實數(shù)與整式 獲獎教學(xué)設(shè)計

中國教育出版網(wǎng)一、實數(shù)與整式沈建華【近四年江蘇省十三大市中考實數(shù)與整式的分值與比率】(僅供參考)2006年2007年2008年分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)分值(分)比率(%)南京市97．5065．001210．00蘇州市2520．001411．201713．083無錫市1612．312216．9296．92常州市1613．33108．33108．33鎮(zhèn)江市1613．331714．171613．33揚(yáng)州市128．002013．33138．67泰州市1812．00117．33138．67南通市129．231510．00117．33鹽城市1510．002013．331812．00淮安市118．46128．002114．00宿遷市85．3385．33106．67徐州市128．001510．00149．33連云港市3020．001510．001812．00合計200185182平均16．6712．2915．4211．0815．1710．86【09年江蘇省中考數(shù)學(xué)為全省統(tǒng)一命題，分值為21分，比率為14％】【課標(biāo)要求】1．有理數(shù)(1)理解有理數(shù)的意義，能用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)，會比較有理數(shù)的大?。?2)借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，會求有理數(shù)的相反數(shù)與絕對值．(3)理解乘方的意義，掌握有理數(shù)的加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運(yùn)算(以三步為主)．(4)理解有理數(shù)的運(yùn)算律，并能運(yùn)用運(yùn)算律簡化運(yùn)算．(5)能運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算解決簡單的實際問題．(6)能對含有較大數(shù)字的信息作出合理的解釋和推斷．2．實數(shù)(1)了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)．(2)能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍．(3)了解近似數(shù)與有效數(shù)字的概念；在解決實際問題中，能按問題的要求對結(jié)果取近似值．3．代數(shù)式(1)在現(xiàn)實情境中進(jìn)一步理解用字母表示數(shù)的意義．(2)能分析簡單問題的數(shù)量關(guān)系，并用代數(shù)式表示．(3)能解釋一些簡單代數(shù)式的實際背景或幾何意義．(4)會求代數(shù)式的值；能根據(jù)特定的問題查閱資料，找到所需要的公式，并會代入具體的值進(jìn)行計算．4．整式(1)了解整數(shù)指數(shù)冪的意義和基本性質(zhì)，會用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)．(2)了解整式的概念，會進(jìn)行簡單的整式加、減、乘、除運(yùn)算．(3)會推導(dǎo)乘法公式：(a＋b)(a－b)=a2－b2；(a±b)2=a2±2ab+b2，能用圖形的面積解釋乘法公式，并會用乘法公式進(jìn)行簡單計算；補(bǔ)充乘法公式：．【課時分布】實數(shù)與整式在第一輪復(fù)習(xí)時大約需4課時．下表為內(nèi)容及課時安排(僅供參考)．課時內(nèi)容1實數(shù)的意義及分類1實數(shù)的大小比較，運(yùn)算法則及簡單的混合運(yùn)算1整式的概念及運(yùn)算1單元測試與評析【知識回顧】1．知識脈絡(luò)有理數(shù)有理數(shù)無理數(shù)實數(shù)實際問題用字母表示數(shù)單項式多項式整式計算化簡2．基礎(chǔ)知識(1)實數(shù)的概念與分類①無理數(shù)的概念及實數(shù)的分類：②數(shù)軸：明確實數(shù)與數(shù)軸上的點(diǎn)一一對應(yīng)(數(shù)形結(jié)合)．③相反數(shù)：若則互為相反數(shù)．④絕對值：是非負(fù)實數(shù),它在數(shù)軸上表示數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離．⑤倒數(shù)：若互為倒數(shù)，則=1．⑥三種非負(fù)數(shù)：(n為整數(shù),a≠0)．(2)實數(shù)的大小比較數(shù)軸上的兩個點(diǎn)所表示的實數(shù)中，右邊的點(diǎn)所表示的實數(shù)大于左邊的點(diǎn)所表示的實數(shù)．