第三章無窮級數(shù)

第三章無窮級數(shù)2學(xué)習(xí)要求與內(nèi)容提要目的與要求：掌握復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)、冪級數(shù)、泰勒級數(shù)、與洛朗級數(shù)的概念、性質(zhì)及基本計(jì)算方法、孤立奇點(diǎn)的概念及判定、零點(diǎn)與極點(diǎn)的關(guān)系。重點(diǎn)：難點(diǎn)：函數(shù)展開成泰勒級數(shù)與洛朗級數(shù)函數(shù)展開成洛朗級數(shù)3

無窮級數(shù)：一系列無窮多個(gè)數(shù)w1，w2，w3，wn，寫成w1+w2+w3+wn+就稱為無窮級數(shù)。這僅是一種形式上的相加。這種加法是不是具有‘和數(shù)’呢？這個(gè)‘和數(shù)’的確切意義是什么？

為什么要研究級數(shù)？

(1)級數(shù)可作為函數(shù)的表達(dá)式，是研究函數(shù)的工具；

(2)常微分方程的級數(shù)解。

研究級數(shù)需關(guān)心的問題：

(1)級數(shù)的斂散性，收斂的定義、條件、判據(jù)；

(2)收斂級數(shù)或一致收斂級數(shù)所具有的性質(zhì)等。43.1復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)定義形如的表達(dá)式被稱為復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)，其中是復(fù)數(shù)。每一項(xiàng)收斂性問題歸結(jié)為兩個(gè)實(shí)數(shù)項(xiàng)級數(shù)極限存在并有限部分和級數(shù)最前面n項(xiàng)的和收斂性問題

若在區(qū)域內(nèi)某一點(diǎn)z0點(diǎn)，前n項(xiàng)和極限存在,則那么級數(shù)在z0點(diǎn)收斂，為該無窮級數(shù)的和；否則稱為發(fā)散。5收斂的充要條件

柯西判據(jù)：復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)收斂的充要條件是，對于任一小的正數(shù)，必存在一

N

使得n>N

時(shí)有式中p

為任意正整數(shù)(推論)絕對收斂若收斂，則稱絕對收斂

判別法：的每一項(xiàng)都是復(fù)數(shù)的模，即正實(shí)數(shù)，所以它實(shí)際上就是正項(xiàng)級數(shù)，這樣復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)絕對收斂的判別法即正項(xiàng)級數(shù)的判別法。6

絕對收斂的級數(shù)具有如下的主要性質(zhì)：1)絕對收斂的級數(shù)，可任意交換其各項(xiàng)的次序，所得級數(shù)仍絕對收斂且其和不變。2)兩個(gè)絕對收斂級數(shù)的和、積，仍絕對收斂。則當(dāng)l<1時(shí)，級數(shù)絕對收斂；當(dāng)l>1時(shí)，級數(shù)發(fā)散；當(dāng)l=1時(shí)，斂散性需進(jìn)一步檢驗(yàn)。3)比值（或達(dá)朗貝爾）判別法。對于，任給一正整K，當(dāng)k>K時(shí)，若則級數(shù)絕對收斂。特別是74)高斯判別法。對于，設(shè)式中μ為復(fù)數(shù)，則當(dāng)Reμ>1時(shí)，級數(shù)絕對收斂；當(dāng)Reμ≤1時(shí)，級數(shù)發(fā)散。證：8復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)：每一項(xiàng)都是復(fù)變函數(shù)

實(shí)際上，對于z

的一個(gè)確定值，復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)變成一個(gè)復(fù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)。

復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)有一個(gè)定義域

B

。它的收斂的概念應(yīng)當(dāng)是相對于這個(gè)定義域而言的。9一致收斂收斂復(fù)變函數(shù)項(xiàng)級數(shù)在其定義域

B中每一點(diǎn)都收斂，則稱在B中收斂。它滿足柯西判據(jù)：對于一小正數(shù)

，必存在一N(z)使得n>N(z)時(shí)有N

與z

無關(guān)收斂，但N(z)

