概率論和數(shù)理統(tǒng)計第四版-習(xí)題答案解析-第四版-盛驟-浙江大學(xué)

./完全版概率論與數(shù)理統(tǒng)計習(xí)題答案第四版盛驟<XX大學(xué)>浙大第四版〔高等教育出版社第一章概率論的基本概念1.[一]寫出下列隨機試驗的樣本空間〔1記錄一個小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)〔充以百分制記分〔[一]1,n表小班人數(shù)〔3生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品,記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。〔[一]2S={10,11,12,………,n,………}〔4對某工廠出廠的產(chǎn)品進行檢查,合格的蓋上"正品",不合格的蓋上"次品",如連續(xù)查出二個次品就停止檢查,或檢查4個產(chǎn)品就停止檢查,記錄檢查的結(jié)果。查出合格品記為"1",查出次品記為"0",連續(xù)出現(xiàn)兩個"0"就停止檢查,或查滿4次才停止檢查。 〔[一]<3>S={00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,}2.[二]設(shè)A,B,C為三事件,用A,B,C的運算關(guān)系表示下列事件?！?A發(fā)生,B與C不發(fā)生。表示為： 或A－<AB+AC>或A－<B∪C>〔2A,B都發(fā)生,而C不發(fā)生。表示為： 或AB－ABC或AB－C〔3A,B,C中至少有一個發(fā)生 表示為：A+B+C〔4A,B,C都發(fā)生, 表示為：ABC〔5A,B,C都不發(fā)生, 表示為：或S－<A+B+C>或〔6A,B,C中不多于一個發(fā)生,即A,B,C中至少有兩個同時不發(fā)生相當(dāng)于中至少有一個發(fā)生。故表示為：?！?A,B,C中不多于二個發(fā)生。相當(dāng)于：中至少有一個發(fā)生。故表示為：〔8A,B,C中至少有二個發(fā)生。相當(dāng)于：AB,BC,AC中至少有一個發(fā)生。故表示為：AB+BC+AC6.[三]設(shè)A,B是兩事件且P<A>=0.6,P<B>=0.7.問<1>在什么條件下P<AB>取到最大值,最大值是多少？〔2在什么條件下P<AB>取到最小值,最小值是多少？解：由P<A>=0.6,P<B>=0.7即知AB≠φ,〔否則AB=φ依互斥事件加法定理,P<A∪B>=P<A>+P<B>=0.6+0.7=1.3>1與P<A∪B>≤1矛盾.從而由加法定理得P<AB>=P<A>+P<B>－P<A∪B> <*>〔1從0≤P<AB>≤P<A>知,當(dāng)AB=A,即A∩B時P<AB>取到最大值,最大值為P<AB>=P<A>=0.6,〔2從<*>式知,當(dāng)A∪B=S時,P<AB>取最小值,最小值為P<AB>=0.6+0.7－1=0.3。7.[四]設(shè)A,B,C是三事件,且,.求A,B,C至少有一個發(fā)生的概率。解：P<A,B,C至少有一個發(fā)生>=P<A+B+C>=P<A>+P<B>+P<C>－P<AB>－P<BC>－P<AC>+P<ABC>=8.[五]在一標(biāo)準(zhǔn)英語字典中具有55個由二個不相同的字母新組成的單詞,若從26個英語字母中任取兩個字母予以排列,問能排成上述單詞的概率是多少？記A表"能排成上述單詞"∵從26個任選兩個來排列,排法有種。每種排法等可能。字典中的二個不同字母組成的單詞：55個∴9.在電話號碼薄中任取一個電話號碼,求后面四個數(shù)全不相同的概率?！苍O(shè)后面4個數(shù)中的每一個數(shù)都是等可能性地取自0,1,2……9記A表"后四個數(shù)全不同"∵后四個數(shù)的排法有104種,每種排法等可能。后四個數(shù)全不同的排法有∴10.[六]在房間里有10人。分別佩代著從1號到10號的紀(jì)念章,任意選3人記錄其紀(jì)念章的號碼?！?求最小的號碼為5的概率。記"三人紀(jì)念章的最小號碼為5"為事件A∵10人中任選3人為一組：選法有種,且每種選法等可能。又事件A相當(dāng)于：有一人號碼為5,其余2人號碼大于5。這種組合的種數(shù)有∴〔2求最大的號碼為5的概率。記"三人中最大的號碼為5"為事件B,同上10人中任選3人,選法有種,且每種選法等可能,又事件B相當(dāng)于：有一人號碼為5,其余2人號碼小于5,選法有種11.[七]某油漆公司發(fā)出17桶油漆,其中白漆10桶、黑漆4桶,紅漆3桶。在搬運中所標(biāo)箋脫落,交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼,問一個定貨4桶白漆,3桶黑漆和2桶紅漆顧客,按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？記所求事件為A。在17桶中任取9桶的取法有種,且每種取法等可能。取得4白3黑2紅的取法有故 12.[八]在1500個產(chǎn)品中有400個次品,1100個正品,任意取200個?！?求恰有90個次品的概率。記"恰有90個次品"為事件A∵在1500個產(chǎn)品中任取200個,取法有種,每種取法等可能。200個產(chǎn)品恰有90個次品,取法有種∴〔2至少有2個次品的概率。記：A表"至少有2個次品"B0表"不含有次品",B1表"只含有一個次品",同上,200個產(chǎn)品不含次品,取法有種,200個產(chǎn)品含一個次品,取法有種∵且B0,B1互不相容?！?3.[九]從5雙不同鞋子中任取4只,4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少？記A表"4只全中至少有兩支配成一對"則表"4只人不配對"∵從10只中任取4只,取法有種,每種取法等可能。要4只都不配對,可在5雙中任取4雙,再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有15.[十一]將三個球隨機地放入4個杯子中去,問杯子中球的最大個數(shù)分別是1,2,3,的概率各為多少？記Ai表"杯中球的最大個數(shù)為i個"i=1,2,3,三只球放入四只杯中,放法有43種,每種放法等可能對A1：必須三球放入三杯中,每杯只放一球。放法4×3×2種。<選排列：好比3個球在4個位置做排列>對A2：必須三球放入兩杯,一杯裝一球,一杯裝兩球。放法有種。<從3個球中選2個球,選法有,再將此兩個球放入一個杯中,選法有4種,最后將剩余的1球放入其余的一個杯中,選法有3種。對A3：必須三球都放入一杯中。放法有4種。<只需從4個杯中選1個杯子,放入此3個球,選法有4種>16.[十二]50個鉚釘隨機地取來用在10個部件,其中有三個鉚釘強度太弱,每個部件用3只鉚釘,若將三只強度太弱的鉚釘都裝在一個部件上,則這個部件強度就太弱,問發(fā)生一個部件強度太弱的概率是多少？記A表"10個部件中有一個部件強度太弱"。法一：用古典概率作：把隨機試驗E看作是用三個釘一組,三個釘一組去鉚完10個部件〔在三個釘?shù)囊唤M中不分先后次序。但10組釘鉚完10個部件要分先后次序?qū)：鉚法有種,每種裝法等可能對A：三個次釘必須鉚在一個部件上。這種鉚法有〔〕×10種法二：用古典概率作把試驗E看作是在50個釘中任選30個釘排成一列,順次釘下去,直到把部件鉚完?！层T釘要計先后次序?qū)：鉚法有種,每種鉚法等可能對A：三支次釘必須鉚在"1,2,3"位置上或"4,5,6"位置上,…或"28,29,30"位置上。這種鉚法有種17.[十三]已知。解一：注意.故有P<AB>=P<A>－P<A>=0.7－0.5=0.2。再由加法定理,P<A∪>=P<A>+P<>－P<A>=0.7+0.6－0.5=0.8于是18.[十四]。解：由由乘法公式,得由加法公式,得19.[十五]擲兩顆骰子,已知兩顆骰子點數(shù)之和為7,求其中有一顆為1點的概率〔用兩種方法。解：〔方法一〔在縮小的樣本空間SB中求P<A|B>,即將事件B作為樣本空間,求事件A發(fā)生的概率。擲兩顆骰子的試驗結(jié)果為一有序數(shù)組〔x,y〔x,y=1,2,3,4,5,6并且滿足x,+y=7,則樣本空間為S={<x,y>|<1,6>,<6,1>,<2,5>,<5,2>,<3,4>,<4,3>}每種結(jié)果〔x,y等可能。