歷年考研數(shù)學(xué)一真題及答案2000

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2000年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(一)試卷

一、填空題(此題共5小題,每題3分,總分值15分.把答案填在題中橫線上)

(1)?102x?x2dx=_____________.

(2)曲面x2?2y2?3z2?21在點(1,?2,?2)的法線方程為_____________.

(3)微分方程xy???3y??0的通解為_____________.

?121??x1??1(4)已知方程組??23a?2???x???3?無解,則a=??2???2????1a???x3????0??_____________.

(5)設(shè)兩個相互獨立的事件A和B都不發(fā)生的概率為

19,A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相等,則P(A)=_____________.

二、選擇題(此題共5小題,每題3分,總分值15分.每題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)

f(x)、

g(x)是恒大于零的可導(dǎo)函數(shù),且

f?(x)g(x)?f(x)g?(x)?0,則當(dāng)a?x?b時,有

(A)f(x)g(b)?f(b)g(x)(B)f(x)g(a)?f(a)g(x)(C)f(x)g(x)?f(b)g(b)

(D)f(x)g(x)?f(a)g(a)

(2)設(shè)S:x2?y2?z2?a2(z?0),S1為S在第一卦限中的部分,則有

(A)??xdS?4S??xdS

S1(B)??ydS?4??xdS

SS1(C)??zdS?4??xdS

SS1(D)??xyzdS?4??xyzdS

SS1(3)設(shè)級數(shù)??un收斂,則必收斂的級數(shù)為

n?1(A)???(?1)nun(B)?u2n

n?1nn?1(C)??(u2n?1?u2n)

n?1(D)??(un?un?1)

n?1(4)設(shè)n維列向量組α1,?,αm(m?n)線性無關(guān),則n維列向量組β1,?,βm線性無關(guān)的充分必要條件為

(A)向量組α1,?,αm可由向量組β1,?,βm線性表示(B)向量組β1,?,βm可由向量組α1,?,αm線性表示(C)向量組α1,?,αm與向量組β1,?,βm等價(D)矩陣A?(α1,?,αm)與矩陣B?(β1,?,βm)等價(5)設(shè)二維隨機變量(X,Y)聽從二維正態(tài)分布,則隨機變量??X?Y與??X?Y不相關(guān)的充分必要條件為(A)E(X)?E(Y)(B)E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2(C)E(X2)?E(Y2)(D)E(X2)?[E(X)]2?E(Y2)?[E(Y)]2

三、(此題總分值6分)

1求lim(2?exsinxx??4?1?exx).

四、(此題總分值5分)設(shè)z?f(xy,xxy)?g(y),其中f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),g具

有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù),求?2z?x?y.

五、(此題總分值6分)計算曲線積分I???xdy?ydxL4x2?y2,其中L是以點(1,0)為中

心,R為半徑的圓周(R?1),取逆時針方向.

六、(此題總分值7分)

設(shè)對于半空間x?0內(nèi)任意的光滑有向封閉曲面S,都

有???xf(x)dydz?xyf(x)dzdx?e2xzdxdy?0,其中函數(shù)

f(x)在

S(0,??)內(nèi)具有連續(xù)的一階導(dǎo)數(shù),且limx?0?f(x)?1,求f(x).

七、(此題總分值6分)

求冪級數(shù)??1xn3n?(?2)n的收斂區(qū)間,并探討該區(qū)間端n?1n點處的收斂性.

八、(此題總分值7分)

設(shè)有一半徑為R的球體,P0是此球的表面上的一個定點,球體上任一點的密度與該點到P0距離的平方成正比(比例常數(shù)k?0),求球體的重心位置.

九、(此題總分值6分)設(shè)

函

數(shù)

f(x)在[0,?]上連續(xù),且

???0f(x)dx?0,?0f(x)cosxdx?0.試證:在(0,?)內(nèi)至少存在兩

個不同的點?1,?2,使f(?1)?f(?2)?0.

十、(此題總分值6分)

??1000?000?設(shè)矩陣

A的伴隨矩陣A*??1??1010??,且

?0?308??ABA?1?BA?1?3E,其中E為4階單位矩陣,求矩陣B.