與復(fù)變量

z有關(guān)給定，有一個(gè)統(tǒng)一的N

使判據(jù)得到滿足10一致收斂級數(shù)的性質(zhì)（1）M判別法若在區(qū)域σ內(nèi)是與z無關(guān)的正數(shù)，且收斂，則級數(shù)在σ內(nèi)絕對而且一致收斂。（2）連續(xù)性若在區(qū)域σ內(nèi)連續(xù)，在σ內(nèi)一致收斂于F(z)，則和函數(shù)F(z)亦在σ內(nèi)連續(xù)。（3）逐項(xiàng)可積性設(shè)在曲線l上一致收斂于F(z)，且各項(xiàng)均在l上連續(xù)，則沿l可以逐項(xiàng)積分，且11

（4）逐項(xiàng)可導(dǎo)性：若級數(shù)的各項(xiàng)均在區(qū)域σ內(nèi)解析，且級數(shù)在σ內(nèi)的任一閉子域上一致收斂于F(z)，則(I)F(z)=在σ內(nèi)解析；

證：且F(z)在σ內(nèi)連續(xù)，根據(jù)第二章摩勒納定理知F(z)解析。對于σ內(nèi)任意一條閉圍線l內(nèi)的z點(diǎn)，有(II)在σ內(nèi)級數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo)至任意階，且證：而在l上一致收斂，有界1313故級數(shù)在l上一致收斂。由一致收斂級數(shù)的逐項(xiàng)可積性和的解析性，有143.2冪級數(shù)稱為以為中心的冪級數(shù).1定義冪級數(shù)：常用的一種級數(shù)，實(shí)變函數(shù)冪級數(shù)的推廣復(fù)常數(shù)復(fù)常數(shù)時(shí)15

定理(阿貝爾Abel)如果級數(shù)在z=z0收斂，則它在以b為圓心，以為半徑的圓內(nèi)絕對收斂，而且在任何一個(gè)較小的閉圓上一致收斂。冪級數(shù)的斂散性由收斂的必要條件,有所以存在一正數(shù)h,使對所有的k,有證因?yàn)榧墧?shù)在z0點(diǎn)收斂，16[證畢]而級數(shù)是一個(gè)收斂的常數(shù)幾何級數(shù)，由M判別法知，級數(shù)在中絕對而且一致收斂。推論若級數(shù)在某點(diǎn)z=z1發(fā)散，則它在圓的外面處處發(fā)散。172.收斂圓與收斂半徑對于一個(gè)冪級數(shù),其收斂半徑的情況有三種:(1)對所有的正實(shí)數(shù)都收斂.對任意固定的z,從某個(gè)k開始,總有于是有故該級數(shù)對任意的z均收斂.例如,級數(shù)18(2)對所有的正實(shí)數(shù)除

z=0外都發(fā)散.此時(shí),

級數(shù)在復(fù)平面內(nèi)除原點(diǎn)外處處發(fā)散.(3)既存在使級數(shù)發(fā)散的正實(shí)數(shù),也存在使級數(shù)收斂的正實(shí)數(shù).例如,級數(shù)通項(xiàng)不趨于零,如圖:故級數(shù)發(fā)散.19..收斂圓收斂半徑冪級數(shù)的收斂范圍是以原點(diǎn)為中心的圓域.20

在收斂圓周上是收斂還是發(fā)散,不能作出一般的結(jié)論,要對具體級數(shù)進(jìn)行具體分析.注意問題

冪級數(shù)在收斂圓周上的斂散性如何?由阿貝爾定理及推論不難看出，冪級數(shù)的收斂和發(fā)散區(qū)域是不可能相間的。所以對于冪級數(shù)，必存在一以b為心，R為半徑的圓。在圓內(nèi)級數(shù)絕對收斂，而在圓外級數(shù)發(fā)散。21收斂圓周上無收斂點(diǎn);在收斂圓周上處處收斂.例如,級數(shù):1,1=zR收斂圓周均為;,1在其它點(diǎn)都收斂發(fā)散在點(diǎn)=z223.收斂半徑的求法方法1:

比值法(定理二):23課堂練習(xí)試求冪級數(shù)的收斂半徑.答案，因?yàn)閜nna1=.11

==lR所以pnnnnnnaa)1(limlim1+==￥?+￥?l24方法2:

