實數與整式 獲獎教學設計

中國教育出版網一、實數與整式沈建華【近四年江蘇省十三大市中考實數與整式的分值與比率】(僅供參考)2006年2007年2008年分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)南京市97．5065．001210．00蘇州市2520．001411．201713．083無錫市1612．312216．9296．92常州市1613．33108．33108．33鎮(zhèn)江市1613．331714．171613．33揚州市128．002013．33138．67泰州市1812．00117．33138．67南通市129．231510．00117．33鹽城市1510．002013．331812．00淮安市118．46128．002114．00宿遷市85．3385．33106．67徐州市128．001510．00149．33連云港市3020．001510．001812．00合計200185182平均16．6712．2915．4211．0815．1710．86【09年江蘇省中考數學為全省統(tǒng)一命題，分值為21分，比率為14％】【課標要求】1．有理數(1)理解有理數的意義，能用數軸上的點表示有理數，會比較有理數的大?。?2)借助數軸理解相反數和絕對值的意義，會求有理數的相反數與絕對值．(3)理解乘方的意義，掌握有理數的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運算(以三步為主)．(4)理解有理數的運算律，并能運用運算律簡化運算．(5)能運用有理數的運算解決簡單的實際問題．(6)能對含有較大數字的信息作出合理的解釋和推斷．2．實數(1)了解無理數和實數的概念，知道實數與數軸上的點一一對應．(2)能用有理數估計一個無理數的大致范圍．(3)了解近似數與有效數字的概念；在解決實際問題中，能按問題的要求對結果取近似值．3．代數式(1)在現(xiàn)實情境中進一步理解用字母表示數的意義．(2)能分析簡單問題的數量關系，并用代數式表示．(3)能解釋一些簡單代數式的實際背景或幾何意義．(4)會求代數式的值；能根據特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會代入具體的值進行計算．4．整式(1)了解整數指數冪的意義和基本性質，會用科學記數法表示數．(2)了解整式的概念，會進行簡單的整式加、減、乘、除運算．(3)會推導乘法公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2；(a±b)2=a2±2ab+b2，能用圖形的面積解釋乘法公式，并會用乘法公式進行簡單計算；補充乘法公式：．【課時分布】實數與整式在第一輪復習時大約需4課時．下表為內容及課時安排(僅供參考)．課時內容1實數的意義及分類1實數的大小比較，運算法則及簡單的混合運算1整式的概念及運算1單元測試與評析【知識回顧】1．知識脈絡有理數有理數無理數實數實際問題用字母表示數單項式多項式整式計算化簡2．基礎知識(1)實數的概念與分類①無理數的概念及實數的分類：②數軸：明確實數與數軸上的點一一對應(數形結合)．③相反數：若則互為相反數．④絕對值：是非負實數,它在數軸上表示數對應的點與原點的距離．⑤倒數：若互為倒數，則=1．⑥三種非負數：(n為整數,a≠0)．(2)實數的大小比較數軸上的兩個點所表示的實數中，右邊的點所表示的實數大于左邊的點所表示的實數．由此可知：正數大于0，負數小于0，正數大于負數，兩個負數中，絕對值大的反而小．(3)實數的運算①運算法則．②運算定律：交換律、結合律、分配律．③運算順序：先乘方、開方，然后乘除，最后加減，同級運算從左到右依次進行，有括號的先算括號里面的．④科學記數法：把一個數表示成．⑤近似數：一個近似數四舍五入到哪一位，就稱這個數精確到那一位．⑥有效數字：從左邊第一位非零數字起到精確到的數位止，所有的數字都叫這個近似數的有效數字．(4)代數式①代數式的概念：用運算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數或表示數的字母連結而成的式子．②代數式的值：用數值代替代數式里的字母，計算后所得的結果叫代數式的值．(5)整式的概念①單項式：由數字與字母的積組成的代數式叫單項式，其中單獨一個數字或字母也是單項式，單項式中的數字因數叫單項式的系數，所有字母的指數和叫做單項式的次數．②多項式：幾個單項式的和叫做多項式，其中每個單項式叫做多項式的項，多項式中次數最高項的次數叫多項式的次數．③整式：單項式和多項式統(tǒng)稱整式．④同類項：所含字母相同,并且相同字母的指數也相等的項叫同類項．(6)整式的運算①整式的加減法——先去括號，再合并同類項．②整式的乘法．冪的運算法則：(m、n為整數，)；(m、n為整數，)；(m為整數，)；(m、n為整數，)；(p為正整數，)．乘法公式：*．③整式的除法：單項式除以單項式、多項式除以單項式的運算法則．3．能力要求例1江蘇省的面積約為102600km2，這個數據用科學記數法可表示

