2021-2022學(xué)年上海市浦東新區(qū)高二年級(jí)上冊(cè)學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2021-2022學(xué)年上海市浦東新區(qū)高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題一、填空題1．直線的傾斜角是______．【答案】【分析】先求斜率，根據(jù)斜率和傾斜角的關(guān)系可得答案.【詳解】直線的斜率，傾斜角為．故答案為：.2．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，直線AC與直線的距離是______．【答案】1【分析】在正方體中，找到異面直線AC與直線的公垂線段，求其長(zhǎng)度即可.【詳解】如圖，取AC與的中點(diǎn)，因?yàn)?為的中點(diǎn)，則，同理，所以直線AC與直線的距離為線段長(zhǎng)，又，所以直線AC與直線的距離為1.故答案為：1.3．已知直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，且直線與平面平行，則實(shí)數(shù)______．【答案】2【分析】依題意可得，即可得到，根據(jù)空間向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到方程，解得即可.【詳解】解：因?yàn)橹本€與平面平行，直線的一個(gè)方向向量為，平面的一個(gè)法向量為，所以，則，解得．故答案為：4．把一個(gè)母線長(zhǎng)為10cm的圓錐截成圓臺(tái)，已知圓臺(tái)的上、下底面積的比為1∶4，則圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是______cm．【答案】5【分析】根據(jù)圓臺(tái)的上、下底面積的比可得半徑比，利用比例可得答案.【詳解】作出圓錐的軸截面如圖，因?yàn)閳A臺(tái)的上、下底面積的比為1∶4，所以上、下底面圓的半徑之比為1∶2，所以；利用平行線截線段成比例，則，因?yàn)閳A錐的母線長(zhǎng)為10cm，即，所以，所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)是.故答案為：5.5．某地球儀上北緯30°緯線圈的長(zhǎng)度為，如圖所示，則該地球儀的半徑是______cm.【答案】【分析】先求緯圓半徑，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，再求地球儀的半徑．【詳解】如圖所示，由題意知，北緯30°所在小圓的周長(zhǎng)為，則該小圓的半徑，其中，所以該地球儀的半徑.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查球的半徑的計(jì)算，利用球心到截面的距離、截面半徑、球的半徑構(gòu)成直角三角形，解直角三角形即可求解半徑，屬于簡(jiǎn)單題.6．已知直線l過(guò)點(diǎn)，且與直線的夾角為，則直線l的方程是______．【答案】或【分析】根據(jù)夾角公式列方程，求得直線的斜率，從而求得直線的方程.【詳解】設(shè)直線的斜率為，因?yàn)?，且為銳角，所以，所以，解得或0，故過(guò)點(diǎn)，且與直線的夾角為的直線的方程為：或，即或．故答案為：或7．如圖，圓錐的底面半徑，高，點(diǎn)C是底面直徑AB所對(duì)弧的中點(diǎn)，D是母線PA的中點(diǎn)，則異面直線CD與AB所成角的大小是______．（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.【詳解】因?yàn)閳A錐的底面半徑，高，所以母線長(zhǎng)，連接，因?yàn)闉榈酌嬷睆剿鶎?duì)弧的中點(diǎn)，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，,,所在直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，，所以．所以異面直線與所成角的大小為．8．已知點(diǎn)到直線的距離為d，則d的最大值是______．【答案】5【分析】先求出直線過(guò)定點(diǎn)，得到d的最大值為，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求解.【詳解】直線即，令得，故直線過(guò)定點(diǎn).所以d的最大值為．因?yàn)椋?，所?故答案為：59．已知中，，，所在平面α外一點(diǎn)P到此三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都是6，則點(diǎn)P到平面α的距離是______．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)P作所在平面α的垂線，垂足為的外心，求出的外接圓的半徑，再根據(jù)勾股定理求點(diǎn)P到平面α的距離.【詳解】記點(diǎn)在平面上的射影為，因?yàn)?，所以，即是的外心，只需求出的外接圓的半徑，記為，在中，，，由余弦定理得，再由正弦定理得，所以，又，得,即點(diǎn)到平面的距離為.故答案為：.10．過(guò)球表面上一點(diǎn)引三條長(zhǎng)度相等的弦、、，且兩兩夾角都為，若球半徑為，則弦的長(zhǎng)度為_(kāi)_________．【答案】【詳解】由條件可知A?BCD是正四面體,如圖：A、B、C、D為球上四點(diǎn)，則球心O在正四面體中心，設(shè)AB=a，則過(guò)點(diǎn)B、C、D的截面圓半徑，正四面體A?BCD的高,則截面BCD與球心的距離d=OO1=a?R.因?yàn)樵谥?,所以,解得.點(diǎn)睛：解決球與其他幾何體的切、接問(wèn)題，關(guān)鍵在于仔細(xì)觀察、分析，弄清相關(guān)元素的關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多地包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元素之間的關(guān)系)，達(dá)到空間問(wèn)題平面化的目的．11．點(diǎn)在正方體的側(cè)面及其邊界上運(yùn)動(dòng)，并保持，若正方體邊長(zhǎng)為，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】先證明平面，故點(diǎn)的軌道為線段，的取值范圍是【詳解】連結(jié)，，，易知平面，故點(diǎn)的軌道為線段，當(dāng)在中點(diǎn)時(shí)：最小為當(dāng)與或重合時(shí)：最大值為2則的取值范圍是.

