應(yīng)力和應(yīng)變理論

應(yīng)力和應(yīng)變理論第1頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四塑性成形是利用金屬的塑性，在外力作用下使其成形的一種加工方法。作用于金屬的外力可分為兩類：1作用在金屬表面上的力，稱為面力或者接觸力，它可以是集中力，一般情況下是分布力。面力可以分為作用力、反作用力和摩擦力。作用力是由塑性加工設(shè)備提供的，用于使金屬坯料發(fā)生塑性變形。反作用力是工具反作用于金屬坯料的力。一般情況下，作用力與反作用力互相平行，并組成平衡力系。摩擦力是金屬在外力作用下產(chǎn)生塑性變形時，在金屬與工具的接觸面上產(chǎn)生阻止金屬流動的力。該力的存在往往引起變形力的增加，對金屬的塑性成形往往是有害的。2作用在金屬物體每個質(zhì)點上的力，稱為體積力。體積力是與變形力內(nèi)各質(zhì)點的質(zhì)量成正比的力，如重力、磁力和慣性力等。第2頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四第一節(jié)應(yīng)力空間第3頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四一應(yīng)力的概念在外力的作用下，變形體內(nèi)各質(zhì)點就會產(chǎn)生相互作用的力，稱為內(nèi)力。單位面積上的內(nèi)力稱為應(yīng)力。圖11-1a在F面上圍繞Q點取一很小的面積ΔF，該小面積上內(nèi)力的合力為ΔP，則定義為截面F上Q點的全應(yīng)力。全應(yīng)力S是一個矢量，可以分解成兩個分量，垂直于截面的正應(yīng)力σ和平行于截面的切應(yīng)力τ。顯然有圖11-1面力、內(nèi)力和應(yīng)力第4頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四一應(yīng)力的概念若將截取的下半部分放入空間坐標(biāo)系Oxyz中，并使截面F的法線方向N平行于y軸（圖11-1b），則全應(yīng)力S在三個坐標(biāo)軸上的投影稱為應(yīng)力分量，它們是σy、τyx、τ

yz

。在變形體內(nèi)各點的應(yīng)力情況一般是不同的。對于任一點而言，過Q點可以作無限多的切面，在不同方向的切面上，Q點的應(yīng)力是不同的。僅用某一個切面的應(yīng)力不足以全面表示該點的應(yīng)力情況。為了全面表示一點的應(yīng)力情況，下面引入點的應(yīng)力狀態(tài)的概念。第5頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四設(shè)在直角坐標(biāo)系Oxyz中有一承受任意力系的變形體，過變形體內(nèi)任意點Q切取一六面體作為單元體，其棱邊分別平行于三坐標(biāo)軸。在互相垂直的微分面上的全應(yīng)力都可以按坐標(biāo)軸方向分解成一個正應(yīng)力和兩個切應(yīng)力分量，這樣，在三個互相垂直的微分面上就有三個正應(yīng)力分量和六個切應(yīng)力分量，共計9個應(yīng)力分量，它們是σxx,σyy,σzz,τxy,τyx,τyz,τzy，τzx,τxz。它們可以完整地描述一點的應(yīng)力狀態(tài)，如圖11-2所示。按應(yīng)力分量的符號規(guī)定，兩個下角標(biāo)相同的正應(yīng)力分量，例如σxx

