2023屆二輪復(fù)習(xí) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用 學(xué)案（全國(guó)）

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第16講導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

題型1利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

(對(duì)應(yīng)生用書(shū)第53頁(yè))

■核心知識(shí)儲(chǔ)存………………………·1．f′(x)>0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，如函數(shù)f(x)＝x3在(－∞，＋∞)

上單調(diào)遞增，但f′(x)≥0.

2．f′(x)≥0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件，當(dāng)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)恒有f′(x)

＝0時(shí)，則f(x)為常函數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性．3．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：

(1)確定函數(shù)的定義域；(2)求導(dǎo)函數(shù)f′(x)；

(3)①若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只要在函數(shù)定義域內(nèi)解(或證明)不等式f′(x)>0或f′(x)n>0，

f?m?－f?n?

>1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

m－n

[思路分析](1)求f′(x)―→結(jié)合a的取值探討f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)

f?m?－f?n?等價(jià)變形

>1――――→f(m)－m>f(n)－n

m－n

構(gòu)造函數(shù)―――――→由g?x?＝f?x?－x

第1頁(yè)共15頁(yè)

分開(kāi)參數(shù)

g′(x)≥0―――――→求a的取值范圍．

2

12ax－x＋1

[解](1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，f′(x)＝2ax－1＋x＝.

x

①當(dāng)a＝0時(shí)，f′(x)＝

－x＋1x.

顯然，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，f′(x)0，所以2ax2－x＋1≥0恒成立，即f′(x)≥0恒成立，所以函數(shù)f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．

1－1－8a1

若Δ>0，即01＋1－8a

.4a

當(dāng)a0，x20，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈?0，

4a???1－1－8a?

?時(shí)，當(dāng)x∈?2ax2－x＋10.

?1－1－8a?

?時(shí)，2ax2－x＋1>0，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈?0，

4a???1－1－8a1＋1－8a?

?時(shí)，2ax2－x＋10，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增．，＋∞

4a??綜上，當(dāng)a＝0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，＋∞)；1

當(dāng)a≥8時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，＋∞)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；?11－1－8a?

?，當(dāng)04a??

第2頁(yè)共15頁(yè)

?1＋1－8a??，＋∞?，

4a??

?1－1－8a1＋1－8a?

?；單調(diào)遞減區(qū)間為?，4a4a??

?1－1－8a?

?，單調(diào)遞減區(qū)間為當(dāng)a1，且m>n，故f(m)－m>f(n)－n.

m－n

記g(x)＝f(x)－x，則函數(shù)g(x)＝f(x)－x在(0，＋∞)上單調(diào)遞增．1

由g(x)＝f(x)－x＝ax2－2x＋lnx，可得g′(x)＝2ax－2＋x≥0.由于x>0，

11

所以a≥2x＝x－2x2.

111111－x

記h(x)＝x－2x2(x>0)，則h′(x)＝－x2－2×(－2)×x3＝x3.顯然，當(dāng)x∈(0,1)時(shí)，h′(x)>0，函數(shù)h(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，h′(x)0或f′?x?0，當(dāng)x0時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)－2－a0時(shí)，f′(x)>0；當(dāng)x0，1??

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為?0，－2－a?；單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，0)，

??1??

?－2－a，＋∞?.??

11

④若a＝－2，f′(x)＝－2x2ex≤0，故f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(－∞，＋∞)．111⑤若a0時(shí)，f′(x)0，1?1???

所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為?－2－a，0?；單調(diào)遞減區(qū)間為?－∞，－2－a?

????1??

和(0，＋∞)．綜上所述，當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為?－∞，－2－a?

??和

1??

(0，＋∞)；單調(diào)遞減區(qū)間為?－2－a，