故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了線段長(zhǎng)度的范圍，確定點(diǎn)的軌道為線段是解題的關(guān)鍵.12．如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD為正方形，，，平面平面ABCD，，點(diǎn)E為DC上的動(dòng)點(diǎn)，平面BSE與平面ASD所成的二面角為（為銳角），則當(dāng)取最小值時(shí)，三棱錐的體積為_(kāi)_____．【答案】【分析】以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，分別求解平面與的法向量，根據(jù)向量夾角公式判斷當(dāng)取最小值時(shí)求得，從而求解三棱錐的體積為．【詳解】由題意得，，兩兩相互垂直，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，，，所以，其中，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，故，又平面的一個(gè)法向量為，所以，由于，故當(dāng)時(shí)，取得最大值，取得最小值，此時(shí)，三棱錐的體積為．故答案為：二、單選題13．設(shè)α、β是兩個(gè)不同的平面，b是直線，且，則“”是“”的（

）A．充分非必要條件 B．必要非充分條件C．既非充分又非必要條件 D．充要條件【答案】A【分析】根據(jù)面面垂直的判定與性質(zhì)定理即可判斷結(jié)果．【詳解】因?yàn)椋?，則，反之不成立，故為充分非必要條件．故選：A14．給定一個(gè)正方體形狀的土豆塊，只切一刀，除了可以得到四面體?四棱柱等類型的多面體以外，還能得到的多面體的類型可以含有（

）A．五棱柱?七面體 B．五棱柱?六棱錐C．六棱錐?七面體 D．以上答案都不正確【答案】A【分析】根據(jù)正方體的幾何結(jié)構(gòu)特征，分別取的中點(diǎn)，即可得到一個(gè)直五棱柱，即可求解.【詳解】如圖所示，分別取的中點(diǎn)，分別連接，可得幾何體為一個(gè)直五棱柱，且為七面體.故選：A.15．M，N分別為菱形ABCD的邊BC，CD的中點(diǎn)，將菱形沿對(duì)角線AC折起，使點(diǎn)D不在平面ABC內(nèi)，則在翻折過(guò)程中，對(duì)于下列兩個(gè)命題：①直線MN恒與平面ABD平行；②異面直線AC與MN恒垂直．以下判斷正確的是（

）A．①為真命題，②為真命題； B．①為真命題，②為假命題；C．①為假命題，②為真命題； D．①為假命題，②為假命題；【答案】A【分析】根據(jù)線面平行的判定定理可知①為真命題，利用線面垂直可得②為真命題.【詳解】因?yàn)镸，N分別為菱形ABCD的邊BC，CD的中點(diǎn)，所以，因?yàn)槠矫鍭BD，平面ABD，所以①直線MN恒與平面ABD平行正確；如圖，取中點(diǎn)，則（菱形對(duì)角線垂直），又，且兩直線在平面內(nèi)，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)?，所以，所以②正確；故選：．16．是棱長(zhǎng)為1的正方體，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從A出發(fā)沿正方體的面對(duì)角線運(yùn)動(dòng)，每走完一條面對(duì)角線稱“走完一段”，質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)則如下：運(yùn)動(dòng)第i段與第段所在的直線必須是異面直線（其中i是正整數(shù)），問(wèn)質(zhì)點(diǎn)走完的第2022段與第1段所在的直線所成的角是（

