2023屆高三數(shù)學(xué)（理）33個(gè)黃金考點(diǎn)總動(dòng)員 考點(diǎn)13 三角函數(shù)的圖像

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1.最新考試說明：

(1)考察三角函數(shù)的值域與最值(2)考察三角函數(shù)的單調(diào)性

(3)利用三角函數(shù)的值域和單調(diào)性求參數(shù)的值

2.命題方向預(yù)計(jì)：

(1)三角函數(shù)的最值以及三角函數(shù)的單調(diào)性是歷年高考的重要考點(diǎn).(2)利用三角函數(shù)的單調(diào)性求最值、利用單調(diào)性求參數(shù)是重點(diǎn)也是難點(diǎn).

(3)題型不限，選擇題、填空題、解答題都有可能出現(xiàn)，常與多個(gè)知識(shí)點(diǎn)交匯命題.

3.課本結(jié)論總結(jié)：

(1)由y＝sinx的圖象變換到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象，有兩種變換方式：①先相位變換再周期變換(伸縮變換)：；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是

|φ|

(ω＞0)個(gè)單位．原因在于相位變換和ω

周期變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是依靠于ωx加減多少值．(2)y?sinx的性質(zhì)：①定義域?yàn)镽，值域?yàn)??1,1?；②是周期函數(shù)，最小正周期為2?；③在???3????????2k?,?2k??(k?Z)單調(diào)遞增，在??2k?,?2k??(k?Z)單調(diào)遞減；

22?2??2?④當(dāng)x??2?2k?,k?Z時(shí)，ymax?1；當(dāng)x???2?2k?,k?Z時(shí)，ymin??1；

⑤其對(duì)稱軸方程為x??2?k?(k?Z),對(duì)稱中心坐標(biāo)為?k?,0?,k?Z.

(3)y?cosx的性質(zhì)：①定義域?yàn)镽，值域?yàn)??1,1?；②是周期函數(shù)，最小正周期為2?；③在

????2k?,2k??(k?Z)單調(diào)遞增，在?2k?,??2k??(k?Z)單調(diào)遞減；④當(dāng)x?2k?,k?Z????k??,0?,k?Z.

2??（4）y?tanx的性質(zhì)：①定義域?yàn)?x|x?時(shí)，

ymax?1；當(dāng)x???2k?,k?Z時(shí)，ymin??1；⑤其對(duì)稱軸方程為x?k?(k?Z),對(duì)稱中心坐標(biāo)為

?????k?,k?Z?，值域?yàn)镽；②是周期函數(shù)，最小正周期為2??????k???；③在???k?,?k??(k?Z)單調(diào)遞增；④其對(duì)稱中心坐標(biāo)為?,0?,k?Z.

2?2??2?4.名師二級(jí)結(jié)論：

（1）由y＝sinx的圖象變換到y(tǒng)＝Asin(ωx＋φ)的圖象，兩種變換的區(qū)別：先相位變換再周期變換(伸縮變換)，平移的量是|φ|個(gè)單位；而先周期變換(伸縮變換)再相位變換，平移的量是

|φ|

(ω＞0)個(gè)單ω

位．原因在于相位變換和周期變換都是針對(duì)x而言，即x本身加減多少值，而不是依靠于ωx加減多少值．（2）在由圖象求三角函數(shù)解析式時(shí)，若最大值為M，最小值為m，則A＝2π

即由＝T求出，φ由特別點(diǎn)確定．

ω

(3)作正弦型函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖象時(shí)應(yīng)注意：①首先要確定函數(shù)的定義域；

②對(duì)于具有周期性的函數(shù)，應(yīng)先求出周期，作圖象時(shí)只要作出一個(gè)周期的圖象，就可根據(jù)周期性作出整個(gè)函數(shù)的圖象.

(4)求三角函數(shù)值域(最值)的方法：①利用sinx、cosx的有界性；

②形式繁雜的函數(shù)應(yīng)化為y?Asin(?x??)?k的形式逐步分析?x??的范圍，根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)的值域；

③換元法：把sinx或cosx看作一個(gè)整體，可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)問題．

M－m2

，k＝

M＋m2

，ω由周期T確定，

?x??)、y?Atan(?x??)的性質(zhì)：5.y?Asin(?x??)、y?Acos(①周期性

2ππ

函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)和y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期為，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周期為.

|ω||ω|②奇偶性

三角函數(shù)中奇函數(shù)一般可化為y＝Asinωx或y＝Atanωx，而偶函數(shù)一般可化為y＝Acosωx＋b的形式．③研究函數(shù)的單調(diào)性、最值、對(duì)稱性等問題，要注意整體意識(shí)，即將?x??看作一個(gè)整體.

5.課本經(jīng)典習(xí)題：

(1)新課標(biāo)A版第147頁，第A9題（例題）已知y?(sinx?cosx)?2cosx.①求它的遞減區(qū)間；②求它的最大值和最小值.

y?(sinx?cosx)?2cosx?1?2sinxcosx?1?cos2x?2?sin2x?cos2x

2222?2sin(2x?)?2

4①令

??2?2k??2x??4?3??5??2k?，解得?k??x??k?，即函數(shù)的單調(diào)區(qū)間為2885?????k?,?k?(k?Z);??8?8?②由題意得，ymax?2?2，ymin??2?2.

綜合考察三角恒等變換與三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

(2)新課標(biāo)A版第147頁，第A10題（例題）已知函數(shù)f(x)?cosx?2sinxcosx?sinx.①求f(x)的最小正周期；②當(dāng)x??0,44???時(shí)，求f(x)的最小值以及取得最小值時(shí)x的集合.??2?綜合考察三角恒等變換與三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

6.考點(diǎn)交匯展示：(1)與定積分的交匯

已知函數(shù)f(x)?sin(x??),且軸是()A.x??2?30f(x)dx?0,則函數(shù)f(x)的圖象的一條對(duì)稱

5?7???B.x?C.x?D.x?61236

A

函數(shù)f?x?的對(duì)稱軸為x???2?3?2?k1??x????2?k1?,

????2???sin??sinx??dx?0??cos???cos??0?????0,???33????0???5?所以???k2?????k2?,即對(duì)稱軸x????k1???k2??k1?(k1,k2?N)

33265?則x?是其中一條對(duì)稱軸,應(yīng)選A.

6由于

三角函數(shù)圖像輔助角公式定積分

(2)與平面向量的交匯

已知向量a?(m,cos2x)，b?(sin2x,n)，設(shè)函數(shù)f(x)?a?b，且y?f(x)的圖象過點(diǎn)(?12,3)和點(diǎn)(2?,?2).3（Ⅰ）求m,n的值；

（Ⅱ）將y?f(x)的圖象向左平移?（0????）個(gè)單位后得到函數(shù)y?g(x)的圖象.若y?g(x)的圖象上各最高點(diǎn)到點(diǎn)(0,3)的距離的最小值為1，求y?g(x)的單調(diào)增區(qū)間.（I）m?3,n?1.

（II）函數(shù)y?g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[k???2,k?],k?Z.

得到y(tǒng)?g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為[k???2,k?],k?Z.

試題解析：（1）由題意知：f(x)?a?b?msin2x?ncos2x.由于y?f(x)的圖象過點(diǎn)(?12,3)和(2?,?2)，3???3?msin?ncos??66，

所以???2?msin4??ncos4??33??133?m?n??22即?，??2??3m?1n??22解得m?3,n?1