A={擲二骰子,點數(shù)和為7時,其中有一顆為1點。故}方法二：〔用公式S={<x,y>|x=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6}}每種結(jié)果均可能A="擲兩顆骰子,x,y中有一個為"1"點",B="擲兩顆骰子,x,+y=7"。則,故20.[十六]據(jù)以往資料表明,某一3口之家,患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P<A>=P{孩子得病}=0.6,P<B|A>=P{母親得病|孩子得病}=0.5,P<C|AB>=P{父親得病|母親及孩子得病}=0.4。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。解：所求概率為P<AB>〔注意：由于"母病","孩病","父病"都是隨機事件,這里不是求P<|AB>P<AB>=P<A>=P<B|A>=0.6×0.5=0.3,P<|AB>=1－P<C|AB>=1－0.4=0.6.從而P<AB>=P<AB>·P<|AB>=0.3×0.6=0.18.21.[十七]已知10只晶體管中有2只次品,在其中取二次,每次隨機地取一只,作不放回抽樣,求下列事件的概率?！?二只都是正品〔記為事件A法一：用組合做在10只中任取兩只來組合,每一個組合看作一個基本結(jié)果,每種取法等可能。法二：用排列做在10只中任取兩個來排列,每一個排列看作一個基本結(jié)果,每個排列等可能。法三：用事件的運算和概率計算法則來作。記A1,A2分別表第一、二次取得正品?！?二只都是次品〔記為事件B法一： 法二： 法三： 〔3一只是正品,一只是次品〔記為事件C法一： 法二： 法三： 〔4第二次取出的是次品〔記為事件D法一：因為要注意第一、第二次的順序。不能用組合作,法二： 法三： 22.[十八]某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字,因而隨機的撥號,求他撥號不超過三次而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù),那么此概率是多少？記H表撥號不超過三次而能接通。Ai表第i次撥號能接通。注意：第一次撥號不通,第二撥號就不再撥這個號碼。如果已知最后一個數(shù)字是奇數(shù)〔記為事件B問題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下,求H再發(fā)生的概率。24.[十九]設(shè)有甲、乙二袋,甲袋中裝有n只白球m只紅球,乙袋中裝有N只白球M只紅球,今從甲袋中任取一球放入乙袋中,再從乙袋中任取一球,問取到〔即從乙袋中取到白球的概率是多少？〔此為第三版19題<1>記A1,A2分別表"從甲袋中取得白球,紅球放入乙袋"再記B表"再從乙袋中取得白球"?！連=A1B+A2B且A1,A2互斥∴P<B>=P<A1>P<B|A1>+P<A2>P<B|A2>=[十九]<2>第一只盒子裝有5只紅球,4只白球；第二只盒子裝有4只紅球,5只白球。先從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去,然后從第二盒子中任取一只球,求取到白球的概率。記C1為"從第一盒子中取得2只紅球"。C2為"從第一盒子中取得2只白球"。C3為"從第一盒子中取得1只紅球,1只白球",D為"從第二盒子中取得白球",顯然C1,C2,C3兩兩互斥,C1∪C2∪C3=S,由全概率公式,有P<D>=P<C1>P<D|C1>+P<C2>P<D|C2>+P<C3>P<D|C3>26.[二十一]已知男人中有5%是色盲患者,女人中有0.25%是色盲患者。今從男女人數(shù)相等的人群中隨機地挑選一人,恰好是色盲患者,問此人是男性的概率是多少？解：A1={男人},A2={女人},B={色盲},顯然A1∪A2=S,A1A2=φ由已知條件知由貝葉斯公式,有[二十二]一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P,若第一次及格則第二次及格的概率也為P；若第一次不及格則第二次及格的概率為〔1若至少有一次及格則他能取得某種資格,求他取得該資格的概率。〔2若已知他第二次已經(jīng)及格,求他第一次及格的概率。解：Ai={他第i次及格},i=1,2已知P<A1>=P<A2|A1>=P,〔1B={至少有一次及格}所以∴〔2 〔*由乘法公式,有P<A1A2>=P<A1>P<A2|A1>=P2由全概率公式,有將以上兩個結(jié)果代入〔*得28.[二十五]某人下午5:00下班,他所積累的資料表明：到家時間5:35~5:395:40~5:445:45~5:495:50~5:54遲于5:54乘地鐵到家的概率0.100.250.450.150.05乘汽車到家的概率0.300.350.200.100.05某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車,結(jié)果他是5:47到家的,試求他是乘地鐵回家的概率。解：設(shè)A="乘地鐵",B="乘汽車",C="5:45~5:49到家",由題意,AB=φ,A∪B=S已知：P<A>=0.5,P<C|A>=0.45,P<C|B>=0.2,P<B>=0.5由貝葉斯公式有29.[二十四]有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只,其中10只一等品；第二箱30只,其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱,然后從該箱中取零件兩次,每次任取一只,作不放回抽樣。試求〔1第一次取到的零件是一等品的概率?！?第一次取到的零件是一等品的條件下,第二次取到的也是一等品的概率。解：設(shè)Bi表示"第i次取到一等品"i=1,2Aj表示"第j箱產(chǎn)品" j=1,2,顯然A1∪A2=SA1A2=φ〔1〔B1=A1B+A2B由全概率公式解。〔2〔先用條件概率定義,再求P<B1B2>時,由全概率公式解312LR32.[二十六〔2]如圖1,2,3,4,5表示繼電器接點,假設(shè)每一繼電器接點閉合的概率為p,且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨立,求L和R是通路的概率。312LR54記Ai表第i個接點接通54記A表從L到R是構(gòu)成通路的?！逜=A1A2+A1A3A5+A4A5+A4A3A2四種情況不互斥∴P<A>=P<A1A2>+P<A1A3A5>+P<A4A5>+P<A4A3A2>－P<A1A2A3A5>+P<A1A2A4A5>+P<A1A2A3A4>+P<A1A3A4A5>+P<A1A2A3A4A5>P<A2A3A4A5>+P<A1A2A3A4A5>+P<A1A2A3A4A5>+<A1A2A3A4A5>+P<A1A2A3A4A5>－P<A1A2A3A4A5>又由于A1,A2,A3,A4,A5互相獨立。故 P<A>=p2+p3+p2+p3－[p4+p4+p4+p4+p5+p4]+[p5+p5+p5+p5]－p5=2p2+3p3－5p4+2p5[二十六〔1]設(shè)有4個獨立工作的元件1,2,3,4。它們的可靠性分別為P1,P2,P3,P4,將它們按圖〔1的方式聯(lián)接,求系統(tǒng)的可靠性。記Ai表示第i個元件正常工作,i=1,2,3,4,2413A表示系統(tǒng)正常。2413∵A=A1A2A3+A1A4兩種情況不互斥∴P<A>=P<A1A2A3>+P<A1A4>－P<A1A2A3A4><加法公式>=P<A1>P<A2>P<A3>+P<A1>P<A4>－P<A1>P<A2>P<A3>P<A4>=P1P2P3+P1P4－P1P2P3P4 <A1,A2,A3,A4獨立>34.[三十一]袋中裝有m只正品硬幣,n只次品硬幣,〔次品硬幣的兩面均印有國徽。在袋中任取一只,將它投擲r次,已知每次都得到國徽。問這只硬幣是正品的概率為多少？解：設(shè)"出現(xiàn)r次國徽面"=Br "任取一只是正品"=A由全概率公式,有〔條件概率定義與乘法公式35．甲、乙、丙三人同時對飛機進行射擊,三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7。