表示x面上平行于x軸的正應(yīng)力分量，可簡寫為σx

；兩個下角標(biāo)不同的是切應(yīng)力分量，例如τxy

表示x面上平行于y軸的切應(yīng)力分量。將9個應(yīng)力分量寫成矩陣的形式為：二、直角坐標(biāo)系中一點的應(yīng)力狀態(tài)圖11-2直角坐標(biāo)系中單元體的應(yīng)力分量第6頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四二、直角坐標(biāo)系中一點的應(yīng)力狀態(tài)應(yīng)力分量有正、負號，確定方法為：當(dāng)單元體的外法線指向坐標(biāo)軸正向的微分面叫做正面，反之為負面。在正面上指向坐標(biāo)軸正向的應(yīng)力分量取正號，指向相反方向的取負號。負面上的應(yīng)力分量則相反。按此規(guī)定，正應(yīng)力分量以拉為正，以壓為負。由于單元體處于靜力平衡狀態(tài)，故繞單元體各軸的合力矩等于零，由此導(dǎo)出切應(yīng)力互等定理：實際上，一點的應(yīng)力狀態(tài)中的9個應(yīng)力分量只有6個是互相獨立的，它們組成對稱的應(yīng)力張量σij若過一點的三個互相垂直的微分面上的九個應(yīng)力分量已知，則借助靜力平衡條件，該點任意方向上的應(yīng)力分量可以確定。第7頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四二、直角坐標(biāo)系中一點的應(yīng)力狀態(tài)如圖11-3所示，設(shè)過Q點任一斜切面的法線N與三個坐標(biāo)軸的方向余弦為l，m，n，l=cos(N,x);m=cos(N,y);n=cos(N,z)。若斜微分面ABC的面積為dF，微分面OBC(x面)、OCA(y面)、OAB(z面)的微分面積分別為dFx、dFy、dFz，則各微分面之間的關(guān)系為：dFx=ldF；dFy=mdF；dFz=ndF又設(shè)斜微分面ABC上的全應(yīng)力為S，它在三坐標(biāo)軸方向上的分量為Sx、Sy、Sz，由靜力平衡條件ΣPx=0，得：整理得：圖11-3任意斜切微分面上的應(yīng)力用角標(biāo)符號簡記為顯然，全應(yīng)力第8頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四二、直角坐標(biāo)系中一點的應(yīng)力狀態(tài)斜微分面上的正應(yīng)力σ為全應(yīng)力S在法線N方向的投影，它等于Sx,Sy,Sz在N方向上的投影之和，即：斜切微分面上的切應(yīng)力為：所以，已知過一點的三個正交微分面上9個應(yīng)力分量，可以求出過該點任意方向微分面上的應(yīng)力，也就是說，這9個應(yīng)力分量可以全面表示該點應(yīng)力狀況，亦即可以確定該點的應(yīng)力狀態(tài)。如果質(zhì)點處于受力物體的邊界上，則斜切微分面ABC即為變形體的外表面，其上的表面力（外力）T沿三坐標(biāo)軸的分量為Tx、Ty、Tz，其值為簡記為上式稱為應(yīng)力邊界條件。第9頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四三、張量和應(yīng)力張量1角標(biāo)符號和求和約定

成組的符號和數(shù)組用一個帶下角標(biāo)的符號表示，這種符號叫角標(biāo)符號。用角標(biāo)符號表示物理量在坐標(biāo)系中的分量，可以使冗長繁雜的公式在形式上變得簡潔明了。如直角坐標(biāo)系的三根軸x、y、z，可寫成x1、x2、x3，用角標(biāo)符號簡記為xi

(i＝1,2,3)；空間直線的方向余弦l、m、n可寫成lx、ly、lz，簡記為li(i＝x、y、z)。如果一個坐標(biāo)系帶有m個角標(biāo)，每個角標(biāo)取n個值，則該角標(biāo)符號代表著個元素，例如σij(i,j=x,y,z)就包含有9個元素,即9個應(yīng)力分量。在運算中，常遇到n個數(shù)組各元素乘積求和的形式，例如：為了省略求和記號Σ，可以引入如下的求和約定：在算式的某一項中，如果有某個角標(biāo)重復(fù)出現(xiàn)，就表示要對該角標(biāo)自1到n的所有元素求和。根據(jù)這一約定，上式可簡記為：上述重復(fù)出現(xiàn)的角標(biāo)叫啞標(biāo)，而在用角標(biāo)表示的算式中有不重復(fù)出現(xiàn)的角標(biāo)，稱為自由標(biāo)。自由標(biāo)不包含求和的意思，但可以表示該等式代表的個數(shù)。在一個等式中，要分清啞標(biāo)和自由標(biāo)。第10頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四三、張量和應(yīng)力張量2、張量的基本概念有些簡單的物理量，只需要一個標(biāo)量就可以表示，如距離、時間、溫度等。有些物理量是空間矢量，如位移、速度和力等，需要用空間坐標(biāo)系中的三個分量來表示。更有一些復(fù)雜的物理量，如應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)，需要用空間坐標(biāo)系中的三個矢量，即9個分量才能完整地表示，這就需要引入張量的概念。張量是矢量的推廣，可定義為由若干個當(dāng)坐標(biāo)系改變時滿足轉(zhuǎn)換關(guān)系的所有分量的集合。廣義地說，絕對標(biāo)量就是零階張量，其分量數(shù)目為；矢量就是一階張量，有個分量；應(yīng)力狀態(tài)、應(yīng)變狀態(tài)是二階張量，有個分量。表11-1新舊坐標(biāo)系間的方向余弦第11頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四三、張量和應(yīng)力張量設(shè)有某物理量P，它關(guān)于xi(i=1,2,3)的空間坐標(biāo)系存在9個分量Pij

