2023版10年考研政治英語數(shù)學(xué)真題及精析（下）

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2023年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（二）試題及精析

一、選擇題（此題共8小題，每題4分，總分值32分，每個小題所給四個選項中只有一個符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）

（1）f(x)?x?xx?121?1x2的無窮休止點(diǎn)數(shù)為（）(A)0(B)1(C)2(D)3

詳解：2f(x)?x?xx?11?1x2有休止點(diǎn)x?0，?1limf(x)x(x?1)11x?0?limx??(x?1)(x?1)1?x2?limx?0x1?x2lim1?1?1，lim1??1x?0?xx2?0??x1?xx2所以x?0為第一類休止點(diǎn)limf(x)?1x?121?1?22所以x?1為連續(xù)點(diǎn)xlim??1f(x)?limx(x?1)1?1x2所以x??1(x?1)(x?1)??x??1為無窮休止點(diǎn)所以選擇B

(2)設(shè)y1,y2是一階非齊次方程y??p(x)y?q(x)的兩個特解，若常數(shù)?，u使?y1?uy2是該方程的解，則?y1?uy2是該方程對應(yīng)齊次方程的解，則(?=1112,u?2(B)?=-2,u??12?=23,u?12(D)?=23,u?23)：

(A)(C)

詳解：根據(jù)已知有?y1??y1p(x)?q(x),?y2??y2p(x)?q(x),于是將?y1?uy2和?y1?uy2分別代入方程左邊得?+p(x（（?y1?uy2）)?y1?uy2）=（??u）q(x)?+p(x（（?y1?uy2）)?y1?uy2）=（??u）q(x)

?y1?uy2是方程的解???u?1，?y1?uy2是方程的解???u?0，解得??u?12，應(yīng)選A

(3)曲線y?x與曲線y?alnx(a?0)相切，則a?((A)4e(B)3e(C)2e(D)e詳解:因y?x與曲線y?alnx(a?0)相切，顧2x?a?在y?x上，x?222)

1x?x?a2a2時y?a2a2a2時y?alna2?aln12lna2

在y?alnx(a?0)上，x??a2?a2?lna2?lna2?1??e?a?2e,應(yīng)選C（4）設(shè)m,n為正整數(shù)，則反常積分?1mln(1?x)n2dx的收斂性（）

0x(A)僅與m有關(guān)；(B)僅于n有關(guān)；(C)與m,n都有關(guān)；(D)與m,n都無關(guān)。

m詳解：顯然廣義積分?1m1ln(1?x)n2dx有兩個瑕點(diǎn)x?0與x?1，

20xdx??ln(1?x)n20x2dx??1m2ln(1?x)n20x?1mln(1?x)n12xdx，

顯然?1m1m2ln(1?x)ndx收斂性與n有關(guān)，當(dāng)n?1時收斂，當(dāng)n?1時發(fā)散；

0xdx的收斂性與m有關(guān)，選(C)。

?

ln(1?x)n212x(5)設(shè)函數(shù)z?z(x,y)由方程F(則x?z?x?y?z?y?yz,)?0確定，其中F為微函數(shù)，且F2?=0，xx??

(A)x(B)z(C)-x(D)-zyzy詳解：F(,)?0兩邊對x求偏導(dǎo)，得?2F1??xxxx?z?x2x?zF2??0，解得

?z?x?1F2?(yF1??zF2?)；

F(yz11?z,)?0兩邊對y求偏導(dǎo)，得F1??F2??0，解得xxxx?y?z?y??F1?F2?，于是x?z?x?y?z?y?1F2?(yF1??zF2?)?yF1?F2??z，選(B)。

nn(6)limn??1??(n?i)(ni?1j?1x0n2?j)22???1x0(A)?dx?01?1?x??1?y1?dy(B)?dx?01101?1?x??1?y?1y2dy

(C)?dx?0110?1?x??1?y?n2dy(D)?dx?0?1?x??1??dynnn詳解：?i?1?(n?i)(nj?1?j)2??n?ii?11n??j?1nn?j22，

n由于limn???n?ii?11?lim1nnn???i?111?in??111?x0dx，

nlimn???j?1nn?j22?lim1nn???nn211?()nj2?j?1?1111?x20dx，

nn所以lim

n????(n?i)(ni?1j?1?j)2??101?xdx??111?x20dx??10dx?11(1?x)(1?y)20dy，

(7)設(shè)向量組I:?1,a2,?,?r可由向量組II:?1，?2，?,?s線性表示，以下命題正確的是??