飛機被一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若三人都擊中,飛機必定被擊落。求飛機被擊落的概率。解：高Hi表示飛機被i人擊中,i=1,2,3。B1,B2,B2分別表示甲、乙、丙擊中飛機∵,三種情況互斥。三種情況互斥又B1,B2,B2獨立?！?0.4×0.5×0.7+0.6×0.5×0.7=0.41P<H3>=P<B1>P<B2>P<B3>=0.4×0.5×0.7=0.14又因： A=H1A+H2A+H3A 三種情況互斥故由全概率公式,有P<A>=P<H1>P<A|H1>+P<H2>P<A|H2>+P<H3>P<AH3>=0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1=0.45836.[三十三]設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運輸某種物品損壞2%〔這一事件記為A1,10%〔事件A2,90%〔事件A3的概率分別為P<A1>=0.8,P<A2>=0.15,P<A2>=0.05,現(xiàn)從中隨機地獨立地取三件,發(fā)現(xiàn)這三件都是好的〔這一事件記為B,試分別求P<A1|B>P<A2|B>,P<A3|B>〔這里設(shè)物品件數(shù)很多,取出第一件以后不影響取第二件的概率,所以取第一、第二、第三件是互相獨立地∵B表取得三件好物品。B=A1B+A2B+A3B 三種情況互斥由全概率公式,有∴P<B>=P<A1>P<B|A1>+P<A2>P<B|A2>+P<A3>P<B|A3>=0.8×<0.98>3+0.15×<0.9>3+0.05×<0.1>3=0.862437.[三十四]將A,B,C三個字母之一輸入信道,輸出為原字母的概率為α,而輸出為其它一字母的概率都是<1－α>/2。今將字母串AAAA,BBBB,CCCC之一輸入信道,輸入AAAA,BBBB,CCCC的概率分別為p1,p2,p3<p1+p2+p3=1>,已知輸出為ABCA,問輸入的是AAAA的概率是多少？〔設(shè)信道傳輸每個字母的工作是相互獨立的。解：設(shè)D表示輸出信號為ABCA,B1、B2、B3分別表示輸入信號為AAAA,BBBB,CCCC,則B1、B2、B3為一完備事件組,且P<Bi>=Pi,i=1,2,3。再設(shè)A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A,其余類推,依題意有P<收|發(fā)>=P<收|發(fā)>=P<收|發(fā)>=α,P<收|發(fā)>=P<收|發(fā)>=P<收|發(fā)>=P<收|發(fā)>=P<收|發(fā)>=P<收|發(fā)>=又P<BCA|AAAA>=P<P<收|發(fā)>P<收|發(fā)>P<收|發(fā)>P<收|發(fā)>=,同樣可得P<P<于是由全概率公式,得由Bayes公式,得P<AAAA|BCA>=P<==[二十九]設(shè)第一只盒子裝有3只藍球,2只綠球,2只白球；第二只盒子裝有2只藍球,3只綠球,4只白球。獨立地分別從兩只盒子各取一只球。〔1求至少有一只藍球的概率,〔2求有一只藍球一只白球的概率,〔3已知至少有一只藍球,求有一只藍球一只白球的概率。解：記A1、A2、A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍球、綠球、白球,B1、B2、B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍球、綠球、白球。〔1記C={至少有一只藍球}C=A1B1+A1B2+A1B3+A2B1+A3B1,5種情況互斥由概率有限可加性,得〔2記D={有一只藍球,一只白球},而且知D=A1B3+A3B1兩種情況互斥〔3[三十]A,B,C三人在同一辦公室工作,房間有三部電話,據(jù)統(tǒng)計知,打給A,B,C的電話的概率分別為。他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬?A,B,C三人外出的概率分別為,設(shè)三人的行動相互獨立,求〔1無人接電話的概率；〔2被呼叫人在辦公室的概率；若某一時間斷打進了3個電話,求〔3這3個電話打給同一人的概率；〔4這3個電話打給不同人的概率；〔5這3個電話都打給B,而B卻都不在的概率。解：記C1、C2、C3分別表示打給A,B,C的電話D1、D2、D3分別表示A,B,C外出注意到C1、C2、C3獨立,且〔1P〔無人接電話=P<D1D2D3>=P<D1>P<D2>P<D3>=〔2記G="被呼叫人在辦公室",三種情況互斥,由有限可加性與乘法公式〔3H為"這3個電話打給同一個人"〔4R為"這3個電話打給不同的人"R由六種互斥情況組成,每種情況為打給A,B,C的三個電話,每種情況的概率為于是〔5由于是知道每次打電話都給B,其概率是1,所以每一次打給B電話而B不在的概率為,且各次情況相互獨立于是P〔3個電話都打給B,B都不在的概率=第二章隨機變量及其分布1.[一]一袋中有5只乒乓球,編號為1、2、3、4、5,在其中同時取三只,以X表示取出的三只球中的最大號碼,寫出隨機變量X的分布律解：X可以取值3,4,5,分布律為也可列為下表X：3,4,5P：3.[三]設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品,在其中取三次,每次任取一只,作不放回抽樣,以X表示取出次品的只數(shù),〔1求X的分布律,〔2畫出分布律的圖形。解：任取三只,其中新含次品個數(shù)X可能為0,1,2個。PPx12Ox12O再列為下表X：0,1,2P：4.[四]進行重復(fù)獨立實驗,設(shè)每次成功的概率為p,失敗的概率為q=1－p<0<p<1>〔1將實驗進行到出現(xiàn)一次成功為止,以X表示所需的試驗次數(shù),求X的分布律?！泊藭r稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布。〔2將實驗進行到出現(xiàn)r次成功為止,以Y表示所需的試驗次數(shù),求Y的分布律?！泊藭r稱Y服從以r,p為參數(shù)的巴斯卡分布?！?一籃球運動員的投籃命中率為45%,以X表示他首次投中時累計已投籃的次數(shù),寫出X的分布律,并計算X取偶數(shù)的概率。解：〔1P<X=k>=qk－1p k=1,2,……〔2Y=r+n={最后一次實驗前r+n－1次有n次失敗,且最后一次成功}其中q=1－p,或記r+n=k,則P{Y=k}=〔3P<X=k>=<0.55>k－10.45 k=1,2…P<X取偶數(shù)>=6.[六]一大樓裝有5個同類型的供水設(shè)備,調(diào)查表明在任一時刻t每個設(shè)備使用的概率為0.1,問在同一時刻〔1恰有2個設(shè)備被使用的概率是多少？〔2至少有3個設(shè)備被使用的概率是多少？〔3至多有3個設(shè)備被使用的概率是多少？〔4至少有一個設(shè)備被使用的概率是多少？[五]一房間有3扇同樣大小的窗子,其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間,它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去,試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的,鳥飛向各扇窗子是隨機的。〔1以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數(shù),求X的分布律。〔2戶主聲稱,他養(yǎng)的一只鳥,是有記憶的,它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數(shù),如戶主所說是確實的,試求Y的分布律?！?求試飛次數(shù)X小于Y的概率；求試飛次數(shù)Y小于X的概率。解：〔1X的可能取值為1,2,3,…,n,…P{X=n}=P{前n－1次飛向了另2扇窗子,第n次飛了出去}=,n=1,2,……〔2Y的可能取值為1,2,3P{Y=1}=P{第1次飛了出去}=P{Y=2}=P{第1次飛向另2扇窗子中的一扇,第2次飛了出去}=P{Y=3}=P{第1,2次飛向了另2扇窗子,第3次飛了出去}=同上,故8.