根值法(定理三)那末收斂半徑說明:(與比值法相同)如果,0lim

1=￥?lkkka如果254.復(fù)變冪級數(shù)在收斂圓內(nèi)的性質(zhì)定理四設(shè)冪級數(shù)的收斂半徑為那末?￥=-00)(kkkzza是收斂圓內(nèi)的解析函數(shù).(1)?￥=-=0)()(

kkkz0zazw它的和函數(shù)Rz0z<-(2)在收斂圓內(nèi)的導(dǎo)數(shù)可將其冪級數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)得到,)(zw.)()(11?￥=--=￠kkkz0zkazw即Rz0z<-26簡言之:在收斂圓內(nèi),冪級數(shù)的和函數(shù)解析;冪級數(shù)可逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分.(常用于求和函數(shù))(3)在收斂圓內(nèi)可以逐項(xiàng)積分,)(zw即?òò￥=<-?-=0.,d)(d)(kckkcRazczz0zazzw?ò￥=+-+=01.)(1d)(

kkkzaz0zkawzz或275、典型例題例1

求冪級數(shù)的收斂范圍與和函數(shù).解級數(shù)的部分和為LL+++++=?￥=kkkzzzz201)1(,111121--=++++=-zzzzzzskknL28級數(shù)收斂,級數(shù)發(fā)散.收斂范圍為一單位圓域由阿貝爾定理知:在此圓域內(nèi),級數(shù)絕對收斂,收斂半徑為1,zskk-=￥?11lim?￥=0kkz0lim1￥?kkz?￥=0kkz且有.1112LL+++++=-kzzzz29例2求下列冪級數(shù)的收斂半徑:(1)(并討論在收斂圓周上的情形)(2)(并討論時(shí)的情形)解(1)因?yàn)閚nnaa1lim+￥?或nnnnnna31limlim￥?￥?=30所以收斂半徑即原級數(shù)在圓內(nèi)收斂,在圓外發(fā)散,收斂的級數(shù)所以原級數(shù)在收斂圓上是處處收斂的.在圓周上,級數(shù)31說明：在收斂圓周上既有級數(shù)的收斂點(diǎn),也有級數(shù)的發(fā)散點(diǎn).原級數(shù)成為交錯(cuò)級數(shù),收斂.發(fā)散.原級數(shù)成為調(diào)和級數(shù)，,2時(shí)當(dāng)=z,0時(shí)當(dāng)=z(2)1limlim1+=￥?+￥?nnaannnn.1=R即32故收斂半徑例3求冪級數(shù)的收斂半徑:解inancos=因?yàn)閚nnnnnnneeeeaa---+￥?+￥?++=111limlim

所以33解所以例4求的收斂半徑.)4sin4(cos21

p+p=+ii因?yàn)閚nia)1(+=nnnaa1lim+￥?=l34例5求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解利用逐項(xiàng)積分,得:所以12limlim

1++=￥?+￥?nnaannnn因?yàn)?5例6求級數(shù)的收斂半徑與和函數(shù).解1212limlim

11--=+￥?+￥?nnnnnnaa因?yàn)?6例7計(jì)算解37一、問題的引入問題:任一個(gè)解析函數(shù)能否用冪級數(shù)來表達(dá)？3.3泰勒級數(shù)展開,

)(

內(nèi)解析在區(qū)域設(shè)函數(shù)Dzf

,

0為中心的任一圓周內(nèi)以為zD

,

,

KD記為它與它的內(nèi)部全包含于.內(nèi)任意點(diǎn)如圖:.K.rz=-0z圓周38由柯西積分公式,有其中K取正方向.則,

,

的內(nèi)部在點(diǎn)上取在圓周因?yàn)榉e分變量KzKz.1

00<--zzzz所以39?ò-=+-ú?ùê?é-=10010)()(d)(π21)(

NnnKnzzzfizfzzz于是40由高階導(dǎo)數(shù)公式,上式又可寫成其中可知在K內(nèi),0)(lim

=￥?zRNN若,

)(

內(nèi)可以用冪級數(shù)來表示在即Kzf41令則在K上連續(xù),即存在一個(gè)正常數(shù)M,,10,<￡qq且無關(guān)的量是與積分變量z

