)相向而行，4小時(shí)后在途中相遇；若甲每小時(shí)少騎4千米/時(shí)，乙晚一小時(shí)出發(fā)，則兩人仍在同一地點(diǎn)相遇．已知AB兩地間的距離是180千米，那么乙的騎行速度是_____千米/時(shí)。行程問(wèn)題關(guān)鍵在于一個(gè)公式：路程＝時(shí)間×速度。雖然題目種類各有不同。但關(guān)鍵還是這個(gè)公式找準(zhǔn)對(duì)策，返璞歸真！行程問(wèn)題難度相對(duì)較大，在小升初中經(jīng)常作為壓軸題出現(xiàn)，高頻考點(diǎn)：變速，往返，多人。數(shù)形結(jié)合思想——小奧思維中對(duì)初中，高中幫助最多，最大的一個(gè)思維。第五章應(yīng)用題專題考點(diǎn)分析植樹(shù)問(wèn)題和差問(wèn)題倍數(shù)問(wèn)題盈虧問(wèn)題雞兔問(wèn)題周期問(wèn)題經(jīng)濟(jì)問(wèn)題年齡問(wèn)題平均問(wèn)題歸一問(wèn)題還原問(wèn)題分百問(wèn)題工程問(wèn)題濃度問(wèn)題鐘表問(wèn)題牛吃草問(wèn)題※競(jìng)賽高頻考點(diǎn)1.植樹(shù)問(wèn)題：主要考察間隔數(shù)與棵樹(shù)的關(guān)系。審題：注意兩側(cè)、兩邊、兩旁。判斷兩端、兩頭是否植樹(shù)相關(guān)公式：間隔數(shù)＝路長(zhǎng)÷間隔長(zhǎng)間隔數(shù)與棵樹(shù)的關(guān)系：兩端植樹(shù)，棵樹(shù)＝間隔數(shù)＋1一端植樹(shù)，棵樹(shù)＝間隔數(shù)（環(huán)形植樹(shù)）相關(guān)題型：鋸木頭（刀數(shù)）、爬樓層（樓梯數(shù)）、敲鐘聲（間隔）例1：把一根木頭鋸成4段需要6分鐘，如果要鋸成13段，需要多少分鐘？例2：小平和小亮同住在一幢大樓里，小平住五樓，小亮住三樓，小平每天回家要走80級(jí)臺(tái)階，小亮回家要走多少級(jí)臺(tái)階？2.和差倍問(wèn)題：熟練掌握畫(huà)線段圖分析問(wèn)題。畫(huà)圖注意：①先找到1倍量；②畫(huà)出一倍量；③根據(jù)倍數(shù)畫(huà)圖；④求一倍量?jī)?nèi)部傳遞：和不變，差距變化是傳遞數(shù)量的2倍例1：書(shū)架上分為上下兩層，一開(kāi)始上下兩層的書(shū)一樣多。若從上層拿16本放到下層，那么下層的書(shū)正好是上層的3倍。求原來(lái)兩層的書(shū)各有多少本？3.盈虧問(wèn)題：一個(gè)口訣，一套解題模型。難點(diǎn)在于題目的條件轉(zhuǎn)換成解題模型。口訣：盈盈減，虧虧減；一盈一虧就要加；之后除以二次差；所得就是單位數(shù)。模型：每只分10個(gè)，多9個(gè)；每只分13個(gè)，少6個(gè)。考點(diǎn)：注意分什么剩什么，每次都是平均分。原則是總數(shù)與單位數(shù)不變。例1：幸福小學(xué)少先隊(duì)的同學(xué)到會(huì)議室開(kāi)會(huì)，若每條長(zhǎng)椅上坐3人則多出7人，若每條長(zhǎng)椅上多坐4人則多出3條長(zhǎng)椅。問(wèn)：到會(huì)議室開(kāi)會(huì)的少先隊(duì)員有多少人？例2：4.雞兔問(wèn)題：低年級(jí)一般采用假設(shè)法解題，高年級(jí)可以采用方程解題假設(shè)法：①假設(shè)全是雞；②對(duì)比腳的數(shù)量變化；③求出兔的數(shù)量考試型：①假設(shè)全對(duì)；②假設(shè)錯(cuò)一題所得的分?jǐn)?shù)判斷錯(cuò)一題實(shí)際帶來(lái)的分?jǐn)?shù)變化例1：同學(xué)們?nèi)ゴ河?，大船每船?人，小船每船坐4人。全班共有46人，剛好租借10條船。請(qǐng)問(wèn)：大船小船各有幾條？例2：東湖路小學(xué)三年級(jí)舉行數(shù)學(xué)競(jìng)賽，共20道試題.做對(duì)一題得5分，沒(méi)有做一題或做錯(cuò)一題都要倒扣3分。