淺談向量混合積的應用

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摘要向量代數(shù)在數(shù)學學習過程中有著很重要的作用，本文重點列舉了向量的混合積在微分

幾何、立體幾何、空間解析幾何及數(shù)學分析等方面的應用，從而表達了向量的混合積應用的廣泛性.關(guān)鍵詞向量；混合積

向量的混合積在實際應用中在不同的方面都有著廣泛的作用，下面就混合積

在各領域的運用予以舉例說明.

混合積的定義給定空間的三個矢量a,b,c，假使先做前兩個矢量a和b的失性積，再做所得的矢量與第三個矢量c的數(shù)性積，最終得到的這個數(shù)叫做三矢量

?????????a,b,c的混合積，記做(a?b)?c或(a,b,c)或(abc).

?????????性質(zhì)1三個不共面矢量a,b,c的混合積的絕對值等于以a,b,c為棱的平行六面體的體積V，并且當a,b,c構(gòu)成右手系時混合積是正數(shù)；當a,b,c構(gòu)成左手系時，混合積是負數(shù)，也就是有

(abc)??V,

???????????????當a,b,c是右手系時??1;當a,b,c是左手系時???1.

性質(zhì)2三矢量a,b,c共面的充要條件是(a,b,c)?0.

性質(zhì)3輪換混合積的三個因子，并不改變它的值，對調(diào)任何兩個因子要改變乘積符號，即

(abc)?(bca)?(cab)??(bac)??(cba)??(acb).

??????????????????????????????推論(a?b)?c=a?(b?c).

性質(zhì)3假使a?X1i?Y1j?Z1k,b?X2i?Y2j?Z2k,c?X3i?Y3j?Z3k,那么

(abc)?X2X3?????????????????????X1Y1Y2Y3Z1Z2.Z3?一、在微分幾何中的應用

引理1向量函數(shù)r(t)具有固定長的充要條件是對于t的每個值，r?(t)都與

r(t)垂直.

??2證明（必要性）若r(t)?常數(shù)，則有r(t)?r(t)?常數(shù)，等號兩邊求微分有2r(t)?r?(t)?0,故r(t)?r?(t).

??dr(t)2?0，故r(t)=常數(shù)，即r(t)（充分性）若r(t)?r?(t)則r(t)?r?(t)?0,即dt??????????2??2有固定長.

引理2向量函數(shù)r(t)具有固定方向的充要條件是對于t的每個值，

r?(t)?r(t)=0.

????證明（必要性）若r(t)具有固定方向，則可設r(t)??(t)a（a為單位常向量）

r?(t)???(t)a+?(t)a????(t)a

?????????r?r?(t)??(t)a???(t)a??(t)???(t)a?a?0.

??????（充分性）若r?(t)?r(t)=0，設r(t)??(t)a(t)（a(t)為單位向量，需證

a?(t)?0）

????????r?(t)???(t)a(t)+?(t)a?(t)

???又由于r?r?(t)??(t)???(t)a(t)?a(t)??(t)a(t)?a?(t)??(t)a(t)?a?(t)?0所以a(t)?a?(t)?0

而[a(t)?a?(t)]?[a(t)?a?(t)]?[a(t)?a?(t)]?a(t)?a?(t)?[a(t)?a?(t)]?0.又由于a(t)為單位向量，故a(t)?1，由引理1又有a(t)?a?(t)?0故[a(t)?a?(t)]=a?(t)?0，即a?(t)?0，所以a(t)=常向量,

即r(t)??(t)a（a為單位常向量），r(t)具有固定方向.

定理1向量函數(shù)r(t)平行于固定平面的充要條件是對于t的每個值，

????????2????????2??2?????2?????2?2??2??2????2??(r,r?,r??)?0.

???證明（必要性）設固定平面的單位法向量為n，依題意r(t)?n，則

r(t)?n?0，從而r?(t)?n?0,r??(t)?n?0，即r(t)，r?(t)，r??(t)與n都垂直，它們

?????????????共面，故(r,r?,r??)?0.

r??(t)共面，r?(t)，r?(t)共線，（充分性）由已知r(t)，若r(t)，即r(t)?r?(t)=0.