,

)(

)(內(nèi)解析在DKDzfì,

)(

上也連續(xù)在因此Kfz,

)(上有界在Kfz42在內(nèi)成立,從而在K內(nèi)圓周的半徑可以任意增大,只要內(nèi)成立.在的泰勒展開式,在泰勒級數(shù)43如果到的邊界上各點(diǎn)的最短距離為那末在的泰勒展開式在內(nèi)成立．因?yàn)榉矟M足的必能使由上討論得重要定理——泰勒展開定理在的泰勒級數(shù)的收斂半徑至少等于，但成立，?￥=-=000)()(!)()(nnnzznzfzf44二、泰勒定理其中泰勒級數(shù)泰勒展開式定理設(shè)在區(qū)域內(nèi)解析,為

內(nèi)的一為到的邊界上各點(diǎn)的最短距離,那末點(diǎn),時(shí),成立,當(dāng)?￥=-=00)()(kkkzzazfLL,2,1,0),(!10)(==kzfkakk45說明:1.復(fù)變函數(shù)展開為泰勒級數(shù)的條件要比實(shí)函數(shù)時(shí)弱得多;(想一想,為什么?)4.任何解析函數(shù)在一點(diǎn)的泰勒級數(shù)是唯一的.;,0.30級數(shù)稱為麥克勞林級數(shù)時(shí)當(dāng)=z;

,

,

)(

.200zdzdDzf-=aa即之間的距離一個(gè)奇點(diǎn)到最近等于則內(nèi)有奇點(diǎn)在如果收斂范圍46

因?yàn)榻馕?，可以保證無限次可各階導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性;所以復(fù)變函數(shù)展為泰勒級數(shù)的實(shí)用范圍就要比實(shí)變函數(shù)廣闊的多.注意問題：利用泰勒級數(shù)可以將函數(shù)展開為冪級數(shù)，展開式是否唯一？47那末即因此,任何解析函數(shù)展開成冪級數(shù)的結(jié)果就是泰勒級數(shù),因而是唯一的.L+-+-+=202010)()()(zzazzaazf,)(0L+-+kkzzaL,)(!10)(zfkakk=

:

)(

0已被展開成冪級數(shù)在設(shè)zzf48三、將函數(shù)展開成泰勒級數(shù)常用方法:直接法和間接法.1.直接法:由泰勒展開定理計(jì)算系數(shù).

)(

0展開成冪級數(shù)在將函數(shù)zzf例如，故有49仿照上例,502.間接展開法

:

借助于一些已知函數(shù)的展開式,結(jié)合解析函數(shù)的性質(zhì),冪級數(shù)運(yùn)算性質(zhì)(逐項(xiàng)求導(dǎo),積分等)和其它數(shù)學(xué)技巧(代換等),求函數(shù)的泰勒展開式.間接法的優(yōu)點(diǎn):

不需要求各階導(dǎo)數(shù)與收斂半徑,因而比直接展開更為簡潔,使用范圍也更為廣泛.51例如，.

0

sin

的泰勒展開式在利用間接展開法求=zz52附:常見函數(shù)的泰勒展開式5354例1解四、典型例題55上式兩邊逐項(xiàng)求導(dǎo),56例2分析如圖,-1OR=1xy57即

將展開式兩端沿C逐項(xiàng)積分,得解58例3

解59例4解60例5解61例6解即微分方程對微分方程逐次求導(dǎo)得:62633.4解析延拓解析延拓：將解析函數(shù)定義域加以擴(kuò)大概念：若f1(z)和f2(z)分別在D1,D2內(nèi)解析，且在D1與D2重疊的區(qū)域中有f1(z)=f2(z)，則稱f2(z)為f1(z)在D2中的解析延拓，f1(z)為f2(z)在D1中的解析延拓。

同一個(gè)解析函數(shù)在不同區(qū)域內(nèi)有不同的表達(dá)式，如例子64

問題：已知f(z)

在b

中解析，是否存在F(z)

在

B

中解析bB

，且在b

中F(z)=f(z)

