8動量守恒定律

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在應(yīng)用動量守恒定律處理問題時，除了要注意定律的適用對象和守恒條件外，還應(yīng)當(dāng)把握定律的四個方面的性質(zhì)和三種特別情形，以及兩種處理技巧．一、“四特性質(zhì)〞

1.系統(tǒng)性——研究對象是相互作用的多個物體組成的系統(tǒng)

2.矢量性——表達(dá)式是矢量式，其應(yīng)用只限于一維的狀況（應(yīng)先規(guī)定正方向，

化矢量運算為標(biāo)量運算）

例1如圖1所示，甲、乙兩個玩具小車在

光滑水平面上沿同一直線相向運動，它們質(zhì)量和速度分別為m1=0.5kg，v1=2m/s；m2=3kg，v2=1m/s．兩小車相碰后，乙車的速度減小為v2′=0.5m/s，方向不變，求甲車的速度v1′．

v1甲圖1

v2乙解析對兩小車組成的系統(tǒng)，由于在水平方向上不受外力，所以動量守恒．而

動量守恒定律的表達(dá)式是矢量式，應(yīng)先規(guī)定正方向．

設(shè)碰前甲車的方向為正方向，則表達(dá)式為：m1v1?m2v2?m1v1'?m2v2'．代入數(shù)值，解得：v1′=-1m/s，負(fù)號表示甲車碰后的速度方向與碰前的速度方向相反．

3.相對性——表達(dá)式中各速度應(yīng)相對于同一參考系，一般選地面

4.同時性——表達(dá)式中相關(guān)速度存在同時性（即v1、v2為一一致時刻的速度，

v1′、v2′為另一一致時刻的速度）

例2如圖2所示，在光滑的水平面上有一輛平

板車，上面站著一個人．已知車的質(zhì)量為M，人的質(zhì)量為m，車以速度v0前進．某時刻人突然向后跳離車，設(shè)人離車時，相對于車的速度是v，求人跳車后，車的速度v0′．以下幾種解法中正確的是：

A.(M?m)?v0?Mv0'?mvB.(M?m)?v0?Mv0'?m(v0?v)C.(M?m)?v0?Mv0'?m(v0'?v)

1

v0v0′圖2

解析三個選項的不同之處在于對末狀態(tài)人的動量的表示.．．．

選項A，考慮了矢量性：人的速度為-v；但不滿足相對性：人的速度應(yīng)為相對于地的速度，不是相對于車的速度v.

選項B，考慮了相對性：人的速度為v0-v，是對地的速度；但不滿足同時性：v0-v中的v0不是末態(tài)的速度.

選項C，既滿足矢量性，又滿足相對性和同時性：人的速度應(yīng)是v0′-v，等于末狀態(tài)車的速度v0′與人相對車的速度v之差，為末狀態(tài)人對地的速度.

所以選項C正確.

二、“三種特例〞

1.單向守恒——假使系統(tǒng)所受合外力不為零，但在某方向所受合外力為零時，

則在此方向單向守恒

v0h例3如圖3所示，內(nèi)裝砂子的小車總質(zhì)量為

M，靜止在光滑水平面上，在小車上方距砂子表面高為h處以速度v0水平拋出質(zhì)量為m的鉛球，鉛球落入車內(nèi)砂子中后，與小車一起運動，試求小車的運動速度．

圖3

解析鉛球落入砂子中后，鉛球和砂子構(gòu)成

的系統(tǒng)在豎直方向上所受合外力不為零，所以系統(tǒng)的總動量并不守恒．但在水平方向上，系統(tǒng)不受外力，因而在水平方向上動量守恒．

因此有：mv0?(M?m)v?v?mM?m?v0

2.近似守恒——假使系統(tǒng)所受合外力不為零，但當(dāng)內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力時，可近

似認(rèn)為系統(tǒng)的動量守恒

例4如圖4所示，質(zhì)量為m的子彈以速度v0從正

下方向上擊穿一個質(zhì)量為M的木球．若擊穿后木球上升的高度為H，求擊穿木球后子彈還能上升多高？

v0圖4

解析選子彈和木球為系統(tǒng)．子彈擊穿木球時，它

們除受相互間的作用力外還受重力的作用，系統(tǒng)所受合

外力不為零．但由于作用時間極短，相互作用的內(nèi)力很大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于系統(tǒng)所受的重力，所以系統(tǒng)的動量近似守恒．

2

設(shè)子彈擊穿木球后，子彈的速度為v，木球的速度為V，由動量守恒定律，有：mv0?mv?MV

子彈擊穿木球后，二者均做豎直上拋運動．設(shè)子彈上升的高度為h，木球上升的高度為H，則有：v2?2gh，V由以上三式解得：h?

2?2gH．

2gh)22(mv0?M2gm3.平均守恒——假使系統(tǒng)在整個過程中任意兩時刻的總動量都相等，則在全

過程中平均動量必定守恒

例5長為L，質(zhì)量為M的船停在靜水中，一

個質(zhì)量為m的人站在船的左端，如圖5所示．當(dāng)人從船的左端走到右端的過程中，船的位移為多大？（水對船的阻力忽略不計）

s2L圖5

s1解析對人和船組成的系統(tǒng)，由于在水平方向

不受外力，所以系統(tǒng)在整個過程中任意兩時刻的總動量都相等．

可以證明，在整個過程中，有：mv1?Mv2?0,(v1、v2為人和船的平均速度)

由于人、船運動的時間相等，則有：ms1?Ms2?0,(s1、s2為人和船的對地位移)

由圖中幾何關(guān)系，可知：s2?L?s1，可得：s2?mM?m?L

三、“兩個技巧〞

1.巧選對象——根據(jù)需要，有時選取適當(dāng)?shù)难芯繉ο?，會使問題“迎刃而解〞例6總質(zhì)量為M的火車，沿平直軌道以速度v0勻速前進，質(zhì)量為m的末節(jié)

車廂突然脫鉤，最終停下，若機車的牽引力是恒定的，且運動的阻力與車重成正比，則末節(jié)車廂剛停下來的時刻，列車其余部分的速度為多大？

F牽F阻=kMg解析假使分別選末節(jié)車廂和列車

其余部分為研究對象，則解決過程較繁雜．現(xiàn)將末節(jié)車廂和列車其余部分看作一個有關(guān)聯(lián)的整體，從脫鉤后到末節(jié)車

F牽F前阻=k(M?m)gF后阻=kmg

圖6

廂中止前的這段時間內(nèi)，系統(tǒng)所受外力的合力為零，如圖6所示：

3

所以系統(tǒng)在此過程中動量守恒，有：

Mv0?(M?m)v?m?0，則：v?MM?m?v0

2.巧選過程——對多過程問題，可以不追究中間的具體細(xì)節(jié)，而只考慮初末

兩個狀態(tài)

例7如圖7所示，兩輛質(zhì)量一致的小車，

靜止在光滑的水平面上，A車上有一人先從A車跳到B車上，接著又從B車跳回A車．則最終A車的速率：

A.等于零B.小于B車速率C.等于B車速率D.大于B車速率

圖7

ABAB解析若對人在兩車間“跳來〞、“跳去〞的各個過程分析，此題很繁瑣．若

以A、B兩車與人組成的系統(tǒng)為研究對象，在整個跳的過程中，系統(tǒng)在水平方向不受外力，所