江蘇省南京市重點中學2022-2023學年高二下學期3月月考數學試題及答案解析

-2023學年南京市重點中學高二下學期3月月考數學試題一．選擇題（共8小題，每題5分，共40分）1．已知等差數列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且a1、a2、a5成等比數列，則S6＝（）A．36 B．18 C．72 D．92．隨機變量X的分布列如下表所示，則P（X≤2）＝（）X1234P0.1m0.32mA．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.43．已知某倉庫中有10箱同樣型號的零件，其中有5箱、3箱、2箱依次是甲廠、乙廠、丙廠生產的，且甲、乙、丙三廠生產該型號零件的次品率依次為，現從這10箱中任取一箱，再從這箱中任取一個零件，則取得的零件是次品的概率為（）A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.24．現有甲、乙、丙、丁四位同學要與兩位老師站成一排合影留念，則甲同學不站兩端且兩位老師必須相鄰的站法有（）A．72種 B．144種 C．288種 D．576種5．已知箱中共有6個球，其中紅球、黃球、藍球各2個．每次從該箱中取1個球（有放回，每球取到的機會均等），共取三次．設事件A：“第一次取到的球和第二次取到的球顏色相同”，事件B：“三次取到的球顏色都相同”，則P（B|A）＝（）A． B． C． D．16．（1+）（1+x）6展開式中x2的系數為（）A．15 B．20 C．30 D．357．已知雙曲線的兩條漸近線相互垂直，焦距為12，則該雙曲線的虛軸長為（）A．6 B． C． D．8．已知函數f（x）＝（e﹣a）ex﹣ma+x，（m，a為實數），若存在實數a，使得f（x）≤0對任意x∈R恒成立，則實數m的取值范圍是（）A．[﹣，+∞） B．[﹣e，+∞） C．[，e] D．[﹣e，﹣]二．多選題（共4小題，每題5分，共20分）9．對于離散型隨機變量X的數學期望E（X）和方差D（X），下列說法正確的是（）A．E（X）反映隨機變量的平均取值 B．D（X）越小，說明X越集中于E（X） C．E（aX+b）＝aE（X）+b D．D（aX+b）＝a2D（X）+b10．已知雙曲線C：過點（3，），則下列結論正確的是（）A．C的焦距為4 B．C的離心率為 C．C的漸近線方程為 D．直線2x﹣y﹣1＝0與C有兩個公共點11．對于函數，下列說法正確的有（）A．f（x）在x＝e處取得極大值 B．f（x）在x＝e處取得最大值 C．f（x）有兩個不同零點 D．f（2）＜f（π）＜f（3）12．下列關于空間向量的命題中，正確的是（）A．若非零向量，，滿足∥，∥，則有∥ B．任意向量，，滿足（?）?＝?（?） C．若，，是空間的一組基底，且＝++，則A，B，C，D四點共面 D．已知向量＝（1，1，x），＝（﹣3，x，9），若x＞，，則＜，＞為銳角三．填空題（共4小題，，每題5分，共20分）13．二項展開式（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，則5a5+4a4+3a3+2a2+a1＝．14．中國古典數學的代表作有《算數書》《九章算術》《周髀算經》《孫子算經》等．學校圖書館計劃將這四本書借給3名學生閱讀，要求每人至少讀一本，則不同的借閱方式有種（用數字作答）．15．已知向量，點A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．在直線AB上，存在一點E，使得，則點E的坐標為．16．已知數列{an}滿足：an＞0，a1＝2，且an+12＝2an2+anan+1，令bn＝，設數列{bn}的前n項和為Sn，則S7＝．四．解答題（共6小題，共70分）17．（10分）已知（2﹣）n的展開式中，第3項和第5項的二項式系數相等．