數(shù)列深度解析與11年備考點津

摘要：數(shù)列是定義在自然數(shù)集或它的子集上的特殊函數(shù)，其在高中數(shù)學(xué)中的地位顯得非常重要，且是高考的重點與熱點.它與數(shù)、式、函數(shù)、方程、不等式有著密切的聯(lián)系，是每年高考的必考內(nèi)容；同時數(shù)列綜合問題中蘊含著許多數(shù)學(xué)思想與方法（如函數(shù)思想、方程思想、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化思想、歸納猜想等）.依據(jù)2022年高考對數(shù)列進行分析，提出復(fù)習(xí)建議.關(guān)鍵字：數(shù)列命題視角分析，典例分析，復(fù)習(xí)指導(dǎo)，陳立田數(shù)列深度解析與11年備考點津安徽省蚌埠市懷遠縣龍亢農(nóng)場中學(xué)陳立田233426數(shù)列是定義在自然數(shù)集或它的子集上的特殊函數(shù)，其在高中數(shù)學(xué)中的地位顯得非常重要，且是高考的重點與熱點.它與數(shù)、式、函數(shù)、方程、不等式有著密切的聯(lián)系，是每年高考的必考內(nèi)容；同時數(shù)列綜合問題中蘊含著許多數(shù)學(xué)思想與方法（如函數(shù)思想、方程思想、分類討論、化歸與轉(zhuǎn)化思想、歸納猜想等），數(shù)列試題內(nèi)涵豐富，形式多樣，常考常新，不乏優(yōu)秀試題.本文依據(jù)2022年高考對數(shù)列進行分析，希望對大家復(fù)習(xí)有所幫助.一、命題視角分析1.等差數(shù)列與等比數(shù)列是高中階段學(xué)習(xí)的兩種最基本的數(shù)列，也是考試中經(jīng)?？疾椴⑶抑攸c考查的內(nèi)容之一，這類問題多從數(shù)列的本質(zhì)入手，考查這兩種基本數(shù)列的概念、基本性質(zhì)、簡單運算、通項公式、求和公式等問題.2022年對這兩類數(shù)列的考查仍是重點，如2022全國卷Ⅱ理第4題、2022重慶文第2題等考查了等差數(shù)列的基本公式和性質(zhì)，這是歷年來命題的熱點；2022浙江理第3題、2022天津理第6題等考察了等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式，屬中檔題.2.一般說來，選擇題和填空題涉及數(shù)列、等差數(shù)列和等比數(shù)列的概念和性質(zhì)居多，以此檢測學(xué)生雙基的落實情況.3.解答題一般都具有較強的綜合性.除了數(shù)列章內(nèi)知識的綜合外，還常常與函數(shù)、方程、不等式、三角、極限、解析幾何等知識進行綜合，既體現(xiàn)了在知識網(wǎng)絡(luò)交匯處命制試題的命題思想，又體現(xiàn)了對化歸與轉(zhuǎn)化的思想、函數(shù)與方程的思想、分類與整合的思想等數(shù)學(xué)思想方法的考查.如2022陜西文第16題、重慶文第16題等主要考查數(shù)列的通項公式與前n項和，為章內(nèi)綜合，是常規(guī)題；安徽第21題是樹立與解析幾何綜合，湖南理第21題與函數(shù)導(dǎo)數(shù)綜合，滲透了分類討論與函數(shù)方程思想.另外，數(shù)列的遞推式是數(shù)列的另一種表達形式，可以是一階線性遞推、二階線性遞推、二次函數(shù)形式遞推等是高考的熱點，今年考查也不例外，如安徽理第20題、重慶理第21題、四川理第21題等，要注重疊加、疊乘、迭代等解題技巧的訓(xùn)練.通過研讀高考試題還可以發(fā)現(xiàn)文科側(cè)重對通項公式與前n項和公式中這五個基本量最基本的運算的考查，而理科要求更高，往往是綜合題，涉及遞推數(shù)列的計算、等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明，參數(shù)范圍的求解等等，能力要求較高，應(yīng)引起注意.4.數(shù)列型應(yīng)用問題有考查，以此考查學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識和數(shù)學(xué)建模能力.此外，與數(shù)列有關(guān)的研究性問題出現(xiàn)的頻率也較高，這類問題大體上有三種類型：探索性問題，是否存在型問題，自主學(xué)習(xí)型問題如湖南文迪20題的數(shù)表型應(yīng)用題，北京理數(shù)第20題探索性問題，此題立意繼承了07年的壓軸題立意，在離散情況下處理集合的新背景規(guī)則，帶有一些組合技巧?？忌钠款i在于讀題上，大多數(shù)同學(xué)讀到復(fù)雜的符號和定義的時候便頭暈眼花，這說明了許多考生對于數(shù)學(xué)語言的理解層面尚淺，不能將抽象的符號語言轉(zhuǎn)化為直觀的認識，應(yīng)加強訓(xùn)練.