(A)若向量組I線性無關(guān)，則r?s(B)若向量組I線性相關(guān)，則r?s(C)若向量組II線性無關(guān)，則r?s(D)若向量組II線性相關(guān)，則r?s詳解：由于向量組(I)能由向量組（II）線性表示，所以r(I)?r（II）即r(?1,a2,?,?r)?r(?1，?2，?,?s)?s若向量組(I)線性無關(guān)，則r(I)=r,所以r?r(?1,a2,?,?r)?r(?1，?2，?,?s)?s即r?s，應(yīng)選(A)

(8)A為4階對稱矩陣，且A+A?0，若A的秩為3，則A相像于?2??1?(A)?????1?(C)????11??1???(B)?????0???????0?1?1?????0??????0?

?1?1??1?(D)?????1?1詳解：

令A(yù)X??X，則A2X??2X，由于A2?A?O，即A2??A，

所以A2X??AX???X，從而(?2??)X?O，注意到X是非零向量，所以A的特征值為0和?1，又由于A可對角化的矩陣，所以A的秩與A的非??1??零特征值個數(shù)一致，所以A的特征值為?1,?1,?1,0，于是A~????????，選(D)。?0???1?1

二、填空題

(9)三階常系數(shù)齊次微分方程y????2y???y??2y?0的通解y?________答案：y?c1e22x?c2cosx?c3sinx322詳解：y????2y???y??2y?0對應(yīng)的方程為??2????2?0?(??2)?(??2)?0.(??2)(??1)?0.??2,???1所以通解為y?c1e2x?c2cosx?c3sinx

答案：y?2x2x23詳解：limx?1?2x??xlim2x23x??x?1?2x?lim2x?2x?2xx?1232x???0,所以y?2x

答案：錯誤！未找到引用源。詳解：由麥克勞林展開有:

錯誤！未找到引用源。=錯誤！未找到引用源。

(12)當(dāng)0????，求對數(shù)螺線r?e的弧長為_______

?答案：2?e?1??詳解：0????,r?e?

2?e?1???

?0?e??2??e??2d??(13)已知一個長方形的長l以2cm/s的速度增加，寬w以3cm/s的速度增加，l?12cm,w?5cm時，它對角線增加的速率為________

答案：3cms詳解：設(shè)l=x?t?,w?y(t)由題意知，在t?t0時刻x(t0)?12,y(t0)?5,且x?(t0)?2,y?(t0)?3,又s?t??所以s?(t)?x(t)?y(t),x(t)x?(t)?y(t)y?(t)x(t)?y(t)所以s?(t0)?x(t0)x?(t0)?y(t0)y?(t0)x(t0)?y(t0)222222?12?2?5?312?522?3

(14)設(shè)A,B為3階矩陣，A?3,B?2,A?1?B?2,則A?B?1?______

答案：3解析：

三、解答題

（15）本(題總分值10分）求函數(shù)f(x)?x22?1(x?t)e2?t

dt的單調(diào)區(qū)間與極值解:f(x)??x21(x?t)ex22?t2dt?x2?x21e?t2dt??x21te?t2dt，

令f?(x)?2x?e?tdt?0，得x??1,x?0,x?1。

1?t2?x，f??(x)?2?edt?4xe1x2242由于f??(?1)?4e?t?0，f??(0)??2?edt?0，

01?t212所以x??1,x?1為f(x)的微小點(diǎn)，微小值為f(?1)?0，x?0為f(x)的極大點(diǎn)，極大值為f(0)?f(x)在(??,?1]及[0,1]上單調(diào)減少，f(x)在[?1,0]及[1,??)上單調(diào)增加。

