小學奧數(shù)知識匯總(個人總結(jié))

第一章計算專題考點分析1.數(shù)學基本功（四則混合運算）加減法巧算：湊整法、見“9”寫“10－1”(看整法)、基準數(shù)、配對思想例如：725+45+655+2262014-563-484-516-437651-385+149643+（257－186）9+99+999+999967+66+74+72+68+70+69+75+71乘除法巧算：湊整法(4×25、8×125)、看整法、乘法分配律、提取公因數(shù)、等值變形例如：25×32×12843×9991003×65467×75＋25×4672929×22－88881÷（2÷3）÷（3÷4）÷（4÷5）÷…÷（2010÷2011）÷（2011÷2012）（1×2×3×4×5×6×7×8×9×10×11）÷（27×25×24×22）注意：提取公因式時，如果前后沒有公因數(shù)時要觀察前后的數(shù)字有沒有倍數(shù)關(guān)系，然后把有倍數(shù)關(guān)系的數(shù)分裂成a×b的形式，再提取公因式，這種方法叫做整數(shù)的裂項。2.初中基本功（解方程）①用字母表示數(shù)：②方程的同解原理：1.有括號先去括號；2.移項要變號；3.合并同類項。③列方程解應用題：設，列，解，答(驗算）幾個重點：1.多元一次方程（兩種消元方法）2.分數(shù)系方程（乘以最小公倍數(shù)去分母）3.特殊情況方程（輪換式方程組）無處不在的方程：直接運用、解應用題、幾何問題、行程問題、數(shù)論問題……必須要熟練掌握的方程（組）：一元一次方程、二元一次方程組、三元一次方程組…特殊解方程技巧：設而不求＋打包思想直接假設＋間接假設例：3x＋12＝5x－1610(x＋2)＝4(2x＋7)20－4x＝6x＋107x＋6＝12x－4 12(x－2)＝5x＋42x＋50＝25×(2＋x)72－6x＝84－7x168－6x＝4(30－x)56－2(24－x)＝3x列方程解應用題：1.小明的存錢罐里有5角和1元的硬幣共25枚，總錢數(shù)為19元。請問：5角硬幣有____枚。3.分數(shù)的計算（裂項、換元、通項歸納）①分數(shù)四則運算：加減法、乘除法的運算例：1．整體約分：2．連鎖約分：多分數(shù)連乘，將分子、分母都化成乘積形式，伺機約分。②分數(shù)的計算技巧：裂項（裂差、裂和）、換元、通項歸納例：【策略】1.反常的背后必有陰謀：找規(guī)律2.套用常用公式：裂項、平方和、立方和、平方差3.用簡單字母代替：換元法4.很多題目不是做不出來，而是看不出來：整體觀察5.熟記一些骨灰級常考題型注意：分數(shù)裂項：把分數(shù)拆成分母中兩個因數(shù)的差，裂和是把分數(shù)拆成分母中兩個因數(shù)的和。分數(shù)換元：當題目中出現(xiàn)大量相同或相似的數(shù)時，考慮換元，好寫也好算。通項歸納：計算規(guī)律的終極方法。4.計算技巧（重要公式、常用結(jié)論）①兩個重要數(shù)列：求末項：首項＋(項數(shù)-1)×公差等差數(shù)列求項數(shù)：(末項-首項)÷公差＋1求和：(首項＋末項)×項數(shù)÷2（中間項×項數(shù)）高斯配對思想衍生公式：（1）1＋3＋5＋…＋(2n+1)＝n2（理解：從1開始的連續(xù)奇數(shù)求和＝個數(shù)的平方）（2）2＋4＋6＋…＋2n＝n(n+1)（理解：從2開始的連續(xù)偶數(shù)求和＝個數(shù)×比個數(shù)大1）（3）1＋2＋…＋n＋…＋2＋1＝n2（理解：自然數(shù)上坡下坡數(shù)列求和＝山頂?shù)钠椒剑├航鑱磉€去法等比數(shù)列求和乘公比錯位相減法公式法例：②四個重要的公式：（1）平方和公式：12＋22＋32＋42＋52＋…＋n2＝EQ\F(1,6)n(n+1)(2n+1)（2）立方和公式：13＋23＋33＋43＋…＋n3＝(1＋2＋3＋4…＋n)2＝EQ\F(1,4)n2(n+1)2（3）平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)（理解：兩數(shù)的平方差＝兩數(shù)和×兩數(shù)差）（4）完全平方公式：(a±b)2＝a2＋b2±2ab（理解：首平方尾平方，2倍乘積看中央）例：③循環(huán)小數(shù)與分數(shù)的互化：（1）純循環(huán)小數(shù)：0.4＝EQ\F(147,999)（2）混循環(huán)小數(shù)：0.1＝EQ\F(147-1,990)理解：分母：9的個數(shù)＝循環(huán)節(jié)位數(shù)0的個數(shù)＝不循環(huán)小數(shù)位數(shù)分子：從小數(shù)點后開始，到第一個循環(huán)節(jié)結(jié)束減去不循環(huán)部分【策略】分數(shù)小數(shù)靈活轉(zhuǎn)化：怎么容易怎么來，一般加減法用小數(shù)，乘除法用分數(shù)。④重復數(shù)分拆：abcabcabc＝abc×1001001（理解：1的個數(shù)看重復了幾次；0的個數(shù)比循環(huán)節(jié)少1）⑤常用數(shù)的拆分：1001＝7×11×13111＝3×3712345679×9＝11111111111112＝1234321EQ\F(1,7)＝0.4285EQ\F(2,7)＝0.8571EQ\F(1,7)＝0.2857……5.定義新運算、比較與估算：定義新運算：照貓畫虎，or看透本質(zhì)找規(guī)律。難點就是尋找兩數(shù)之間的運算規(guī)律。