二、典例分析例1（2022全國卷Ⅱ理4）如果等差數(shù)列中，，那么（A）14（B）21（C）28（D）35【答案】C【解析】【命題意圖】本試題主要考查等差數(shù)列的基本公式和性質(zhì).例2（2022天津理6）已知是首項為1的等比數(shù)列，是的前n項和，且，則數(shù)列的前5項和為（A）或5（B）或5（C）（D）【答案】C【解析】本題主要考查等比數(shù)列前n項和公式及等比數(shù)列的性質(zhì)，屬于中等題。顯然q1，所以，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，前5項和.【溫馨提示】在進行等比數(shù)列運算時要注意約分，降低冪的次數(shù)，同時也要注意基本量法的應(yīng)用.例3（2022山東理數(shù)18）已知等差數(shù)列滿足：，，的前n項和為．（Ⅰ）求及；（Ⅱ）令bn=(nN*)，求數(shù)列的前n項和．【解析】（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，，所以有，解得，所以；==。（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以bn===，所以==，即數(shù)列的前n項和=?！久}意圖】本題考查等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的應(yīng)用、裂項法求數(shù)列的和，熟練數(shù)列的基礎(chǔ)知識是解答好本類題目的關(guān)鍵。例4（2022安徽理20）設(shè)數(shù)列中的每一項都不為0.證明：為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何，都有.【解題指導(dǎo)】要證充要條件，一般先證條件的必要性，再證條件的充分性.本題證明條件必要性時主要考查數(shù)列拆項相消求和，在證充分性時主要考查數(shù)列遞推的變形.解：先證必要性：數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)其公差為d,當時，原式左邊=右邊，等式成立當時，原式左邊=右邊，等式成立，故必要性得證.再證充分性：因為……①當時，令取，可得……②①-②可得，即……③再令取可得……④③-④可得最后令①式中取2，可得，故可得數(shù)列為等差數(shù)列.充分性得證綜合以上可知為等差數(shù)列的充分必要條件是：對任何，都有.【誤區(qū)警示】本題命制新穎，很多同學(xué)一接到題目就懵了，沒有分清問題的條件和結(jié)論把充分性必要性的證明搞顛倒了，同時很多同學(xué)再證必要性的時候不注意對d的取值進行討論，再證充分性的時候，沒有說明就直接說數(shù)列為等差數(shù)列，這都造成解題不完整，失分.三、復(fù)習(xí)指導(dǎo)1.等差、等比數(shù)列要加強從定義、通項公式、前項和公式、性質(zhì)四方面研究.等差與等比數(shù)列是最基本的數(shù)列，理解定義是學(xué)好數(shù)列知識的一個關(guān)鍵.在通項公式與前n項和的公式中聯(lián)系著a1、d、q、an、sn,這五個基本量，建立方程的觀點，自覺通過公式去找獨立的等量關(guān)系，是解決運算型問題的基本思路，應(yīng)該掌握，而靈活運用起性質(zhì)?？梢允箚栴}簡單化，要形成快速求解的策略意識，提高計算能力.2、數(shù)列是一類特殊函數(shù)，用函數(shù)的觀點看數(shù)列，揭示其本質(zhì)特征，樹立數(shù)型結(jié)合的思想，常可使抽象問題具體化。這對解決數(shù)列綜合問題具有重要意義.3.對于遞推數(shù)列運用時，注意遞推數(shù)列的關(guān)于等差等比的常見形式.4.解答數(shù)列綜合問題，重于疏通問題情景，運用方程思想、分類討論與化歸思想、數(shù)形結(jié)合與整體處理的思想切入問題，是解題過程經(jīng)常展現(xiàn)的思維方法.5.數(shù)列求和是數(shù)列知識的綜合體現(xiàn)，解決求和問題，一方面是設(shè)法轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的前n項和的問題加以解決；另外數(shù)列求和的常見方法有錯位相減法、裂項相消法、分解轉(zhuǎn)化法、倒序相加法、若涉及正負相間的數(shù)列求和常需分類討論.在處理這類問題的時候注意項數(shù).6.進一步培養(yǎng)學(xué)生閱讀理解和創(chuàng)新能力，綜合運用數(shù)學(xué)思想方法分析問題與解決問題的能力．函數(shù)思想：數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，數(shù)列的通項公式和前n項和公式都可以看成n的函數(shù)，也可以看成是方程或方程組，特別是等差數(shù)列的通項公式可以看成是n的一次函數(shù)，