復(fù)變函數(shù) 第四章 級(jí)數(shù)

復(fù)變函數(shù)第四章級(jí)數(shù)1第1頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.復(fù)數(shù)列的極限設(shè){an}(n=1,2,...)為一復(fù)數(shù)列,其中an=an+ibn,又設(shè)a=a+ib為一確定的復(fù)數(shù).如果任意給定e>0,相應(yīng)地能找到一個(gè)正數(shù)N(e),使|an-a|<e在n>N時(shí)成立,則a稱為復(fù)數(shù)列{an}當(dāng)n時(shí)的極限,記作此時(shí)也稱復(fù)數(shù)列{an}收斂于a.2第2頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定理一

復(fù)數(shù)列{an}(n=1,2,...)收斂于a的充要條件是[證]如果,則對(duì)于任意給定的e>0,就能找到一個(gè)正數(shù)N,當(dāng)n>N時(shí),3第3頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四反之,如果4第4頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.級(jí)數(shù)概念設(shè){an}={an+ibn}(n=1,2,...)為一復(fù)數(shù)列,表達(dá)式稱為無(wú)窮級(jí)數(shù),其最前面n項(xiàng)的和

sn=a1+a2+...+an稱為級(jí)數(shù)的部分和.如果部分和數(shù)列{sn}收斂,5第5頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定理二

級(jí)數(shù)收斂的充要條件是級(jí)數(shù)

和都收斂

[證]因sn=a1+a2+...+an=(a1+a2+...+an)

+i(b1+b2+...+bn)=sn+itn,

其中sn=a1+a2+...+an,tn=b1+b2+...+bn分別為

和的部分和,由定理一,{sn}有極限存在的充要條件是{sn}和{tn}的極限存在,即級(jí)數(shù)和都收斂.6第6頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定理二將復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問(wèn)題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的審斂問(wèn)題.7第7頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定理三[證]8第8頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四9第9頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四10第10頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四另外,因?yàn)榈母黜?xiàng)都是非負(fù)的實(shí)數(shù),所以它的收斂也可用正項(xiàng)級(jí)數(shù)的判定法來(lái)判定.例1下列數(shù)列是否收斂?如果收斂,求出其極限.11第11頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四[解]1)因12第12頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2)由于an=ncosin=nchn,因此,當(dāng)n時(shí),an.所以an發(fā)散.

例2下列級(jí)數(shù)是否收斂?是否絕對(duì)收斂?[解]1)

因發(fā)散;收斂,

故原級(jí)數(shù)發(fā)散.13第13頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2)因,由正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比值審斂法知

收斂,故原級(jí)數(shù)收斂,且為絕對(duì)收斂.3)因收斂;也收斂,

故原級(jí)數(shù)收斂.但因

為條件收斂,所以原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂.14第14頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四§2冪級(jí)數(shù)15第15頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四1.冪級(jí)數(shù)的概念設(shè){fn(z)}(n=1,2,...)為一復(fù)變函數(shù)序列,其中各項(xiàng)在區(qū)域D內(nèi)有定義.表達(dá)式稱為復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù).最前面n項(xiàng)的和

sn(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)稱為這級(jí)數(shù)的部分和.16第16頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四存在,則稱復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(4.2.1)在z0收斂,而s(z0)稱為它的和.如果級(jí)數(shù)在D內(nèi)處處收斂,則它的和一定是z的一個(gè)函數(shù)s(z):

s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...如果對(duì)于D內(nèi)的某一點(diǎn)z0,極限s(z)稱為級(jí)數(shù)的和函數(shù)17第17頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四這種級(jí)數(shù)稱為冪級(jí)數(shù).如果令z-a=z,則(4.2.2)成為,這是(4.2.3)的形式,為了方便,今后常就(4.2.3)討論當(dāng)fn(z)=cn-1(z-a)n-1或fn(z)=cn-1zn-1時(shí),就得到函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的特殊情形:18第18頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四定理一(阿貝爾Abel定理)z0xyO19第19頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四[證]20第20頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四21第21頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四22第22頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四2.收斂圓和收斂半徑利用阿貝爾定理,可以定出冪級(jí)數(shù)的收斂范圍,對(duì)一個(gè)冪級(jí)數(shù)來(lái)說(shuō),它的收斂情況不外乎三種:

i)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)都是收斂的.這時(shí),根據(jù)阿貝爾定理可知級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)處處絕對(duì)收斂.

ii)對(duì)所有的正實(shí)數(shù)除z=0外都是發(fā)散的.這時(shí),級(jí)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.

iii)既存在使級(jí)數(shù)收斂的正實(shí)數(shù),也存在使級(jí)數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù).設(shè)z=a(正實(shí)數(shù))時(shí),級(jí)數(shù)收斂,z=b(正實(shí)數(shù))時(shí),級(jí)數(shù)發(fā)散.23第23頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四顯然a<b,將收斂域染成紅色,發(fā)散域?yàn)樗{(lán)色.RCROabCaCbxy24第24頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四當(dāng)a由小逐漸變大時(shí),Ca必定逐漸接近一個(gè)以原點(diǎn)為中心,R為半徑的圓周CR.在CR的內(nèi)部都是紅色,外部都是藍(lán)色.這個(gè)紅藍(lán)兩色的分界圓周CR稱為冪級(jí)數(shù)的收斂圓.在收斂圓的外部,級(jí)數(shù)發(fā)散.收斂圓的內(nèi)部,級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.收斂圓的半徑R稱為收斂半徑.所以冪級(jí)數(shù)(4.2.3)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域.對(duì)冪級(jí)數(shù)(4.2.2)來(lái)說(shuō),收斂范圍是以z=a為中心的圓域.在收斂圓上是否收斂,則不一定.25第25頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例1求冪級(jí)數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).[解]級(jí)數(shù)實(shí)際上是等比級(jí)數(shù),部分和為26第26頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四27第27頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四3.收斂半徑的求法28第28頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四29第29頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四30第30頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四31第31頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四32第32頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂半徑33第33頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四34第34頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四35第35頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四36第36頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四4.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)象實(shí)變冪級(jí)數(shù)一樣,復(fù)變冪級(jí)數(shù)也能進(jìn)行有理運(yùn)算.設(shè)在以原點(diǎn)為中心,r1,r2中較小的一個(gè)為半徑的圓內(nèi),這兩個(gè)冪級(jí)數(shù)可以象多項(xiàng)式那樣進(jìn)行相加,相減,相乘,所得到的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)分別就是f(z)與g(z)的和,差與積.37第37頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四38第38頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四更為重要的是代換(復(fù)合)運(yùn)算這個(gè)代換運(yùn)算,在把函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)時(shí),有著廣泛的應(yīng)用.39第39頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四40第40頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四Oxyab當(dāng)|z-a|<|b-a|=R時(shí)級(jí)數(shù)收斂41第41頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期四42第42頁(yè)，共48頁(yè)，2023