???????????又由于r(t)?0，由引理2可知r(t)具有固定方向，故r(t)平行于固定平面.

若r(t)，r?(t)不共線，即r(t)?r?(t)?0，則由r(t)，r?(t)，r??(t)共面則有

r??(t)??(t)r(t)??(t)r?(t)，記n(t)?r(t)?r?(t),則

n?(t)?[r(t)?r?(t)]??r?(t)?r?(t)?r(t)?r??(t)?r(t)?r??(t)??(t)r(t)?r?(t)??(t)n(t)，

??????????????????????????????從而n(t)?n?(t)?0,，但n?(t)?0,故由引理2得n(t)具有固定方向，n(t)?n0（常向量）

又r(t)?n0，故r(t)平行于以n0為法方向的平面，r(t)平行于固定平面.二、在立體幾何中的應用

1求解體積問題

定理三個不共面的向量a,b,c的混合積的絕對值是以a,b,c為棱的平行六面體的體積.

例1求證平行六面體ABCD?A?B?C?D?的體積是以AC,AD?,AB?為棱的平行六面體的體積的一半.

證明設平行六面體ABCD?A?B?C?D?的體積為V,以AC,AD?,AB?為棱的平行六面體的體積記為V?.

又設AB?a，AD?b,AA??c，則

V??(AC,AD?,AB?)

???????????????????????????????????(a?b,b?c,c?a)

??????=(a?b)?(b?c)?(c?a)

=(a?b?a?c?b?b?b?c)?(c?a)

????????????????????????????=a?b?c?a?b?a?a?c?c?a?c?a?b?c?c?b?c?a

???=2a?b?c

???=2(a,b,c)

=2V命題得證.2求異面直線的距離

定理設兩條異面直線L1,L2的方程分別為

L1:x?x1y?y1z?z1??m1n1p1x?x2y?y2z?z2??m2n2p2L2:??其中s1?(m1,n1,p1),s2?(m2,n2,p2)分別是直線L1,L2的方向向量，M1(x1,y1,z1)，

M2(x2,y2,z2)分別是直線L1,L2上的已知點，則異面直線是我距離為

m1(s1?s2)?M1M2d?s1?s2?????n1n2y2?y1im1m2jn1n2kp1p2p1p2z2?z1m2?x2?x1

例2設空間兩條異面直線L1,L2的方程分別為

L1:x?2y?3z?4??112x?1y?1zL2:??33?1??解兩條直線的方向向量分別為s1?(1,1,2),s2?(3,2,?1)，兩條直線分別過點

M1(2,3,4)，M1(?1,1,0)，得M1M2?(?3,?2,?4),所以三向量s1，s2，M1M2不共

????面，由定理得

1(s1?s2)?M1M2d?s1?s2?????12jk22?1=

3=

?3?2?1i11562?5626232?1所以兩條異面直線之間的距離為

d?562.62例3已知AC1為棱長為a的正方體,求異面直線BD和AC1之間的距離.解如圖

建立如下圖的坐標系,易得異面直線BD和AC1的方程分別為

AC1:x?0y?0z?0??aaax?0y?0z?0BD:???aa0???所以三個不共面的向量分別為AC1?(a,a,a),BD?(?a,a,0),AB?(a,0,0).根據(jù)定理得

(AC1?BD)?ABd?AC1?BD??????6a.6計算結(jié)果與中學立體幾何中求得的結(jié)果完全一致,但是用向量代數(shù)知識處理更加便利、快捷.

三、在空間解析幾何中的應用

在空間解析幾何中的應用我們主要看看一題多解的狀況，從而來看混合積解題的優(yōu)點.

?y?3x?5例4一直線通過A(?3,5,?9)且與兩直線L1:?，L2?z?2x?3?y?4x?7:?相?z?5x?10

交，求此直線方程.

解1過點A與直線L1,L2分別決定兩個平面?1與?2，則這兩個平面的交線即為所求.

將L1化為對稱式，

?y?5z?3L1:x??,方向向量a?(1,3,2)

32在L1上取一點P1?(0,5,?3)，則AP1?(3,0,6)

?????i?j?k所以過點A與直線L1的平面?1的法向量n1?a?AP1?13因而平面?1的方程為18(x?3)?9(z?9)?0，即

2x?z?3?0.