[八]甲、乙二人投籃,投中的概率各為0.6,0.7,令各投三次。求〔1二人投中次數(shù)相等的概率。記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)由于甲、乙每次投籃獨立,且彼此投籃也獨立。P<X=Y>=P<X=0,Y=0>+P<X=2,Y=2>+P<X=3,Y=3>=P<X=0>P<Y=0>+P<X=1>P<Y=1>+P<X=2>P<Y=2>+P<X=3>P<Y=3>=<0.4>3×<0.3>3+[〔2甲比乙投中次數(shù)多的概率。P<X>Y>=P<X=1,Y=0>+P<X=2,Y=0>+P<X=2,Y=1>+P<X=3>P<Y=0>+P<X=3>P<Y=1>+P<X=3>P<Y=2>=P<X=1>P<Y=0>+P<X=2,Y=0>+P<X=2,Y=1>+P<X=3>P<Y=0>+P<X=3>P<Y=1>+P<X=3>P<Y=2>=9.[十]有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯,能將甲種酒全部挑出來,算是試驗成功一次。〔1某人隨機地去猜,問他試驗成功一次的概率是多少？〔2某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗10次,成功3次。試問他是猜對的,還是他確有區(qū)分的能力〔設(shè)各次試驗是相互獨立的。解：〔1P<一次成功>=〔2P<連續(xù)試驗10次,成功3次>=。此概率太小,按實際推斷原理,就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。[九]有一大批產(chǎn)品,其驗收方案如下,先做第一次檢驗：從中任取10件,經(jīng)驗收無次品接受這批產(chǎn)品,次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗,其做法是從中再任取5件,僅當(dāng)5件中無次品時接受這批產(chǎn)品,若產(chǎn)品的次品率為10%,求〔1這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗就能接受的概率〔2需作第二次檢驗的概率〔3這批產(chǎn)品按第2次檢驗的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率〔4這批產(chǎn)品在第1次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率〔5這批產(chǎn)品被接受的概率解：X表示10件中次品的個數(shù),Y表示5件中次品的個數(shù),由于產(chǎn)品總數(shù)很大,故X~B〔10,0.1,Y~B〔5,0.1〔近似服從〔1P{X=0}=0.910≈0.349〔2P{X≤2}=P{X=2}+P{X=1}=〔3P{Y=0}=0.95≈0.590〔4P{0<X≤2,Y=0}<{0<X≤2}與{Y=2}獨立>=P{0<X≤2}P{Y=0}=0.581×0.5900.343〔5P{X=0}+P{0<X≤2,Y=0}≈0.349+0.343=0.69212.[十三]電話交換臺每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布,求〔1每分鐘恰有8次呼喚的概率法一： 〔直接計算法二： P<X=8>=P<X≥8>－P<X≥9>〔查λ=4泊松分布表。=0.051134－0.021363=0.029771〔2每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率。P<X>10>=P<X≥11>=0.002840〔查表計算[十二<2>]每分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率。[十六]以X表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達的等待時間〔以分計,X的分布函數(shù)是求下述概率：〔1P{至多3分鐘}；〔2P{至少4分鐘}；〔3P{3分鐘至4分鐘之間}；〔4P{至多3分鐘或至少4分鐘}；〔5P{恰好2.5分鐘}解：〔1P{至多3分鐘}=P{X≤3}=〔2P{至少4分鐘}P<X≥4>=〔3P{3分鐘至4分鐘之間}=P{3<X≤4}=〔4P{至多3分鐘或至少4分鐘}=P{至多3分鐘}+P{至少4分鐘}=〔5P{恰好2.5分鐘}=P<X=2.5>=018.[十七]設(shè)隨機變量X的分布函數(shù)為,求〔1P<X<2>,P{0<X≤3},P<2<X<>；〔2求概率密度fX<x>.解：〔1P<X≤2>=FX<2>=ln2,P<0<X≤3>=FX<3>－FX<0>=1,〔220.[十八〔2]設(shè)隨機變量的概率密度為〔1〔2求X的分布函數(shù)F<x>,并作出〔2中的f<x>與F<x>的圖形。解：當(dāng)－1≤x≤1時：當(dāng)1<x時：故分布函數(shù)為：解：〔2故分布函數(shù)為〔2中的f<x>與F<x>的圖形如下f<xf<x>x0F<x>2x0F<x>21x0121222.[二十]某種型號的電子的壽命X〔以小時計具有以下的概率密度：現(xiàn)有一大批此種管子〔設(shè)各電子管損壞與否相互獨立。任取5只,問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率是多少？解：一個電子管壽命大于1500小時的概率為令Y表示"任取5只此種電子管中壽命大于1500小時的個數(shù)"。則,23.[二十一]設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時間X〔以分計服從指數(shù)分布,其概率密度為：某顧客在窗口等待服務(wù),若超過10分鐘他就離開。他一個月要到銀行5次。以Y表示一個月內(nèi)他未等到服務(wù)而離開窗口的次數(shù),寫出Y的分布律。并求P〔Y≥1。解：該顧客"一次等待服務(wù)未成而離去"的概率為因此24.[二十二]設(shè)K在〔0,5上服從均勻分布,求方程有實根的概率∵K的分布密度為：要方程有根,就是要K滿足<4K>2－4×4×<K+2>≥0。解不等式,得K≥2時,方程有實根。∴25.[二十三]設(shè)X～N〔3.22〔1求P<2<X≤5>,P<－4><X≤10>,P{|X|>2},P<X>3>∵ 若X～N〔μ,σ2,則P<α<X≤β>=φφ∴P<2<X≤5>=φφ=φ<1>－φ<－0.5>=0.8413－0.3085=0.5328P<－4<X≤10>=φφ=φ<3.5>－φ<－3.5>=0.9998－0.0002=0.9996P<|X|>2>=1－P<|X|<2>=1－P<－2<P<2>= =1－φ<－0.5>+φ<－2.5> =1－0.3085+0.0062=0.6977P<X>3>=1－P<X≤3>=1－φ=1－0.5=0.5〔2決定C使得P<X>C>=P<X≤C>∵P<X>C>=1－P<X≤C>=P<X≤C>得 P<X≤C>==0.5又 P<X≤C>=φ∴C=326.[二十四]某地區(qū)18歲的女青年的血壓〔收縮區(qū),以mm-Hg計服從在該地區(qū)任選一18歲女青年,測量她的血壓X。求〔1P<X≤105>,P<100<X≤120>. 〔2確定最小的X使P<X>x>≤0.05.解:27.[二十五]由某機器生產(chǎn)的螺栓長度〔cm服從參數(shù)為μ=10.05,σ=0.06的正態(tài)分布。規(guī)定長度在范圍10.05±0.12內(nèi)為合格品,求一螺栓為不合格的概率是多少？設(shè)螺栓長度為XP{X不屬于<10.05－0.12,10.05+0.12>=1－P<10.05－0.12<X<10.05+0.12>=1－=1－{φ<2>－φ<－2>}=1－{0.9772－0.0228}=0.045628.[二十六]一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X〔以小時計服從參數(shù)為μ=160,σ<未知>的正態(tài)分布,若要求P<120＜X≤200＝=0.80,允許σ最大為多少？