?0tedt?12(1?1e)。

（16）本(題總分值10分）(I)比較?lnt?ln(1?t)?dt與?tlntdt(n?1,2,?）的到小，并說明理由

n001n1(II)記un??10lnt?ln(1?t)?dt(n?1,2,?）,求極限limunn??n解:

（I）由于當(dāng)0?t?1時，ln(1?t)?t，

所以|lnt|[ln(1?t)]?t|lnt|，于是?|lnt|[ln(1?t)]dt?0nn1n?t01n|lnt|dt。

（II）由于0?1n?10|lnt|[ln(1?t)]dt?n?10t|lnt|dt，

1n?1[tn?1n而?t|lnt|dt??0?n?11110lntd(tn?1)??lnt|??tdt]

0101n??1n?1tn?1lnt|0?1x1(n?1)2，

t?由于limtn?1lnt??limt?0lnxxn?1x????0，所以?t|lnt|dt?01n1(n?1)2，

故0??10|lnt|[ln(1?t)]dt?1n1(n?1)2，

由夾逼定理得limun?limn??n???0|lnt|[ln(1?t)]dt?0。

n

解：根據(jù)題意得dydy???t?dt??,dxdx2t?2dtd(

???t?2t?2dtdxdt)?????t?(2t?2)?2???t?(2t?2)2t?22dydx22??34(1?t)因????t?(2t?2)?2???t??6?t?1?2整理有????t?(t?1)????t??3?t?1?

2???t??????t???3?t?1???t?1解???1?5，??1?6??????2令u???t?,即u??1t?1u?3(1?t)11???t?1dt??t?1dt所以u?edt?C???1?t?(3t?C)??3(1?t)e??又由于u(1)????1??6,故C?0,所以???t??3t(t?1)故??t???3t(t?1)dt?5232t?t?C132t?t3232有由??1??，?C1?0，???t??

(18)(此題總分值10分）一個高為1的圓柱形貯油罐，底面是長軸為2a,短軸為2b的橢圓，現(xiàn)將貯油罐平放，當(dāng)油罐中油面高度為332b時候，計算油的質(zhì)量（長度單位為m,質(zhì)量單位為

kg,油的密度為常數(shù)?kg/m）解：油的質(zhì)量為M??v，其中油的體積為V?S底?h高?又S底?S橢圓?S1??ab?2?S13ab1?xa2223b?S底?dxdy??ab?2???ab?2?20320dx??b2dya2?xb???b1?2??dx?a2???a3??ab?2b???ab?32201?xa22dx?b?3a32xa22axaab?2ab??201?d

x11?1??ab?ab?2ab?arcsin?x?2a2a?2??ab?33?1?x??2320a??3?23ab?2ab????ab?ab???28?34?6?2?333322故M?S?h?????ab?ab??????ab??ab??3?2b48??

（19）（此題總分值11分）設(shè)函數(shù)u?f(x,y)具有二階連續(xù)導(dǎo)函數(shù)，且滿足等式4?u?x2222?12?u2?u?x?y?0?5?u?y2?0，確定a,b的值，使等式在變換??x?ay,??x?by下化簡為????解：?u?x?u?y?u?x?222???u???u???u?u????????x???x?????u???u???u?u?????a?b????y???y??????u?u2222

?u???u???u???u???(?)????????22?x???????x?????x???x?????x2?u????u??22?2?u????2

?u???u???u???u???(?)????????22?x?y?y???????y?????y???y?????y?u??u22?u2222?a?u?y22?u???22?b?u???u??22?(a?b)?u???u?????u??222

?b?u????2??y22(a?b2)?a(a?u????2)?b(b?u??22?a?u????2)?a2?u???b?u??2?2ab2故4?u?x22?12?u?x?y2?5?u?y2?（5a?12a?4)2?u?x22?（5b?12b?4)2?u??22?(12(a?b)?10ab?8)?02?5a?12a?4?0(1)?2當(dāng)?5b?12b?4?0(2)滿足等式?12(a?b)?10ab?8?0(3)?解得a??25或a??2，b??25或b??22?a????5又由于?或?b??2?5?2??a??故?5或?b??2??a??2不滿足(3)式??b??2?a??2?2?b???5?