（1）求n；（2）求展開式中的常數項．18．（12分）在數列{an}中，a1＝3，an+1＝an+2n+1．（1）證明：數列{an﹣n}是等比數列；（2）求數列的前n項和Sn．19．（12分）某產品按照產品質量標準分為1等品、2等品、3等品、4等品四個等級．某采購商從采購的產品中隨機抽取100個，根據產品的質量標準得到下面的柱狀圖：（1）若將頻率視為概率，從采購的產品中有回放地隨機抽取3個，求恰好有1個4等品的概率；（2）按分層抽樣從這100個產品中抽取10個．現從這10個產品中隨機抽取3個，記這3個產品中1等品的數量為X，求X的分布列及數學期望；（3）某生產商提供該產品的兩種銷售方案給采購商選擇．方案1：產品不分類，售價為22元/個；方案2：分類賣出，分類后的產品售價如表：等級1等品2等品3等品4等品售價（元/個）24221816根據樣本估計總體的思想，從采購商的角度考慮，應該接收哪種方案？請說明理由．20．（12分）已知橢圓的右焦點，且點A（2，0）在橢圓上．（1）求橢圓C的標準方程：（2）過點F且斜率為1的直線與橢圓C相交于M、N兩點，求線段MN的長度．21．（12分）如圖1，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于點E，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如圖2．（Ⅰ）求證：A1E⊥平面BCDE；（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B的余弦值；（Ⅲ）在線段BD上是否存在點P，使平面A1EP平面A1BP？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．22．（12分）已知函數f（x）＝﹣+ax﹣lnx（a∈R）．（1）當a＝1時，求曲線y＝f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；（2）求f（x）的單調區(qū)間；（3）若函數f（x）有兩個極值點x1，x2（x1＜x2），求證：4f（x1）﹣2f（x2）≤1+3ln2．

答案解析一．選擇題（共8小題）1．已知等差數列{an}的公差為2，前n項和為Sn，且a1、a2、a5成等比數列，則S6＝（）A．36 B．18 C．72 D．9【解答】解：∵a1、a2、a5成等比數列，∴＝a1?a5，可得＝a1（a1+2×4），解得：a1＝1則S6＝6+×2＝36．故選：A．2．隨機變量X的分布列如下表所示，則P（X≤2）＝（）X1234P0.1m0.32mA．0.1 B．0.2 C．0.3 D．0.4【解答】解：由離散型隨機變量分布列的性質可知，0.1+0.3+m+2m＝1，解得m＝0.2，故P（X≤2）＝P（X＝1）+P（X＝2）＝0.1+0.2＝0.3．故選：C．3．已知某倉庫中有10箱同樣型號的零件，其中有5箱、3箱、2箱依次是甲廠、乙廠、丙廠生產的，且甲、乙、丙三廠生產該型號零件的次品率依次為，現從這10箱中任取一箱，再從這箱中任取一個零件，則取得的零件是次品的概率為（）A．0.08 B．0.1 C．0.15 D．0.2【解答】解：以A1，A2，A3分別表示取得的零件是由甲廠、乙廠、丙廠生產的，B表示取得的零件為次品，則P（A1）＝，P（A2）＝，P（A3）＝，P（B|A1）＝，P（B|A2）＝，P（B|A3）＝，則由全概率公式，所求概率為P（B）＝P（A1）P（B|A1）+P（A2）P（B|A2）+P（A3）P（B|A3）＝＝0.08，故選：A．4．現有甲、乙、丙、丁四位同學要與兩位老師站成一排合影留念，則甲同學不站兩端且兩位老師必須相鄰的站法有（）A．72種 B．144種 C．288種 D．576種【解答】解：根據題意，分2步進行分析：①將兩位老師看成一個整體，與乙、丙、丁全排列，有AA＝48種排法，②將甲安排在中間的空位中，有3種安排方法，則有48×3＝144種安排方法，故選：B．