(i,j=1,2,3)。若將xi空間坐標(biāo)系的坐標(biāo)軸繞原點O旋轉(zhuǎn)一個角度，則得到新的空間坐標(biāo)系xk

(k=1',2',3')，如圖11-1所示。新坐標(biāo)系xk

的坐標(biāo)軸關(guān)于原坐標(biāo)系xi

的方向余弦可記為lki

或llj

(k,l=1',2',3'；i,j=1,2,3）。由于cos(xk

,xi

)=cos(xi,xk

)，所以lki

=lik，llj

=ljl。物理量P在新坐標(biāo)系xk的九個分量為Pkl

(k，l=1',2',3')。若這個物理量P在坐標(biāo)系xi

中的9個分量Pij

與坐標(biāo)系xk

中的九個分量Pkl

之間存在下列線性變換關(guān)系：這個物理量被定義為張量，可用矩陣表示Pij

所帶的下標(biāo)數(shù)目是2個，稱為二階張量。張量是滿足一定的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系的分量所組成的集合，它的重要特征是在不同的坐標(biāo)系中分量之間可以用一定的線性關(guān)系來換算。上式為二階張量的判別式。第12頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四三、張量和應(yīng)力張量3、張量的基本性質(zhì)張量具有以下一些基本的性質(zhì)：1)張量不變量張量的分量一定可以組成某些函數(shù)f(Pij