例：我們規(guī)定：△n＝n×(n＋1)，比如：△1＝1×2，△2＝2×3，△3＝3×4。請問：⑴要使等式成立，那么方框內(nèi)應填入多少？⑵計算：△1＋△2＋△3＋…＋△100。比較與估算：化小數(shù)，通分法，比倒數(shù)，設標準，糖水法，放縮法等等。例：已知，，比較A和B的大小，并計算出它們的差。計算是數(shù)學基本功，基本功一定要扎實，各重點中學都很看重，為必考考點。計算?？碱}型有兩種：區(qū)重點：分數(shù)小數(shù)四則混合運算——乘法分配律逆用。市重點：抵消思想—裂項，整體約分與連鎖約分等。第二章計數(shù)專題考點分析1.枚舉歸納（分類枚舉、數(shù)形枚舉）一般用于計數(shù)比較少的（10個以內(nèi)）情況，但是列舉要有順序，不能想一個列一個，容易遺漏。例：用兩個1，一個2，一個3可以組成多少個不同的四位數(shù)？2.加乘原理（分類相加、分步相乘）①加法原理與遞推法：加法分類，類類獨立。區(qū)分方法：或者…，或者…例：一樓梯共10級，規(guī)定每步只能跨上一級或兩級，要登上第10級，共有多少種不同走法？②乘法原理與優(yōu)先排序法、排除法：乘法分步，步步相關(guān)。區(qū)分方法：先…再…例：用0～9這十個數(shù)字可組成多少個無重復數(shù)字的四位數(shù)？3.排列組合（有序排列、無序組合）①排列：排列的表示方法及基礎解題題型。捆綁法：用于解決“必須排在一起”的問題，先捆相鄰，再排整體。例：動物園有5只金絲猴和3只大象，每只都要單獨表演一個節(jié)目，問：如果3只大象的節(jié)目要排在一起，有多少種不同的排法？插空法：用于解決“必須分隔開”、“不能相鄰”的問題，先排別人，然后插空例：動物園有5只金絲猴和3只大象，每只都要單獨表演一個節(jié)目，問：如果每兩個大象節(jié)目間至少安排一個金絲猴節(jié)目有多少種不同的排法？定序法：用于隊列中有人位置固定的問題，先排列所有人，再把固定位置的人的順序除去例：有8個豆苗寶寶排隊合影，甲站在乙的左邊，且乙站在丙的左邊的不同排法有多少種？排除法：用于從正在考慮過于復雜的問題，先排列所有的可能性，再把不可能的情況減掉例：還是這8個豆苗寶寶排隊合影，甲不站在左端，乙不站在右端的不同排法有多少種？②組合：組合的表示方法、組合的特殊公式及基礎解題題型插板法：專門解決無差異的物體放在不同位置的問題例：將7個籃球分給3個同學，若每個同學至少得到1個籃球，有多少種分法？將7個籃球分給3個同學，若允許有的同學得不到籃球，有多少種分法？將13個籃球分給3個同學，若每個同學至少得3個籃球，有多少種不同的分法?注意：組合的插板法只能適用于“每人至少分一個的情況”，如果是分多或者不分，則要轉(zhuǎn)化條件成每人分一個的情況才可以。4.容斥原理（韋恩圖及意義）①容斥原理運算原理：不考慮重疊，先計算結(jié)果，之后減去重疊部分的計數(shù)方式。韋恩圖：運用代數(shù)思想，標注條件對號入座例：某科室有12人，其中6人會英語，5人會俄語，5人會日語，3人既會英語又會俄語，2人既會俄語又會日語，2人既會英語又會日語，1人三種語言全會。只會1種外語的人比1種外語也不會的人多個。②幾何題目中的應用：找到中間懸空圖形是由誰跟誰交叉得到的依據(jù)①中的成果列容斥算式例：在長方形ABCD中，AD＝15cm，AB＝8cm，四邊形OEFG的面積是9cm2，求陰影總面積。5.概率與統(tǒng)計（古典概型、概率可乘性）概率的兩個重要知識點：①古典概型：A的概率＝A發(fā)生的情況數(shù)÷情況總數(shù)②概率可乘性：相互獨立事件同時發(fā)生的概率＝各個事件概率的乘積例：學校門口經(jīng)常有小販搞摸獎活動。某小販在一只口袋里裝有顏色不同的50只小球，其中紅球1只，黃球2個，綠球10個，其余為白球。攪拌均勻后，每2元摸一個球，獎品的情況標準在球上（紅8元，黃5元，綠1元，白0元）。如果花4元錢，同時摸2個球，那么獲10元獎品的概率是多少？6.計數(shù)方法綜合（標數(shù)法、遞推法、對應法、整體法）①標數(shù)法：用于最短路線問題。例：如圖，要從A去B，C不能通過，最短線路有______條。②遞推法：枚舉，找數(shù)列規(guī)律，從最簡單的情況下思考遞變規(guī)律例：在平面上畫8個圓，最多可以把平面分成_______部分。③對應法：通過一一對應關(guān)系，把復雜計數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單計數(shù)的方法；結(jié)合抵消思想解決差值問題。例：從1985到4891的整數(shù)中，十位數(shù)字與個位數(shù)字相同的數(shù)共有多少個？④整體法：找到共同特征，看成一個整體，同樣的道理，把復雜的情況簡單化。計數(shù)比較抽象，考查條理性(分類、分步)，對小學生來說殺傷力比較強！分類思想，枚舉觀察的解題思路為考查重點。一道題如果僅僅是因為數(shù)大而顯得難，不用考慮，趕緊找規(guī)律，利用分類瓦解難題，利用特例或簡單題目找解題方法。第三章數(shù)論專題考點分析1.整除問題（整除問題、整除特性、整除技巧）整除的四大系列：①2系列：能被2整除的只需看末一位能否被2整除能被4整除的只需看末兩位能否被4整除能被8整除的只需看末三位能否被8整除（依此類推）②3系列：能被3整除的只需看各位數(shù)字之和能否被3整除能被9整除的只需看各位數(shù)字之和能否被9整除（不能依此類推）能被99整除的從右開始，兩位數(shù)為一段，各段數(shù)之和是99的倍數(shù)。