5．已知箱中共有6個球，其中紅球、黃球、藍球各2個．每次從該箱中取1個球（有放回，每球取到的機會均等），共取三次．設事件A：“第一次取到的球和第二次取到的球顏色相同”，事件B：“三次取到的球顏色都相同”，則P（B|A）＝（）A． B． C． D．1【解答】解：根據題意，可得事件A包含的基本事件有3×2×2×6＝72個，事件B包含的基本事件有3×2×2×2＝24個，而所有的基本事件有63個，∴事件A發(fā)生的概率為P（A）＝＝，事件AB同時發(fā)生的概率為P（AB）＝＝．因此P（B|A）＝．故選：B．6．（1+）（1+x）6展開式中x2的系數為（）A．15 B．20 C．30 D．35【解答】解：（1+）（1+x）6展開式中：若（1+）＝（1+x﹣2）提供常數項1，則（1+x）6提供含有x2的項，可得展開式中x2的系數：若（1+）提供x﹣2項，則（1+x）6提供含有x4的項，可得展開式中x2的系數：由（1+x）6通項公式可得．可知r＝2時，可得展開式中x2的系數為．可知r＝4時，可得展開式中x2的系數為．（1+）（1+x）6展開式中x2的系數為：15+15＝30．故選：C．7．已知雙曲線的兩條漸近線相互垂直，焦距為12，則該雙曲線的虛軸長為（）A．6 B． C． D．【解答】解：根據題意可得，解得a＝b＝，∴該雙曲線的虛軸長為2b＝，故選：B．8．已知函數f（x）＝（e﹣a）ex﹣ma+x，（m，a為實數），若存在實數a，使得f（x）≤0對任意x∈R恒成立，則實數m的取值范圍是（）A．[﹣，+∞） B．[﹣e，+∞） C．[，e] D．[﹣e，﹣]【解答】解：函數的導數f′（x）＝（e﹣a）ex+1，若e﹣a≥0，可得f′（x）＞0，函數f（x）為增函數，當x→+∞，f（x）→+∞，不滿足f（x）≤0對任意x∈R恒成立；若e﹣a＜0，由f′（x）＝0，得ex＝，則x＝ln，∴當x＜ln，時，f′（x）＞0，當x＞ln時，f′（x）＜0，∴f（x）max＝f（ln）＝（e﹣a）e﹣ma+ln＝﹣1﹣ma+ln若f（x）≤0對任意x∈R恒成立，則﹣1﹣ma+ln≤0，（a＞e）恒成立，若存在實數a，使得﹣1﹣ma+ln≤0成立，則ma≥﹣1+ln，∴m≥﹣﹣，（a＞e），令F（a）＝﹣﹣，則F′（a）＝﹣＝．∴當a＜2e時，F′（a）＜0，當a＞2e時，F′（a）＞0，則F（a）min＝F（2e）＝﹣．∴m≥﹣．則實數m的取值范圍是[﹣，+∞）．故選：A．二．多選題（共4小題）9．對于離散型隨機變量X的數學期望E（X）和方差D（X），下列說法正確的是（）A．E（X）反映隨機變量的平均取值 B．D（X）越小，說明X越集中于E（X） C．E（aX+b）＝aE（X）+b D．D（aX+b）＝a2D（X）+b【解答】解：離散型隨機變量的期望反映了隨機變量取值的平均水平，方差反映了隨機變量取值偏離于均值的平均程度，方差越小，說明隨機變量的取值越集中于均值；即AB正確；由期望和方差的性質可得，E（aX+b）＝aE（X）+b，D（aX+b）＝a2D（X），即C正確，D錯；故選：ABC．10．已知雙曲線C：過點（3，），則下列結論正確的是（）A．C的焦距為4 B．C的離心率為 C．C的漸近線方程為 D．直線2x﹣y﹣1＝0與C有兩個公共點【解答】解：雙曲線C：過點（3，），可得3﹣＝1，解得m＝1，所以雙曲線方程為：．焦距為2c＝4，A正確；離心率為e＝，所以B不正確；漸近線方程為：，所以C正確；直線2x﹣y﹣1＝0過（，0），斜率為：＞，所以直線2x﹣y﹣1＝0與C沒有交點．所以D不正確；故選：AC．11．對于函數，下列說法正確的有（）A．f（x）在x＝e處取得極大值 B．f（x）在x＝e處取得最大值 C．f（x）有兩個不同零點 D．