）A．0° B．30° C．60° D．90°【答案】C【分析】不妨設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行路線為，找到規(guī)律，即可得到第段與第段所在的直線所成的角.【詳解】解：依題意，不妨設(shè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)行路線為，走過(guò)段后又回到起點(diǎn)，可以看作以為周期，因?yàn)?，所以質(zhì)點(diǎn)走完的第段與第段所在的直線分別為與，連接，顯然為等邊三角形，所以與所成角為，所以質(zhì)點(diǎn)走完的第段與第段所在的直線所成的角是.故選：C．三、解答題17．如圖，某種水箱用的“浮球”是由兩個(gè)半球和一個(gè)圓柱筒組成，已知球的直徑是6cm，圓柱筒長(zhǎng)2cm．(1)這種“浮球”的體積是多少？(結(jié)果精確到0.1)(2)要在這樣2500個(gè)“浮球”表面涂一層膠質(zhì)，如果每平方米需要涂膠100克，共需膠約多少克？（精確到克）【答案】(1)(2)（克）【分析】（1）分別求出兩個(gè)半球的體積，和圓柱體的體積，即可求出“浮球”的體積；（2）先求出一個(gè)“浮球”的表面積，再求出2500個(gè)的面積，即可求解.【詳解】（1）該半球的直徑，所以“浮球”的圓柱筒直徑也是，得半徑，所以兩個(gè)半球的體積之和為，而，該“浮球”的體積是；（2）上下兩個(gè)半球的表面積是，而“浮球”的圓柱筒側(cè)面積為，所以1個(gè)“浮球”的表面積為，因此，2500個(gè)“浮球”的表面積的和為，因?yàn)槊科椒矫仔枰磕z100克，所以總共需要膠的質(zhì)量為：（克）．18．直線的方程為,直線的方程為．(1)若直線與直線垂直,求實(shí)數(shù)a的值;(2)若直線與直線平行,求這兩條平行直線間的距離．【答案】(1)或(2)【分析】(1)根據(jù)直線與直線垂直,列出等式,解出即可;(2)根據(jù)直線與直線平行,列出等式,解出a的值,再根據(jù)平行直線距離公式代入即可求得距離.【詳解】（1）由題知,,因?yàn)橹本€與直線垂直,所以,即,所以或;（2）因?yàn)橹本€與直線平行,所以,即,解得或,經(jīng)檢驗(yàn),當(dāng)時(shí)兩直線重合,故,此時(shí)直線的方程為,直線的方程為,即,所以這兩條平行直線間的距離．19．已知四棱錐的底面是菱形，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，，，底面ABCD，設(shè)點(diǎn)M滿足．(1)若，求三棱錐的體積；(2)直線PA與平面MBD所成角的正弦值是，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的，求解即可；（2）求平面的一個(gè)法向量為，設(shè)直線與平面所成的角為，然后由求解.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，即，則點(diǎn)到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離的.在菱形中，，，，又底面ABCD，，所以.所以三棱錐的體積為.（2）因?yàn)榈酌?，底面，底面，所以、，則、、兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，,，，則，，設(shè)平面的法向量為，則，令，，，設(shè)直線與平面所成的角為，，解得，（舍去），所以．20．（1）已知O是平面ABC外一點(diǎn)，求證：P在平面ABC上的充要條件是“存在實(shí)數(shù)x，y，z，使，且”；（2）如圖所示，在平行六面體中，，，，，與平面交于點(diǎn)K．設(shè)，，．①用，，表示；②求異面直線與所成角的大小（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）①；②．【分析】（1）利用空間向量基本定理及向量運(yùn)算求解；（2）①利用及（1）的結(jié)論可求答案；②利用空間向量的運(yùn)算求解異面直線所成角.【詳解】（1）若且，則，由空間向量基本定理，得，，三個(gè)向量共面，說(shuō)明點(diǎn)在平面內(nèi)．反之，如果點(diǎn)在平面內(nèi)，則存在，使得，，即；令，則且.所以P在平面ABC上的充要條件是“存在實(shí)數(shù)x，y，z，使，且”.（2）①，因?yàn)榕c平面交于點(diǎn)K，設(shè)，由（1）得，所以，所以；②，，因?yàn)?，，，，所以，同理所以，，，設(shè)異面直線與所成角的大小為，則，所以異面直線與所成角的大小為．21．在平面直角坐標(biāo)系中，定義為兩點(diǎn)、的“切比雪夫距離”，例如：點(diǎn)，點(diǎn)，因?yàn)?，所以點(diǎn)與點(diǎn)的“切比雪夫距離”為，記為．(1)已知點(diǎn)，B為x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，①若，寫(xiě)出點(diǎn)B的坐標(biāo)；②直接寫(xiě)出的最小值(2)求證：對(duì)任意三點(diǎn)A，B，C，都有；(3)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，若動(dòng)點(diǎn)P所在的曲線所圍成圖形的面