高中數(shù)學(xué)必修三《線性回歸》練習(xí)題

線性回歸練習(xí)題[A.基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．(2015·張掖高一檢測)有幾組變量：①汽車的重量和汽車每消耗1升汽油所行駛的平均路程；②平均日學(xué)習(xí)時間和平均學(xué)習(xí)成績；③立方體的棱長和體積．其中兩個變量成正相關(guān)的是()A．①③ B．②③C．② D．③解析：選C.①是負(fù)相關(guān)；②是正相關(guān)；③是函數(shù)關(guān)系，不是相關(guān)關(guān)系．2．對于給定的兩個變量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)，下列說法正確的是()A．都可以分析出兩個變量的關(guān)系B．都可以用一條直線近似地表示兩者的關(guān)系C．都可以作出散點(diǎn)圖D．都可以用確定的表達(dá)式表示兩者的關(guān)系解析：選C.由兩個變量的數(shù)據(jù)統(tǒng)計，不能分析出兩個變量的關(guān)系，A錯；不具有線性相關(guān)的兩個變量不能用一條直線近似地表示他們的關(guān)系，更不能用確定的表達(dá)式表示他們的關(guān)系，B，D錯．3．對有線性相關(guān)關(guān)系的兩個變量建立的回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x中，回歸系數(shù)eq\o(b,\s\up6(^))()A．不能小于0 B．不能大于0C．不能等于0 D．只能小于0解析：選C.當(dāng)eq\o(b,\s\up6(^))＝0時，r＝0，這時不具有線性相關(guān)關(guān)系，但eq\o(b,\s\up6(^))能大于0，也能小于0.4．(2013·高考湖北卷) 四名同學(xué)根據(jù)各自的樣本數(shù)據(jù)研究變量x，y之間的相關(guān)關(guān)系，并求得回歸直線方程，分別得到以下四個結(jié)論：()①y與x負(fù)相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝2.347x－6.423；②y與x負(fù)相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝－3.476x＋5.648；③y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝5.437x＋8.493；④y與x正相關(guān)且eq\o(y,\s\up6(^))＝－4.326x－4.578.其中一定不正確的結(jié)論的序號是()A．①② B．②③C．③④ D．①④解析：選D.由正負(fù)相關(guān)性的定義知①④一定不正確．5．設(shè)某大學(xué)的女生體重y(單位：kg)與身高x(單位：cm)具有線性相關(guān)關(guān)系，根據(jù)一組樣本數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，n)，用最小二乘法建立的回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85x－85.71，則下列結(jié)論中不正確的是()A．y與x具有正的線性相關(guān)關(guān)系B．回歸直線過樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))C．若該大學(xué)某女生身高增加1cm，則其體重約增加0.85kgD．若該大學(xué)某女生身高為170cm，則可斷定其體重必為58.79kg解析：選D.當(dāng)x＝170時，eq\o(y,\s\up6(^))＝0.85×170－85.71＝58.79，體重的估計值為58.79kg，故D不正確．6．已知一個回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝1.5x＋45，x∈{1，7，5，13，19}，則eq\x\to(y)＝________．解析：因?yàn)閑q\x\to(x)＝eq\f(1,5)(1＋7＋5＋13＋19)＝9，且回歸直線過樣本中心點(diǎn)(x，y)，所以eq\x\to(y)＝1.5×9＋45＝58.5.答案：58.57．對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量x和y，測得一組數(shù)據(jù)如下表，若已求得它們回歸直線的斜率為6.5，則這條回歸直線的方程為________.x24568y3040605070解析：設(shè)回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，則eq\o(b,\s\up6(^))＝6.5，易知eq\x\to(y)＝50，eq\x\to(x)＝5，所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to(x)＝50－32.5＝17.5，即回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.5.答案：eq\o(y,\s\up6(^))＝6.5x＋17.58．對某臺機(jī)器購置后的運(yùn)營年限x(x＝1，2，3，…)與當(dāng)年利潤y的統(tǒng)計分析知具備線性相關(guān)關(guān)系，線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝10.47－1.3x，估計該臺機(jī)器使用________年最合算．