∵P<120＜X≤200>=又對標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有φ<－x>=1－φ<x>∴上式變?yōu)榻獬鲈俨楸?得30.[二十七]設(shè)隨機變量X的分布律為：X：－2, －1, 0, 1, 3P：, , , , 求Y=X2的分布律∵Y=X2：<－2>2 <－1>2 <0>2 <1>2 <3>2P：再把X2的取值相同的合并,并按從小到大排列,就得函數(shù)Y的分布律為：∴Y：0 1 4 9P：31.[二十八]設(shè)隨機變量X在〔0,1上服從均勻分布〔1求Y=eX的分布密度∵X的分布密度為：Y=g<X>=eX是單調(diào)增函數(shù)又 X=h<Y>=lnY,反函數(shù)存在且 α=min[g<0>,g<1>]=min<1,e>=1max[g<0>,g<1>]=max<1,e>=e∴Y的分布密度為：〔2求Y=－2lnX的概率密度?！遈=g<X>=－2lnX 是單調(diào)減函數(shù)又 反函數(shù)存在。且 α=min[g<0>,g<1>]=min<+∞,0>=0β=max[g<0>,g<1>]=max<+∞,0>=+∞∴Y的分布密度為：32.[二十九]設(shè)X～N〔0,1〔1求Y=eX的概率密度∵X的概率密度是Y=g<X>=eX是單調(diào)增函數(shù)又 X=h<Y>=lnY反函數(shù)存在且 α=min[g<－∞>,g<+∞>]=min<0,+∞>=0β=max[g<－∞>,g<+∞>]=max<0,+∞>=+∞∴Y的分布密度為：〔2求Y=2X2+1的概率密度。在這里,Y=2X2+1在<+∞,－∞>不是單調(diào)函數(shù),沒有一般的結(jié)論可用。設(shè)Y的分布函數(shù)是FY〔y,則 FY<y>=P<Y≤y>=P<2X2+1≤y>=當(dāng)y<1時：FY<y>=0當(dāng)y≥1時：故Y的分布密度ψ<y>是：當(dāng)y≤1時：ψ<y>=[FY<y>]'=<0>'=0當(dāng)y>1時,ψ<y>=[FY<y>]'==〔3求Y=|X|的概率密度。∵Y的分布函數(shù)為FY<y>=P<Y≤y>=P<|X|≤y>當(dāng)y<0時,FY<y>=0當(dāng)y≥0時,FY<y>=P<|X|≤y>=P<－y≤X≤y>=∴Y的概率密度為：當(dāng)y≤0時：ψ<y>=[FY<y>]'=<0>'=0當(dāng)y>0時：ψ<y>=[FY<y>]'=33.[三十]〔1設(shè)隨機變量X的概率密度為f<x>,求Y=X3的概率密度?！遈=g<X>=X3是X單調(diào)增函數(shù),又 X=h<Y>=,反函數(shù)存在,且 α=min[g<－∞>,g<+∞>]=min<0,+∞>=－∞β=max[g<－∞>,g<+∞>]=max<0,+∞>=+∞∴Y的分布密度為：ψ<y>=f[h<h>]·|h'<y>|=〔2設(shè)隨機變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布,求Y=X2的概率密度。xOy=x2y法一：∵X的分布密度為：xOy=x2yY=x2是非單調(diào)函數(shù)當(dāng)x<0時y=x2反函數(shù)是當(dāng)x<0時y=x2∴Y～fY<y>=－=法二：∴Y～fY<y>=34.[三十一]設(shè)X的概率密度為求Y=sinX的概率密度?！逨Y<y>=P<Y≤y>=P<sinX≤y>當(dāng)y<0時：FY<y>=0當(dāng)0≤y≤1時：FY<y>=P<sinX≤y>=P<0≤X≤arcsiny或π－arcsiny≤X≤π>=當(dāng)1<y時：FY<y>=1∴Y的概率密度ψ<y>為：y≤0時,ψ<y>=[FY<y>]'=<0>'=00<y<1時,ψ<y>=[FY<y>]'==1≤y時,ψ<y>=[FY<y>]'==036.[三十三]某物體的溫度T<oF>是一個隨機變量,且有T～N〔98.6,2,試求θ<℃>的概率密度。[已知]法一：∵T的概率密度為又是單調(diào)增函數(shù)。反函數(shù)存在。且α=min[g<－∞>,g<+∞>]=min<－∞,+∞>=－∞β=max[g<－∞>,g<+∞>]=max<－∞,+∞>=+∞∴θ的概率密度ψ<θ>為法二：根據(jù)定理：若X～N〔α1,σ1,則Y=aX+b～N<aα1+b,a2σ2>由于T～N〔98.6,2故故θ的概率密度為：第三章多維隨機變量及其分布1.[一]在一箱子里裝有12只開關(guān),其中2只是次品,在其中隨機地取兩次,每次取一只?？紤]兩種試驗：〔1放回抽樣,〔2不放回抽樣。我們定義隨機變量X,Y如下：試分別就〔1〔2兩種情況,寫出X和Y的聯(lián)合分布律。解：〔1放回抽樣情況由于每次取物是獨立的。由獨立性定義知。P<X=i,Y=j>=P<X=i>P<Y=j>P<X=0,Y=0>=P<X=0,Y=1>=P<X=1,Y=0>=P<X=1,Y=1>=或?qū)懗蒟Y0101〔2不放回抽樣的情況P{X=0,Y=0}=P{X=0,Y=1}=P{X=1,Y=0}=P{X=1,Y=1}=或?qū)懗蒟Y01013.[二]盒子里裝有3只黑球,2只紅球,2只白球,在其中任取4只球,以X表示取到黑球的只數(shù),以Y表示取到白球的只數(shù),求X,Y的聯(lián)合分布律。XY01230001020解：〔X,Y的可能取值為<i,j>,i=0,1,2,3, j=0,12,i+j≥2,聯(lián)合分布律為P{X=0,Y=2}=P{X=1,Y=1}=P{X=1,Y=2}=P{X=2,Y=0}=P{X=2,Y=1}=P{X=2,Y=2}=P{X=3,Y=0}=P{X=3,Y=1}=P{X=3,Y=2}=05.[三]設(shè)隨機變量〔X,Y概率密度為〔1確定常數(shù)k。 〔2求P{X<1,Y<3}〔3求P<X<1.5} 〔4求P<X+Y≤4}分析：利用P{<X,Y>∈G}=再化為累次積分,其中解：〔1∵,∴〔2〔3y〔4y6．〔1求第1題中的隨機變量〔X、Y的邊緣分布律?！?求第2題中的隨機變量〔X、Y的邊緣分布律。2解：〔1①放回抽樣〔第1題2XY0x+y=41x+y=410xoxo1邊緣分布律為 X 0 1 Y 0 1 Pi·P·j②不放回抽樣〔第1題XY0101邊緣分布為 X 0 1 Y 0 1 Pi·P·j〔2〔X,Y的聯(lián)合分布律如下XY0123000300解：X的邊緣分布律 Y的邊緣分布律X 0 1 2 3 Y 1 3Pi·P·j7.[五]設(shè)二維隨機變量〔X,Y的概率密度為解：8.[六]設(shè)二維隨機變量〔X,Y的概率密度為x=yy求邊緣概率密度。x=yyxo解:xo9.[七]設(shè)二維隨機變量〔X,Y的概率密度為〔1試確定常數(shù)c?！?求邊緣概率密度。解:l=yoyoy=x2xy=x2x15.第1題中的隨機變量X和Y是否相互獨立。解：放回抽樣的情況P{X=0,Y=0}=P{X=0}·P{Y=0}=P{X=0,Y=1}=P{X=0}P{Y=1}=P{X=1,Y=0}=P{X=1}P{Y=0}=P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1}=在放回抽樣的情況下,X和Y是獨立的不放回抽樣的情況：P{X=0,Y=0}=P{X=0}=P{X=0}=P{X=0,Y=0}+P{Y=0,X=1}=P{X=0}·P{Y=0}=P{X=0,Y=0}≠P{X=0}P{Y=0}∴X和Y不獨立16.[十四]設(shè)X,Y是兩個相互獨立的隨機變量,X在〔0,1上服從均勻分布。Y的概率密度為〔1求X和Y的聯(lián)合密度?！?設(shè)含有a的二次方程為a2+2Xa+Y=0,試求有實根的概率。解：〔1X的概率密度為y=x2Y的概率密度為y=x21xDyo且知X,Y相互獨立,1xDyo于是〔X,Y的聯(lián)合密度為〔2由于a有實跟根,從而判別式即：記19.[十八]設(shè)某種商品一周的需要量是一個隨機變量,其概率密度為并設(shè)各周的需要量是相互獨立的,試求〔1兩周〔2三周的需要量的概率密度。解：〔1設(shè)第一周需要量為X,它是隨機變量設(shè)第二周需要量為Y,它是隨機變量且為同分布,其分布密度為Z=X+Y表示兩周需要的商品量,由X和Y的獨立性可知：∵z≥0∴當(dāng)z<0時,fz<z>=0當(dāng)z>0時,由和的概率公式知∴〔2設(shè)z表示前兩周需要量,其概率密度為設(shè)ξ表示第三周需要量,其概率密度為：z與ξ相互獨立η=z+ξ表示前三周需要量則：∵η≥0, ∴當(dāng)u<0, fη<u>=0當(dāng)u>0時所以η的概率密度為22.