③5系列：能被5整除的只需看末位是否為0或5能被25整除的只需看末兩位能否被25整除能被125整除的只需看末三位能否被125整除（依此類推）④7、11、13系列：從右開始，三位數(shù)為一段，奇數(shù)段之和與偶數(shù)段之和的差如果是7、11、13的倍數(shù)，則其為7、11、13的倍數(shù)。另外：被11整數(shù)還有：從右開始，奇數(shù)位之和與偶數(shù)位之和的差是11的倍數(shù)，則其也能被11整除。合數(shù)的整除特征：判斷一個數(shù)能否被某個合數(shù)整除，一般的方法先分解質(zhì)因數(shù)，觀察因數(shù)之間的關(guān)系。整除性質(zhì)：①如果自然數(shù)a為M的倍數(shù)，則ka為M的倍數(shù)。(k為正整數(shù))②如果自然數(shù)a、b均為M的倍數(shù)，則a＋b，a－b均為M的倍數(shù)。③如果a為M的倍數(shù)，p為M的約數(shù)，則a為p的倍數(shù)。④如果a為M的倍數(shù)，且a為N的倍數(shù)，則a為[M，N]的倍數(shù)。整除技巧：①除數(shù)分拆：(互質(zhì)分拆，要有特征)②除數(shù)合并：(結(jié)合試除，或有特征)③試除技巧：(末尾未知，除數(shù)較大)④同余劃刪：(從前往后，剩的純粹)⑤斷位技巧：(兩不得罪，最小公倍)例1：有一個兩位數(shù)不能被3、6、9整除，加上8后就能被3、6、9整除了，請問這個兩位數(shù)最大是多少？例2：書法興趣小組的72名同學每人都買了一本相同的字帖，共計□85.□元，你能算出每本字帖多少錢么？例3：用1、2、3、4(每個數(shù)恰用一次)組成的四位數(shù)中，其中共有多少個能被11整除？2.約數(shù)倍數(shù)（約數(shù)三定律、完全平方數(shù)、短除模型）約數(shù)三定律：約數(shù)個數(shù)定律：(指數(shù)＋1)再連乘約數(shù)和定律：(每個質(zhì)因子不同次冪相加)再連乘約數(shù)積定律：自身的n次方(n＝約數(shù)個數(shù)÷2)例1：恰有8個約數(shù)的兩位數(shù)有______個。例2：360的所有約數(shù)的和為多少？所有約數(shù)的積為多少？短除模型例1：已知兩個自然數(shù)的和為54，其最小公倍與最大公約差為14，求這兩個數(shù)。若三個連續(xù)的自然數(shù)中存在兩個偶數(shù),那么它們的最小公倍數(shù)為三個數(shù)乘積的一半；若三個連續(xù)的自然數(shù)中只存在一個偶數(shù)，那么它們的最小公倍數(shù)為三個數(shù)的乘積。例2：3個連續(xù)的自然數(shù)的最小公倍數(shù)是9828,那么這3個自然數(shù)的和等于多少?完全平方數(shù)：①特征例1：一天，小明在做一道題，聲稱答案是完全平方數(shù)，只見這道題是這樣：A＝1＋1×2＋1×2×3＋…＋1×2×3×…×100，老師一眼就瞅出了小明說錯了，你發(fā)現(xiàn)了嗎？例2：記S＝(1×2×3×…×n)＋(4k＋3)，這里n≥3，當k在1至100間取正整數(shù)時，有______個不同的k，使得S為一個正整數(shù)的平方？②奇數(shù)個約數(shù)完全平方數(shù)偶指性例3：已知自然數(shù)n滿足：12!除以n得到一個完全平方數(shù)，則n的最小值為_______。例4：禮堂里有100盞燈，依次按1～100的順序排號。每盞燈由一根燈繩控制，拉一個亮，再拉一下滅。100個學生依次進入禮堂，第1名學生把編號為1的倍數(shù)的燈都拉一下，第2名學生把編號為2的倍數(shù)的燈都拉一下……第100名學生把編號為100的倍數(shù)的燈都拉一下；最后禮堂里有________盞燈是亮的？③完全平方數(shù)在數(shù)論中的應用：兩個因數(shù)均為完全平方數(shù)的話，積一定為完全平方數(shù)兩個因數(shù)均非完全平方數(shù)的話，積是否為完全平方數(shù)不確定例5：能否找到這么一個數(shù)，它加上24和減去30所得到的兩個數(shù)都是完全平方數(shù)？3.質(zhì)數(shù)合數(shù)（質(zhì)數(shù)明星、分解質(zhì)因數(shù)）質(zhì)數(shù)明星：2奇偶性；5個位例：當P和P2＋5都是質(zhì)數(shù)時，P5＋5＝______。分解質(zhì)因數(shù)：1．質(zhì)數(shù)：快速判斷2．唯一分解定律3．見積就拆——大質(zhì)因子分析例1：6個奇數(shù)的和為98，積為4267305。這6個奇數(shù)中最大數(shù)與最小數(shù)的和為______。例2：2001個連續(xù)自然數(shù)和為a×b×c×d，若a、b、c、d均為質(zhì)數(shù)，則a＋b＋c＋d的最小值為______。【策略】1.題目中提到質(zhì)數(shù)，但不考分解質(zhì)因數(shù)的話，考慮質(zhì)數(shù)明星2和5；2.分解質(zhì)因數(shù)衍生考點：約數(shù)倍數(shù)分析法、乘積末尾0的個數(shù)問題，見積就拆技巧。4.余數(shù)問題（余數(shù)求解、帶余除法、同余問題、剩余問題）余數(shù)定律：1．利用整除性質(zhì)求余數(shù)2．利用余數(shù)性質(zhì)求余數(shù)3．利用除數(shù)分拆求余數(shù)帶余除式：代數(shù)思想，化簡題目數(shù)論方程去余化乘，借助約倍關(guān)系逐步驗證例：已知2008被一些自然數(shù)去除，余數(shù)都是10。