小明得了60分，問(wèn)他做對(duì)了幾道題5.周期問(wèn)題：利用余數(shù)解決問(wèn)題，難點(diǎn)是考察總數(shù)的統(tǒng)計(jì)及周期的變化規(guī)律。例1：小華2012年3月23日這一天想出去玩，但不知道是星期幾，而我們知道今天2012年3月8日是星期四，那么2012年3月23日是星期幾？例2：40位同學(xué)排成一行，從左向右報(bào)數(shù)：先讓第一位同學(xué)報(bào)2，第二位同學(xué)報(bào)7，然后從第三位同學(xué)開(kāi)始，每位同學(xué)都把前兩位同學(xué)所報(bào)的數(shù)相乘，再報(bào)出乘積的個(gè)位來(lái)．那么最后一位同學(xué)報(bào)的是多少？6.年齡問(wèn)題：1．隨著時(shí)間的推移，年齡在增大，倍數(shù)在減小，年齡差不變。2．年齡差不變：你長(zhǎng)我也長(zhǎng)，同時(shí)保證人數(shù)一樣。意外：年齡差變了，有人去世或者有人出生。3．工具：線段圖。要點(diǎn)：抓住倍數(shù)畫(huà)圖(先畫(huà)1倍量)。利用和差倍問(wèn)題解題。注意倍數(shù)與年齡和一定要同一時(shí)間段相符4．考點(diǎn)：往前(往后)推一個(gè)年齡差的問(wèn)題。解決方法，時(shí)間軸的使用。例1：今年，父親是兒子年齡的5倍；15年后，父親年齡是兒子年齡的2倍。問(wèn)現(xiàn)在父子的年齡各是多少歲？例2：兄弟倆今年年齡和為30歲，當(dāng)哥哥像弟弟現(xiàn)在這樣大時(shí)，弟弟的年齡恰好是哥哥年齡的一半，哥哥今年幾歲？7.平均問(wèn)題：總數(shù)÷份數(shù)＝平均數(shù)，反之利用平均數(shù)求總數(shù)，化題為式分析問(wèn)題。例1：三兄弟參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，他們?nèi)齻€(gè)人的平均成績(jī)是81分，老大、老二的平均成績(jī)比老三多9分，老大比老三多10分，那么老二的成績(jī)是多少分？例2：有4個(gè)數(shù)，每次選取其中3個(gè)數(shù)，算出它們的平均數(shù)，再加上另一個(gè)數(shù)。用這種方法計(jì)算了4次，分別得到以下4個(gè)數(shù)：86、92、100、106，那么，原來(lái)4個(gè)數(shù)的平均數(shù)是多少？8.還原問(wèn)題：從結(jié)論出發(fā)，倒推到開(kāi)始，利用線段圖分析問(wèn)題。例1：小強(qiáng)看一本卡通書(shū)，第一天看了這本書(shū)的一半又5頁(yè)，第二天看了余下的一半又10頁(yè)，還有8頁(yè)沒(méi)看，問(wèn)這本卡通書(shū)共有多少頁(yè)？例2：小馬虎做一道減法題，把被減數(shù)十位的6當(dāng)作9，把減數(shù)個(gè)位的3當(dāng)作5，結(jié)果是217，正確的答案是多少？例3：馬小虎計(jì)算一道乘法算式時(shí)，錯(cuò)把乘數(shù)23看成了32，這樣算出的積比正確積多450，正確的積是多少？※小升初高頻考點(diǎn)1．分百問(wèn)題關(guān)鍵：?jiǎn)挝?、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算、分小互化方法：?jiǎn)挝?法、份數(shù)法、方程法、列表法例1：某學(xué)校入學(xué)考試，參加的男生與女生人數(shù)之比是4∶3。結(jié)果錄取91人，其中男生與女生人數(shù)之比是8∶5。未被錄取的學(xué)生中，男生與女生人數(shù)之比是3∶4。問(wèn)報(bào)考的共有多少人？2．工程問(wèn)題關(guān)鍵：工作總量＝工作效率×工作時(shí)間方法：?jiǎn)挝?法、份數(shù)法、方程法、列表法例1：一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)完成需要12天，乙單獨(dú)完成需要9天。