十一、(此題總分值8分)

某適應(yīng)性生產(chǎn)線每年1月份進行熟練工與非熟練工

的人數(shù)統(tǒng)計,然后將16熟練工支援其他生產(chǎn)部門,其缺額

由招收新的非熟練工補齊.新、老非熟練工經(jīng)過培訓(xùn)及實踐至年終考核有25成為熟練工.設(shè)第n年1月份統(tǒng)計的

熟練工與非熟練工所占百分比分別為xn和yn,記成向量

??xn??y?.n?(1)求??xn?1??x?y?與?n?的關(guān)系式并寫成矩陣形

?n?1??yn?式:??xn?1???y??A?xn??.

n?1??yn?(2)驗證η?4???1?1???1??,η2???1??是A的兩個線性無關(guān)的特征

向量,并求出相應(yīng)的特征值.

?1?(3)當(dāng)??x1?????2??時,求?x??y?n?11???1??y?.

n?1??2??

十二、(此題總分值8分)

某流水線上每個產(chǎn)品不合格的概率為p(0?p?1),各產(chǎn)品合格與否相對獨立,當(dāng)出現(xiàn)1個不合格產(chǎn)品時即停機檢修.設(shè)開機后第1次停機時已生產(chǎn)了的產(chǎn)品個數(shù)為

X,求X的數(shù)學(xué)期望E(X)和方差D(X).

十三、(此題總分值6分)設(shè)某種元件的使用壽命

X的概率密度為

?2e?2(x??)x??f(x;?)??x???0,其中

??0為未知參數(shù).又設(shè)

x1,x2,?,xn是X的一組樣本觀測值,求參數(shù)?的最大似然估

計值.

2023年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(一)試卷

一、填空題(此題共5小題,每題3分,總分值15分.

把答案填在題中橫線上)

(1)設(shè)y?ex(asinx?bcosx)(a,b為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解,則該方程為_____________.(2)

r?x2?y2?z2,

則

div(gradr)(1,?2,2)=

_____________.

(3)交換二次積分的積分次序:?01?y?1dy?2f(x,y)dx＝_____________.(4)設(shè)A2?A?4E?O,則(A?2E)?1=_____________.

(5)

D(X)?2,則根據(jù)車貝曉夫不等式有估計

P{X?E(X)?2}?_____________.

二、選擇題(此題共5小題,每題3分,總分值15分.

每題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))(1)設(shè)函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)可導(dǎo),y?f(x)的圖形如右

圖所示,則y?f?(x)的圖形為

(A)

(B)

(C)

(y>0)內(nèi)的有向分段光滑曲線,起點為(a,b),終點為(c,d).記I??12y[1?yf(xy)]dx?xy2[y2f(xy)?1]dy,(1)證明曲線積分I與路徑L無關(guān).(2)當(dāng)ab?cd時,求I的值.

七、(此題總分值7分)

(1)驗證函數(shù)?y(x)??x3n(3n)!(???x???)滿足微分方

n?0程y???y??y?ex.

(2)求冪級數(shù)?x3ny(x)??的和函數(shù).

n?0(3n)!

八、(此題總分值7分)

設(shè)有一小山,取它的底面所在的平面為xoy面,其底部所占的區(qū)域為D?{(x,y)|x2?y2?xy?75},小山的高度函數(shù)為h(x,y)?75?x2?y2?xy.

(1)設(shè)M(x0,y0)為區(qū)域D上一點,問h(x,y)在該點沿平

面上何方向的方向?qū)?shù)最大?若此方向的方向?qū)?shù)為

g(x0,y0),寫出g(x0,y0)的表達式.

(2)現(xiàn)欲利用此小山開展攀巖活動,為此需要在山腳下尋覓一山坡最大的點作為攀登的起點.也就是說要在

D的邊界限上找出訪(1)中g(shù)(x,y)達到最大值的點.試確

定攀登起點的位置.

九、(此題總分值6分)

已知四階方陣A?(α1,α2,α3,α4),α1,α2,α3,α4均為四維列向量,其中α2,α3,α4線性無關(guān),α1?2α2?α3.若

β?α1?α2?α3?α4,求線性方程組Ax?β的通解.

十、(此題總分值8分)設(shè)A,B為同階方陣,

(1)若A,B相像,證明A,B的特征多項式相等.(2)舉一個二階方陣的例子說明(1)的逆命題不成立.

(3)當(dāng)A,B為實對稱矩陣時,證明(1)的逆命題成立.

