列主元高斯消去法和列主元三角分解法解線性方程

計(jì)算方法實(shí)驗(yàn)報(bào)告1【課題名稱】用列主元高斯消去法和列主元三角分解法解線性方程【目的和意義】高斯消去法是一個(gè)古老的求解線性方程組的方法，但由它改進(jìn)得到的選主元的高斯消去法則是目前計(jì)算機(jī)上常用的解低階稠密矩陣方程組的有效方法。用高斯消去法解線性方程組的基本思想時(shí)用矩陣行的初等變換將系數(shù)矩陣A約化為具有簡(jiǎn)單形式的矩陣（上三角矩陣、單位矩陣等），而三角形方程組則可以直接回帶求解用高斯消去法解線性方程組（其中A∈Rn×n）的計(jì)算量為：乘除法運(yùn)算步驟為，加減運(yùn)算步驟為。相比之下，傳統(tǒng)的克萊姆法則則較為繁瑣，如求解20階線性方程組，克萊姆法則大約要次乘法，而用高斯消去法只需要3060次乘除法。在高斯消去法運(yùn)算的過(guò)程中，如果出現(xiàn)abs(A(i,i))等于零或過(guò)小的情況，則會(huì)導(dǎo)致矩陣元素?cái)?shù)量級(jí)嚴(yán)重增長(zhǎng)和舍入誤差的擴(kuò)散，使得最后的計(jì)算結(jié)果不可靠，所以目前計(jì)算機(jī)上常用的解低階稠密矩陣方程的快速有效的方法時(shí)列主元高斯消去法，從而使計(jì)算結(jié)果更加精確。2、列主元三角分解法高斯消去法的消去過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是將A分解為兩個(gè)三角矩陣的乘積A=LU，并求解Ly=b的過(guò)程?；貛н^(guò)程就是求解上三角方程組Ux=y。所以在實(shí)際的運(yùn)算中，矩陣L和U可以直接計(jì)算出，而不需要任何中間步驟，從而在計(jì)算過(guò)程中將高斯消去法的步驟進(jìn)行了進(jìn)一步的簡(jiǎn)略，大大提高了運(yùn)算速度，這就是三角分解法采用選主元的方式與列主元高斯消去法一樣，也是為了避免除數(shù)過(guò)小，從而保證了計(jì)算的精確度【計(jì)算公式】列主元高斯消去法設(shè)有線性方程組Ax=b，其中設(shè)A為非奇異矩陣。方程組的增廣矩陣為第1步（k=1）：首先在A的第一列中選取絕對(duì)值最大的元素，作為第一步的主元素:然后交換（A，b）的第1行與第l行元素，再進(jìn)行消元計(jì)算。設(shè)列主元素消去法已經(jīng)完成第1步到第k-1步的按列選主元，交換兩行，消元計(jì)算得到與原方程組等價(jià)的方程組A(k)x=b(k)第k步計(jì)算如下：對(duì)于k=1，2，…，n-1（1）按列選主元：即確定t使（2）如果t≠k，則交換[A，b]第t行與第k行元素。（3）消元計(jì)算消元乘數(shù)mik滿足:（4）回代求解列主元三角分解法對(duì)方程組的增廣矩陣經(jīng)過(guò)k-1步分解后，可變成如下形式：clearx;disp('AX=b的解x是')x=b;【調(diào)用函數(shù)解題】【列主元三角分解法Matlab主程序】clear;augm=input('Pleaseinputtheaugumentalmatric:');[n,t]=size(augm);fori=1:n%d控制列三角主元的層數(shù)b=augm(i,:);p=i;%4到10行是選列主元并交換forw=i+1:nifb(1,1)<=augm(w,i)b=augm(w,:);p=w;endendc=augm(i,:);augm(i,:)=b;augm(p,:)=c;ifp~=i%只有發(fā)生了換行才將這種效果輸出augm,endforj=i:t%首先變換與augm（i,i）同一行的元素，其列指標(biāo)從i到ts=0;fork=1:i-1s=s+augm(i,k)*augm(k,j);endaugm(i,j)=(augm(i,j)-s);endforI=i+1:n%再變換與augm（i,i）同一列的元素，其行指標(biāo)I從i+1到n,列數(shù)為is=0;fork=1:i-1%下三角部分列數(shù)與第i層一致s=s+augm(I,k)*augm(k,i);endaugm(I,i)=(augm(I,i)-s)/augm(i,i);endaugm,endx(n)=augm(n,t)/augm(n,n);%回代fori=n-1:-1:1s=0;forj=n:-1:i+1s=s+x(j)*augm(i,j);endx(i)=(augm(i,t)-s)/augm(i,i),end【調(diào)用函數(shù)解題】輸入[Ab]可以清晰地看到augm（A）的變化過(guò)程：結(jié)果輸出：【列主元三角分解法程序流程圖】【編程疑難】這是第一次用matlab編程，對(duì)matlab的語(yǔ)句還不是非常熟悉，因此在編程過(guò)程中，出現(xiàn)了許多錯(cuò)誤提示。并且此次編程的兩種方法對(duì)矩陣的運(yùn)算也比較復(fù)雜。問(wèn)題主要集中在循環(huán)控制中，循環(huán)次數(shù)多了一次或者缺少了