[二十二]設(shè)某種型號的電子管的壽命〔以小時計近似地服從N〔160,20分布。隨機地選取4只求其中沒有一只壽命小于180小時的概率。解：設(shè)X1,X2,X3,X4為4只電子管的壽命,它們相互獨立,同分布,其概率密度為：設(shè)N=min{X1,X2,X3,X4}P{N>180}=P{X1>180,X2>180,X3>180,X4>180}=P{X>180}4={1－p[X<180]}4=<0.1587>4=0.0006327.[二十八]設(shè)隨機變量〔X,Y的分布律為XY012345012300.010.010.010.010.020.030.020.030.040.050.040.050.050.050.060.070.060.050.060.090.080.060.05〔1求P{X=2|Y=2},P{Y=3|X=0}〔2求V=max<X,Y>的分布律〔3求U=min<X,Y>的分布律解：〔1由條件概率公式P{X=2|Y=2}===同理 P{Y=3|X=0}=〔2變量V=max{X,Y}顯然V是一隨機變量,其取值為V：012345P{V=0}=P{X=0Y=0}=0P{V=1}=P{X=1,Y=0}+P{X=1,Y=1}+P{X=0,Y=1}=0.01+0.02+0.01=0.04P{V=2}=P{X=2,Y=0}+P{X=2,Y=1}+P{X=2,Y=2}+P{Y=2,X=0}+P{Y=2,X=1}=0.03+0.04+0.05+0.01+0.03=0.16P{V=3}=P{X=3,Y=0}+P{X=3,Y=1}+P{X=3,Y=2}+P{X=3,Y=3}+P{Y=3,X=0}+P{Y=3,X=1}+P{Y=3,X=2}=0.05+0.05+0.05+0.06+0.01+0.02+0.04=0.28P{V=4}=P{X=4,Y=0}+P{X=4,Y=1}+P{X=4,Y=2}+P{X=4,Y=3}=0.07+0.06+0.05+0.06=0.24P{V=5}=P{X=5,Y=0}+……+P{X=5,Y=3}=0.09+0.08+0.06+0.05=0.28〔3顯然U的取值為0,1,2,3P{U=0}=P{X=0,Y=0}+……+P{X=0,Y=3}+P{Y=0,X=1}+……+P{Y=0,X=5}=0.28同理P{U=1}=0.30P{U=2}=0.25P{U=3}=0.17或縮寫成表格形式〔2V 0 1 2 3 4 5Pk0 0.04 0.16 0.28 0.24 0.28〔3 U 0 1 2 3Pk0.28 0.30 0.25 0.17〔4W=V+U顯然W的取值為0,1,……8P{W=0}=P{V=0U=0}=0P{W=1}=P{V=0,U=1}+P{V=1U=0}∵V=max{X,Y}=0又U=min{X,Y}=1不可能上式中的P{V=0,U=1}=0,又P{V=1U=0}=P{X=1Y=0}+P{X=0Y=1}=0.2故P{W=1}=P{V=0,U=1}+P{V=1,U=0}=0.2P{W=2}=P{V+U=2}=P{V=2,U=0}+P{V=1,U=1}=P{X=2Y=0}+P{X=0Y=2}+P{X=1Y=1}=0.03+0.01+0.02=0.06P{W=3}=P{V+U=3}=P{V=3,U=0}+P{V=2,U=1}=P{X=3Y=0}+P{X=0,Y=3}+P{X=2,Y=1}+P{X=1,Y=2}=0.05+0.01+0.04+0.03=0.13P{W=4}=P{V=4,U=0}+P{V=3,U=1}+P{V=2,U=2}=P{X=4Y=0}+P{X=3,Y=1}+P{X=1,Y=3}+P{X=2,Y=2}=0.19P{W=5}=P{V+U=5}=P{V=5,U=0}+P{V=5,U=1}+P{V=3,U=2}=P{X=5Y=0}+P{X=5,Y=1}+P{X=3,Y=2}+P{X=2,Y=3}=0.24P{W=6}=P{V+U=6}=P{V=5,U=1}+P{V=4,U=2}+P{V=3,U=3}=P{X=5,Y=1}+P{X=4,Y=2}+P{X=3,Y=3}=0.19P{W=7}=P{V+U=7}=P{V=5,U=2}+P{V=4,U=3}=P{V=5,U=2}+P{X=4,Y=3}=0.6+0.6=0.12P{W=8}=P{V+U=8}=P{V=5,U=3}+P{X=5,Y=3}=0.05或列表為W 0 1 2 3 4 5 6 7 8P 0 0.02 0.06 0.13 0.19 0.24 0.19 0.12 0.05[二十一]設(shè)隨機變量〔X,Y的概率密度為〔1試確定常數(shù)b；〔2求邊緣概率密度fX<x>,fY<y>〔3求函數(shù)U=max<X,Y>的分布函數(shù)。解：〔1∴〔2〔3Fu<ω>=P{U≤u}=P{>=P{X≤u,Y≤u}=F<u,u>=u<0,FU<u>=0第四章2.[二]某產(chǎn)品的次品率為0.1,檢驗員每天檢驗4次。每次隨機地抽取10件產(chǎn)品進行檢驗,如果發(fā)現(xiàn)其中的次品數(shù)多于1,就去調(diào)整設(shè)備,以X表示一天中調(diào)整設(shè)備的次數(shù),試求E<X>。〔設(shè)諸產(chǎn)品是否是次品是相互獨立的。解：設(shè)表示一次抽檢的10件產(chǎn)品的次品數(shù)為ξP=P〔調(diào)整設(shè)備=P<ξ>1>=1－P<ξ≤1>=1－[P<ξ=0>+P<ξ=1>]1－0.7361=0.2639.因此X表示一天調(diào)整設(shè)備的次數(shù)時X～B<4,0.2639>.P<X=0>=×0.26390×0.73614=0.2936.P<X=1>=×0.26391×0.73613=0.4210,P<X=2>=×0.26392×0.73612=0.2264.P<X=3>=×0.26393×0.7361=0.0541,P<X=4>=×0.2639×0.73610=0.0049.從而E<X>=np=4×0.2639=1.05563.[三]有3只球,4只盒子,盒子的編號為1,2,3,4,將球逐個獨立地,隨機地放入4只盒子中去。設(shè)X為在其中至少有一只球的盒子的最小號碼〔例如X=3表示第1號,第2號盒子是空的,第3號盒子至少有一只球,求E<X>。∵事件{X=1}={一只球裝入一號盒,兩只球裝入非一號盒}+{兩只球裝入一號盒,一只球裝入非一號盒}+{三只球均裝入一號盒}〔右邊三個事件兩兩互斥∴∵事件"X=2"="一只球裝入二號盒,兩只球裝入三號或四號盒"+"兩只球裝二號盒,一只球裝入三或四號盒"+"三只球裝入二號盒"∴同理： 故 5.[五]設(shè)在某一規(guī)定的時間間段里,其電氣設(shè)備用于最大負(fù)荷的時間X〔以分計是一個連續(xù)型隨機變量。其概率密度為求E<X>解：6.[六]設(shè)隨機變量X的分布為X －2 0 2Pk0.4 0.3 0.3求E<X>, E<3X2+5>解：E<X>=<－2>×0.4+0×0.3+2×0.3=－0.2E<X2>=<－2>2×0.4+02×0.3+22×0.3=2.8E<3X2+5>=3E<X2>+E<5>=8.4+5=13.47.[七]設(shè)隨機變量X的概率密度為求〔1Y=2X 〔2Y=e－2x的數(shù)學(xué)期望。解：〔1〔28.[八]設(shè)〔X,Y的分布律為XY123－1010.20.10.10.100.100.30.1<1>求E<X>,E<Y>。<2>設(shè)Z=Y/X,求E<Z>。<3>設(shè)Z=<X－Y>2,求E<Z>。解：〔1由X,Y的分布律易得邊緣分布為XY123－10.20.100.300.100.30.410.10.10.10.30.40.20.41E<X>=1×0.4+2×0.2+3×0.4=0.4+0.4+1.2=2.E<Y>=<－1>×0.3+0×0.4+1×0.3=0.Z=Y/X－1－1/2－1/301/31/21pk0.20.100.40.10.10.1〔2E<Z>=<－1>×0.2+<－0.5>×0.1+<－1/3>×0+0×0.4+1/3×0.1+0.5×0.1+1×0.1=<－1/4>+1/30+1/20+1/10=<－15/60>+11/60=－1/15.Z<X－Y>20<1-1>21<1-0>2或<2-1>24<2-0>2或<1-<-1>>2或<3-1>29<3-0>2或<2-<-1>>216<3-<-1>>2pk0.10.20.30.40〔3E<Z>=0×0.1+1×0.2+4×0.3+9×0.4+16×0=0.2+1.2+3.6=510.