十一、(此題總分值7分)設(shè)維隨機變量X的概率密度為

1f(x)?2cosx20?x?x對X獨立地重復(fù)觀測4次,用Y表示觀測值大于?0其它3的次數(shù),

求Y2的數(shù)學(xué)期望.

十二、(此題總分值7分)

設(shè)總體X的概率分布為

X0123P?22?(1??)?21?2?其中?(0???12)是未知參數(shù),利用總體X的如下樣本值3,1,3,0,3,1,2,3.

求?的矩估計和最大似然估計值.

2023年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試

數(shù)學(xué)(一)試卷

一、填空題(此題共6小題,每題4分,總分值24分.把答案填在題中橫線上)

1(1)lim(cosx)ln(1?x2)x?0=.(2)曲面z?x2?y2與平面2x?4y?z?0平行的切平面的方程是.(3)設(shè)x2???ancosnx(???x??),則a2=.

n?0(4)從R2的基α?1?1???0??,α2???1???1??到基β1???1??1??,β2???1??2??的過渡矩陣為.(5)設(shè)二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)?

6x0?x?y?10

其它,則

P{X?Y?1}?.(6)已知一批零件的長度X(單位:cm)聽從正態(tài)分布N(?,1),從中隨機地抽取16個

零件,得到長度的平均值為40(cm),則?的置信度為0.95的置信區(qū)間是.(注:標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)值?(1.96)?0.975,?(1.645)?0.95.)

二、選擇題(此題共6小題,每題4分,總分值24分.每題給出的四個選項中,只有一個符合題目要求,把所選項前的字母填在題后的括號內(nèi))

(1)設(shè)函數(shù)f(x)在(??,??)內(nèi)連續(xù),其導(dǎo)函數(shù)的圖形如圖

所示,則f(x)有

(A)一個微小值點和兩個極大值點

(B)兩個微小值點和一個極大值點(C)兩個微小值點和兩個極大值點(D)三個微小值點和一個極大值點

(2)設(shè){an},{bn},{cn}均為非負數(shù)列,且limn??an?0,limn??bn?1,limn??cn??,則必有(A)an?bn對任意n成立(B)bn?cn對任意n成立

(C)極限limn??ancn不存在(D)極限limn??bncn不存在(3)已知函數(shù)f(x,y)在點(0,0)的某個鄰域內(nèi)連續(xù),且f(x,y)?xyx?lim0,y?0(x2?y2)2?1,則

(A)點(0,0)不是f(x,y)的極值點(B)點(0,0)是f(x,y)的極大值點(C)點(0,0)是f(x,y)的微小值點

(D)根據(jù)所給條件無法判斷點(0,0)是否為f(x,y)的極值點(4)設(shè)向量組I:α1,α2,?,αr可由向量組II:β1,β2,?,βs線性表示,則

(A)當(dāng)r?s時,向量組II必線性相關(guān)(B)當(dāng)r?s時,向量組II必線性相

關(guān)

(C)當(dāng)r?s時,向量組I必線性相關(guān)(D)當(dāng)r?s時,向量組I必線性相

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關(guān)

(5)設(shè)有齊次線性方程組Ax?0和Bx?0,其中A,B均為m?n矩陣,現(xiàn)有4個命題:①若Ax?0的解均是Bx?0的解,則秩(A)?秩(B)②若秩(A)?秩(B),則Ax?0的解均是Bx?0的解③若Ax?0與Bx?0同解,則秩(A)?秩(B)④若秩(A)?秩(B),則Ax?0與Bx?0同解以上命題中正確的是

(A)①②(B)①③(C)②④(D)③④(6)設(shè)隨機變量X~t(n)(n?1),Y?1X2,則(A)Y~?2(n)(B)Y~?2(n?1)(C)Y~F(n,1)(D)Y~F(1,n)

三、(此題總分值10分)

過坐標(biāo)原點作曲線y?lnx的切線,該切線與曲線y?lnx及x軸圍成平面圖形D.

(1)求D的面積A.

(2)求D繞直線x?e旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積V.

四、(此題總分值12分)

將函數(shù)f(x)?arctan1?2x?(?1)n1?2x展開成x的冪級數(shù),并求級數(shù)?n?02n?1的和.

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五、(此題總分值10分)

已知平面區(qū)域D?{(