)，這些函數(shù)值與坐標(biāo)軸無關(guān)，它不隨坐標(biāo)而改變，這樣的函數(shù)，叫做張量不變量。二階張量存在三個獨立的不變量。2)張量可以疊加和分解幾個同階張量各對應(yīng)的分量之和或差定義為另一個同階張量。兩個相同的張量之差定義為零張量。3)張量可分為對稱張量、非對稱張量、反對稱張量若張量具有性質(zhì)Pij=Pji，就叫對稱張量；若張量具有性質(zhì)Pij=?Pji，且當(dāng)i=j時對應(yīng)的分量為0，則叫反對稱張量；如果張量Pij≠Pji，就叫非對稱張量。任意非對稱張量可以分解為一個對稱張量和一個反對稱張量。4)二階對稱張量存在三個主軸和三個主值如果以主軸為坐標(biāo)軸，則兩個下角標(biāo)不同的分量均為零，只留下兩個下角標(biāo)相同的三個分量，叫作主值。第13頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四三、張量和應(yīng)力張量4、應(yīng)力張量設(shè)受力物體內(nèi)一點的應(yīng)力狀態(tài)在xi(i=x,y,z)，坐標(biāo)系中的九個應(yīng)力分量為σij(i,j=x,y,z)，當(dāng)xi坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換到另一坐標(biāo)系xk(k=x’,y’,z’)，其應(yīng)力分量為σkr(k,r=x’,y’,z’)，σij與σkr之間的關(guān)系符合數(shù)學(xué)上張量之定義，即存在線性變換關(guān)系式，即有：σkr=σijlkilrj(i,j=x,y,z;k,r=x’,y’,z’)因此，表示點應(yīng)力狀態(tài)的九個應(yīng)力分量構(gòu)成一個二階張量，稱為應(yīng)力張量，可用張量符號σij表示，即每一分量稱為應(yīng)力張量之分量。根據(jù)張量的基本性質(zhì)，應(yīng)力張量可以疊加和分解、存在三個主軸(主方向)和三個主值(主應(yīng)力)以及三個獨立的應(yīng)力張量不變量。第14頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四四、主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面1、主應(yīng)力由上節(jié)分析可知，如果表示一點的應(yīng)力狀態(tài)的九個應(yīng)力分量為已知，則過該點的斜微分面上的正應(yīng)力σ和切應(yīng)力τ都將隨法線N的方向余弦l,m,n而改變。特殊情況下，斜微分面上的全應(yīng)力S和正應(yīng)力σ重合，而切應(yīng)力τ=0。這種切應(yīng)力為零的微分面稱為主平面，主平面上的正應(yīng)力叫做主應(yīng)力。主平面的法線方向稱為應(yīng)力主方向或應(yīng)力主軸。圖11-5中的三個主平面互相正交，設(shè)斜微分面ABC是待求的主平面，面上的切應(yīng)力為0，正應(yīng)力即為全應(yīng)力，σ=s。于是，主應(yīng)力在三個坐標(biāo)軸上的投影為圖11-5主平面上的應(yīng)力左式整理得第15頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四四、主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面上式是一齊次線性方程組，l,m，n為未知數(shù)，其解為應(yīng)力主軸方向。此方程組的一組解為l=m=n=0，但由解析幾何可知，方向余弦之間必須滿足即l,m,n不能同時為零，必須尋求非零解。為了求得非零解，只有滿足齊次線性方程組式的系數(shù)組成的行列式等于零的條件，即展開行列式，整理后得令上式可寫成即應(yīng)力狀態(tài)特征方程第16頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四四、主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面2、應(yīng)力張量不變量對于一個確定的應(yīng)力狀態(tài)，主應(yīng)力只有一組值，即主應(yīng)力具有單值性。由此，上式中的系數(shù)J1、J2、J3也應(yīng)是單值的，而不隨坐標(biāo)系而變。由此得出重要結(jié)論：盡管應(yīng)力張量的各分量隨坐標(biāo)而變，但組成的函數(shù)值是不變的，所以將J1、J2、J3稱為應(yīng)力張量第一、第二、第三不變量。如果取三個主方向為坐標(biāo)軸，并用1、2、3代替x,y,z，這時應(yīng)力張量可寫為在主軸坐標(biāo)系中斜微分面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力為因此，應(yīng)力張量的三個不變量為第17頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四四、主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面3、應(yīng)力橢球面第18頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四四、主應(yīng)力、應(yīng)力張量不變量和應(yīng)力橢球面4、主應(yīng)力圖受力物體內(nèi)一點的應(yīng)力狀態(tài)可用作用在單元體上的主應(yīng)力來描述，只用主應(yīng)力的個數(shù)及符號來描述一點的應(yīng)力狀態(tài)的簡圖稱為主應(yīng)力圖。其表示出主應(yīng)力的個數(shù)及正負號，并不表明作用應(yīng)力的大小。主應(yīng)力圖共有9種(圖11-6)，其中三向應(yīng)力狀態(tài)的四種，兩向應(yīng)力狀態(tài)的三種，單向應(yīng)力狀態(tài)的兩種。在兩向和三向主應(yīng)力圖中，各向主應(yīng)力符號相同時，稱為同號主應(yīng)力圖，符號不同時稱為異號主應(yīng)力圖，根據(jù)主應(yīng)力圖，可定性比較某一種材料采用不同的塑性成形工序加工時塑性和變形抗力的差異。第19頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四五、主切應(yīng)力和最大切應(yīng)力與斜微分面上的正應(yīng)力一樣，切應(yīng)力也隨斜微分面的方位而改變。使切應(yīng)力數(shù)值達到極大值的平面稱為主切應(yīng)力平面，其上所作用的切應(yīng)力稱為主切應(yīng)力。經(jīng)分析，在主軸空間中，垂直一個主平面而與另兩個主平面交角為45°的平面就是主切應(yīng)力平面，如圖11-7所示。該面上的主切應(yīng)力為主切應(yīng)力角標(biāo)表示與主切應(yīng)力平面呈45°相交的兩主平面的編號。三個主切應(yīng)力平面也是互相正交。主切應(yīng)力中絕對值最大的一個稱為最大切應(yīng)力，用τmax表示。設(shè)三個主應(yīng)力的關(guān)系為σ1>σ2>σ3，則第20頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四五、主切應(yīng)力和最大切應(yīng)力圖11-7主切應(yīng)力平面上的正應(yīng)力將主切應(yīng)力平面的方向余弦的不同組合代入式P9可以解出作用于主切應(yīng)力平面上的正應(yīng)力值和主切應(yīng)力值，即將上述求解結(jié)果列于下表圖11-7所示的坐標(biāo)平面上，垂直于該主平面的主切應(yīng)力平面有兩組，將各組平面的正面和負面都表示出來，構(gòu)成一個四邊形，在這個主切應(yīng)力平面上的正應(yīng)力相等。第21頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四六、應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量應(yīng)力張量和矢量一樣可以分解成應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量。設(shè)σm