[十]一工廠生產(chǎn)的某種設(shè)備的壽命X〔以年計服從指數(shù)分布,概率密度為工廠規(guī)定出售的設(shè)備若在一年內(nèi)損壞,可予以調(diào)換。若工廠出售一臺設(shè)備可贏利100元,調(diào)換一臺設(shè)備廠方需花費300元。試求廠方出售一臺設(shè)備凈贏利的數(shù)學(xué)期望。解：一臺設(shè)備在一年內(nèi)損壞的概率為故設(shè)Y表示出售一臺設(shè)備的凈贏利則 故11.[十一]某車間生產(chǎn)的圓盤直徑在區(qū)間〔a,b服從均勻分布。試求圓盤面積的數(shù)學(xué)期望。解：設(shè)X為圓盤的直徑,則其概率密度為用Y表示圓盤的面積,則12.[十三]設(shè)隨機變量X1,X2的概率密度分別為求〔1E<X1+X2>,E<2X1－3>；〔2又設(shè)X1,X2相互獨立,求E<X1X2>解：〔1=〔2=〔313.[十四]將n只球〔1～n號隨機地放進n只盒子〔1～n號中去,一只盒子裝一只球。將一只球裝入與球同號的盒子中,稱為一個配對,記X為配對的個數(shù),求E<X>解：引進隨機變量i=1,2,…n則球盒對號的總配對數(shù)為Xi的分布列為Xi:10P:i=1,2……n∴i=1,2……n14.[十五]共有n把看上去樣子相同的鑰匙,其中只有一把能打開門上的鎖,用它們?nèi)ピ囬_門上的鎖。設(shè)抽取鑰匙是相互獨立的,等可能性的。若每把鑰匙經(jīng)試開一次后除去,試用下面兩種方法求試開次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望。〔1寫出X的分布律,〔2不寫出X的分布律。解：〔1X123……nP……〔2設(shè)一把一把鑰匙的試開,直到把鑰匙用完。設(shè)i=1,2……n則試開到能開門所須試開次數(shù)為Xii0P∵E<Xi>=i=1,2……n∴15.〔1設(shè)隨機變量X的數(shù)學(xué)期望為E<X>,方差為D<X>>0,引入新的隨機變量〔X*稱為標(biāo)準(zhǔn)化的隨機變量：驗證E<X*>=0,D<X*>=1〔2已知隨機變量X的概率密度。求X*的概率密度。解：〔1D<X*>=E[X*－E<X>*]]2=E<X*2>==〔216.[十六]設(shè)X為隨機變量,C是常數(shù),證明D<X><E{<X－C>2},對于C≠E<X>,〔由于D<X>=E{[X－E<X>]2},上式表明E{<X－C>2}當(dāng)C=E<X>時取到最小值。證明：∵D<X>－E<X－C>2=D<X2>－[E<X>]2－[E<X2>－2CE<X2>+C2=－{[E<X>]2－2CE<X2>+C2}=－[E<X>－C]2<0,∴當(dāng)E<X>≠C時D<X><E<X－C>217.設(shè)隨機變量X服從指數(shù)分布,其概率密度為其中θ>0是常數(shù),求E<X>,D<X>。解：又D<X>=E<X2>－E2<X>=2θ2－θ2=θ221．設(shè)X1,X2,…,Xn是相互獨立的隨機變量且有,i=1,2,…,n.記,.〔1驗證〔2驗證.〔3驗證E<S2>證明：〔1<利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)2°,3°><利用方差的性質(zhì)2°,3°>〔2首先證于是〔323．[二十五]設(shè)隨機變量X和Y的聯(lián)合分布為：XY－101－1001驗證：X和Y不相關(guān),但X和Y不是相互獨立的。證：∵P[X=1Y=1]=P[X=1]=P[Y=1]=P[X=1Y=1]≠P[X=1]P[Y=1]∴X,Y不是獨立的又 E<X>=－1×+0×+1×=0E<Y>=－1×+0×+1×=0COV<X,Y>=E{[X－E<X>][Y－E<Y>]}=E<XY>－EX·EY=<－1><－1>+<－1>1×+1×<－1>×+1×1×=0∴X,Y是不相關(guān)的27．已知三個隨機變量X,Y,Z中,E<X>=E<Y>=1,E<Z>=－1,D<X>=D<Y>=D<Z>=1,ρXY=0ρXZ=,ρYZ=－。設(shè)W=X+Y+Z求E<W>,D<W>。解：E<W>=E<X+Y+Z>=E<X>+E<Y>+E<Z>=1+1－1=1D<W>=D<X+Y+Z>=E{[<X+Y+Z>－E<X+Y+Z>]2}=E{[X－E<X>]+[Y－E<Y>]+Z－E<Z>}2=E{[X－E<X>]2+[Y－E<Y>]2+[Z－E<Z>]2+2[X－E<X>][Y－E<Y>]+2[Y－E<Y>][Z－E<Z>]+2[Z－E<Z>][X－E<X>]}=D<X>+D<Y>+D<Z>+2COV<X,Y>+2COV<Y,Z>+2COV<Z,X>=D<X>+D<Y>+D<Z>+2+=1+1+1+2×26.[二十八]設(shè)隨機變量〔X1,X2具有概率密度。, 0≤x≤2, 0≤y≤2求 E<X1>,E<X2>,COV〔X1,X2,解： D<X1+X2>=D<X1>+D<X2>+2COV<X1,X2>=28.[二十九]設(shè)X～N〔μ,σ2,Y～N〔μ,σ2,且X,Y相互獨立。試求Z1=αX+βY和Z2=αX－βY的相關(guān)系數(shù)〔其中是不為零的常數(shù).解：由于X,Y相互獨立Cov<Z1,Z2>=E<Z1,Z2>－E<Z1>E<Z2>=E<αX+βY><αX－βY>－<αEX+βEY><αEX－βEY>=α2EX2－βEY2－α2<EX>2+β<EY>2=α2DX－β2DY=<α2－β2>σ2DZ1=α2DX+β2DY=<α2+β2>σ2,DZ2=α2DX+β2DY=<α2+β2>σ2,<利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)2°3°>故29．[二十三]卡車裝運水泥,設(shè)每袋水泥重量〔以公斤計服從N〔50,2.52問最多裝多少袋水泥使總重量超過2000的概率不大于0.05.解：已知X～N〔50,2.52不妨設(shè)最多可裝A袋水泥才使總重量超過2000的概率不大于0.05.則由期望和方差的性質(zhì)得Y=AX～N〔50A,2.52A.故由題意得P{Y≥2000}≤0.05即 解得A≥39.30.[三十二]已知正常男性成人血液中,每一毫升白細(xì)胞數(shù)平均是7300,均方差是700,利用契比雪夫不等式估計每毫升含白細(xì)胞數(shù)在5200～9400之間的概率p.解：由題意知μ=7300,σ=700,則由契比雪夫不等式31.[三十三]對于兩個隨機變量V,W若E<V2>E<W2>存在,證明[E<VW>]2≤E<V2>E<W2>這一不等式稱為柯西施瓦茲〔Cauchy-Schwarz不等式.證明：由和關(guān)于矩的結(jié)論,知當(dāng)E<V2>,E<W2>存在時E<VW>,E<V>,E<W>,D<V>,D<W>,都存在.當(dāng)E<V2>,E<W2>至少有一個為零時,不妨設(shè)E<V2>=0,由D<V>=E<V2>－[E<V>]2≤E<V2>=0知D<V>=0,此時[E<V>]2=E<V2>=0即E<V>=0。再由方差的性質(zhì)知P<V=0>=1.又故有P<VW=0>=1.于是E<VW>=0,不等式成立.當(dāng)E<V2>>0,E<W2>>0時,對有E<W－tV>2=E<V2>t2－2E<VW>t+E<W2>≥0.<*><*>式是t的二次三項式且恒非負(fù),所以有?=[－2E<VW>]2－4E<V2>E<W2>≤0故Cauchy-Schwarz不等式成立。[二十一]〔1設(shè)隨機變量X1,X2,X3,X4相互獨立,且有E<Xi>=i,D<Xi>=5－i,i=1,2,3,4。設(shè)Y=2X1－X2+3X3－X4,求E<Y>,D<Y>?！?