為km2【分析】本題考查科學記數法，把一個數表示成【解】102600=1．02×105【說明】科學記數法將繼續(xù)圍繞實際問題進行考察，學生需多加練習．例2如圖1-1，數軸上點P表示的數可能是()PP圖1-1Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．【分析】從數軸上看，點P表示的數應該是比-3大而比-2小的負數．∵∴【解】選B．【說明】本題考查了數軸的相關知識和對數的估算能力，數軸上左邊表示的數總比右邊表示的數小，數形結合的經典題型還是要重點關注的．例3若，則的值為________．【分析】初中階段學過的三種非負數是：，又它們的和為零，所以每一個式子均為零．【解】∵，∴．∴，．【說明】本題出現(xiàn)的條件是非負數的和為零的形式,要充分利用非負數性質來解題．例4計算：【分析】解題關鍵是二次根式的化簡、特殊角三角函數值以及非零數的零次冪恒為1的理解，以及的逆用．【解】原式=【說明】根據實數的運算法則和運算順序解題是實數計算題的解題關鍵．學生還要注意在有些計算中需關注乘法公式的逆用．例5下面是按一定規(guī)律排列的一列數：第1個數：；第2個數：；第3個數：；……第個數：．那么，在第10個數、第11個數、第12個數、第13個數中，最大的數是()A．第10個數 B．第11個數 C．第12個數 D．第13個數【分析】這道題看起來好像挺復雜的，其實仔細一計算發(fā)現(xiàn)：第1個數為：第2個數為：第3個數為：……第n個數為：可見結果是越來越?。窘狻窟xA．【說明】這道題是一道綜合性題目，但是涉及到的內容是實數的計算、冪的運算，考查了學生的閱讀能力、計算能力、分析能力和歸納推理的能力，所以平時注重能力的培養(yǎng)是非常重要的．例6從邊長為a的正方形內去掉一個邊長為b的小正方形(如圖1-2)，然后將剩余部分剪拼成一個矩形(如圖1-1)，上述操作所能驗證的等式是 ()圖圖1-2A．(a＋b)(a－b)＝圖圖1-2Ｂ．(a－b)＝a－ab＋bＣ．(a＋b)＝a＋ab＋bＤ．a＋ab＝a(a＋b)【分析】剩余部分的面積為，新拼成后的矩形邊長分別為矩形面積為故選A．【解】選A．【說明】通過圖形變換前后的面積相等驗證了平方差公式這一恒等關系，進一步體現(xiàn)了數形結合的重要思想．例7化簡求值(1)已知，求的值．(2)已知，求的值．【分析】(1)題關鍵是代數式整體代入思想的運用．(2)題關鍵是配方法和非負數性質的運用．【解】(1)原式===；(2)，∴【說明】(1)整式運算要注重培養(yǎng)學生先觀察后動手的習慣，復習時要培養(yǎng)學生靈活運用雙基解題的能力；(2)整式乘法都以冪的運算法則和運算律為基礎的，要熟練掌握整式乘法的計算,注意整體代入法、配方法在求值題中的應用．例8一個機器人從數軸原點出發(fā)，沿數軸正方向．以每前進3步后退2步的程序運動．設該機器人每秒鐘前進或后退1步，并且每步的距離是1個單位長，xn表示第n秒時機器人在數軸上的位置所對應的數．給出下列結論：⑴；⑵；⑶；⑷．其中，正確結論的序號是()A．⑴、⑶ B．⑵、⑶ C．⑴、⑵、⑶ D．⑴、⑵、⑷【分析】機器人5秒鐘前進了1個單位,按照以5秒鐘為一個循環(huán)這個規(guī)律前進,,下面5秒是前進3步后退2步,則,;,下面5秒也是每前進3步后退2步,則,．【解】由上分析可知道(1)(2)(4)正確，故選D．【說明】本題要求學生通過閱讀、分析題中所給的條件，畫出數軸，利用數形結合找出規(guī)律．即能從宏觀上把握規(guī)律，又要能深入到每次規(guī)律的具體運動情況，這樣才有利于掌握問題的本質，便于問題的順利解決．例9對于任意的兩個實數對和，規(guī)定：當時，有；運算“”為：；運算“”為：．設、都是實數，若，則．【分析】這是一道新題型，重新定義了兩種新的運算和，根據運算法則可得：1×P=2，2×q=－4，則p=2、q=－2；所以1+p=3、2+q=0．【解】結果為(3，0)【說明】中考中出現(xiàn)新題型是熱點，但是仍然以考查基礎知識的基本運用為根本，這種題目既考查學生的自學能力，又考查學生的理解能力，“三基”仍然是非常重要的．【復習建議】1．立足基本知識點，如科學記數法、數軸與無理數的估值范圍、實數的冪的運算、指數(包括零指數、負整指數冪)運算、絕對值化簡、特殊值的三角函數值等，解題時一要認真審題，觀察式子的結構；二要弄清運算順序和法則，做到步步有據；三要注意符號的確定及最簡結果,耐心細致．2．實數計算考查趨向簡潔化和小綜合性，實數計算既可單獨出題，也可融入實際應用．對于實數的運算，熟練掌握整數運算法則(特別是乘法公式的運用和逆用)，并能靈活運用，學會運用數形結合思想(如例2、6)、方程思想、整體代入法、化歸法(如例7)．3．加強學生閱讀思考、歸納探究(主要指尋找規(guī)律類試題)能力的培養(yǎng)．重視聯(lián)系生活實際(如列代數式表示增長率、利息、打折、利潤等問題)，靈活運