為三個正應(yīng)力分量的平均值，稱平均應(yīng)力（或靜水壓力），即是不變量，與所取的坐標(biāo)無關(guān)。對于一個確定的應(yīng)力狀態(tài)，它是單值的。設(shè)則，根據(jù)張量的性質(zhì)，可將應(yīng)力張量分解成兩個張量之和：或式中，δij是克氏符號，也稱單位張量，當(dāng)i=j時，δij

=1；當(dāng)i≠j時，δij

=0，即第22頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四六、應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量式中的后一張量δijσm

，表示的是一種球應(yīng)力狀態(tài)，也稱靜水應(yīng)力狀態(tài)，稱為應(yīng)力球張量，其任何方向都是主方向，且主應(yīng)力相同，均為平均應(yīng)力σm

。球應(yīng)力狀態(tài)的特點是在任何切平面上都沒有切應(yīng)力，所以不能使物體產(chǎn)生形狀變化，而只能產(chǎn)生體積變化，即不能使物體產(chǎn)生塑性變形。上式中的第二項稱為應(yīng)力偏張量，它是由原應(yīng)力張量σij減去應(yīng)力球張量δijσm后得到的。應(yīng)力偏張量的切應(yīng)力分量、主切應(yīng)力、最大切應(yīng)力及應(yīng)力主軸等都與原應(yīng)力張量相同。因此，應(yīng)力偏張量只使物體產(chǎn)生形狀變化，而不能產(chǎn)生體積變化。材料的塑性變形是由應(yīng)力偏張量引起的。應(yīng)力偏張量是二階對稱張量，它同樣存在三個不變量，分別用J1’、J2’、J3’表示。將應(yīng)力偏張量的分量代入應(yīng)力狀態(tài)特征方程，得第23頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四六、應(yīng)力偏張量和應(yīng)力球張量對于主軸坐標(biāo)系，有應(yīng)力偏張量對塑性加工是一個十分重要的概念，可以用來表示不同的變形類型。第24頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四七、等效應(yīng)力在力學(xué)分析中，材料的各種極限值，如σs、σb，通常是在單向拉伸、壓縮試驗中測出的。為了使塑性變形中的復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)能與這些極限值相比較，人們引入“等效應(yīng)力”的概念，把復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值折合成單向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力值。等效應(yīng)力在主軸坐標(biāo)系中定義為在任意坐標(biāo)系中定義為等效應(yīng)力不能在特定微分平面上表示出來，但它可以在一定意義上“代表”整個應(yīng)力狀態(tài)中的偏張量部分，因而與材料的塑性變形密切有關(guān)。人們把它稱為廣義應(yīng)力或應(yīng)力強度。等效應(yīng)力也是一個不變量。對于單向應(yīng)力狀態(tài)，設(shè)代入主軸坐標(biāo)系中等效應(yīng)力的定義式，可得：σ1=。由此可見，等效應(yīng)力等于單向均勻拉伸（壓縮）時的應(yīng)力σ1。第25頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四八、應(yīng)力莫爾(Mohr)圓第26頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四九、應(yīng)力平衡微分方程一般認為，應(yīng)力是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，即。設(shè)受力物體中有一點Q，坐標(biāo)為x，y，z，應(yīng)力狀態(tài)為σij，在Q點的無限鄰近處有一點Q’，坐標(biāo)為(x+dx)、(y+dy)、(z+dz)，則形成一個邊長為dx、dy、dz的平行六面體，圖11-8。由于坐標(biāo)的微量變化，Q’點的應(yīng)力要比Q點的應(yīng)力增加一個微量，即為σij+dσij。例如，在Q’點的x面上，由于坐標(biāo)的變化，其正應(yīng)力分量將為Q’點的應(yīng)力狀態(tài)因此可以寫為第27頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四單元體六個面上的應(yīng)力分量，如圖11-8所示。九、應(yīng)力平衡微分方程圖11-8靜力平橫狀態(tài)下的六面體上的應(yīng)力因為六面體處于靜力平衡狀態(tài)，則由平衡條件ΣPx=0,有由此得同理，由ΣPy=0和ΣPz=0，可得質(zhì)點的應(yīng)力平衡微分方程的另外兩個等式，合并寫為簡記為在單元體平面上，切應(yīng)力互等定律同樣成立，即下式。第28頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四九、應(yīng)力平衡微分方程例11-1在直角坐標(biāo)系中，一點的應(yīng)力狀態(tài)表示成張量的形式為要求:1）畫出該點的應(yīng)力單元體；2）用應(yīng)力狀態(tài)特征方程求出該點的主應(yīng)力和主方向；3）畫出該點的應(yīng)力莫爾圓，并在應(yīng)力莫爾圓上標(biāo)出應(yīng)力單元體的微分面（即x、y、z平面）。解：1）應(yīng)力單元體如右圖11-11所示。2）將各應(yīng)力分量代入應(yīng)力張量不變量的應(yīng)力狀態(tài)特征方程式，可得：代入應(yīng)力狀態(tài)特征方程，得：或解得將應(yīng)力分量代入式齊次線性方程組聯(lián)合寫成方程組：第29頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四九、應(yīng)力平衡微分方程為求主方向，可將解得的三個主應(yīng)力值，分別代入上述方程組的前三式中的任意兩式，并與第四式聯(lián)立求解，可求得三個主方向的方向余弦為對于σ1：對于σ2：對于σ3：3）根據(jù)三個主應(yīng)力值，求得三個圓的圓心分別為O1(5,0),O2(2.5,0),O3(-2.5,0)三個圓的半徑分別為：5,7.5,2.5。應(yīng)力單元體的微分面在應(yīng)力莫爾圓上的位置見圖11-12的標(biāo)示。圖11-12應(yīng)力莫爾圓第30頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四第二節(jié)應(yīng)變空間第31頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四物體在力的作用下內(nèi)部質(zhì)點的相對位置和形狀發(fā)生變化，即產(chǎn)生了變形。應(yīng)變是一個表示變形大小的物理量。類似于點的應(yīng)力狀態(tài)，點的應(yīng)變狀態(tài)也是二階對稱張量，故與應(yīng)力張量有很多類似的特性。但應(yīng)變分析主要是幾何學(xué)和運動學(xué)問題，它和物體中的位移場或速度場有密切的聯(lián)系；同時，對于小變形和大變形，其應(yīng)變的表示方法是不同的；對于彈性變形和塑性變形，考慮的角度也不盡相同，解決彈性和小塑性變形問題時主要用全量應(yīng)變，而解決塑性成形問題時主要用應(yīng)變增量或應(yīng)變速率。應(yīng)變狀態(tài)分析的最主要的目標(biāo)是建立應(yīng)變及應(yīng)變速率的幾何方程，并為描述應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系作準(zhǔn)備。第32頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四一、應(yīng)變的概念1定義(以單向均勻拉伸為例，如圖P25311-18—單向拉伸桿件)(1)工程應(yīng)變(相對應(yīng)變、條件應(yīng)變)