這樣的自然數(shù)共有______個。同余問題：1．同余定理：如果a與b除以m余數(shù)相同，則a、b之差為m的倍數(shù)。2．①②去余化乘，找倍試約。例：一個自然數(shù)除429、791、500所得余數(shù)分別是a＋5、2a、a。求這個自然數(shù)與a的值。剩余問題：例1：17…103除以9余______。例2：利用余數(shù)性質(zhì)求余數(shù)：20092009除以9余______。例3：利用除數(shù)分拆求余數(shù)：÷45余______。數(shù)論一直是升初和杯賽考查最多的專題，保守估計，平均每套試卷25%分值考查數(shù)論。小升初數(shù)論考查三重點：約數(shù)個數(shù)定律逆用，完全平方數(shù)，短除模型。“代數(shù)思想＋枚舉驗證”數(shù)論殺傷力最強的武器。第四章行程專題考點分析相遇問題追及問題環(huán)形問題火車過橋流水行船變速問題多次相遇多節(jié)點行程多人行程間隔發(fā)車變道問題扶梯問題走走停停鐘表行程接送問題……行程問題：1．行程問題三要素：路程，速度，時間。2．基本公式：路程÷速度＝時間路程÷時間＝速度速度×時間＝路程相遇問題：1．新三要素：路程和，速度和，相遇時間。2．新基本公式：路程和÷速度和＝相遇時間路程和÷相遇時間＝速度和速度和×相遇時間＝路程和3.注意：相遇問題中的隱藏的路程差，如同追及問題。追及問題：1．新三要素：路程差，速度差，追及時間。2．新基本公式：路程差÷速度差＝追及時間路程差÷追及時間＝速度差速度差×追及時間＝路程差3．注意：①特點，兩人的時間相同；②難點，是找到兩人的路程差。例1：夏夏和冬冬同時從兩地相向而行，夏夏每分鐘行50米，冬冬每分鐘行60米，兩人在距兩地中點50米處相遇，求兩地的距離是米。例2：有甲、乙、丙3人，甲每分鐘走100米，乙每分鐘走80米，丙每分鐘走60米?，F(xiàn)在甲從A地，乙、丙兩人從B地同時出發(fā)相向而行。在途中甲與乙相遇6分鐘后，甲又與丙相遇。那么，A、B兩地之間的距離是米。例3：甲乙二人分別從A、B兩地同時出發(fā)，如果兩人同向而行，甲26分鐘趕上乙；如果兩人相向而行，6分鐘可相遇，又已知乙每分鐘行50米，求A、B兩地的距離是米。環(huán)形問題兩個重要考點：①同向而行：多走一圈，追上一次②相向而行：合走一圈，相遇一次例1：在300米的環(huán)形跑道上，田奇和王強同學同時同地起跑，如果同向而跑2分30秒相遇，如果背向而跑則半分鐘相遇，求兩人的速度各是多少？例2：佳佳和海海在操場上比賽跑步，海海每分鐘跑26米，佳佳每分鐘跑21米，一圈跑道長50米，他們同時從起跑點出發(fā)，那么海海第四次超過佳佳需要分鐘。例3：在400米的環(huán)形跑道上，佳佳、海海兩人分別從A、B兩地同時出發(fā)，同向而行。4分鐘后，海海第一次追上佳佳，又經(jīng)過10分鐘海海第二次追上佳佳。已知海海的速度是每分鐘180米，那么佳佳的速度是，A、B兩地相距米。多次往返問題：不同出發(fā)點的往返相遇：第一次相遇合走1個全長，以后每次相遇合走2個全長不同出發(fā)點的往返追及：第一次追及多走1個全長，以后每次追及多走2個全長相同出發(fā)點的往返相遇：每次相遇，合走2個全長相同出發(fā)點的往返追及：每次追及，多走2個全長例1：甲、乙兩車分別從相距60千米的A、B兩地同時出發(fā)，在A、B之間不斷往返．甲車的速度是每小時25千米，乙車的速度是每小時35千米．請問：出發(fā)小時后兩車第5次迎面相遇。例2：甲、乙兩車從相距70千米的A、B兩地同時出發(fā)，在A、B間不斷往返行走，甲車每小時行40千米，乙車每小時行30千米，出發(fā)小時后甲第5次追上乙。例3：甲、乙兩車同時從A地出發(fā)，在相距70千米的A、B兩地之間不斷往返，甲車每小時行60千米，乙車每小時行80千米，出發(fā)小時后兩車第5次迎面相遇。例4：甲、乙兩車同時從A地出發(fā)，在相距50千米的A、B兩地之間不斷往返，甲的速度比乙快，第4次甲追上乙時，甲比乙多走了千米。流水行船三個重要考點：①四個速度間的關(guān)系：②兩船相向而行：水速不影響速度和；同向而行：水速不影響速度差③船上落物，船繼續(xù)前行時間＝船掉頭找回時間，與水速無關(guān)進階方法：流水行船往返相遇問題，用分段法分析法（某船一旦變速立即分段討論）題目中假缺條件，例如只給了某一個條件，可以用設數(shù)法。例1：A、B兩個碼頭間的水路為90千米，其中A碼頭在上游，B碼頭在下游。第一天水速為每小時3千米，甲、乙兩船分別從A、B兩碼頭同時起航同向而行，3小時后乙船追上甲船。已知甲船的靜水速為每小時18千米。乙船的靜水速度是。第二天由于漲水，水速變?yōu)槊啃r5千米。甲、乙兩船分別從A、B兩碼頭同時起航相向而行，出發(fā)小時后相遇。例2：一條小河上，A、B兩地相距140千米，甲、乙兩船分別從A、B兩地同時出發(fā)，相向而行。若甲、乙兩船的靜水速度分別為每小時40和30千米，則出發(fā)后小時相遇。例3：一條小河上，A在B上游120千米處，甲、乙兩船同時從B出發(fā)逆流而上開往A。若甲、乙兩船的靜水速度分別為每小時70和50千米，水速為每小時10千米，則當甲到達A時，乙距離A多少千米？例4：輪船從A城到B城需行3天，而從B城到A城需行4天。若從A城放一個無動力的木筏，它順水漂到B城需天。例5：某人暢游長江，逆流而上，在A處丟失一只水壺，他向前又游了20分鐘后，才發(fā)現(xiàn)丟失了水壺，立即返回追尋，在離A處2千米的地方追到，則他返回尋水壺用了分鐘?