f（2）＜f（π）＜f（3）【解答】解：函數的導數，令f′（x）＝0得x＝e，則當0＜x＜e時，f′（x）＞0，函數為增函數，當x＞e時，f′（x）＜0，函數f（x）為減函數，則當x＝e時，函數取得極大值，極大值為，故A正確，由A知當x＝e時，函數取得最大值，最大值為，故B正確；由f（x）＝0，得lnx＝0，得x＝1，即函數f（x）只有一個零點，故C錯誤，∵，由x＞e時，函數f（x）為減函數，知f（3）＞f（π）＞f（4），故f（2）＜f（π）＜f（3）成立，故D正確．故選：ABD．12．下列關于空間向量的命題中，正確的是（）A．若非零向量，，滿足∥，∥，則有∥ B．任意向量，，滿足（?）?＝?（?） C．若，，是空間的一組基底，且＝++，則A，B，C，D四點共面 D．已知向量＝（1，1，x），＝（﹣3，x，9），若x＞，，則＜，＞為銳角【解答】解：A：因為，，是非零向量，所以由∥，∥，可得∥，故正確；B：因為向量，不一定是共線向量，因此（?）?＝?（?）不一定成立，故不正確；C：因為，，是是空間的一組基底，所以A，B，C三點不共線，又因為＝++，所以A，B，C，D四點共面，故正確；D：cos＜，＞＝＝，當x＞時，cos＜，＞＞0，若向量＝（1，1，x），＝（﹣3，x，9）同向，則有＝λ，所以有?，而λ＞0，所以向量＝（1，1，x），＝（﹣3，x，9）不能同向，因此＜，＞為銳角，故正確．故選：ACD．三．填空題（共4小題）13．二項展開式（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，則5a5+4a4+3a3+2a2+a1＝10．【解答】解：（2x﹣1）5＝a5x5+a4x4+a3x3+a2x2+a1x+a0，左右兩邊分別求導可得，5（2x﹣1）4×2＝，令x＝1可得，5a5+4a4+3a3+2a2+a1＝10．故答案為：10．14．中國古典數學的代表作有《算數書》《九章算術》《周髀算經》《孫子算經》等．學校圖書館計劃將這四本書借給3名學生閱讀，要求每人至少讀一本，則不同的借閱方式有36種（用數字作答）．【解答】解：根據題意，分2步進行分析：①在四本書中選出2本，分配給三人中的1人，有C42C31＝18種分法，②剩下的2本安排給其余2人，有A22＝2種分法，則有18×2＝36種借閱方式，故答案為：36．15．已知向量，點A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2）．在直線AB上，存在一點E，使得，則點E的坐標為．【解答】解：設，因為A（﹣3，﹣1，4），B（﹣2，﹣2，2），所以，，，，因為，所以﹣2（λ﹣3）+（﹣λ﹣1）+（﹣2λ+4）＝0，解得，又A（﹣3，﹣1，4），，所以點E的坐標為．故答案為：．16．已知數列{an}滿足：an＞0，a1＝2，且an+12＝2an2+anan+1，令bn＝，設數列{bn}的前n項和為Sn，則S7＝2046．【解答】解：∵，∴，則（an+1﹣2an）（an+1+an）＝0．又an＞0，∴an+1﹣2an＝0，即，∴數列{an}是以2為首項、2為公比的等比數列，∴．則，，兩式相減得，∴，故答案為：2046．四．解答題（共6小題）17．已知（2﹣）n的展開式中，第3項和第5項的二項式系數相等．（1）求n；（2）求展開式中的常數項．【解答】解：（1）由題意（2﹣）n的展開式中，第3項和第5項的二項式系數相等，∴，∴．整理得n2﹣5n﹣6＝0，解得n＝6，或n＝﹣1（舍）∴n＝6．（2）∵二項展開式通項公式為，令3﹣r＝0，解得r＝3，故所求展開式中的常數項為．18．在數列{an}中，a1＝3，an+1＝an+2n+1．（1）證明：數列{an﹣n}是等比數列；（2）求數列的前n項和Sn．【解答】解：（1）證明：由an+1＝an+2n+1，得an+1﹣（n+1）﹣（an﹣n）＝2n，∴an﹣n﹣[an﹣1﹣（n﹣1）]＝2n﹣1，an﹣1﹣（n﹣1）﹣[an﹣2﹣（n﹣2）]＝2n﹣2，??，a2﹣2﹣[a1﹣1]＝2，∴an﹣n﹣[a1﹣1]＝2+21+22+??