ε--每單位原長的伸長量(2)對數(shù)應(yīng)變(自然應(yīng)變、真空應(yīng)變)

ε*--代表一尺寸的無限小增量與該變形瞬時尺寸的比值的積分工程應(yīng)變的無限小增量表示直線單元長度的變化與它原來長度l0之比，即對數(shù)程應(yīng)變的無限小增量表示直線單元長度的變化與它的瞬時長度之比，即第33頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四一、應(yīng)變的概念2分析(1)工程應(yīng)變—不能表示變形的真實情況，變形程度越大，誤差越大。當(dāng)變形程度小于10%時，ε與ε*的數(shù)值比較接近；反之，誤差逐漸增加。(2)對數(shù)應(yīng)變?yōu)榭杉討?yīng)變，工程應(yīng)變?yōu)椴豢杉討?yīng)變。(3)對數(shù)應(yīng)變?yōu)榭杀葢?yīng)變，工程應(yīng)變?yōu)椴豢杀葢?yīng)變。如某物體拉長一倍后ε拉=1=100%；縮短一倍后ε壓=-0.5=-50%。拉長一倍與壓縮一倍，物體的變形程度應(yīng)該是一樣的(體積不變)。然而，如用工程應(yīng)變表示拉壓的變形程度，則數(shù)值相差懸殊，失去可以比較的性質(zhì)。但用對數(shù)應(yīng)變表示拉壓兩種不同性質(zhì)的變形程度，并不失去可以比較的性質(zhì)。如某物體拉長一倍后ε*拉=ln2=69%；縮短一倍后ε*壓=ln1/2=-69%。對于微小應(yīng)變，用上述兩種量度求出來的應(yīng)變（和應(yīng)變增量）值幾乎是一樣的。第34頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四二、應(yīng)變與位移的關(guān)系變形體內(nèi)質(zhì)點M（x，y，z）變形后移動到M1，把它們在變形前后的直線距離稱為位移，如圖1a中的MM1，位移是矢量。在坐標(biāo)系中，一點的位移矢量在三個坐標(biāo)軸上的投影稱為該點的位移分量，用u、v、w表示，或用角標(biāo)符號ui