解：I???r2sin?1?r2cos2?drd?D???rsin?1?r2(cos2??sin2?)rdrd?D???y1?(rcos?)2?(rcos?)2dxdyD???y1?x2?y2dxdyD??1x220dx?0y1?x?ydy??10dx?x122023?x?yd?1?x2?y2???11?3

03?1?(1?x2)2??dx??3??112203dx??10(1?x)dx??123??0cos4?d??13?316?

(21)(此題總分值10分）設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?0，1?連續(xù)，在開區(qū)間?0,1?內(nèi)可導(dǎo)，且f(0)?1,f(1)?11122,證明存在??（0，），??（，1），使得f?(?)?f?(?)????322

證明：令F(x)?f(x)?13x31?1?對于F(x)在?0，?上利用L?中值定理，得???（0，），2?2?11F()?F(0)?F?(?)22(1)

1?1?對于F(x)在?，1?上利用L?中值定理，得???（，1），2?2?11F(1)?F()?F?(?)22(2)22兩式相加得f?(?)?f?(?)????（22）（此題總分值11分）???設(shè)A?0??1?（I）求?,a（II)求方程組Ax?b的通解11??a????0,b?1????1????????11已知線性方程組Ax?b存在兩個不同的解

解:

（I）由于線性方程組AX?b存在兩個不同解，所以r(A)?3，即|A|?0，解得???1或??1。??1?當(dāng)???1時，A??0?1?1?2110?1a??1??1???0?01???122?1001??1???1???0?0a?1???120?100???1?，a?2??1由于r(A)?r(A)?3，所以a??2；?1?當(dāng)??1時，A??0?1?101101a??1??1???0?01???1001001??1??1???0?0a?1???1001001??1?，0??顯然r(A)?r(A)，所以??1，故???1，a??2。

??11????1???0??0??0??010?1003??2?1??，得方程組AX?b的通解為2?0????1?（II）由A???0?0?120?100?3???21??????1。X?k?1?????（其中k為任意常數(shù)）

?2??0????0?????（23）（此題總分值11分）?0?設(shè)A??1??4?16T?13a4??Ta,正交矩陣Q使得QAQ為對角陣，若Q的第一列為?0??(1,2,1),求a,Q解：?0?由于A??1??4?16T?13a4??Ta,存在正交矩陣Q,使得QAQ為對角陣，且Q的第一列為?0??16(1,2,1)，T(1,2,1)，故A對應(yīng)于?1的特征值為?1?

?1??1?????66?????0?2??2??故A???1???,即??166?4??????1??1??????6??6??13a4??1??1??????a2??12，由此可得?????????1?0??1???

a??1,?1?2?0?A??1??4??13?1?41????4????2????5??04????1,由?E?A?1?0??4?1?41?0,可得??31

??1?41??31?16(1,2,1)T

故A的特征值為?1?2，?2??4，?3?5，且對應(yīng)于?1的特征向量為??4?由?2E?A?0，即?1??4???4??1??4?1?71?4??1??1?0????0?4??0101?711??0?0???4??x1??1x??2??4???x3???0???

可得對應(yīng)于?2的的特征向量?2?(?1,0,1)，?5?由?3E?A?0，即1???4??5?1???4?121?4??1??1?0????05??010121?1??1?0??TT?4??x1??1x??2?5???x3???0???可得對應(yīng)于?3=5的的特征向量?3?(1,?1,1)，由于A為實(shí)對稱矩陣，?1，?2，?3為對應(yīng)于不同特征值的特征向量，所以?1??3??1?1?3?3?1613(1,2,1)，?2?(1,?1,1)TT?2?2?12(?1,0,1)，T??2?T取Q?(?1,?2,?3),則QAQ?????4???5??