設(shè)隨機變量X,Y相互獨立,且X～N〔720,302,Y～N〔640,252,求Z1=2X+Y,Z2=X－Y的分布,并求P{X>Y},P{X+Y>1400}解：〔1利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)2°,3°有E<Y>=2E<X1>－E<X2>+3E<X3>－E<X4>=7利用數(shù)學(xué)方差的性質(zhì)2°,3°有D<Y>=22D<X1>+<－1>2D<X2>+32D<X3>+<>2D<X4>=37.25〔2根據(jù)有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布,知Z1～N〔·,·,Z2～N〔·,·而EZ1=2EX+Y=2×720+640,D<Z1>=4D<X>+D<Y>=4225EZ2=EX－EY=720－640=80,D<Z2>=D<X>+D<Y>=1525即Z1～N〔2080,4225, Z2～N〔80,1525P{X>Y}=P{X－Y>0}=P{Z2>0}=1－P{Z2≤0}=P{X+Y>1400}=1－P{X+Y≤1400}同理X+Y～N〔1360,1525則P{X+Y>1400}=1－P{X+Y≤1400}=[二十二]5家商店聯(lián)營,它們每周售出的某種農(nóng)產(chǎn)品的數(shù)量〔以kg計分別為X1,X2,X3,X4,X5,已知X1～N〔200,225,X2～N〔240,240,X3～N〔180,225,X4～N〔260,265,X5～N〔320,270,X1,X2,X3,X4,X5相互獨立?！?求5家商店兩周的總銷售量的均值和方差；〔2商店每隔兩周進貨一次,為了使新的供貨到達前商店不會脫銷的概率大于0.99,問商店的倉庫應(yīng)至少儲存多少公斤該產(chǎn)品？解：〔1令為總銷售量。已知EX1=200,EX2=240,EX3=180,EX4=260,EX5=320,D<X1>=225,D<X2>=240,D<X3>=225,D<X4>=265,D<X5>=270,利用數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)3°有利用方差的性質(zhì)3°有〔2設(shè)商店倉庫儲存a公斤該產(chǎn)品,使得P{Y≤a}>0.99由相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布,并注意到〔1,得Y～N〔1200,1225查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知∴a至少取1282.第五章大數(shù)定理和中心極限定理1．[一]據(jù)以往經(jīng)驗?zāi)撤N電器元件的壽命服從均值為100小時的指數(shù)分布,現(xiàn)在隨機的抽取16只,設(shè)它們的壽命是相互獨立的,求這16只元件壽命總和大于1920小時的概率。解：設(shè)第i只壽命為Xi,〔1≤i≤16,故E<Xi>=100,D<Xi>=1002<l=1,2,…,16>.依本章定理1知從而3．[三]計算機在進行加法時,對每個加數(shù)取整〔取為最接近它的整數(shù),設(shè)所有的取整誤差是相互獨立的,且它們都在〔－0.5,0.5上服從均勻分布,〔1若將1500個數(shù)相加,問誤差總和的絕對值超過15的概率是多少？〔2幾個數(shù)相加在一起使得誤差總和的絕對值小于10的概率不小于0.90解：〔1設(shè)取整誤差為Xi〔,1500,它們都在〔－0.5,0.5上服從均勻分布。于是：8．某藥廠斷言,該廠生產(chǎn)的某種藥品對于醫(yī)治一種疑難的血液病的治愈率為0.8,醫(yī)院檢驗員任意抽查100個服用此藥品的病人,如果其中多于75人治愈,就接受這一斷言,否則就拒絕這一斷言?！?若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.8,問接受這一斷言的概率是多少？〔2若實際上此藥品對這種疾病的治愈率是0.7,問接受這一斷言的概率是多少？解：設(shè)X為100人中治愈的人數(shù),則X～B<n,p>其中n=100〔1〔2p=0.7由中心極限定理知7．[七]一復(fù)雜的系統(tǒng),由100個互相獨立起作用的部件所組成。在整個運行期間每個部件損壞的概率為0.10。為了整個系統(tǒng)起作用至少必需有85個部件工作。求整個系統(tǒng)工作的概率?！?一個復(fù)雜的系統(tǒng),由n個互相獨立起作用的部件所組成,每個部件的可靠性〔即部件工作的概率為0.90。且必須至少有80%部件工作才能使整個系統(tǒng)工作,問n至少為多少才能使系統(tǒng)的可靠性不低于0.95。解：〔1設(shè)每個部件為Xi<i=1,2,……100>設(shè)X是100個相互獨立,服從〔0－1分布的隨機變量Xi之和X=X1+X2+……+X100由題設(shè)知 n=100P{Xi=1}=p=0.9,P{Xi=0}=0.1E<Xi>=p=0.9D<Xi>=p<1－p>=0.9×0.1=0.09n·E<Xi>=100×0.9=90,nD<Xi>=100×0.09=9 = =由中心極限定理知 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表 =φ<1.67> =0.9525解：〔2設(shè)每個部件為Xi<i=1,2,……n>P{Xi=1}=p=0.9,P{Xi=0}=1－p=0.1E<Xi>=p=0.9, D<Xi>=0.9×0.1=0.09由問題知 求n=?而 = =1－由中心極限定理知 =查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表得解得n≥24.35取n=25,即n至少為25才能使系統(tǒng)可靠性為0.95.[八]隨機地取兩組學(xué)生,每組80人,分別在兩個實驗室里測量某種化合物的PH值,各人測量的結(jié)果是隨機變量,它們相互獨立,且服從同一分布,其數(shù)學(xué)期望為5,方差為0.3,以分別表示第一組和第二組所得結(jié)果的算術(shù)平均：〔1求P{4.9<}〔2}解：由中心極限定理知～N<0,1> ～N<0,1>〔1〔2由Xi,Yj的相互獨立性知獨立。從而U,V獨立。于是U－V～N<0,2>而=2×0.8749－1=0.7498[九]某種電子器件的壽命〔小時具有數(shù)學(xué)期望μ〔未知,方差σ2=400為了估計μ,隨機地取幾只這種器件,在時刻t=0投入測試〔設(shè)測試是相互獨立的直到失敗,測得其壽命X1,…,Xn,以作為μ的估計,為使問n至少為多少？解：由中心極限定理知,當(dāng)n很大時=所以查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布表知即n至少取1537。第六章樣本及抽樣分布1.[一]在總體N〔52,6.32中隨機抽一容量為36的樣本,求樣本均值落在50.8到53.8之間的概率。解：2.[二]在總體N〔12,4中隨機抽一容量為5的樣本X1,X2,X3,X4,X5.〔1求樣本均值與總體平均值之差的絕對值大于1的概率?！?求概率P{max<X1,X2,X3,X4,X5>>15}.〔3求概率P{min<X1,X2,X3,X4,X5>>10}.解：〔1=〔2P{max<X1,X2,X3,X4,X5>>15}=1－P{max<X1,X2,X3,X4,X5>≤15}=〔3P{min<X1,X2,X3,X4,X5><10}=1－P{min<X1,X2,X3,X4,X5>≥10}=4.[四]設(shè)X1,X2…,X10為N〔0,0.32的一個樣本,求解：7．設(shè)X1,X2,…,Xn是來自泊松分布π<λ>的一個樣本,,S2分別為樣本均值和樣本方差,求E<>,D<>,E<S2>.解：由X~π<λ>知E<X>=λ,∴E<>=E<X>=λ,D<>=[六]設(shè)總體X~b<1,p>,X1,X2,…,Xn是來自X的樣本?！?求的分布律；〔2求的分布律；〔3求E<>,D<>,E<S2>.解：〔1〔X1,…,Xn的分布律為=〔2<由第三章習(xí)題26[二十七]知>〔3E<>=E<X>=P,[八]設(shè)總體X~N〔μ,σ2,X1,…,X10是來自X的樣本?！?寫出X1,…,X10的聯(lián)合概率密度〔2寫出的概率密度。解：〔1<X1,…,X10>的聯(lián)合概率密度為〔2由第六章定理一知～即的概率密度為第七章參數(shù)估計1．[一]隨機地取8只活塞環(huán),測得它們的直徑為〔以mm計74.001 74.005 74.003 74.001