由此可知：正數(shù)大于0，負(fù)數(shù)小于0，正數(shù)大于負(fù)數(shù)，兩個負(fù)數(shù)中，絕對值大的反而?。?3)實數(shù)的運(yùn)算①運(yùn)算法則．②運(yùn)算定律：交換律、結(jié)合律、分配律．③運(yùn)算順序：先乘方、開方，然后乘除，最后加減，同級運(yùn)算從左到右依次進(jìn)行，有括號的先算括號里面的．④科學(xué)記數(shù)法：把一個數(shù)表示成．⑤近似數(shù)：一個近似數(shù)四舍五入到哪一位，就稱這個數(shù)精確到那一位．⑥有效數(shù)字：從左邊第一位非零數(shù)字起到精確到的數(shù)位止，所有的數(shù)字都叫這個近似數(shù)的有效數(shù)字．(4)代數(shù)式①代數(shù)式的概念：用運(yùn)算符號(加、減、乘、除、乘方、開方)把數(shù)或表示數(shù)的字母連結(jié)而成的式子．②代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)式里的字母，計算后所得的結(jié)果叫代數(shù)式的值．(5)整式的概念①單項式：由數(shù)字與字母的積組成的代數(shù)式叫單項式，其中單獨(dú)一個數(shù)字或字母也是單項式，單項式中的數(shù)字因數(shù)叫單項式的系數(shù)，所有字母的指數(shù)和叫做單項式的次數(shù)．②多項式：幾個單項式的和叫做多項式，其中每個單項式叫做多項式的項，多項式中次數(shù)最高項的次數(shù)叫多項式的次數(shù)．③整式：單項式和多項式統(tǒng)稱整式．④同類項：所含字母相同,并且相同字母的指數(shù)也相等的項叫同類項．(6)整式的運(yùn)算①整式的加減法——先去括號，再合并同類項．②整式的乘法．冪的運(yùn)算法則：(m、n為整數(shù)，)；(m、n為整數(shù)，)；(m為整數(shù)，)；(m、n為整數(shù)，)；(p為正整數(shù)，)．乘法公式：*．③整式的除法：單項式除以單項式、多項式除以單項式的運(yùn)算法則．3．能力要求例1江蘇省的面積約為102600km2，這個數(shù)據(jù)用科學(xué)記數(shù)法可表示

為km2【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法，把一個數(shù)表示成【解】102600=1．02×105【說明】科學(xué)記數(shù)法將繼續(xù)圍繞實際問題進(jìn)行考察，學(xué)生需多加練習(xí)．例2如圖1-1，數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)可能是()PP圖1-1Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．【分析】從數(shù)軸上看，點(diǎn)P表示的數(shù)應(yīng)該是比-3大而比-2小的負(fù)數(shù)．∵∴【解】選B．【說明】本題考查了數(shù)軸的相關(guān)知識和對數(shù)的估算能力，數(shù)軸上左邊表示的數(shù)總比右邊表示的數(shù)小，數(shù)形結(jié)合的經(jīng)典題型還是要重點(diǎn)關(guān)注的．例3若，則的值為________．【分析】初中階段學(xué)過的三種非負(fù)數(shù)是：，又它們的和為零，所以每一個式子均為零．【解】∵，∴．∴，．【說明】本題出現(xiàn)的條件是非負(fù)數(shù)的和為零的形式,要充分利用非負(fù)數(shù)性質(zhì)來解題．例4計算：【分析】解題關(guān)鍵是二次根式的化簡、特殊角三角函數(shù)值以及非零數(shù)的零次冪恒為1的理解，以及的逆用．【解】原式=【說明】根據(jù)實數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算順序解題是實數(shù)計算題的解題關(guān)鍵．學(xué)生還要注意在有些計算中需關(guān)注乘法公式的逆用．例5下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：第1個數(shù)：；第2個數(shù)：；第3個數(shù)：；……第個數(shù)：．那么，在第10個數(shù)、第11個數(shù)、第12個數(shù)、第13個數(shù)中，最大的數(shù)是()A．第10個數(shù) B．第11個數(shù) C．第12個數(shù) D．第13個數(shù)【分析】這道題看起來好像挺復(fù)雜的，其實仔細(xì)一計算發(fā)現(xiàn)：第1個數(shù)為：第2個數(shù)為：第3個數(shù)為：……第n個數(shù)為：可見結(jié)果是越來越?。窘狻窟xA．