。這個(gè)過程叫解析延拓。解析延拓的方法

在b

中取點(diǎn)z0，又取z0

的一個(gè)鄰域，將f(z)

展開為泰勒級數(shù)。如果這個(gè)級數(shù)的收斂圓的一部分超出區(qū)域b進(jìn)入?yún)^(qū)域B則此函數(shù)的解析區(qū)域得以擴(kuò)大。逐步使用這種方法，可以逐漸將函數(shù)解析延拓。

可以證明，無論采用何種方法，函數(shù)f(z)

的解析延拓是唯一的。這樣，可以采用某些最方便的方法來進(jìn)行解析延拓。證明：利用解析函數(shù)零點(diǎn)的孤立性65含參量積分：稱為格馬(Gamma)函數(shù)（寫作Γ函數(shù)）.它們在應(yīng)用中經(jīng)常出現(xiàn)，統(tǒng)稱為歐拉積分，稱為貝塔(Beta)函數(shù)（寫作B函數(shù)）.下面分別討論這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì).3.4.1Γ函數(shù)與Β函數(shù)661.積分區(qū)間為無窮;Γ函數(shù)特點(diǎn):Γ函數(shù)2.當(dāng)

s-1<0時(shí)，x=0為瑕點(diǎn);寫Γ函數(shù)為如下兩個(gè)積分之和：其中當(dāng)

s≥

1時(shí)，為正常積分，當(dāng)0<s<1時(shí)收斂.67對任何實(shí)數(shù)

s，都是收斂的，特別當(dāng)s>0時(shí)收斂.所以Γ函數(shù)在

s>0時(shí)收斂.即Γ函數(shù)的定義域?yàn)閟>01.遞推公式2.Γ函數(shù)圖象的討論Γ函數(shù)的性質(zhì)683.延拓4.的其他形式令x=y2,有令x=py,就有69Β函數(shù)當(dāng)

p≥

1時(shí)，I(p,q)為正常積分，當(dāng)0<p<1時(shí)收斂.當(dāng)

q≥

1時(shí)，J(p,q)為正常積分，當(dāng)0<q<1時(shí)收斂.所以，當(dāng)p>0,q>0時(shí),B(p,q)收斂.即B(p,q)函數(shù)的定義域?yàn)閜>0,q>0701.B(p,q)在定義域p>0,q>0內(nèi)連續(xù)2.對稱性：B(p,q)=B(q,p)3.遞推公式

B(p,q)函數(shù)的性質(zhì)714.B(p,q)的其他形式令則有令則有令則有Γ函數(shù)與Β函數(shù)之間的關(guān)系72例計(jì)算解7374例計(jì)算解7576一、問題的引入問題:負(fù)冪項(xiàng)部分正冪項(xiàng)部分主要部分解析部分同時(shí)收斂收斂3.5洛朗級數(shù)展開kkkzza)(.10-?￥-￥=雙邊冪級數(shù)=-?￥=-￥=kkkkzza)(0kkkkkkzzazza)()(0001-+-??￥=-￥=-77收斂半徑收斂域收斂半徑收斂域兩收斂域無公共部分,兩收斂域有公共部分Rkkkzza-￥=--?)(01kkkzza)(00-?￥=kkkaz?￥=-178結(jié)論:.常見的特殊圓環(huán)域:...的收斂區(qū)域?yàn)殡p邊冪級數(shù)kkkzza)(0-?￥-￥=79例如，都不解析,但在圓環(huán)域及內(nèi)都是解析的.2.問題:在圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)是否一定能展開成級數(shù)?而1,1112<+++++=-zzzzzkLL80所以即內(nèi)可以展開成級數(shù).也可以展開成級數(shù)：,121LL++++++=-kzzzz[]LL+-++-+-+-=kzzzz)1()1()1(1112.)1()1()1(1)1(121L+-+-+-++-=--kzzzz81二、洛朗級數(shù)定理C為圓環(huán)域內(nèi)繞的任一正向簡單閉曲線.,)()(0kkkzzazf-=?￥-￥=為洛朗系數(shù).ò+-=Ckkzfiazzzd)()(π21