；疖囘^橋問題：過橋路程＝車長＋橋長過橋時間＝過橋路程÷車速＝（車長＋橋長）÷車速錯車問題：錯車路程＝兩車的車長和錯車時間＝錯車路程÷兩車速度和（相遇問題）超車問題：超車路程＝兩車的車長和超車時間＝超車路程÷兩車速度差（追及問題）例1：一列火車通過440米的橋需要40秒，以同樣的速度穿過310米的隧道需要30秒。這列火車的速度和車身長各是多少？例2：小李在鐵路旁邊沿鐵路方向的公路上散步，他散步的速度是1.5米/秒，這時迎面開來一列火車，從車頭到車尾經(jīng)過他身旁共用了20秒，已知火車全長390米，那么火車的速度是例3：甲、乙兩人分別從A、B兩個城市出發(fā)相向而行，已知甲每秒行5米，乙每秒行10米，一列長400米的列車從B開往A，列車從乙身旁經(jīng)過用40秒鐘，這列火車從甲身旁經(jīng)過需要秒。走走停停問題：花在跑步的總時間與停留時間無關(guān)，然后按照停留時間的規(guī)律插入到跑步時間里即可。例1：龜兔賽跑，全程1000米．兔子每分鐘跑50米，烏龜每分鐘爬5米．烏龜不停地爬，但兔子卻邊跑邊玩（玩的時候不前進也不后退），兔子每跑了1分鐘然后玩20分鐘那么，先到達終點的比后到達終點的快分鐘。例2：龜兔賽跑，全程1000米．兔子每分鐘跑50米，烏龜每分鐘爬5米．烏龜不停地爬，但兔子卻邊跑邊玩（玩的時候不前進也不后退），兔子先跑了1分鐘然后玩20分鐘，又跑2分鐘然后玩20分鐘，再跑3分鐘然后玩20分鐘……那么，先到達終點的比后到達終點的快分鐘。獵狗追兔問題：分兩步，求比例，設速度。例1：獵狗前面26步遠有一只野兔，獵狗追之。兔跑8步的時間狗跑5步，兔跑9步的距離等于狗跑4步的距離。問：兔跑多少步后被獵狗抓獲？此時獵狗跑了步。間隔發(fā)車問題：基本公式：車距＝車速×發(fā)車間隔時間車距＝車速和×相遇間隔時間車距＝車速差×追及間隔時間學會使用“設數(shù)法”“列方程求解”“比例法”等基本技巧。例1：某人沿3000米電車線路行走，每15分鐘有一輛電車從后面追上，每10分鐘有一輛電車迎面開來。假設兩個起點站的發(fā)車間隔是相同的，求這個發(fā)車間隔。例2：某人沿電車線路行走，每15分鐘有一輛電車從后面追上，每10分鐘有一輛電車迎面開來。假設兩個起點站的發(fā)車間隔是相同的，求這個發(fā)車間隔。例3：電車總站每隔一定時間發(fā)一輛車，甲、乙兩人同向行走。甲每隔10分鐘遇上一輛迎面開來的電車；乙每隔12分鐘遇上一輛迎面開來的電車．甲的速度是乙的2倍，電車總站的發(fā)車間隔是多少分鐘？扶梯問題：①理解掌握人在自動扶梯上行走時順（逆）行速度的概念（類似流水行船），以及人所走的臺階數(shù)、扶梯移動的臺階數(shù)與扶梯可見部分的臺階數(shù)這三者的關(guān)系。②能夠解決速度和扶梯可見部分臺階數(shù)已知的扶梯問題。難點：1.能夠利用行程問題中的比例關(guān)系，解決扶梯可見部分臺階數(shù)未知的扶梯問題．復合比公式：路程比＝速度比×時間比，想辦法將人之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化成扶梯之間的關(guān)系2.注意以下等量關(guān)系：a）行走的路程（臺階數(shù)）＝行走速度×所用時間；b）扶梯移動的路程（臺階數(shù)）＝扶梯速度×所用時間；c）順著扶梯走：扶梯可見部分的臺階數(shù)=行走的路程（臺階數(shù)）+扶梯移動的路程（臺階數(shù)）；逆著扶梯走：扶梯可見部分的臺階數(shù)=行走的路程（臺階數(shù)）-扶梯移動的路程（臺階數(shù)）例1：自動扶梯從下向上勻速運行，每秒上升1級臺階．樂樂從扶梯的下端往上走，每秒走4級臺階．已知自動扶梯的可見部分共有150級臺階，請問樂樂走完扶梯共走了多少級臺階？例2：商場的自動扶梯從下向上勻速運行，為了知道扶梯可見部分的臺階數(shù)，早早先從扶梯下端往上走，走到上端時發(fā)現(xiàn)一共走了60級臺階；接著早早又以相同的速度從扶梯上端往下走，走到下端時發(fā)現(xiàn)一共走了120級臺階．那么自動扶梯的可見部分有多少級臺階？例3：一部自動扶梯從下向上勻速運行，早早從扶梯的上端出發(fā)往下走，到達下端時共走了90級臺階；萌萌從下端往上走，到達上端時共走了50級臺階．如果早早在扶梯上的行走速度是萌萌的3倍，那么這部扶梯的可見部分有多少級臺階？接送問題：1.能夠解決“車速不變，人速相同”的單車雙人的往返接送問題；

2.能夠解決“車速不變，人速不同”的單車雙人的往返接送問題。三種題型①畫圖（主要畫車的路程圖，注意圖形的對稱性）②比例法解題，主要借助：時間相同的情況下，人車速度比＝人車路程比③提前接送問題，重點關(guān)注汽車少走的2段路程上，弄清車與人在這段路程上的時間關(guān)系例1：某學校的80名同學去距學校27千米的航空博物館參觀．不過學校只有一輛接送車，車上最多只能載40人（除了司機）．已知車速是45千米/時，同學們步行速度是3千米/時．那么他們最少需要多少分鐘才能到達博物館？例2：甲、乙兩班學生同時從學校出發(fā)前往天安門廣場參加國慶活動，甲乙兩班學生的步行速度都是每小時3千米，學校有一輛汽車，它的速度是每小時50千米(空載和滿載時的速度是一樣的)，這輛汽車恰好能坐一個班的學生。為了使兩班學生在最短時間內(nèi)到達天安門廣場，那么甲班學生與乙班學生需要步行的距離之比是多少？甲需要步行全程的幾分之幾？例3：某科研單位每天派汽車早8點準時到工程師家接他去上班．但今天早晨，工程師臨時決定提前到單位，于是他沒有等汽車來接，就自己步行去單位．步行途中遇到了前來接他的汽車，他馬上上車回到單位，上車時是7點55分，問：工程師比平時提前多少分鐘到單位？中途變速行程：基礎題型：1.