2023年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)（三）試題及精析

一、選擇題（此題共8小題，每題4分，總分值32分，每個小題所給四個選項中只有一個符合題目要求，把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi)）

?1?1?x?（1）lim????a?e??1,則a等于（x?0???x?x(A)0(B)1(C)2(D)3）

解析：

(2)設(shè)y1,y2是一階非齊次方程y??p(x)y?q(x)的兩個特解，若常數(shù)?，u使?y1?uy2是該方程的解，則?y1?uy2是該方程對應(yīng)齊次方程的解，則((A)?=(C)?=解析：根據(jù)已知有?y1??y1p(x)?q(x),?y2??y2p(x)?q(x),于是將)1223,u?,u?1212(B)?=-(D)?=2312,u??2312：

,u??y1?uy2和?y1?uy2分別代入方程左邊得?+p(x（（?y1?uy2）)?y1?uy2）=（??u）q(x)?+p(x（（?y1?uy2）)?y1?uy2）=（??u）q(x)

?y1?uy2是方程的解???u?1，?y1?uy2是方程的解???u?0，解得??u?12，應(yīng)選A

(3)f(x),g(x)具有二階導(dǎo)數(shù)，g?(x)小于零，g(x0)?a是g(x)的極值，則f(g(x))在x0的一個極大值的充分條件是（(A)f?(a)?0(B)f?(a)?0(C)f??(a)?0(D)f??(a)?0）

解析：

x(4)f(x)?ln10x,g(x)?x,h(x)?e,則x充分大時(10)(A)g(x)?h(x)?f(x)(B)h(x)?g(x)?f(x)(C)f(x)?g(x)?h(x)(D)g(x)?f(x)?h(x)解析：

(5)設(shè)向量組I:?1,a2,?,?r可由向量組II:?1，?2，?,?s線性表示，以下命題正確的是??：

(A)若向量組I線性無關(guān)，則r?s(B)若向量組I線性相關(guān)，則r?s(C)若向量組II線性無關(guān)，則r?s(D)若向量組II線性相關(guān)，則r?s解析：由于向量組(I)能由向量組（II）線性表示，所以r(I)?r（II）即r(?1,a2,?,?r)?r(?1，?2，?,?s)?s若向量組(I)線性無關(guān)，則r(I)=r,所以r?r(?1,a2,?,?r)?r(?1，?2，?,?s)?s即r?s，應(yīng)選(A)

(6)A為4階對稱矩陣，且A+A?0，若A的秩為3，則A相像于?2??1?(A)?????1?(C)????11??1???(B)?????0???????0?1?1?????0??????0?

?1?1??1?(D)?????1?1解析：

令A(yù)X??X，則A2X??2X，由于A2?A?O，即A2??A，

所以A2X??AX???X，從而(?2??)X?O，注意到X是非零向量，所以A的特征值為0和?1，又由于A可對角化的矩陣，所以A的秩與A的非??1??零特征值個數(shù)一致，所以A的特征值為?1,?1,?1,0，于是A~????????，選(D)。?0???1?1

x?0?0??1(7)設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)F(x)??0?x?1,則P{x?1}??2?xx?1??1?e(A)0(B)(C)12?1??12?1

?e(D)1?e解析：

P{X?1}?P{X?1}?P{X?1}?F(1)?F(1?0)?1?e?1?12?12?e?1，選(C)。

(8)設(shè)f1(x)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度，設(shè)f2(x)為??1，3?上均勻分布的概率密度，?af1(x)若f(x)??,則a,b應(yīng)滿足?bf2(x)??

(A)2a?3b?4(B)3a?2b?4(C)a?b?1(D)a?b?2解析：

12??x2f1(x)?e2?1?,?1?x?3，(???x???)，f2(x)??4?0,其他???由于f(x)為概率密度函數(shù)，所以?而???????f(x)dx?1，