10其中82B證對于第一個(gè)積分:Rr.z..?￥=???è?---=00001kkzzzzzz,)()(0100?￥=+--=kkkzzzz83對于第二個(gè)積分:zzzd)(π21R2ò-Czfi所以kkkzza)(00-=?￥=kkKkzzzfi￥=+-ú?ùê?é-=?ò)(d)()(π2100101zzz84其中zzzd)(π21R1ò--Czfi則?￥=----=1010)()(kkkzzzz,)()(10110kkkzzz-￥=+----=?z)()(d)()(π21011101zRzzzfiNkNkKk+-ú?ùê?é-=--=+-?òzzzzzzd)()()(π211010ò?ú?ùê?é--￥=-KNkkkzzfzi85下面證明))(()(

的連續(xù)性決定由因?yàn)橛謟fMf￡zrqrMkNkp××p￡?￥=22186則zzzd)(π21

R1ò--Czfi于是,)(01kkkzza-￥=--=?87如果C為在圓環(huán)域內(nèi)繞的任何一條正向簡單[證畢]kkkkkkzzazza-￥=-￥=-+-=??)()(0100.)(0kkkzza-=?￥-￥=閉曲線.則可用一個(gè)式子表示為:kkaa-與88說明:函數(shù)在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗展開式在圓環(huán)域內(nèi)的洛朗(Laurent)級數(shù).1)2)某一圓環(huán)域內(nèi)的解析函數(shù)展開為含有正、負(fù)冪項(xiàng)的級數(shù)是唯一的，這就是

f(z)的洛朗級數(shù).定理給出了將圓環(huán)域內(nèi)解析的函數(shù)展為洛朗級數(shù)的一般方法.kkkzzazf)()(0-=?￥-￥=89三、函數(shù)的洛朗展開式常用方法:1.直接法2.間接法

1.直接展開法利用定理公式計(jì)算系數(shù)缺點(diǎn):計(jì)算往往很麻煩.),2,1,0(d)()(π2110L±±=-=ò+kzfiaCkkzzz然后寫出.)()(0kkkzzazf-=?￥-￥=根據(jù)正、負(fù)冪項(xiàng)組成的的級數(shù)的唯一性,可用代數(shù)運(yùn)算、代換、求導(dǎo)和積分等方法去展開.優(yōu)點(diǎn):簡捷,快速.2.間接展開法90四、典型例題例1解由定理知:,)(kkkzazf?￥-￥==其中zzzd)()(π2110ò+-=Ckkzfiazzzdπ213ò+=Ckei)2,1,0(,)0(:L±±=￥<<=kzCrr91故由柯西–古薩基本定理知:由高階導(dǎo)數(shù)公式知:0=ka,

2

時(shí)當(dāng)-3kzzzdπ213ò+=Ckkeia022)(dd)!2(1=++ú?ùê?é+=zzkkezk)!2(1+=k?￥-=+=2)!2()(

kkkzzf故,

3

時(shí)當(dāng)-￡k,

2在圓環(huán)域內(nèi)解析zez92另解本例中圓環(huán)域的中心z=0既是各負(fù)冪項(xiàng)的奇點(diǎn),.

2的奇點(diǎn)也是函數(shù)zez93例2內(nèi)是處處解析的,試把f(z)

在這些區(qū)域內(nèi)展開成洛朗級數(shù).解:

)2)(1(1)(

在圓環(huán)域函數(shù)--=zzzf

,

10

)1內(nèi)在<<z94oxy1=)(

zf所以LL+++++=-nzzzz2111則,1<z由于12<z從而9512oxy由且仍有

,

21

)2內(nèi)在<<z962oxy由此時(shí),

2

)3內(nèi)在￥<<z)(

zf于是97仍有,121

<<zz此時(shí))(

zf故98注意:奇點(diǎn)但卻不是函數(shù)的奇點(diǎn).本例中圓環(huán)域的中心是各負(fù)冪項(xiàng)的說明:1.函數(shù)在以為中心的圓環(huán)域內(nèi)的洛朗級數(shù)中盡管含有的負(fù)冪項(xiàng),而且又是這些項(xiàng)的奇點(diǎn),但是可能是函數(shù)的奇點(diǎn),也可能的奇點(diǎn).不是992.給定了函數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的一點(diǎn)以后,函數(shù)在各個(gè)不同的圓環(huán)域中有不同的洛朗展開式(包括泰勒展開式作為它的特例).回答：不矛盾.朗展開式是唯一的)問題：這與洛朗展開式的唯一性是否相矛盾?(唯一性:指函數(shù)在某一個(gè)給定的圓環(huán)域內(nèi)的洛100解例3101例4解?￥=-+--=011)2(2)1(kkkkz102例5內(nèi)的洛朗展開式.解103104105

