2023學海導航高三月考試題文科數(shù)學月考卷三答案

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學海導航·2023屆高三月考試題·廣東(三)·文科數(shù)學

2023屆高三月考試題·廣東(三)

文科數(shù)學

命題：華南師大附中馬騰冰

(考試范圍：10月所考內(nèi)容＋導數(shù)、立體幾何)

一、選擇題(本大題共10小題，每題5分，總分值50分．在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的．)

1.已知(1＋i)z＝1－i(i為虛數(shù)單位)，則復數(shù)z＝(A)A．－iB．iC．－1D．1

1－i

解析：z＝＝－i，選A.

1＋i

2.若－1f(0)>f(1)B．f(0)>f(1)>f(－1)C．f(1)>f(0)>f(－1)D．f(0)>f(－1)>f(1)解析：利用圖象得f(0)>f(－1)>f(1)，選D.1

8.設函數(shù)f(x)＝x－lnx(x>0)，則y＝f(x)(C)

31

A．在區(qū)間(，1)，(1，e)內(nèi)均有零點

e1

B．在區(qū)間(，1)，(1，e)內(nèi)均無零點

e

1

C．在區(qū)間(，1)內(nèi)無零點，在區(qū)間(1，e)內(nèi)有零點

e1

D．在區(qū)間(，1)內(nèi)有零點，在區(qū)間(1，e)內(nèi)無零點

e11x－3

解析：由題意得f′(x)＝－＝.3x3x

令f′(x)＝0，得x＝3；令f′(x)>0得x>3；令f′(x)0對任意實數(shù)x成立，13

所以Δ＝1－4(－a2＋a＋1)0,0≤φ≤)的圖象與x軸相交的相鄰兩點為M(－，

265

0)和N(，0)．

6

(1)求ω和φ的值；

→→

(2)如圖，P是圖象上的一個最高點，求PM與PN的夾角的余弦值．解：(1)由于最小2π

正周期為2，所以ω＝＝π，(3分)

T

1

由于函數(shù)y＝2sin(πx＋φ)的圖象過點M(－，0)，

6ππ

所以2sin(－＋φ)＝0，即sin(－＋φ)＝0.(5分)

66

πππ

所以－＋φ＝kπ，k∈Z.又由于0≤φ≤，所以φ＝.(6分)

626

π115

(2)由函數(shù)y＝2sin(πx＋)及其圖象，得M(－，0)，P(，2)，N(，0)，(9分)

66361→→1

所以PM＝(－，－2)，PN＝(，－2)，(11分)

22→→

PM·PN15→→

設PM與PN的夾角為θ，所以cosθ＝＝，

→→17|PM|·|PN|

15→→

故PM與PN的夾角的余弦值為.(13分)

1717.(本小題總分值13分)

如圖，平面ABCD⊥平面ABE，AD∥BC，AD⊥AB，AB⊥AE，AB＝AE＝BC＝2AD＝2，且O為CE的中點．

(1)求幾何體ABCDE的體積；(2)證明：DO⊥平面CBE.

解：(1)由于AD∥BC，AD⊥AB，AB＝BC＝2AD＝2，

1

所以S梯形ABCD＝×(1＋2)×2＝3.(2分)

2

由于平面ABCD⊥平面ABE于AB，且AE⊥AB，AE?平面ABE，所以AE⊥平面ABCD，又由于AE＝2，(4分)

11

所以幾何體ABCDE的體積為VE－ABCD＝S梯形ABCD·AE＝×3×2＝2.(6分)

33

(2)證明：取BE的中點H，連接OH、AH.

1

由于O為EC的中點，所以OH為中位線，即OH∥BC，且OH＝BC＝1.

2又由于AD∥BC，BC＝2AD，得OH∥AD，OH＝AD，所以AHOD為平行四邊形，所以OD∥AH.(9分)由于AE⊥平面ABCD，所以AE⊥AD，

又AD⊥AB，AB∩AE＝A，所以AD⊥平面ABE.又AD∥BC，所以BC⊥平面ABE，得BC⊥AH.由于AB＝AE，H為BE的中點，所以AH⊥BE，又BC∩BE＝B，所以AH⊥平面CBE，(12分)即OD⊥平面CBE.(13分)18.(本小題總分值14分)

對定義域分別是Df、Dg的函數(shù)y＝f(x)、y＝g(x)，

f?x?·g?x?當x∈Df且x∈Dg??

規(guī)定：函數(shù)h(x)＝?f?x?當x∈Df且x?Dg

??g?x?當x?Df且x∈Dg

.

1

(1)若函數(shù)f(x)＝，g(x)＝x2，寫出函數(shù)h(x)的解析式；

x－1

(2)求問題(1)中函數(shù)h(x)的值域；(3)若g(x)＝f(x＋α)，其中α是常數(shù)，且α∈[0，π]，請設計一個定義域為R的函數(shù)y＝f(x)，及一個α的值，使得h(x)＝cos4x，并予以證明．

x??x－1x∈?－∞，1?∪?1，＋∞?

解：(1)h(x)＝?.(4分)

??1x＝1x21

(2)當x≠1時，h(x)＝＝x－1＋＋2.

x－1x－1

若x>1，則h(x)≥4，其中等號當x＝2時成立，(6分)

1

若x－1，c>0，函數(shù)f(x)＝x＋b的圖象與函數(shù)g(x)＝x2＋bx＋c的圖象相切．(1)設b＝φ(c)，求φ(c)；

g?x?

(2)設D(x)＝(其中x>－b)在[－1，＋∞)上是增函數(shù)，求c的最小值；

f?x?

(3)是否存在常數(shù)c，使得函數(shù)H(x)＝f(x)g(x)在R上有極值點？若存在，求出c的取值范圍；若不存在，請說明理由．解：(1)由題意得f′(x)＝1，令g′(x)＝2x＋b＝f′(x)＝1，(1分)

1－b則x＝，即為切點的橫坐標，(2分)

2

1－b1－b于是f()＝g()，化簡得(b＋1)2＝4c，(3分)

22由于b>－1，c>0，得b＝φ(c)＝2c－1.(4分)

2

g?x?x＋bx＋cc

(2)設D(x)＝＝＝x＋，

f?x?x＋bx＋b?x＋b?2－cc

所以D′(x)＝1－＝，(5分)

?x＋b?2?x＋b?2由于D(x)在[－1，＋∞)上是增函數(shù)，所以D′(x)≥0在[－1，＋∞)上恒成立．又由于x>－b，c>0，所以等價于(x＋b)2－c≥0，即c≤x＋b在[－1，＋∞)上恒成立，

(7分)

由(1)得b＝2c－1，所以c≤x＋2c－1，即c≥1－x在[－1，＋∞)上恒成立．

又函數(shù)y＝1－x在[－1，＋∞)上的最大值為2，所以c≥2，即c≥4，c的最小值為4.(9分)

(3)由H(x)＝(x＋b)(x2＋bx＋c)＝x3＋2bx2＋(b2＋c)x＋bc，得H′(x)＝3x2＋4bx＋b2＋c，(10分)

令3x2＋4bx＋b2＋c＝0，欲使函