2023屆二輪復習 導數的應用 學案（全國）

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第16講導數的應用

題型1利用導數研究函數的單調性

(對應生用書第53頁)

■核心知識儲存………………………·1．f′(x)>0是f(x)為增函數的充分不必要條件，如函數f(x)＝x3在(－∞，＋∞)

上單調遞增，但f′(x)≥0.

2．f′(x)≥0是f(x)為增函數的必要不充分條件，當函數在某個區(qū)間內恒有f′(x)

＝0時，則f(x)為常函數，函數不具有單調性．3．利用導數研究函數單調性的一般步驟：

(1)確定函數的定義域；(2)求導函數f′(x)；

(3)①若求單調區(qū)間(或證明單調性)，只要在函數定義域內解(或證明)不等式f′(x)>0或f′(x)n>0，

f?m?－f?n?

>1恒成立，求實數a的取值范圍.

m－n

[思路分析](1)求f′(x)―→結合a的取值探討f(x)的單調區(qū)間；(2)

f?m?－f?n?等價變形

>1――――→f(m)－m>f(n)－n

m－n

構造函數―――――→由g?x?＝f?x?－x

第1頁共15頁

分開參數

g′(x)≥0―――――→求a的取值范圍．

2

12ax－x＋1

[解](1)函數f(x)的定義域為(0，＋∞)，f′(x)＝2ax－1＋x＝.

x

①當a＝0時，f′(x)＝

－x＋1x.

顯然，當x∈(0,1)時，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增；當x∈(1，＋∞)時，f′(x)0，所以2ax2－x＋1≥0恒成立，即f′(x)≥0恒成立，所以函數f(x)在(0，＋∞)上單調遞增．

1－1－8a1

若Δ>0，即01＋1－8a

.4a

當a0，x20，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增；當x∈?0，

4a???1－1－8a?

?時，當x∈?2ax2－x＋10.

?1－1－8a?

?時，2ax2－x＋1>0，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增；當x∈?0，

4a???1－1－8a1＋1－8a?

?時，2ax2－x＋10，f′(x)>0，函數f(x)單調遞增．，＋∞

4a??綜上，當a＝0時，f(x)的單調遞減區(qū)間為(0,1)，單調遞增區(qū)間為(1，＋∞)；1

當a≥8時，函數f(x)的單調遞增區(qū)間為(0，＋∞)，無單調遞減區(qū)間；?11－1－8a?

?，當04a??

第2頁共15頁

?1＋1－8a??，＋∞?，

4a??

?1－1－8a1＋1－8a?

?；單調遞減區(qū)間為?，4a4a??

?1－1－8a?

?，單調遞減區(qū)間為當a1，且m>n，故f(m)－m>f(n)－n.

m－n

記g(x)＝f(x)－x，則函數g(x)＝f(x)－x在(0，＋∞)上單調遞增．1

由g(x)＝f(x)－x＝ax2－2x＋lnx，可得g′(x)＝2ax－2＋x≥0.由于x>0，

11

所以a≥2x＝x－2x2.

111111－x

記h(x)＝x－2x2(x>0)，則h′(x)＝－x2－2×(－2)×x3＝x3.顯然，當x∈(0,1)時，h′(x)>0，函數h(x)單調遞增；當x∈(1，＋∞)時，h′(x)0或f′?x?0，當x0時，f′(x)>0；當－2－a0時，f′(x)>0；當x0，1??

所以f(x)的單調遞增區(qū)間為?0，－2－a?；單調遞減區(qū)間為(－∞，0)，

??1??

?－2－a，＋∞?.??

11

④若a＝－2，f′(x)＝－2x2ex≤0，故f(x)的單調遞減區(qū)間為(－∞，＋∞)．111⑤若a0時，f′(x)0，1?1???

所以f(x)的單調遞增區(qū)間為?－2－a，0?；單調遞減區(qū)間為?－∞，－2－a?

????1??

和(0，＋∞)．綜上所述，當a>0時，f(x)的單調遞增區(qū)間為?－∞，－2－a?

??和

1??

(0，＋∞)；單調遞減區(qū)間為?－2－a，