表示，如圖1b所示。圖1受力物體內(nèi)一點的位移及分量根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，位移是坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，而且一般都有一階偏導(dǎo)數(shù)，即：或物體中某點產(chǎn)生了位移，還不表明物體產(chǎn)生了變形，只有質(zhì)點間產(chǎn)生相對位移，才會引起物體變形。例如，與M相鄰質(zhì)點M′(x+dx,y+dy,z+dz)在變形中產(chǎn)生位移矢量u′，即u+δu，和M相比，產(chǎn)生了位移增量δu，或M′與M之間相對位置變化量。如果δu=0，兩質(zhì)點間沒有相對位移，MM′沒有產(chǎn)生變形，僅僅產(chǎn)生了剛體移動。第35頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四二、應(yīng)變與位移的關(guān)系圖2a中設(shè)單元體平面PABC僅僅在xy坐標(biāo)平面內(nèi)發(fā)生了很小的拉變形，變成了P1A1B1C1。單元體內(nèi)各線元長度都發(fā)生了變化，例如線元PB由原來r變成r1=r+δr，于是把單位長度的變化定義為線元PB的線應(yīng)變。對于平行于坐標(biāo)軸的線元分別有又設(shè)：該單元體在xy平面內(nèi)發(fā)生了角度的變化(切變形)，圖2b，線元PC和PA所夾的直角縮小了φ，相當(dāng)于C點在垂直于PC方向偏移了δrτ，表明變形后兩棱邊PC和PA的夾角減小了φyx，稱為工程切應(yīng)變。圖15-2b所示的φyx

可以看成是由線元PA和PC同時向內(nèi)偏移相同的角度γxy

和γyx

而成，如圖2c所示，且把γxy

和γyx

定義為切應(yīng)變。γxy表示x方向的線元向y方向偏轉(zhuǎn)的角度。第36頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四二、應(yīng)變與位移的關(guān)系圖2單元體在xy坐標(biāo)平面內(nèi)的變形第37頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四三、應(yīng)變張量分析如圖3所示，在直角坐標(biāo)系中切取一平行于坐標(biāo)平面的微分六面體PABC-DEFG，邊長分別為rx

、ry

和rz

，小變形后移至P1A1B1C1?D1E1F1G1，即變成一斜平行六面體。這時，單元體同時發(fā)生了線變形、剪變形、剛性平移和轉(zhuǎn)動。設(shè)單元體先平移至變形后的位置，然后再發(fā)生變形，其變形可以分解為：(1)在x、y、z方向上線元的長度發(fā)生改變，其線應(yīng)變分別為圖3單元體的變形(2)單元體分別在x面、y面和z面內(nèi)發(fā)生角度偏轉(zhuǎn)，產(chǎn)生切應(yīng)變?yōu)榈?8頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四三、應(yīng)變張量分析和一點的三個互相垂直的微分面上9個應(yīng)力分量決定該點的應(yīng)力狀態(tài)一樣，質(zhì)點的三個互相垂直方向上的9個應(yīng)變分量確定了該點的應(yīng)變狀態(tài)。已知這九個應(yīng)變分量，可以求出給定任意方向上的應(yīng)變，這表明對應(yīng)不同坐標(biāo)系應(yīng)變分量之間有確定的變換關(guān)系。這9個應(yīng)變分量組成一個應(yīng)變張量，由于其中γij

