廣東省佛山市重點中學2023屆高三4月一模數(shù)學試題及參考答案

佛山重點中學23屆高考模擬測試（一）數(shù)學考試范圍：高考內(nèi)容考試時間：2023年4月3日本試卷共4頁，22題，滿分150分，考試時間120分鐘。一、單選題（本大題共8小題，每題只有一個正確選項，共40分）1.已知集合，，且，則實數(shù)的所有值構(gòu)成的集合是（）A. B. C. D.2.設復數(shù)滿足，則（）A.0 B. C.2 D.3.已知，為鈍角，，則（）A.1 B. C.2 D.4.二十四節(jié)氣歌是為了方便記憶我國古時立法中的二十四個節(jié)氣而編成的小詩歌，體現(xiàn)著我國古代勞動人民的智慧.四句詩歌“春雨驚春淌谷天，夏滿芒夏暑相連；秋處露秋寒霜降，冬雪雪冬小大寒”中，每一句詩歌的開頭一字代表著季節(jié)，每一句詩歌包含了這個季節(jié)中的6個節(jié)氣.若從24個節(jié)氣中任選2個節(jié)氣，這2個節(jié)氣恰好在一個季節(jié)的概率為（）A. B. C. D.5.在中，設，那么動點的軌跡必通過的（）A.垂心 B.內(nèi)心 C.重心 D．外心6.設函數(shù)，，方程恰有5個實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.7.知，，，則（）A. B. C. D.8.已知雙曲線的右頂點為，左、右焦點分別為，，以為直徑的圓與的漸近線在第一象限的交點為，且，則該雙曲線的離心率為（）A. B. C.2 D.二、多選題（本大題共4小題，共20分。漏選得2分，錯選得0分）9.若，其中為實數(shù)，則（）A. B. C. D.10.如圖所示，從一個半徑為（單位：）的圓形紙板中切割出一塊中間是正方形，四周是四個正三角形的紙板，以此為表面（舍棄陰影部分）折疊成一個正四棱錐，則以下說法正確的是（）A.四棱錐體積是 B四棱錐外接球表面積是C.異面直線與所成角的大小60° D.二面角所成角的余弦值11.設和分別為數(shù)列和的前項和.已知，，則（）A.是等比數(shù)列 B.是遞增數(shù)列 C. D.12.設函數(shù)的定義域為，且滿足，，當時，，則下列說法正確的是（）A.是偶函數(shù) B.為奇函數(shù)C.函數(shù)有8個不同的零點 D.三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.如圖所示，在平行四邊形中，，垂足為，且，則________.14.若兩個正實數(shù)，滿足，且不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______.15如圖，已知橢圓的焦點為，點為橢圓上任意一點，過作的外角平分線的垂線，垂足為點，過點作軸的垂線，垂足為，若線段的中點為，則點的軌跡方程為_________________.16.已知函數(shù)，，函數(shù)的圖象在點和點的兩條切線互相垂直，且分別與軸交于，兩點，則的取值范圍是________.四、解答題（本大題共6小題，共70分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.中，分別是角的對邊，且有.（1）求角； （2）當，時，求的面積.18.已知數(shù)列的前項和為，數(shù)列為等差數(shù)列，且滿足，，（1）求數(shù)列和的通項公式；（2）若，，，求數(shù)列的前項和.19.如圖，在四棱錐中，已知，，，，，，為中點，為中點.（1）證明：平面平面；（2）若，求平面與平面所成夾角的余弦值.20.在新冠肺炎疫情肆虐之初，作為重要防控物資之一的口罩是醫(yī)務人員和人民群眾抗擊疫情的武器與保障。（1）在試產(chǎn)初期，某新型全自動高速口罩生產(chǎn)流水線有四道工序，前三道工序完成成品口罩的生產(chǎn)且互不影響，第四道是檢測工序，包括紅外線自動檢測與人工抽檢.已知批次Ⅰ的成品口罩生產(chǎn)中，前三道工序的次品率分別為，，.（2）①求批次Ⅰ成品口罩的次品率.②第四道工序中紅外線自動檢測為次品的口罩會被自動淘汰，合格的口罩進入流水線并由工人進行抽查檢驗.已知批次Ⅰ的成品口罩紅外線自動檢測顯示合格率為92%，求工人在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個口罩恰為合格品的概率（百分號前保留兩位小數(shù)）.（2）已知某批次成品口罩的次品率為，設100個成品口罩中恰有1個不合格品的概率為，記的最大值點為，改進生產(chǎn)線后批次的口罩的次品率.某醫(yī)院獲得批次1，的口罩捐贈并分發(fā)給該院醫(yī)務人員使用.經(jīng)統(tǒng)計，正常佩戴使用這兩個批次的口罩期間，該院醫(yī)務人員核酸檢測情況如下面條形圖所示，求，并判斷是否有99.9%的把握認為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風險有關？附：.0.0500.0100.0050.0013.8416.6357.87910.82821.己知雙曲線的漸近線與曲線相切.橫坐標為的點在曲線上，過點作曲線的切線1交雙曲線于不同的兩點.（1）求雙曲線的離心率；（2）記的中垂線交軸于點.是否存在實數(shù)，使得？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.22.已知函數(shù).（1）若函數(shù)為增函數(shù)，求的取值范圍：（2）已知，（i）證明：.（ii）若，證明：

