2023屆高三沖刺卷（二）全國卷-理科數(shù)學(xué)試題及參考答案

屆高三沖刺卷（二）全國卷理科數(shù)學(xué)試題注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考場號、座位號、準考證號填寫在答題卡上．2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上．寫在本試卷上無效．3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回．考試時間為120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，，則（）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則（）A．2 B． C．4 D．3．塔因為年代久遠，塔身容易傾斜，在下方右圖中，AB表示塔身，塔身AB的長度就是塔的高度，塔身與鉛垂線AC的夾角為傾斜角，塔頂?shù)姐U垂線的距離BC為偏移距離，現(xiàn)有兩個塔高相同的斜塔，它們的傾斜角的正弦值分別為，，兩座塔的偏移距離差的絕對值為3.1米，則兩座塔的塔頂?shù)降孛娴木嚯x差的絕對值為（）A．1.2米 B．0.6米 C．1米 D．0.8米4．等差數(shù)列中，首項和公差都是正數(shù)，且，，成等差數(shù)列，則數(shù)列，，的公差為（）A． B． C． D．5．甲、乙兩所學(xué)校有同樣多的學(xué)生參加數(shù)學(xué)能力測驗，兩所學(xué)校學(xué)生測驗的成績分布都接近于正態(tài)分布，其中甲校學(xué)生的平均分數(shù)為105分，標準差為10分；乙校學(xué)生的平均分數(shù)為115分，標準差為5分．若用粗線表示甲校學(xué)生成績分布曲線，細線表示乙校學(xué)生成績分布曲線，則下列哪一組分布曲線較為合理？（）A．B．C．D．6．已知m，n表示空間內(nèi)兩條不同的直線，則使成立的必要不充分條件是（）A．存在平面，有， B．存在平面，有，C．存在直線，有， D．存在直線，有，7．的展開式中的系數(shù)是（）A．9 B．－9 C．10 D．－108．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，以，為直徑的圓依次交雙曲線于A，B，C，D四點，直線交雙曲線于點C，E，且，則雙曲線的離心率為（）A．3 B． C． D．9．已知函數(shù)是在區(qū)間上的單調(diào)減函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，且，則的最小值為（）A．2 B．12 C．4 D．810．已知拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于A，B兩點，若，則（）A．12 B．13 C．15 D．1611．已知正方體的棱長為2，P，Q分別是的中點，則經(jīng)過點，Q，C，D，C1的球的表面積為（）A． B． C． D．12．若實數(shù)a，b，，且滿足，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A．c>b>a B．b>a>c C．a(chǎn)>b>c D．b>c>a二、填空題：本題共4小題，毎小題5分，共20分．13．已知向量，，與共線，則______．14．已知函數(shù)，則函數(shù)的最小值為______．15．小明準備在陽臺種植玫瑰、百合、牡丹和蘭花4種盆栽，共種8盆，并且每種花至少種1盆，則玫瑰花恰好種3盆的概率是______．16．已知函數(shù)，對任意，都有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．17．（12分）已知是斜三角形，角A，B，C滿足．（1）求證：；（2）若角A，B，C的對邊分別是邊a，b，c，求的最小值，并求此時的各個內(nèi)角的大小．18．（12分）下面兩個圖分別是2016年－2020年中國家庭平均每百戶汽車擁有量和居民人均可支配年收入柱狀圖，為了分析居民家庭平均每百戶汽車的擁有量與居民人均可支配全年總收入的關(guān)系，根據(jù)這兩個圖，繪制每百戶汽車擁有量y（單位：輛）與人均可支配收入x（單位：萬元）的散點圖．xy2.8232.560.465.27附：線性回歸模型中，，．