求數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和方法總匯

本文格式為Word版，下載可任意編輯——求數(shù)列通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和方法總匯求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用幾種方法

數(shù)列知識是高考中的重要考察內(nèi)容,而數(shù)列的通項(xiàng)公式又是數(shù)列的核心內(nèi)容之一,它宛如函數(shù)中的解析式一樣,有了解析式便可研究起性質(zhì)等;而有了數(shù)列的通項(xiàng)公式便可求出任一項(xiàng)以及前N項(xiàng)和等.因此,求數(shù)列的通項(xiàng)公式往往是解題的突破口,關(guān)鍵點(diǎn).故將求數(shù)列通項(xiàng)公式的方法做一總結(jié),希望能對廣大考生的復(fù)習(xí)有所幫助.下面就談?wù)勄髷?shù)列通項(xiàng)公式的幾種方法：

1、類型1an?1?an?f(n)

解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an?1?an?f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。

1，求an。2n?n1111???解：由條件知：an?1?an?2n?nn(n?1)nn?1例:已知數(shù)列?an?滿足a1?，an?1?an?12分別令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)個(gè)等式累加之，即(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)????????(an?an?1)

1111111?(1?)?(?)?(?)????????(?)

22334n?1n111131所以an?a1?1?，?a1?，?an??1???

n22n2n2、類型2an?1?f(n)an

a解法：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為n?1?f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)

an求解。

例:已知數(shù)列?an?滿足a1?，an?1?解：由條件知

23nan，求an。n?1an?1n，分別令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)?ann?1個(gè)等式累乘之，即

aaa2a3a4123n?1221??????????n????????????n?又?a1?，?an?n33na1a2a3an?1234a1n3n?1an(n?1)，求an。例:已知a1?3，an?1?3n?23(n?1)?13(n?2)?13?2?13?1???????a1解：an?3(n?1)?23(n?2)?23?2?23?2

1

3n?43n?7??3n?13n?4

?526??3?853n?1。

3、類型3an?1?pan?q（其中p，q均為常數(shù)，(pq(p?1)?0)）。

解法（待定系數(shù)法）：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為：an?1?t?p(an?t)，其中

t?q，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解。1?p例:已知數(shù)列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an.

解：設(shè)遞推公式an?1?2an?3可以轉(zhuǎn)化為an?1?t?2(an?t)即an?1?2an?t?t??3.故遞推公式為an?1?3?2(an?3),令bn?an?3，則

b1?a1?3?4,且

bn?1an?1?32為公比的??2.所以?bn?是以b1?4為首項(xiàng)，

bnan?3等比數(shù)列，則bn?4?2n?1?2n?1,所以an?2n?1?3.

變式:遞推式：an?1?pan?f?n?。解法：只需構(gòu)造數(shù)列?bn?，消去f?n?帶來的差異．

4、類型4an?1?pan?qn（其中p，q均為常數(shù)，(pq(p?1)(q?1)?0)）。（或an?1?pan?rqn,其中p，q,r均為常數(shù)）。

解法：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以qn?1，得：

an?1pan1anp1引入輔助數(shù)列（其中），得：再b?b??????b?bn?1nnnqn?1nn待定系數(shù)法解決。

例:已知數(shù)列?an?中，a1?,an?1?an?()n?1，求an。

解：在an?1?an?()n?1兩邊乘以2n?1得：2n?1?an?1?(2n?an)?1令bn?2n?an，則bn?1?bn?1,解之得：bn?3?2()n所以

an?bn1n1n?3()?2()n23223231312235613125、類型5遞推公式為an?2?pan?1?qan（其中p，q均為常數(shù)）。解法一(待定系數(shù)法)：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an?2?san?1?t(an?1?san)?s?t?p其中s，t滿足?

st??q?例:已知數(shù)列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?an?1?an，求an。解：由an?2?an?1?an可轉(zhuǎn)化為an?2?san?1?t(an?1?san)