【說明】這道題是一道綜合性題目，但是涉及到的內(nèi)容是實數(shù)的計算、冪的運(yùn)算，考查了學(xué)生的閱讀能力、計算能力、分析能力和歸納推理的能力，所以平時注重能力的培養(yǎng)是非常重要的．例6從邊長為a的正方形內(nèi)去掉一個邊長為b的小正方形(如圖1-2)，然后將剩余部分剪拼成一個矩形(如圖1-1)，上述操作所能驗證的等式是 ()圖圖1-2A．(a＋b)(a－b)＝圖圖1-2Ｂ．(a－b)＝a－ab＋bＣ．(a＋b)＝a＋ab＋bＤ．a(chǎn)＋ab＝a(a＋b)【分析】剩余部分的面積為，新拼成后的矩形邊長分別為矩形面積為故選A．【解】選A．【說明】通過圖形變換前后的面積相等驗證了平方差公式這一恒等關(guān)系，進(jìn)一步體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的重要思想．例7化簡求值(1)已知，求的值．(2)已知，求的值．【分析】(1)題關(guān)鍵是代數(shù)式整體代入思想的運(yùn)用．(2)題關(guān)鍵是配方法和非負(fù)數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用．【解】(1)原式===；(2)，∴【說明】(1)整式運(yùn)算要注重培養(yǎng)學(xué)生先觀察后動手的習(xí)慣，復(fù)習(xí)時要培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用雙基解題的能力；(2)整式乘法都以冪的運(yùn)算法則和運(yùn)算律為基礎(chǔ)的，要熟練掌握整式乘法的計算,注意整體代入法、配方法在求值題中的應(yīng)用．例8一個機(jī)器人從數(shù)軸原點(diǎn)出發(fā)，沿數(shù)軸正方向．以每前進(jìn)3步后退2步的程序運(yùn)動．設(shè)該機(jī)器人每秒鐘前進(jìn)或后退1步，并且每步的距離是1個單位長，xn表示第n秒時機(jī)器人在數(shù)軸上的位置所對應(yīng)的數(shù)．給出下列結(jié)論：⑴；⑵；⑶；⑷．其中，正確結(jié)論的序號是()A．⑴、⑶ B．⑵、⑶ C．⑴、⑵、⑶ D．⑴、⑵、⑷【分析】機(jī)器人5秒鐘前進(jìn)了1個單位,按照以5秒鐘為一個循環(huán)這個規(guī)律前進(jìn),,下面5秒是前進(jìn)3步后退2步,則,;,下面5秒也是每前進(jìn)3步后退2步,則,．【解】由上分析可知道(1)(2)(4)正確，故選D．【說明】本題要求學(xué)生通過閱讀、分析題中所給的條件，畫出數(shù)軸，利用數(shù)形結(jié)合找出規(guī)律．即能從宏觀上把握規(guī)律，又要能深入到每次規(guī)律的具體運(yùn)動情況，這樣才有利于掌握問題的本質(zhì)，便于問題的順利解決．例9對于任意的兩個實數(shù)對和，規(guī)定：當(dāng)時，有；運(yùn)算“”為：；運(yùn)算“”為：．設(shè)、都是實數(shù)，若，則．【分析】這是一道新題型，重新定義了兩種新的運(yùn)算和，根據(jù)運(yùn)算法則可得：1×P=2，2×q=－4，則p=2、q=－2；所以1+p=3、2+q=0．【解】結(jié)果為(3，0)【說明】中考中出現(xiàn)新題型是熱點(diǎn)，但是仍然以考查基礎(chǔ)知識的基本運(yùn)用為根本，這種題目既考查學(xué)生的自學(xué)能力，又考查學(xué)生的理解能力，“三基”仍然是非常重要的．【復(fù)習(xí)建議】1．立足基本知識點(diǎn)，如科學(xué)記數(shù)法、數(shù)軸與無理數(shù)的估值范圍、實數(shù)的冪的運(yùn)算、指數(shù)(包括零指數(shù)、負(fù)整指數(shù)冪)運(yùn)算、絕對值化簡、特殊值的三角函數(shù)值等，解題時一要認(rèn)真審題，觀察式子的結(jié)構(gòu)；二要弄清運(yùn)算順序和法則，做到步步有據(jù)；三要注意符號的確定及最簡結(jié)果,耐心細(xì)致．2．實數(shù)計算考查趨向簡潔化和小綜合性，實數(shù)計算既可單獨(dú)出題，也可融入實際應(yīng)用．對于實數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握整數(shù)運(yùn)算法則(特別是乘法公式的運(yùn)用和逆用)，并能靈活運(yùn)用，學(xué)會運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想(如例2、6)、方程思想、整體代入法、化歸法(如例7)．3．加強(qiáng)學(xué)生閱讀思考、歸納探究(主要指尋找規(guī)律類試題)能力的培養(yǎng)．重視聯(lián)系生活實際(如列代數(shù)式表示增長率、利息、打折、利潤等問題)，靈活運(yùn)