熟悉“速度相同的兩段路程，路程與時間差成正比”；2.掌握“提速”后走過的路程與“提前”的時間成正比。總結(jié)：將變速后的過程與原速過程進行比較，得到時間差，如果題目給出時間差的倍數(shù)關(guān)系，就可以求出路程的倍數(shù)關(guān)系，反之題目給出路程的倍數(shù)關(guān)系，也可以求出時間差的倍數(shù)關(guān)系例1：小明準時從家出發(fā)，以100米/分的速度步行上學，恰好能準時到學校．某天，當他走了1000米，發(fā)現(xiàn)手表慢了5分鐘，因此立即跑步前進，到學校恰好準時上課．后來算了一下，如果小明從家開始就跑步，可以比從家出發(fā)就一直步行早10分鐘到學校．那么小明跑步的速度是多少米/分？進階題型：通過正反比和時間差，求解中途變速的行程問題。總結(jié)：畫圖時用不同的線表示不同的速度，畫出2段平時的路程便于比較，其次把能標上的數(shù)量都標上，然后再按照去相同比不同的方法進行比較，最后注意抓住平時的過程，利用它就能很好的聯(lián)系兩次變速過程的比較從而解決問題。例2：小明從家騎車去上學．如果開始行駛10分鐘后，將速度提高三分之一，就比平時提前5分鐘到學校；如果開始行駛1200米后，再將速度提高二分之一，就比平時提前8分鐘到學校；請問家到學校之間的路程是多少米？相遇點不變：按照“先不變，后變化”的步驟分析，學會抓住“路程相等，速度與時間成反比”解題。例3：甲、乙兩名騎車人分別從A、B兩地同時出發(fā)相向而行，4小時后在途中相遇；若甲每小時少騎4千米/時，乙晚一小時出發(fā)，則兩人仍在同一地點相遇．已知AB兩地間的距離是180千米，那么乙的騎行速度是_____千米/時。行程問題關(guān)鍵在于一個公式：路程＝時間×速度。雖然題目種類各有不同。但關(guān)鍵還是這個公式找準對策，返璞歸真！行程問題難度相對較大，在小升初中經(jīng)常作為壓軸題出現(xiàn)，高頻考點：變速，往返，多人。數(shù)形結(jié)合思想——小奧思維中對初中，高中幫助最多，最大的一個思維。第五章應用題專題考點分析植樹問題和差問題倍數(shù)問題盈虧問題雞兔問題周期問題經(jīng)濟問題年齡問題平均問題歸一問題還原問題分百問題工程問題濃度問題鐘表問題牛吃草問題※競賽高頻考點1.植樹問題：主要考察間隔數(shù)與棵樹的關(guān)系。審題：注意兩側(cè)、兩邊、兩旁。判斷兩端、兩頭是否植樹相關(guān)公式：間隔數(shù)＝路長÷間隔長間隔數(shù)與棵樹的關(guān)系：兩端植樹，棵樹＝間隔數(shù)＋1一端植樹，棵樹＝間隔數(shù)（環(huán)形植樹）相關(guān)題型：鋸木頭（刀數(shù)）、爬樓層（樓梯數(shù)）、敲鐘聲（間隔）例1：把一根木頭鋸成4段需要6分鐘，如果要鋸成13段，需要多少分鐘？例2：小平和小亮同住在一幢大樓里，小平住五樓，小亮住三樓，小平每天回家要走80級臺階，小亮回家要走多少級臺階？2.和差倍問題：熟練掌握畫線段圖分析問題。畫圖注意：①先找到1倍量；②畫出一倍量；③根據(jù)倍數(shù)畫圖；④求一倍量內(nèi)部傳遞：和不變，差距變化是傳遞數(shù)量的2倍例1：書架上分為上下兩層，一開始上下兩層的書一樣多。若從上層拿16本放到下層，那么下層的書正好是上層的3倍。求原來兩層的書各有多少本？3.盈虧問題：一個口訣，一套解題模型。難點在于題目的條件轉(zhuǎn)換成解題模型?？谠E：盈盈減，虧虧減；一盈一虧就要加；之后除以二次差；所得就是單位數(shù)。模型：每只分10個，多9個；每只分13個，少6個?？键c：注意分什么剩什么，每次都是平均分。原則是總數(shù)與單位數(shù)不變。例1：幸福小學少先隊的同學到會議室開會，若每條長椅上坐3人則多出7人，若每條長椅上多坐4人則多出3條長椅。問：到會議室開會的少先隊員有多少人？例2：4.雞兔問題：低年級一般采用假設法解題，高年級可以采用方程解題假設法：①假設全是雞；②對比腳的數(shù)量變化；③求出兔的數(shù)量考試型：①假設全對；②假設錯一題所得的分數(shù)判斷錯一題實際帶來的分數(shù)變化例1：同學們?nèi)ゴ河?，大船每船?人，小船每船坐4人。全班共有46人，剛好租借10條船。請問：大船小船各有幾條？例2：東湖路小學三年級舉行數(shù)學競賽，共20道試題.做對一題得5分，沒有做一題或做錯一題都要倒扣3分。小明得了60分，問他做對了幾道題5.周期問題：利用余數(shù)解決問題，難點是考察總數(shù)的統(tǒng)計及周期的變化規(guī)律。例1：小華2012年3月23日這一天想出去玩，但不知道是星期幾，而我們知道今天2012年3月8日是星期四，那么2012年3月23日是星期幾？例2：40位同學排成一行，從左向右報數(shù)：先讓第一位同學報2，第二位同學報7，然后從第三位同學開始，每位同學都把前兩位同學所報的數(shù)相乘，再報出乘積的個位來．那么最后一位同學報的是多少？6.年齡問題：1．隨著時間的推移，年齡在增大，倍數(shù)在減小，年齡差不變。2．年齡差不變：你長我也長，同時保證人數(shù)一樣。意外：年齡差變了，有人去世或者有人出生。3．工具：線段圖。要點：抓住倍數(shù)畫圖(先畫1倍量)。利用和差倍問題解題。注意倍數(shù)與年齡和一定要同一時間段相符4．考點：往前(往后)推一個年齡差的問題。解決方法，時間軸的使用。例1：今年，父親是兒子年齡的5倍；15年后，父親年齡是兒子年齡的2倍。問現(xiàn)在父子的年齡各是多少歲？例2：兄弟倆今年年齡和為30歲，當哥哥像弟弟現(xiàn)在這樣大時，弟弟的年齡恰好是哥哥年齡的一半，哥哥今年幾歲？7.