若甲先做若干天后乙接著做，共用10天完成，問(wèn)甲做了幾天？例2：一池水，甲、乙兩管同時(shí)開(kāi)，5小時(shí)灌滿；乙、丙兩管同時(shí)開(kāi)，4小時(shí)灌滿?，F(xiàn)在先開(kāi)乙管6小時(shí)，還需甲、丙兩管同時(shí)開(kāi)2小時(shí)才能灌滿。乙單獨(dú)開(kāi)幾小時(shí)可以灌滿？3．濃度問(wèn)題關(guān)鍵：濃度＝(溶質(zhì)÷溶液)×100%方法：十字交叉法(濃度三角)、方程法、列表法、份數(shù)法、特值法例1：兩個(gè)杯子里分別裝有濃度為40％與10％的鹽水，將這兩杯鹽水倒在一起混合后，鹽水濃度變?yōu)?0％。若再加入300克20％的鹽水，濃度變?yōu)?5％。請(qǐng)問(wèn)：原有40％的鹽水多少克？4．經(jīng)濟(jì)問(wèn)題基本概念的理解：

成本：商品的進(jìn)價(jià)。也稱為買入價(jià)、成本價(jià)售價(jià)：商品被賣出時(shí)候的標(biāo)價(jià)。也稱為賣出價(jià)、標(biāo)價(jià)、定價(jià)、零售價(jià)利潤(rùn)：商品賣出后商家賺到的錢相關(guān)公式：售價(jià)＝成本＋利潤(rùn)利潤(rùn)率＝利潤(rùn)÷成本×100%解題方法：邏輯思想：利用經(jīng)濟(jì)類公式抓不變量(一般情況下成本是不變量)方程思想：列一元一次、二元一次、不定方程解決經(jīng)濟(jì)問(wèn)題假設(shè)思想：用于求利潤(rùn)率、百分?jǐn)?shù)不涉及實(shí)際價(jià)錢關(guān)系的時(shí)候可以用到假設(shè)思想例1：？第六章幾何專題考點(diǎn)分析1．簡(jiǎn)單圖形（正方形、長(zhǎng)方形、三角形、平行四邊形、圓形與扇形的周長(zhǎng)與面積）2．平面幾何（五大模型＋曲線型幾何＋圖形的軌跡問(wèn)題）3．立體幾何（堆積體的體積、表面積）4．勾股定理（構(gòu)造弦圖）幾何考察趨勢(shì)：1．淡化五大模型的直接運(yùn)用2．強(qiáng)化幾何基本圖形的靈活運(yùn)用(割補(bǔ)、擴(kuò)展、平移、旋轉(zhuǎn))3．熱衷三角形等積變形＋勾股定理4．立體幾何與曲線幾何難度不大5．差不變?cè)怼⑻刂捣ń昙t紅火火幾何常用解題方法總結(jié)例：圖中外側(cè)的四邊形是一個(gè)邊長(zhǎng)為10厘米的正方形。求陰影部分的面積。例：如圖，相鄰兩格點(diǎn)間距離為1，則圖中陰影部分三角形的面積為_(kāi)_____。例：如圖，把△DEF各邊向外延長(zhǎng)1倍后得到△ABC，三角形ABC面積為1。三角形DEF面積為多少？4.五大模型①共角模型：鳥(niǎo)頭模型兩個(gè)三角形中有一個(gè)角相等或互補(bǔ)，這兩個(gè)三角形叫做共角三角形。共角三角形的面積比等于對(duì)應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比例：已知三角形DEF的面積為18，AD∶BD＝2∶3，AE∶CE＝1∶2，BF∶CF＝3∶2，則三角形ABC的面積為？②共邊模型：三角形等積變形、一半模型例：圖中三角形ABC的面積是180平方厘米，D是BC的中點(diǎn)，AD的長(zhǎng)是AE長(zhǎng)的3倍，EF的長(zhǎng)是BF長(zhǎng)的3倍。那么三角形AEF的面積是多少平方厘米？（3）一半模型例：一個(gè)長(zhǎng)方形分成4個(gè)不同的三角形，綠色三角形面積占長(zhǎng)方形面積的15%，黃色三角形面積是21cm2。問(wèn)：長(zhǎng)方形的面積是多少平方厘米？③蝴蝶模型（1）任意四邊形中的比例關(guān)系：（2）梯形中的比例關(guān)系：例：如圖，梯形ABCD的AB平行于CD，對(duì)角線AC，BD交于O，已知△AOB與△BOC的面積分別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形ABCD的面積是多少平方厘米？