231323132

2?1s?t??s?1??s?????3即an?2?(s?t)an?1?stan????31或?1t???st????3??t?1?3?1?s?1?s???這里不妨選用?，則3，大家可以試一試）?1（當(dāng)然也可選用?t????3?t?1?11an?2?an?1??(an?1?an)??an?1?an?是以首項(xiàng)為a2?a1?1，公比為?的

331等比數(shù)列,所以an?1?an?(?)n?1,應(yīng)用類型1的方法，分別令

3n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)個(gè)等式累加之，即

11?(?)n?11113an?a1?(?)0?(?)1????????(?)n?2?又?a1?1，所以

13331?3731an??(?)n?1。

443f(n)an6、類型6an?1?

g(n)an?h(n)解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為an?1?pan?q。例：已知數(shù)列｛an｝滿足：an?式。

解：取倒數(shù)：

?1?13?an?1?11???是等差數(shù)列，??3?anan?1an?1?an?111??(n?1)?3?1?(n?1)?3?an?3n?2ana1an?1,a1?1，求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公

3?an?1?17、類型71、利用sn和n的關(guān)系求an思路：當(dāng)n=1時(shí)，an=sn當(dāng)n≥2時(shí),an=sn-sn-1

例6、已知數(shù)列前項(xiàng)和s=n2+1,求{an}的通項(xiàng)公式.

解：當(dāng)n=1時(shí)，an=sn＝2當(dāng)n≥2時(shí),an=sn-sn-1＝n+1-[(n-1)2+1]=2n-1

而n=1時(shí)，a1=2不適合上式∴當(dāng)n=1時(shí)，an=2當(dāng)n≥2時(shí),

3

an=2n-1

2、利用sn和an的關(guān)系求an

思路：利用an=sn-sn-1可以得到遞推關(guān)系式，這樣我們就可以利用前面講過的方法求解

例７、在數(shù)列｛an｝中，已知sn=3+2an，求an解：即an=sn-sn-1=3+2an-(3+2an-1)

an=2an-1∴｛an｝是以２為公比的等比數(shù)列∴an=a1·2n-1=-3×2n-1

8、倒數(shù)變換——將遞推公式an?1?數(shù)得

1d11???.an?1canc3an，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.an?3can(c、d為非零常數(shù))取倒an?d例6在數(shù)列{an}中，a1?2,an?1?解：∵an?1?∴

3anan?3111111??，即??an?1an3an?1an3∴{}是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列

11116?n?，∴an??112n?1an36n?36

4

1an1213求數(shù)列前N項(xiàng)和的常用方法

一.用倒序相加法求數(shù)列的前n項(xiàng)和

假使一個(gè)數(shù)列{an}，與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫與倒著寫的兩個(gè)和式相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。我們在學(xué)知識時(shí)，不但要知其果，更要索其因，知識的得出過程是知識的源頭，也是研究同一類知識的工具，例如：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)，用的就是“倒序相加法〞。

例題1：設(shè)等差數(shù)列{an}，公差為d，求證：{an}的前n項(xiàng)和Sn=n(a1+an)/2解：Sn=a1+a2+a3+...+an①

倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1②

①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn=n(a2+an)Sn=n(a1+an)/2

點(diǎn)撥：由推導(dǎo)過程可看出，倒序相加法得以應(yīng)用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即與首末項(xiàng)等距的兩項(xiàng)之和等于首末兩項(xiàng)之和的這一等差數(shù)列的重要性質(zhì)來實(shí)現(xiàn)的。二.用公式法求數(shù)列的前n項(xiàng)和

對等差數(shù)列、等比數(shù)列，求前n項(xiàng)和Sn可直接用等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式進(jìn)行求解。運(yùn)用公式求解的本卷須知：首先要注意公式的應(yīng)用范圍，確定公式適用于這個(gè)數(shù)列之后，再計(jì)算。

例題2：求數(shù)列

的前n項(xiàng)和Sn

解：

點(diǎn)撥：這道題只要