解析：只要預(yù)計利潤不為負(fù)數(shù)，使用該機(jī)器就算合算，即eq\o(y,\s\up6(^))≥0，所以10.47－1.3x≥0，解得x≤8.05，所以該臺機(jī)器使用8年最合算．答案：89．某工廠為了對新研發(fā)的一種產(chǎn)品進(jìn)行合理定價，將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到如下數(shù)據(jù)：單價x(元)88.28.48.68.89銷量y(件)908483807568(1)求回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，其中eq\o(b,\s\up6(^))＝－20，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))；(2)預(yù)計在今后的銷售中，銷量與單價仍然服從(1)中的關(guān)系，且該產(chǎn)品的成本是4元/件，為使工廠獲得最大利潤，該產(chǎn)品的單價應(yīng)定為多少元？(利潤＝銷售收入－成本)解：(1)由于eq\o(x,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(8＋8.2＋8.4＋8.6＋8.8＋9)＝8.5，eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,6)(90＋84＋83＋80＋75＋68)＝80.所以eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－))＝80＋20×8.5＝250，從而回歸直線方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝－20x＋250.(2)設(shè)工廠獲得的利潤為L元，依題意得L＝x(－20x＋250)－4(－20x＋250)＝－20x2＋330x－1000＝－20(x－eq\f(33,4))2＋361.25.當(dāng)且僅當(dāng)x＝8.25時，L取得最大值．故當(dāng)單價定為8.25元時，工廠可獲得最大利潤．10．(2013·高考重慶卷)從某居民區(qū)隨機(jī)抽取10個家庭，獲得第i個家庭的月收入xi(單位：千元)與月儲蓄yi(單位：千元)的數(shù)據(jù)資料，算得eq\i\su(i＝1,10,yi)=80，eq\i\su(i＝1,10,yi)=20,eq\i\su(i＝1,10,xiyi)=184，eq\i\su(i＝1,10,xi2)=720.（1）求家庭的月儲蓄y對月收入x的線性回歸方程y＝bx＋a；（2）判斷變量x與y之間是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)；（3）若該居民區(qū)某家庭月收入為7千元，預(yù)測該家庭的月儲蓄.附：線性回歸方程y＝bx＋a中，b=eq\f(eq\i\su(i＝1,n,xiyi)-neq\o(x,\s\up6(-))eq\o(y,\s\up6(-)),eq\i\su(i＝1,n,x\o\al(2,i))-neq\o(x,\s\up6(-))\s\up6(2))a=eq\o(y,\s\up6(－))－beq\o(x,\s\up6(－))，其中為eq\o(x,\s\up6(－)),eq\o(y,\s\up6(－))樣本的平均值，線性回歸方程也可寫為eq\o(y,\s\up6(^))=eq\o(b,\s\up6(^))x+eq\o(a,\s\up6(^))解：（1）由題意知n=10,eq\o(x,\s\up6(－))=eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,x)i＝eq\f(80,10)＝8,eq\o(y,\s\up6(－))＝eq\f(1,n)eq\i\su(i＝1,n,y)i＝eq\f(20,10)＝2，又eq\i\su(i＝1,n,x\o\al(2,i))-neq\o(x,\s\up9(-)\s\up6(2))=720-10×82=80,eq\i\su(i＝1,n,xiyi)-neq\o(x,\s\up9(-))eq\o(y,\s\up9(-))＝184－10×8×2＝24，由此得b＝eq\f(24,80)＝0.3，a＝eq\o(y,\s\up9(-)),－beq\o(x,\s\up9(-)),＝2－0.3×8＝－0.4，故所求線性回歸方程為y＝0.3x－0.4.(2)由于變量y的值隨x值的增加而增加(b＝0.3>0)，故x與y之間是正相關(guān)．(3)將x＝7代入回歸方程可以預(yù)測該家庭的月儲蓄為y＝0.3×7－0.4＝1.7(千元)．[B.能力提升]1．回歸直線方程的系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))是最小二乘法估計中使函數(shù)Q(eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)))取得最小函數(shù)值時所滿足的條件，其中Q(eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)))的表達(dá)式是()A.eq\i\su(i＝1,n,(yi－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xi)2）) B.eq\i\su(i＝1,n,|yi－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xi|2）)C.(yi－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xi)2 D.|yi－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xi|解析：選A.