洛朗級數(shù)是一個(gè)雙邊冪級數(shù),其解析部分是一個(gè)普通冪級數(shù);思考題答案是一般與特殊的關(guān)系.洛朗級數(shù)的收斂區(qū)域是圓環(huán)域洛朗級數(shù)與泰勒級數(shù)有何關(guān)系?思考題.級數(shù)了洛朗級數(shù)就退化為泰勒1063.6孤立奇點(diǎn)的分類定義：若函數(shù)f(z)在點(diǎn)z0處不解析（或沒有定義），但在點(diǎn)z0的某個(gè)空心鄰域內(nèi)解析，則稱點(diǎn)z0為f(z)的孤立奇點(diǎn)。一、孤立奇點(diǎn)的概念例1是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).是函數(shù)的孤立奇點(diǎn).注意:

孤立奇點(diǎn)一定是奇點(diǎn),但奇點(diǎn)不一定是孤立奇點(diǎn).107例2

指出函數(shù)在點(diǎn)的奇點(diǎn)特性.解即在的不論怎樣小的去心鄰域內(nèi),

的奇點(diǎn)存在,

函數(shù)的奇點(diǎn)為總有不是孤立奇點(diǎn).所以，因?yàn)?1lim=p￥?kk108

定義

設(shè)z0是解析函數(shù)f(z)的孤立奇點(diǎn)，f(z)在點(diǎn)z0的某去心鄰域內(nèi)的羅朗展式為

(1)若展式中不含有z-z0的負(fù)冪項(xiàng)，則稱z0為f(z)的可去奇點(diǎn)；

(2)若展式中只含有z-z0的有限個(gè)負(fù)冪項(xiàng)(即存在m＞0，使a-m≠0，而當(dāng)n＞m時(shí)，a-n=0)，則稱z0是f(z)的極點(diǎn)，稱m為極點(diǎn)z0的階，按照m=1或m＞1，稱z0是f(z)的單極點(diǎn)或m階的極點(diǎn)；

(3)若展式中含有z-z0的無窮多個(gè)負(fù)冪項(xiàng)，則稱z0為f(z)的本性奇點(diǎn)。二、孤立奇點(diǎn)的分類109其和函數(shù)為在解析的函數(shù).說明:(1)(2)無論在是否有定義,補(bǔ)充定義則函數(shù)在解析.1．可去奇點(diǎn)如果洛朗級數(shù)中不含的負(fù)冪項(xiàng),那末孤立奇點(diǎn)稱為的可去奇點(diǎn).1)定義,)(0的孤立奇點(diǎn)若是zfz.)()()(0010LL+-++-+=kkzzazzaazf,)(00azf=?íì=1=000,,)()(zzazzzFzf1102)可去奇點(diǎn)的判定(1)由定義判斷:的洛朗級數(shù)無負(fù)在如果冪項(xiàng)則為的可去奇點(diǎn).(2)判斷極限若極限存在且為有限值,則為的可去奇點(diǎn).如果補(bǔ)充定義:時(shí),那末在解析.例3中不含負(fù)冪項(xiàng),是的可去奇點(diǎn).111例4說明為的可去奇點(diǎn).解所以為的可去奇點(diǎn).無負(fù)冪項(xiàng)另解

的可去奇點(diǎn).為1122.極點(diǎn)

其中關(guān)于的最高冪為即級極點(diǎn).那末孤立奇點(diǎn)稱為函數(shù)的或?qū)懗?)定義如果洛朗級數(shù)中只有有限多個(gè)的負(fù)冪項(xiàng),1012020)()()