+2n﹣1，∴an﹣n＝+（a1﹣1）＝2n，∴數列{an﹣n}是等比數列；（2）由（1）可得an＝n+2n，∴＝+1，Sn＝+++??++n，令Tn＝+++??+，①∴2Tn＝1+++??+，②錯位相減，②﹣①，得：Tn＝1+++…+﹣＝﹣＝2﹣，∴Sn＝2+n﹣．19．某產品按照產品質量標準分為1等品、2等品、3等品、4等品四個等級．某采購商從采購的產品中隨機抽取100個，根據產品的質量標準得到下面的柱狀圖：（1）若將頻率視為概率，從采購的產品中有回放地隨機抽取3個，求恰好有1個4等品的概率；（2）按分層抽樣從這100個產品中抽取10個．現從這10個產品中隨機抽取3個，記這3個產品中1等品的數量為X，求X的分布列及數學期望；（3）某生產商提供該產品的兩種銷售方案給采購商選擇．方案1：產品不分類，售價為22元/個；方案2：分類賣出，分類后的產品售價如表：等級1等品2等品3等品4等品售價（元/個）24221816根據樣本估計總體的思想，從采購商的角度考慮，應該接收哪種方案？請說明理由．【解答】解：（1）隨機抽取1個，取到4等品的概率為P＝＝，從采購的產品中有放回地隨機抽取3個，記4等品的數量為ξ，則ξ～B（3，），∴P（ξ＝1）＝＝．（2）由分層抽樣可知，10個產品中，1等品有4個，非1等品有6個，隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝．∴X的分布列為X0123P數學期望E（X）＝0×+1×+2×+3×＝．（3）方案2的平均售價為24×+22×+18×+16×＝21.2，因為21.2＜22，所以從采購商角度考慮，應該選擇方案2．20．已知橢圓的右焦點，且點A（2，0）在橢圓上．（1）求橢圓C的標準方程：（2）過點F且斜率為1的直線與橢圓C相交于M、N兩點，求線段MN的長度．【解答】解：（1）由題意知，焦點且過點A（2，0），∴，∴b2＝a2﹣c2＝4﹣3＝1，∴橢圓方程為．（2）由題意得，直線MN的方程為，設M（x1，y1），N（x2，y2），聯立直線與橢圓方程，得，∴Δ＝192﹣160＝32＞0，則，∴，又∵，∴．21．如圖1，在邊長為2的菱形ABCD中，∠BAD＝60°，DE⊥AB于點E，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥BE，如圖2．（Ⅰ）求證：A1E⊥平面BCDE；（Ⅱ）求二面角E﹣A1D﹣B的余弦值；（Ⅲ）在線段BD上是否存在點P，使平面A1EP平面A1BP？若存在，求出的值；若不存在，說明理由．【解答】（共14分）證明：（I）因為DE⊥AB，所以BE⊥DE．又因為BE⊥A1D，DE∩A1D＝D，所以BE⊥平面A1DE．因為A1E?平面A1DE，所以A1E⊥BE．又因為A1E⊥DE，BE∩DE＝E，所以A1E⊥平面BCDE．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）解：（II）因為A1E⊥平面BCDE，BE⊥DE，所以以E為原點，分別以EB，ED，EA1為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則B（1，0，0），D（0，，0），A1（0，0，1）．所以＝（﹣1，0，1），＝（﹣1，，0）．設平面A1BD的法向量＝（x，y，z），由，令y＝1，得＝（）．因為BE⊥平面A1DE，所以平面A1DE的法向量，所以cos＜，＞＝＝＝．因為所求二面角為銳角，所以二面角E﹣A1D﹣B的余弦值為．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）（III）假設在線段BD上存在一點P，使得平面A1EP⊥平面A1BD．設P（x，y，z），＝（0≤λ≤1），則（x﹣1，y，z）＝λ（﹣1，，0）．所以P（1﹣λ，，0）．所以＝（0，0，1），＝（1﹣λ，