用最小二乘法確定兩變量之間的線性回歸方程的思想，即求eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))使n個樣本點(diǎn)（xi，yi）（i＝1，2，…，n）與直線y＝eq\o(a,\s\up6(^))+eq\o(b,\s\up6(^))x的“距離”的平方和最小，即使得Q(eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^)))=(y1－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))x1)2+(y2－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))x2)2+…+(yn－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xn)2=eq\i\su(i＝1,n,(yi－eq\o(a,\s\up6(^))－eq\o(b,\s\up6(^))xi)2）)達(dá)到最小，故選A.2．對于兩個變量的散點(diǎn)圖：①若所有點(diǎn)都落在某一函數(shù)曲線上，則變量之間具有函數(shù)關(guān)系；②若所有點(diǎn)都落在某一曲線附近，則變量之間具有相關(guān)關(guān)系；③若所有點(diǎn)都落在某一直線附近，則變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系；④若所有點(diǎn)都雜亂無章，則變量之間不具有相關(guān)關(guān)系．其中正確的是()A．①② B．①②③C．①②④ D．①②③④解析：選D.①②③④四個說法全部正確．3．(2015·江西重點(diǎn)中學(xué)盟校聯(lián)考)某車間為了規(guī)定工時定額，需要確定加工零件所花費(fèi)的時間，為此進(jìn)行了5次試驗(yàn)．根據(jù)收集到的數(shù)據(jù)(如下表)，由最小二乘法求得回歸方程eq\o(y,\s\up6(^))＝0.67x＋54.9.零件數(shù)x(個)1020304050加工時間y(min)62758189現(xiàn)發(fā)現(xiàn)表中有一個數(shù)據(jù)看不清，請你推斷該數(shù)據(jù)的值為________．解析：由已知可計算求出eq\o(x,\s\up9(-))＝30，而回歸直線方程必過點(diǎn)(eq\o(x,\s\up9(-))，eq\o(y,\s\up6(－)))，則eq\o(y,\s\up6(－))＝0.67×30＋54.9＝75，設(shè)模糊數(shù)字為a，則eq\f(a＋62＋75＋81＋89,5)＝75，計算得a＝68.答案：684．近年來，我國高等教育事業(yè)有了迅速發(fā)展，為了解某省從2000年到2014年18歲到24歲的青年人每年考入大學(xué)的人數(shù)，我們把農(nóng)村、縣鎮(zhèn)和城市分別標(biāo)記為一組、二組、三組分開統(tǒng)計．為了便于計算，把2000年編號為1，2001年編號為2，…，2014年編號為15，如果把年份從1到15作為自變量進(jìn)行回歸分析，可得三個回歸方程：農(nóng)村：eq\o(y,\s\up6(^))＝0.42x＋1.80；縣鎮(zhèn)：eq\o(y,\s\up6(^))＝2.32x＋6.72；城市：eq\o(y,\s\up6(^))＝2.84x＋9.50(y的單位是萬)．則下列說法中正確的是________．(把你認(rèn)為正確說法的序號填上)①三個組的兩個變量都是正相關(guān)關(guān)系；②對于縣鎮(zhèn)組而言，每年考入大學(xué)的人數(shù)約是上一年的2.32倍；③在這一階段，城市組的大學(xué)入學(xué)人數(shù)增長最快；④0.42表示農(nóng)村青年考入大學(xué)的人數(shù)以每年約4200人遞增．解析：①由于三個組的線性回歸方程中x的系數(shù)均為正數(shù)，故三個組的兩個變量都是正相關(guān)關(guān)系，故①正確；②中縣鎮(zhèn)組的線性回歸直線方程eq\o(y,\s\up6(^))＝2.32x＋6.72的意義是縣鎮(zhèn)考入大學(xué)的人數(shù)每年大約比上一年增加23200人，故②不正確，由此可推知④正確；由于三個組的線性回歸方程中，城市組所對應(yīng)的方程的x的系數(shù)最大，表示城市組入學(xué)人數(shù)增加得最快，故③正確．答案：①③④5．現(xiàn)對x，y有如下觀測數(shù)據(jù)：x1825303941424952y356788910(1)作出散點(diǎn)圖；(2)試求y對x的線性回歸方程．解：(1)散點(diǎn)圖如下：(2)可求得x＝37，y＝7，eq\i\su(i＝1,8,x\o\al(2,i))=11920，eq\i\su(i＝1,8,x\o\al(,i))yi＝2257.設(shè)線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(a,\s\up6(^))＋eq\o(b,\s\up6(^))x，則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(eq\i\su(i＝1,8,xiyi)-8eq\o(x,\s\up6(-))eq\o(y,\s\up6(-)),eq\i\su(i＝1,8,x\o\al(2,i))-8eq\o(x,\s\up6(-))\s\up6(2))＝eq\f(2257－8×37×7,11920－8×372)＝eq\f(185,968)≈0.19，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,