④燕尾模型S△AGB∶S△AGC＝S△EGB∶S△EGC＝EB∶ECS△BGA∶S△BGC＝S△FGA∶S△FGC＝FA∶FCS△CGA∶S△CGB＝S△DGA∶S△DGB＝DA∶DB例：在三角形ABC中，三角形AEO的面積是1，三角形ABO的面積是2，三角形BOD的面積是3，則四邊形DCEO的面積是多少？5.曲線形面積問(wèn)題：六個(gè)基本圖形及其面積的求法。利用割補(bǔ)平移或者等積代換，把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形（整體）。例：如圖，大圓半徑為小圓半徑兩倍，已知圖中陰影部分面積為S1，空白部分面積為S2，那么這兩部分面積之比為_(kāi)_____。(π取3.14)利用分割手法或者去掉公共的部分，把圖形轉(zhuǎn)化成相對(duì)規(guī)則的圖形（分塊）例：如圖，BD＝DC＝DA＝1。求陰影部分面積。利用容斥原理，多加后減例：如圖，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半徑AE＝6，扇形CBF的半徑CB＝4厘米。求陰影部分面積。(π取3)6.立體基本圖形及其表面積與體積。（1）立體基本圖形及其表體基本圖形表面積體積基本圖形表面積體積正方體6a2a2×a長(zhǎng)方體2（ab＋ac＋bc）ab×c圓柱體2πR2＋2πRhπR2×h圓錐體πR2＋πRlEQ\F(1,3)πR2×h球體4πR2EQ\F(4,3)πR3例：一個(gè)酒瓶里面深30厘米，底面直徑是10厘米，瓶里酒深15厘米。把酒瓶塞緊后使其口朝下倒立，這時(shí)酒深25厘米，酒瓶的容積是多少？(π取3)（2）三視圖的幾種考法①利用三視圖求立體表面積例：如圖，棱長(zhǎng)分別為1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四個(gè)正方體緊貼在一起，所得到的多面體表面積是______平方厘米。②低層標(biāo)數(shù)法：利用三視圖還原立體圖形例：小明用若干個(gè)大小相同的正方體堆成一個(gè)幾何體，這個(gè)幾何體從正面看如下圖左，從上面看如下圖右，那么這個(gè)幾何體至少用______塊。③切片法：例：有一個(gè)棱長(zhǎng)為5厘米的正方體木塊，從它的每個(gè)面看都有一個(gè)穿透的完全相同的孔。求這個(gè)立體圖形的內(nèi)、外表面的總面積及體積。7.勾股定理：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。構(gòu)造弦圖：利用輔助線切割不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形、傳遞等量關(guān)系。例：如圖，兩個(gè)長(zhǎng)方形大小相同，長(zhǎng)和寬分別為12和8，求陰影部分的面積。第七章邏輯專題考點(diǎn)分析抽屜原理最不利原則邏輯推理游戲與對(duì)策幻方與數(shù)陣圖頁(yè)碼問(wèn)題格點(diǎn)與割補(bǔ)巧填算符染色與覆蓋找規(guī)律算式謎多筆畫(huà)統(tǒng)籌與最優(yōu)化智巧趣題……抽屜原理：1.最不利原則：平均分原則蘋(píng)果數(shù)÷抽屜數(shù)＝n……a，則至少有一個(gè)抽屜里有n＋1個(gè)蘋(píng)果要想有一個(gè)抽屜至少有2個(gè)蘋(píng)果，則蘋(píng)果的數(shù)量至少比抽屜的數(shù)量多1個(gè)2.難點(diǎn)：抽屜的計(jì)算，計(jì)數(shù)功底一定要扎實(shí)，根據(jù)“要證明的內(nèi)容”構(gòu)造抽屜例：17名同學(xué)參加一次考試，考試題是3道判斷題(答案只有對(duì)錯(cuò)之分)，每名同學(xué)都在答題紙上依次寫(xiě)上了3道題目的答案。試說(shuō)明至少有3名同學(xué)的答案是一樣的。例：在一只口袋中有紅色、黃色、藍(lán)色球若干個(gè)，小聰明和其他九個(gè)小朋友一起做游戲，每人可以從口袋中隨意取出2個(gè)球，那么不管怎樣挑選，總有兩個(gè)小朋友取出的兩個(gè)球的顏色是完全一樣的。