平均問題：總數(shù)÷份數(shù)＝平均數(shù)，反之利用平均數(shù)求總數(shù)，化題為式分析問題。例1：三兄弟參加數(shù)學競賽，他們?nèi)齻€人的平均成績是81分，老大、老二的平均成績比老三多9分，老大比老三多10分，那么老二的成績是多少分？例2：有4個數(shù)，每次選取其中3個數(shù)，算出它們的平均數(shù)，再加上另一個數(shù)。用這種方法計算了4次，分別得到以下4個數(shù)：86、92、100、106，那么，原來4個數(shù)的平均數(shù)是多少？8.還原問題：從結(jié)論出發(fā)，倒推到開始，利用線段圖分析問題。例1：小強看一本卡通書，第一天看了這本書的一半又5頁，第二天看了余下的一半又10頁，還有8頁沒看，問這本卡通書共有多少頁？例2：小馬虎做一道減法題，把被減數(shù)十位的6當作9，把減數(shù)個位的3當作5，結(jié)果是217，正確的答案是多少？例3：馬小虎計算一道乘法算式時，錯把乘數(shù)23看成了32，這樣算出的積比正確積多450，正確的積是多少？※小升初高頻考點1．分百問題關(guān)鍵：單位1、分數(shù)四則運算、分小互化方法：單位1法、份數(shù)法、方程法、列表法例1：某學校入學考試，參加的男生與女生人數(shù)之比是4∶3。結(jié)果錄取91人，其中男生與女生人數(shù)之比是8∶5。未被錄取的學生中，男生與女生人數(shù)之比是3∶4。問報考的共有多少人？2．工程問題關(guān)鍵：工作總量＝工作效率×工作時間方法：單位1法、份數(shù)法、方程法、列表法例1：一項工程，甲單獨完成需要12天，乙單獨完成需要9天。若甲先做若干天后乙接著做，共用10天完成，問甲做了幾天？例2：一池水，甲、乙兩管同時開，5小時灌滿；乙、丙兩管同時開，4小時灌滿?，F(xiàn)在先開乙管6小時，還需甲、丙兩管同時開2小時才能灌滿。乙單獨開幾小時可以灌滿？3．濃度問題關(guān)鍵：濃度＝(溶質(zhì)÷溶液)×100%方法：十字交叉法(濃度三角)、方程法、列表法、份數(shù)法、特值法例1：兩個杯子里分別裝有濃度為40％與10％的鹽水，將這兩杯鹽水倒在一起混合后，鹽水濃度變?yōu)?0％。若再加入300克20％的鹽水，濃度變?yōu)?5％。請問：原有40％的鹽水多少克？4．經(jīng)濟問題基本概念的理解：

成本：商品的進價。也稱為買入價、成本價售價：商品被賣出時候的標價。也稱為賣出價、標價、定價、零售價利潤：商品賣出后商家賺到的錢相關(guān)公式：售價＝成本＋利潤利潤率＝利潤÷成本×100%解題方法：邏輯思想：利用經(jīng)濟類公式抓不變量(一般情況下成本是不變量)方程思想：列一元一次、二元一次、不定方程解決經(jīng)濟問題假設思想：用于求利潤率、百分數(shù)不涉及實際價錢關(guān)系的時候可以用到假設思想例1：？第六章幾何專題考點分析1．簡單圖形（正方形、長方形、三角形、平行四邊形、圓形與扇形的周長與面積）2．平面幾何（五大模型＋曲線型幾何＋圖形的軌跡問題）3．立體幾何（堆積體的體積、表面積）4．勾股定理（構(gòu)造弦圖）幾何考察趨勢：1．淡化五大模型的直接運用2．強化幾何基本圖形的靈活運用(割補、擴展、平移、旋轉(zhuǎn))3．熱衷三角形等積變形＋勾股定理4．立體幾何與曲線幾何難度不大5．差不變原理、特值法近年紅紅火火幾何常用解題方法總結(jié)例：圖中外側(cè)的四邊形是一個邊長為10厘米的正方形。求陰影部分的面積。例：如圖，相鄰兩格點間距離為1，則圖中陰影部分三角形的面積為______。例：如圖，把△DEF各邊向外延長1倍后得到△ABC，三角形ABC面積為1。三角形DEF面積為多少？4.五大模型①共角模型：鳥頭模型兩個三角形中有一個角相等或互補，這兩個三角形叫做共角三角形。共角三角形的面積比等于對應角（相等角或互補角）兩夾邊的乘積之比例：已知三角形DEF的面積為18，AD∶BD＝2∶3，AE∶CE＝1∶2，BF∶CF＝3∶2，則三角形ABC的面積為？②共邊模型：三角形等積變形、一半模型例：圖中三角形ABC的面積是180平方厘米，D是BC的中點，AD的長是AE長的3倍，EF的長是BF長的3倍。那么三角形AEF的面積是多少平方厘米？（3）一半模型例：一個長方形分成4個不同的三角形，綠色三角形面積占長方形面積的15%，黃色三角形面積是21cm2。問：長方形的面積是多少平方厘米？③蝴蝶模型（1）任意四邊形中的比例關(guān)系：（2）梯形中的比例關(guān)系：例：如圖，梯形ABCD的AB平行于CD，對角線AC，BD交于O，已知△AOB與△BOC的面積分別為25平方厘米與35平方厘米，那么梯形ABCD的面積是多少平方厘米？④燕尾模型S△AGB∶S△AGC＝S△EGB∶S△EGC＝EB∶ECS△BGA∶S△BGC＝S△FGA∶S△FGC＝FA∶FCS△CGA∶S△CGB＝S△DGA∶S△DGB＝DA∶DB例：在三角形ABC中，三角形AEO的面積是1，三角形ABO的面積是2，三角形BOD的面積是3，則四邊形DCEO的面積是多少？5.曲線形面積問題：六個基本圖形及其面積的求法。利用割補平移或者等積代換，把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化成規(guī)則圖形（整體）。例：如圖，大圓半徑為小圓半徑兩倍，已知圖中陰影部分面積為S1，空白部分面積為S2，那么這兩部分面積之比為______。(π取3.14)利用分割手法或者去掉公共的部分，把圖形轉(zhuǎn)化成相對規(guī)則的圖形（分塊）例：如圖，BD＝DC＝DA＝1。求陰影部分面積。