（1）由其散點圖可以看出，可以用線性回歸模型擬合每百戶擁有汽車量關(guān)于人均可支配收入的關(guān)系，請建立關(guān)于的回歸方程；（2）如果從2020年開始，以后每年人均可支配年收入以6%的速度增長，當(dāng)每百戶汽車擁有量達到50輛時，求每百戶汽車擁有量平均每年至少增長的速度．（附：，，，，，，，．）19．（12分）四棱錐中，面，，底面ABCD中，，，．（1）若點在線段BC上，試確定的位置，使面面ABCD，并給出證明；（2）求二面角A－EB－C的余弦值．20．（12分）已知函數(shù)，，其中．（1）分別求函數(shù)和的極值；（2）討論函數(shù)的零點個數(shù)．21．（12分）已知橢圓的上頂點為，右焦點為，點滿足．（1）證明：點在橢圓上；（2）若直線與橢圓有兩個不同的交點P、Q，O是坐標原點，求面積的最大值．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22．【選修4－4：坐標系與參數(shù)方程】（10分）在直角坐標系xOy中，直線的直角坐標方程為，曲線的直角坐標方程為，以坐標原點為極點，軸非負半軸為極軸建立極坐標系．（1）求直線和曲線的極坐標方程；（2）設(shè)直線交曲線于兩點A，B，求的大?。?3．【選修4－5：不等式選講】（10分）已知函數(shù)．（1）求不等式的解集；（2）若函數(shù)f（x）的最小值為m，且a+b+c=m，求的最小值．2023屆高三沖刺卷（二）全國卷理科數(shù)學(xué)參考答案及評分意見1．A【解析】，，．故選A．2．B【解析】由，得，，，．故選B．3．D【解析】塔的偏移距離，設(shè)兩座塔的塔高為，則根據(jù)傾斜角的正弦值分別為，，得兩座塔的偏移距離差的絕對值為，即，，塔頂?shù)降孛娴木嚯x，根據(jù)傾斜角的正弦值分別為，，得傾斜角的余弦值分別為，，座塔的塔頂?shù)降孛娴木嚯x差的絕對值為．故選D．4．C【解析】由，，差數(shù)列，得，，又，，所以，，，，，的公差為．故選C．5．A【解析】由于甲校的學(xué)生成績平均分低于乙校的學(xué)生成績平均分，所以甲校的學(xué)生成績正態(tài)曲線的對稱軸比乙校的學(xué)生成績的正態(tài)曲線的對稱軸靠左；由于甲校的學(xué)生成績的標準差大于乙校的學(xué)生成績的標準差，所以甲校的學(xué)生成績的正態(tài)曲線要“矮胖”些，乙校的學(xué)生成績的正態(tài)曲線要“瘦高”些．故選A．6．A【解析】若，，則直線m，n可以平行，也可以相交，還可以異面；若，則存在平面，有，，故A正確；若，，則，即垂直于同一平面的兩條直線平行；若，則存在平面，有，，故B錯誤；若，，則直線；若，則不存在直線，有，，故C錯誤；若，，則，即平行于同一直線的兩直線平行，若，則存在直線，有，，故D錯誤．故選A．7．B【解析】由于，所以的展開式中的系數(shù)是展開式中的系數(shù)和的系數(shù)和，的展開式中第項為，分別令和，得到的展開式中的系數(shù)和的系數(shù)，因此的展開式中的系數(shù)是．故選B．8．C【解析】如圖所示，設(shè)，則，連接，，則由雙曲線的定義，得，，由于點在以為直徑的圓上，所以，在直角三角形中，，即，得，在直角三角形中，，即，，離心率．故選C．9．C【解析】因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以，，所以，，根據(jù)，則，，因為是在區(qū)間上的單調(diào)減函數(shù)．所以，，因為，所以或，當(dāng)時，，當(dāng)時，；由于，是在區(qū)間上的單調(diào)減函數(shù)，且，所以，所以，，，，，，，．根據(jù)或，可得，或，所以的最小值為4．故選C．10．B【解析】拋物線的焦點為，設(shè)，．當(dāng)直線的斜率不存在時，直線的方程為，代入，得，，，，，，與矛盾．當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)直線的方程為，代入，得，則，，由拋物線的定義知，，，于是，所以，．故選B．11．D【解析】根據(jù)正方體，得，，所以平面，四邊形是矩形，其中，，的三邊為，，，，設(shè)的外接圓半徑為，則，于是，設(shè)矩形的外接圓半徑為，則，設(shè)球心為，過作平面，垂足為，過作平面，垂足為，則是矩形的外心，是三角形的外心，取中點，則，于是平面，所以四邊形是矩形．設(shè)球半徑為，解法一：，則，于是球的表面積為．故選D．解法二：，，，于是球的表面積為．