a2?b?3f(x)dx?a??340??f1(x)dx?b???0f2(x)dx?140dx?a2?34b，

所以

a2?1，即2a?3b?4，選(A)。

二、填空題

(9)設(shè)可導(dǎo)函數(shù)y?y(x)由方程?x?y0e?xdx??x0xsinxdx,則2dydxx?0?_______

答案：?1

解析：

(10)設(shè)位于曲線y?1x?1?lnx?2?e?x????下方，x軸上方的無界區(qū)域為

G,則G繞旋轉(zhuǎn)一周所得的空間區(qū)域體積是______答案：

4?2解析：

（11）設(shè)某商品的收益函數(shù)為R(p),收益彈性為1?p,其中p為價格，且R(1)?1,則R(p)?______p?133

答案：pe3

解析：

(12)若曲線y?x?ax?bx?1有拐點(diǎn)(?1,0),則b?_______

32答案：3解析：

(13)設(shè)A,B為3階矩陣，A?3,B?2,A?1?B?2,則A?B?1?______

答案：3解析：

n(14)設(shè)x1,x2,?xn為來自N(u,?)的簡單隨機(jī)樣本，統(tǒng)計量T?則ET?________答案：u??解析：222?xi?12i,

三、解答題

(15)(此題總分值10分）11lnx

求極限lim(x?1)x???x解：

11ln(xx?1)1x???1lnxln(xx?1)lim(x?1)?1?x?x1?xx?1?11xx?limex???lnx?elimx???lnx??1?lnx?2?x?1?lnx1?lnxlimlim1x(xx?1)lim1x(ex?e?e

x????e?1x????ex???lnx?1)

1?lnxx???xlim1xlnx?e(16)(此題總分值10分）計算二重積分??(x?y)dxdy,其中D由曲線x?D31?y與直線x?22y?0

及x?2y?0圍成解：

(17)(此題總分值10分）

求函數(shù)M?xy?2yz在約束條件x?y+z=10下的最大值與最小值222

解：

（18）本(題總分值10分）(I)比較?lnt?ln(1?t)?dt與?tlntdt(n?1,2,?）的到小，并說明理由

n001n1(II)記un??10lnt?ln(1?t)?dt(n?1,2,?）,求極限limunn??n解：

（I）由于當(dāng)0?t?1時，ln(1?t)?t，

所以|lnt|[ln(1?t)]n?tn|lnt|，于是?|lnt|[ln(1?t)]dt?01n?10t|lnt|dt。

n（II）由于0?1n?10|lnt|[ln(1?t)]dt?1n?1n?10t|lnt|dt，

1n?1[tn?1n而?t|lnt|dt??0?110lntd(tn?1)??lnt|0??tdt]

011n??1n?1tn?1lnt|0?1x1(n?1)2，

t?由于limtt?0n?1lnt??limlnxxn?1x????0，所以?t|lnt|dt?01n1(n?1)2，

故0??10|lnt|[ln(1?t)]dt?1n1(n?1)2，

由夾逼定理得limun?limn??n???0|lnt|[ln(1?t)]dt?0。

n

（19）本(題總分值10分）設(shè)函數(shù)f(x)在?0，3?上連續(xù)，在?0,3?內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù)，且2f(0)?f(2)?f(3)(I)證明存在??（0，2），使f(?)?f(0)(II)證明存在??（0，3），使f??(?)?0?20f(x)dx?

解：(I)由于2f(0)??20f(x)dx,又由于f(x)在?0，2?上連續(xù)20

由積分中值定理得至少有一點(diǎn)???0，2?，使得?f(x)dx?f(?)(2?0)?2f(0)?2f(?),所以存在??（0，2），使f(?)?f(0)(II)由于f(2)?f(3)?2f(0)，即f(2)?f(3)2?又由于f(x)在?2，3?上連續(xù)，由界值定理知至少存在一點(diǎn)?1?（2，3），使得f(?1)?f(0)又由于f(x)在?0，2?上連續(xù)可導(dǎo)，且f(2)?f(0)由羅爾中值定理知存在?1?（0，2）使,得f?(?1)?0又由于f(x)在?2，?1?上連續(xù)可導(dǎo)，且f(2)?f(0)?f(?1)由由羅爾中值定理知存在?2?（2，?1）使,得f?(?2)?0又由于f(x)在??1，?2?上二階可導(dǎo)，且f?(?1)?f?(?2)?0所以由羅爾中值定理，至少有一點(diǎn)????1，?2?,使得f??(?)?0