你能說(shuō)明這是為什么嗎？例：求證：對(duì)于任意8個(gè)自然數(shù)，一定能從中找到6個(gè)數(shù)a、b、c、d、e、f，使得(a－b)(c－d)(e－f)是105的倍數(shù)。邏輯推理：①列表法；②定序法；③排除法④矛盾法；⑤假設(shè)法邏輯推理常用思想：假設(shè)驗(yàn)證思想，極端嘗試思想例：甲、乙、丙在2010年高考中，分別考取了北大，清華和理工大學(xué)的數(shù)學(xué)系，物理系和化學(xué)系，現(xiàn)知道下列情況：⑴甲不在北大；⑵乙不在清華；⑶在北大的不學(xué)數(shù)學(xué)；⑷在清華的學(xué)物理；⑸乙不學(xué)化學(xué)。根據(jù)以上情況判斷甲、乙、丙三人各在哪個(gè)學(xué)校？哪個(gè)系？例：小明、小芳、小林三人中，有一人偷偷把教室打掃得干干凈凈，老師問(wèn)他們?nèi)耸钦l(shuí)做的好事，三人都不承認(rèn)是自己做的。小明說(shuō)：小芳打掃的。小芳說(shuō)：不是我打掃的。小林說(shuō)：也不是我打掃的。如果這三句話中只有一句話是真話，你能幫助老師判斷教室是誰(shuí)打掃的嗎？例：在臨上刑場(chǎng)前，國(guó)王對(duì)預(yù)言家說(shuō)：“你不是很會(huì)預(yù)言嗎？你怎么不能預(yù)言到你今天要被處死呢？我給你個(gè)機(jī)會(huì)，你可以預(yù)言一下今天我會(huì)如何處死你。你如果預(yù)言對(duì)了，我就讓你服毒死；你如果預(yù)言錯(cuò)了，我就絞死你?！钡锹斆鞯念A(yù)言家說(shuō)了一句話，使得國(guó)王無(wú)論如何也無(wú)法將他處死。請(qǐng)問(wèn)，他是如何預(yù)言的？例：阿凡提騎著毛驢去尋找寶藏，遇見(jiàn)了兩扇門和兩個(gè)看門人，一扇門后是寶藏，另一扇門后是守護(hù)寶藏的怪物，一個(gè)看門人只講真話，另一個(gè)看門人只講假話，兩個(gè)看門人都知道寶藏在哪一扇門后，但不知道他們誰(shuí)講真話，誰(shuí)講假話，聰明的阿凡提向其中一個(gè)守門人問(wèn)道：“如果問(wèn)另一個(gè)人寶藏在哪一扇門，他會(huì)怎么回答？”根據(jù)那人的回答，阿凡提立即判斷出寶藏的位置，請(qǐng)分析阿凡提如何判斷出寶藏的位置?；梅脚c數(shù)陣圖：1.三階幻方的性質(zhì)：①幻和＝總和÷3；②中心數(shù)＝幻和÷3＝總和÷9；③“T型臺(tái)”原理2.數(shù)陣圖一般解題步驟：①找到重疊數(shù)，確定重疊次數(shù)②用字母表示重疊數(shù)與和③列式，邊和×個(gè)數(shù)＝數(shù)字和＋重疊數(shù)×（重疊次數(shù)－1）④求得重疊數(shù)與和的關(guān)系，并分析取值的情況，嘗試填圖例：在下圖的空格里填入七個(gè)將1~7七個(gè)數(shù)字填入右圖自然數(shù)，使每一行、每一列的七個(gè)○內(nèi)，使每個(gè)圓周及每一條對(duì)角線上的三個(gè)數(shù)和每條直線上的三個(gè)數(shù)的和都等于90。之和都相等。格點(diǎn)與割補(bǔ)：①正方形格點(diǎn)：S＝N＋L÷2－1②三角形格點(diǎn)：S＝2N＋L－2③S：面積；N：內(nèi)點(diǎn)個(gè)數(shù)；L：外點(diǎn)個(gè)數(shù)例：正六邊形ABCDEF的面積是180平方厘米。M是AB中點(diǎn)，N是CD中點(diǎn)，P是EF中點(diǎn)。問(wèn)：三角形MNP的面積是多少平方厘米？巧填算符：①逆推法：適用于數(shù)字少，結(jié)果小的題目。從等號(hào)左邊最后一個(gè)數(shù)字開(kāi)始逐步向前逆推，最終使等式成立。②湊數(shù)法：適用于數(shù)字多，結(jié)果大的題目。先用式子中的一些數(shù)字湊出一個(gè)與結(jié)果比較接近的數(shù)，然后再對(duì)式子中剩下的數(shù)字做適當(dāng)?shù)恼{(diào)整和運(yùn)算，使等式成立。