答案解析1.D2.D3.B4.C5.D6.B7.C8.C9.BC10.BCD11.ACD12.AB13.214.15.16..5.設線段的中點為，則.，，.，且平分或者點在上.因此動點的軌跡是的垂直平分線，必通過的外心.故選.6.【詳解】當時，，因為函數(shù)在區(qū)間上恰好有5個，使得，故在上恰有5條對稱軸.令，則在上恰有5條對稱軸，如圖：所以.解得.故選：.7.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得：，設，則在時恒成立，所以在上是增函數(shù)，是連續(xù)函數(shù)，因此在上是增函數(shù)，所以，即，即，所以.故選：.8.【詳解】設雙曲線的半焦距為，直線的方程為，有，即有，而，解得，在中，由余弦定理得：，因此，即有么，而，則，又，于是|，所以雙曲線的離心率.故選：9.解：，令，則，則，故錯誤；，因為，所以展開式中含的系數(shù)為，故B正確；，令，則，則，令，則，則，所以，故正確；D，，故錯10.解：設正方形邊長為，則由如圖1知，又因為，所以，解得，所以四周的四個正三角形邊長也為2，連接、交于點，對于，因為平面，又平面.所以.因為，，所以，所以，故錯誤；對于，因為，所以四棱錐的外接球的半徑為，所以四棱錐的外接球的表面積為，故正確；對于，因為，所以異面直線與所成角等于，又因為為正三角形，所以，故C正確；對于，取中點連接，，則，，所以二面角的平面角為，故D正確.故選BCD.11.解：因為，所以當時，，即，又，所以，即，所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以.A正確：，所以，是遞減數(shù)列B錯誤；因為，所以.C正確；①，②①-②得，所以.所以.所以.正確.故選.12.解：因為，所以函數(shù)關于直線對稱；則，又，即，所以，則，則函數(shù)的周期為8，令，則，因為當時，，則，由函數(shù)關于直線對稱以及關于對稱，周期為8，函數(shù)圖象如圖：則的數(shù)為向左平移1個單位得到，是偶函數(shù)，故4正確：為向左平移3個單位得到，是奇函數(shù)，故正確；畫出和函數(shù)的圖象：可以看出在兩個函數(shù)的圖象有5個交點，所以方程有10個不同的零點，故C錯誤：，，，，，，，，，，故D錯誤，故選AB15.解：點關于的外角平分線的對稱點在直線的延長線上，（橢圓長軸長），又是的中位線，故，設，則，.即.即的軌跡方程為，故答案為.16.解：由題可知，所以又，，且，，即，又直線，令，，即，，直線.令，，即，，令，，，即，，即.故答案為.17.解：（1）因為，且，，即，解得或又，解得或或，（2）因為，，，所以，則，根據(jù)余弦定理得，即，則，解得或，當時，；當時，，所以的面積為或.18.解：（l）設數(shù)列的公差為，令，，解得，令，，又，所以，解得.所以，則①，當時，②，①-②得.則.所以，所以是公比為2的等比數(shù)列，且，所以，所以；（2）由，可得.當且時，，，…，.累加可得，經(jīng)驗證，當時，滿足上式，所以當時，，所以而，所以.19.解：（1）因為為中點，為中點，所以，在中，，，，由余弦定理得.即，連接AC，在中，，，，所以，，在中，，，，由余弦定理得，即，解得，所以，所以，又為AB中點，所以，所以為等邊三角形，所以，所以，又，所以，因為，平面，平面CEF，所以平面CEF，同理可得，平面CEF，因為，平面，平面.所以平面平面；（2）在中，，.則，又，解得，因為，所以，又，，，平面AOP，所以平面，以O為原點，OC，OA所在直線分別為x，y軸，過點O作平面OABC的垂線為z軸，建立空間直角坐標系如圖，則，，，，，所以，，，，設平面POC的法向量為，則令，得平面POC的一個法向量，同理可得，平面PAB的一個法向量為，設平面POC與平面PAB所成夾角為，則，則平面POC與平面PAB所成夾角的余弦值為.20.解：（1）①批次成品口罩的次品率為；②設批次E的成品口罩紅外線自動檢測合格為事件A，人工抽檢合格為事件B，由已知可得，，則仍在流水線進行人工抽檢時，抽檢一個口罩恰為合格品的概率為；（2）100個成品口罩中恰有1個不合格的概率為，所以令，解得，當時，，當時，，所以的最大值點為，由（1）可知，，.故批次J口罩次品率低于批次I，故批次J的口罩質(zhì)量優(yōu)于批次I.由條形圖可建立2×2列聯(lián)表如下：核酸檢測結(jié)果口罩批次合計ⅠⅡ呈陽性12315呈陰性285785合計4060100所以，因此，有99.9%的把握認為口罩質(zhì)量與感染新冠肺炎病毒的風險有關.21.解：（1）由題意知：與曲線：相切，消得有唯一解，，得，離心率；（2）直線AB方程為代入雙曲