故選D．12．B【解析】由，，，得，，，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，于是，即，又b，，所以；，因為，所以，，，因此，于是，又a，，所以；令，則，所以在上是增函數(shù)，，，即，，，于是，又a，，所以；綜上．故選．13．2【解析】由，，得，，因為與共線，所以，．14．【解析】函數(shù)的定義域為，當(dāng)時，，，在上是減函數(shù)，當(dāng)時，，，在上是增函數(shù)，因此當(dāng)時，有最小值．15．【解析】首先每種花各買1盆，然后再從4種花中任選4盆，可能1種花選4盆，有種；可能2種花中，1種花選1盆，另1種花選3盆或者每種花各選2盆，有種；可能3種花中，1種花選2盆另外2種花各選1盆，有種；可能4種花各1盆，有種，于是共有種．若玫瑰花恰好種3盆，則在百合、牡丹和蘭花中各選1盆后，再選2分，共有種，因此所求概率為．16．【解析】，對任意，都有恒成立，即，化簡得，令，于是對任意，有，，令，則．當(dāng)時，，所以在上是增函數(shù)，于是，即，所以在上是增函數(shù)，于是，符合題意．當(dāng)時，觀察易知在上是增函數(shù)，于是．若，則，所以在上是增函數(shù)，，即，所以在，上是增函數(shù)，，符合題意．若，令，則當(dāng)時，，在上是增函數(shù)，所以，即，，又，在上是增函數(shù)，所以存在，使得，當(dāng)時，，即在上是減函數(shù)，當(dāng)時，，即，所以在上是減函數(shù)，，這與矛盾．故實數(shù)的取值范圍是17．（1）證明：法一：由得，所以，所以．因為是斜三角形，所以，所以，所以，所以，又，所以．法二：由，得，所以，所以，所以2cos（A+B）cosB－2sinBcosB=0，因為是斜三角形，所以，所以，又，所以．（2）解：在中，有，由（1）知，所以，于是角為鈍角，角為銳角，根據(jù)，所以．由正弦定理，得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時等號成立，又角為鈍角，所以時，等號成立，由，得，由，得，因此的最小值為3，此時三角形的各個內(nèi)角為，，．18．解：（1），，y關(guān)于x的回歸方程為．（2）當(dāng)時，，則根據(jù)2020年人均年可配收入為3.2189萬元，以及，和．可得2026年每百戶汽車擁有量可以達到50輛，從2020年起，設(shè)每百戶汽車擁有量平均每年的增長速度為，則，，，由于，所以，即每百戶汽車擁有量平均每年至少增長的速度為19．解：（1）當(dāng)點是的中點時，面面．證明如下：由點是的中點，得，又，，所以，，四邊形是平行四邊形．根據(jù)，得四邊形是矩形，故．因為面，面，所以，因為，，面，于是面，由于面，因此面面．（2）因為面面，面面，所以過點作于點，則面，以為軸，以過點所作的垂線為軸，為軸建立空間直角坐標系，如圖所示，設(shè)，則，因為面，所以，在Rt中，根據(jù)，，可得，，，，則，，，，，，．設(shè)面的法向量為，則，即令，則，，所以，設(shè)面的法向量為，則即令，則，，所以．，設(shè)二面角的大小為，易知，所以，因此二面角的余弦值為．20．解：（1），因為，由，得，由，得，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，有極大值，無極小值．，因為，由，得，由，得，所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，有極小值，無極大值．（2）函數(shù)的定義域為，，．當(dāng)時，，無零點；當(dāng)時，，令，得，令，得，所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，有最大值，若，即時，無零點；若，即時，只有一個零點；若，即時，，因為，所以，由（1）知，所以，根據(jù)在上是增函數(shù)，，且，所以在（0，1）上有唯一零點．由（1）知以及，于是有和，所以，又因為，，在上是減函數(shù)，所以在上有唯一零點．當(dāng)時，由（1）知，，于是，而，所以，無零點．因此或時，無零點，時，只有一個零點，時，有兩個零點．21．（1）證明：橢圓的上頂點，右焦點，，，，根據(jù)，得所以，，，所以橢圓的方程為，因為，所以點在橢圓上．（2）解：設(shè)，，把代入，得，，得，，，，點到直線的距離，所以的面積為，令，則，當(dāng)，即，時