利用容斥原理，多加后減例：如圖，矩形ABCD中，AB＝6厘米，BC＝4厘米，扇形ABE半徑AE＝6，扇形CBF的半徑CB＝4厘米。求陰影部分面積。(π取3)6.立體基本圖形及其表面積與體積。（1）立體基本圖形及其表體基本圖形表面積體積基本圖形表面積體積正方體6a2a2×a長方體2（ab＋ac＋bc）ab×c圓柱體2πR2＋2πRhπR2×h圓錐體πR2＋πRlEQ\F(1,3)πR2×h球體4πR2EQ\F(4,3)πR3例：一個酒瓶里面深30厘米，底面直徑是10厘米，瓶里酒深15厘米。把酒瓶塞緊后使其口朝下倒立，這時酒深25厘米，酒瓶的容積是多少？(π取3)（2）三視圖的幾種考法①利用三視圖求立體表面積例：如圖，棱長分別為1厘米、2厘米、3厘米、5厘米的四個正方體緊貼在一起，所得到的多面體表面積是______平方厘米。②低層標數(shù)法：利用三視圖還原立體圖形例：小明用若干個大小相同的正方體堆成一個幾何體，這個幾何體從正面看如下圖左，從上面看如下圖右，那么這個幾何體至少用______塊。③切片法：例：有一個棱長為5厘米的正方體木塊，從它的每個面看都有一個穿透的完全相同的孔。求這個立體圖形的內(nèi)、外表面的總面積及體積。7.勾股定理：在直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方。構(gòu)造弦圖：利用輔助線切割不規(guī)則圖形為規(guī)則圖形、傳遞等量關(guān)系。例：如圖，兩個長方形大小相同，長和寬分別為12和8，求陰影部分的面積。第七章邏輯專題考點分析抽屜原理最不利原則邏輯推理游戲與對策幻方與數(shù)陣圖頁碼問題格點與割補巧填算符染色與覆蓋找規(guī)律算式謎多筆畫統(tǒng)籌與最優(yōu)化智巧趣題……抽屜原理：1.最不利原則：平均分原則蘋果數(shù)÷抽屜數(shù)＝n……a，則至少有一個抽屜里有n＋1個蘋果要想有一個抽屜至少有2個蘋果，則蘋果的數(shù)量至少比抽屜的數(shù)量多1個2.難點：抽屜的計算，計數(shù)功底一定要扎實，根據(jù)“要證明的內(nèi)容”構(gòu)造抽屜例：17名同學參加一次考試，考試題是3道判斷題(答案只有對錯之分)，每名同學都在答題紙上依次寫上了3道題目的答案。試說明至少有3名同學的答案是一樣的。例：在一只口袋中有紅色、黃色、藍色球若干個，小聰明和其他九個小朋友一起做游戲，每人可以從口袋中隨意取出2個球，那么不管怎樣挑選，總有兩個小朋友取出的兩個球的顏色是完全一樣的。你能說明這是為什么嗎？例：求證：對于任意8個自然數(shù)，一定能從中找到6個數(shù)a、b、c、d、e、f，使得(a－b)(c－d)(e－f)是105的倍數(shù)。邏輯推理：①列表法；②定序法；③排除法④矛盾法；⑤假設法邏輯推理常用思想：假設驗證思想，極端嘗試思想例：甲、乙、丙在2010年高考中，分別考取了北大，清華和理工大學的數(shù)學系，物理系和化學系，現(xiàn)知道下列情況：⑴甲不在北大；⑵乙不在清華；⑶在北大的不學數(shù)學；⑷在清華的學物理；⑸乙不學化學。根據(jù)以上情況判斷甲、乙、丙三人各在哪個學校？哪個系？例：小明、小芳、小林三人中，有一人偷偷把教室打掃得干干凈凈，老師問他們?nèi)耸钦l做的好事，三人都不承認是自己做的。小明說：小芳打掃的。小芳說：不是我打掃的。小林說：也不是我打掃的。如果這三句話中只有一句話是真話，你能幫助老師判斷教室是誰打掃的嗎？例：在臨上刑場前，國王對預言家說：“你不是很會預言嗎？你怎么不能預言到你今天要被處死呢？我給你個機會，你可以預言一下今天我會如何處死你。你如果預言對了，我就讓你服毒死；你如果預言錯了，我就絞死你?！钡锹斆鞯念A言家說了一句話，使得國王無論如何也無法將他處死。請問，他是如何預言的？例：阿凡提騎著毛驢去尋找寶藏，遇見了兩扇門和兩個看門人，一扇門后是寶藏，另一扇門后是守護寶藏的怪物，一個看門人只講真話，另一個看門人只講假話，兩個看門人都知道寶藏在哪一扇門后，但不知道他們誰講真話，誰講假話，聰明的阿凡提向其中一個守門人問道：“如果問另一個人寶藏在哪一扇門，他會怎么回答？”根據(jù)那人的回答，阿凡提立即判斷出寶藏的位置，請分析阿凡提如何判斷出寶藏的位置?；梅脚c數(shù)陣圖：1.三階幻方的性質(zhì)：①幻和＝總和÷3；②中心數(shù)＝幻和÷3＝總和÷9；③“T型臺”原理2.數(shù)陣圖一般解題步驟：①找到重疊數(shù)，確定重疊次數(shù)②用字母表示重疊數(shù)與和③列式，邊和×個數(shù)＝數(shù)字和＋重疊數(shù)×（重疊次數(shù)－1）④求得重疊數(shù)與和的關(guān)系，并分析取值的情況，嘗試填圖例：在下圖的空格里填入七個將1~7七個數(shù)字填入右圖自然數(shù)，使每一行、每一列的七個○內(nèi)，使每個圓周及每一條對角線上的三個數(shù)和每條直線上的三個數(shù)的和都等于90。之和都相等。格點與割補：①正方形格點：S＝N＋L÷2－1②三角形格點：S＝2N＋L－2③S：面積；N：內(nèi)點個數(shù)；L：外點個數(shù)例：正六邊形ABCDEF的面積是180平方厘米。M是AB中點，N是CD中點，P是EF中點。問：三角形MNP的面積是多少平方厘米？巧填算符：①逆推法：適用于數(shù)字少，結(jié)果小的題目。從等號左邊最后一個數(shù)字開始逐步向前逆推，最終使等式成立。②湊數(shù)法：適用于數(shù)字多，結(jié)果大的題目。先用式子中的一些數(shù)字湊出一個與結(jié)果比較接近的數(shù)，然后再對式子中剩下的數(shù)字做適當?shù)恼{(diào)整和運算，使等式成立。