（20）（此題總分值11分）???設(shè)A?0??1?（I）求?,a（II)求方程組Ax?b的通解11??a????0,b?1?????1???????11已知線性方程組Ax?b存在兩個不同的解

[解答]

（I）由于線性方程組AX?b存在兩個不同解，所以r(A)?3，即|A|?0，解得???1或??1。??1?當(dāng)???1時，A??0?1?1?2110?1a??1??1???0?01???122?1001??1???1???0?0a?1???120?100???1?，a?2??1由于r(A)?r(A)?3，所以a??2；?1?當(dāng)??1時，A??0?1?101101a??1??1???0?01???1001001??1??1???0?0a?1???1001001??1?，0??顯然r(A)?r(A)，所以??1，故???1，a??2。

?1?（II）由A???0?0?120?100??11????1???0??0??0??010?1003??2?1??，得方程組AX?b的通解為2?0????3???21??????1X?k?1?????（其中k為任意常數(shù)）。

?2??0????0?????

（21）（此題總分值11分）?0?設(shè)A??1??4?16T?13a4??Ta,正交矩陣Q使得QAQ為對角陣，若Q的第一列為?0??(1,2,1),求a,Q解：?0?由于A??1??4?16T?13a4??Ta,存在正交矩陣Q,使得QAQ為對角陣，且Q的第一列為?0??16(1,2,1)，T(1,2,1)，故A對應(yīng)于?1的特征值為?1?

?1??1?????66?????0?2??2??故A????1??,即??166?4??????1??1??????6??6??13a4??1??1??????a2??12，由此可得?????????1?0??1???a??1,?1?2?0?A??1??4??13?1?41????4????2????5??04????1,由?E?A?1?0??4?1?41?0,可得??31

??1?41??31?16(1,2,1)T

故A的特征值為?1?2，?2??4，?3?5，且對應(yīng)于?1的特征向量為??4?由?2E?A?0，即?1??4???4??1??4?1?71?4??1??1?0????0?4??0101?711??0?0???4??x1????1x?0??2????4???x3?可得對應(yīng)于?2的的特征向量?2?(?1,0,1)，?5?由?3E?A?0，即1???4??5?1???4?121?4??1??1?0????05??010121?1??1?0??TT?4??x1??1x??2?5???x3???0???可得對應(yīng)于?3=5的的特征向量?3?(1,?1,1)，由于A為實(shí)對稱矩陣，?1，?2，?3為對應(yīng)于不同特征值的特征向量，所以?1??3??1?1?3?3?1613(1,2,1)，?2?(1,?1,1)TT?2?2?12(?1,0,1)，T??2?T取Q?(?1,?2,?3),則QAQ?????4???5??

（22）（此題總分值11分）設(shè)二維隨機(jī)變量?X,Y?的概率密度為f(x,y)?Ae???y???,求常數(shù)A及條件概率密度fY|X(y|x)?2x?2xy?y22,???x???,

求A及fY|X(y|x)。[解答]由歸一性得

???????f(x,y)dxdy?1，f(x,y)dxdy?A?2而???????dx?e???????2x?2xy?y22dy?A?t?12????e?x2dx?e?????(y?x)2d(y?x)

又?e?(y?x)d(y?x)?2?????0e?x2x?t2dx??x2???01?tedt??()?2?，

所以?????f(x,y)dxdy?A?f(x,y)fX(x)?????e??dx?A?，于是A?1?。

fY|X(y|x)?，

而fX(x)????f(x,y)dy?1??e?x2?????e?(y?x)2dy?1?e?x2，

所以fY|X(y|x)?f(x,y)fX(x)1?e?(x?y)2，???x???,???y???。

（23）（此題總分值11分）箱內(nèi)有6個球，其中紅，白，黑球的個數(shù)分別為1，2，3個，現(xiàn)從箱中隨機(jī)取出2個球，設(shè)X為取到紅球個數(shù)，Y為取到白球的個數(shù)（I）求隨機(jī)變量（X,Y）的概率分布（II)求Cov(X,Y)

解：（I）

（II)

?215