302?(18,0,?9)6同理，過點A與直線L2所確定的平面?2的方程為；

34x?y?6z?53?0.

即所求直線方程為

2x?z?3?0?.?34x?y?6z?53?0?解2應用平面束方程來求解,

過直線L1的平面方程為2x?z?3??(3x?y?5)?0（1）（?為任意實數(shù)），又點A(?3,5,?9)在平面上，將點A帶入（1），得??0.

所以平面?1:2x?z?3?0.

過直線L2的平面方程為4x?y?7??(5x?z?10)?0（2）（?為任意實數(shù)），又點A(?3,5,?9)在平面上，將點A帶入（2），得??6.

所以平面?2:34x?y?6z?53?0.

2x?z?3?0?.從而所求直線方程為?34x?y?6z?53?0?解3應用混合積求解

在所求直線上任取一點P(x,y,z)，在L1上取一點P1?(0,5,?3)，L1的方向向

量為a?(1,3,2)，則三向量AP,AP1,a共面，從而混合積(AP,AP1,a)?0.即

x?331y?5z?90362?????????0，即?1:2x?z?3?0.

同理在L2上取一點P2?(0,?7,10)，L2的方向向量為a?(1,4,5)，則三向量

AP,AP2,a共面，從而混合積(AP,AP2,a)?0.即

??????x?331y?5z?9?12419?0，即?2:34x?y?6z?53?0.52x?z?3?0?.所以所求直線方程為??34x?y?6z?53?0四、在數(shù)學分析中的應用

利用混合積證明三重積分的變量代換

引理1設e1,e2,e3是三個線性無關(guān)的向量，又設?1,?2,?3是任意三個向量，

?????1?a1e1?a2e2?a3e3???????且??2?b1e1?b2e2?b3e3

???????3?c1e1?c2e2?c3e3?那么

??????(?1,?2,?3)?b1c1???a1a2b2c2a3c3b3(e1,e2,e3)

???證明先作向量積?1??2的運算,

???1??2=(a1e1?a2e2?a3e3)?(b1e1?b2e2?b3e3)

?a1b1(e1?e1)?a2b1(e2?e1)?a3b1(e3?e1)

?????????????????????a1b2(e1?e2)?a2b2(e2?e2)?a3b2(e3?e2)

?a1b3(e1?e3)?a2b3(e2?e3)?a3b3(e3?e3)

???????(a1b2?a2b1)e1?e1?(a1b3?a3b1)e1?e3?(a2b3?a3b2)e2?e3

?a1b1a2b2(e1?e2)?????????a1b1a3b3(e1?e3)???a2b2a3b3(e2?e3)

??這里設

A???a1b1a2b2,B?a1b1a3b3,C?a2b2a3b3

再把?1??2與?3作數(shù)量積運算

?(?1??2)??3=(A(e1?e2)?A(e1?e3)?C(e2?e3))?(c1e1?c2e2?c3e3)

?c1A(e1?e2)?e1?c1B(e1?e3)?e1?c1C(e2?e3)?e1?????????????????????

?c2A(e1?e2)?e1?c2B(e1?e3)?e1?c2C(e2?e3)?e1?c3A(e1?e2)?e1?c3B(e1?e3)?e1?c3C(e2?e3)?e1?c1C(e2?e3)?e1?c2B(e1?e3)?e2?c3A(e1?e2)?e3???????????????????????????

即

(?1??2)??3?c1???a2b2a3b3((e2?e3)?e1)?c2???a1b1a3b3((e1?e3)?e2)?c3???a1b1a2b2((e1?e2)?e3)???這里

(e2?e3)?e1?(e1,e2,e3)(e1?e3)?e2??(e1,e2,e3)

所以

a1a2b2c2a3c3a3????????????(?1??2)??3?b1c1即

(?1,?2,?3)?b1c1??????b3(e1?e2)?e3c3???a1a2b2c2b3(e1,e2,e3)證畢.

???例5利用坐標變換證明下面命題

設函數(shù)x(u,v,w),y(u,v,w),z(u,v,w)在uvw空間某個閉區(qū)間??上有連續(xù)的一階偏導數(shù)，變換