=γji，故應(yīng)變張量也是二階對稱張量，可用εij

表示為或應(yīng)變張量與應(yīng)力張量具有同樣的性質(zhì)，主要有：(1)存在三個互相垂直的主方向，在該方向上線元只有主應(yīng)變而無切應(yīng)變。用表示主應(yīng)變，則主應(yīng)變張量為：主應(yīng)變可由應(yīng)變狀態(tài)特征方程求得第39頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四三、應(yīng)變張量分析(2)存在三個應(yīng)變張量不變量I1、I2、I3，且對于塑性變形，由體積不變條件，I1=0(3)在與主應(yīng)變方向成45°方向上存在主切應(yīng)變，其大小為若，則最大切應(yīng)變?yōu)榈?0頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四三、應(yīng)變張量分析(4)應(yīng)變張量可以分解為應(yīng)變球張量和應(yīng)變偏張量式中，為平均應(yīng)變；為應(yīng)變偏張量，表示變形單元體形狀變化；為應(yīng)變球張量，表示變形單元體體積變化。(5)存在應(yīng)變張量的等效應(yīng)變等效應(yīng)變的特點是一個不變量，在數(shù)值上等于單向均勻拉伸或均勻壓縮方向上的線應(yīng)變。等效應(yīng)變又稱廣義應(yīng)變，在屈服準(zhǔn)則和強度分析中經(jīng)常用到它。第41頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四三、應(yīng)變張量分析(6)與應(yīng)力莫爾圓一樣，可以用應(yīng)變莫爾圓表示一點的應(yīng)變狀態(tài)。設(shè)已知主應(yīng)變和的值，且，可以在ε?γ平面上，分別以為圓心，以為半徑畫三個圓，如圖4，稱為應(yīng)變莫爾圓。圖4應(yīng)變莫爾圓所有可能的應(yīng)變狀態(tài)都落在陰影線范圍內(nèi)。由圖可知，最大切應(yīng)變?yōu)榈?2頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四三、應(yīng)變張量分析--塑性變形體積不變條件設(shè)單元體的初始邊長為dx、dy、dz，則變形前的體積為小變形時，可以認為只有線應(yīng)變引起邊長和體積的變化，而切應(yīng)變所引起的邊長和體積的變化是高階微量，可以忽略不計。因此變形后的單元體體積為單元體體積的變化（單位體積變化率）在塑性成形時，由于物體內(nèi)部質(zhì)點連續(xù)且致密，可以認為體積不發(fā)生變化，因此上式稱為體積不變條件。它表明，塑性變形時三個正應(yīng)變之和等于零,說明三個正應(yīng)變分量不可能全部同號。第43頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四四、小應(yīng)變幾何方程、應(yīng)變連續(xù)方程1小應(yīng)變幾何方程物體變形后，體內(nèi)各質(zhì)點產(chǎn)生了位移，并因此而產(chǎn)生應(yīng)變。因此，位移場與應(yīng)變場都是空間坐標(biāo)的連續(xù)函數(shù)，可以用位移表示應(yīng)變。下面先看圖5。圖5位移分量與應(yīng)變分量的關(guān)系設(shè)單元體棱邊長度為dx、dy、dz，它在xoy平面上的投影為abdc，變形后的投影移至a1b1d1c1,a點變形后移到a1點后，所產(chǎn)生的位移分量為u、v，則b點和c點的位移增量為第44頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四四、小應(yīng)變幾何方程、應(yīng)變連續(xù)方程根據(jù)圖中的幾何關(guān)系，可以求出棱邊ac(dx)在x方向的線應(yīng)變εx為以及棱邊ab(dy)在y方向的線應(yīng)變由圖中的幾何關(guān)系，可得因為，其值遠小于1，所以有同理得則工程切應(yīng)變?yōu)榈?5頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四四、小應(yīng)變幾何方程、應(yīng)變連續(xù)方程切應(yīng)變?yōu)榘凑胀瑯拥姆椒ǎ蓡卧w在yoz和zox坐標(biāo)平面上投影的幾何關(guān)系，得其余應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系式，綜合在一起為用角標(biāo)符號可簡記為上式六個方程表示小變形時位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系，是由變形幾何關(guān)系得到的，稱為小應(yīng)變幾何方程，又稱柯西幾何方程。如果物體中的位移場已知，則可由上述小應(yīng)變幾何方程求得應(yīng)變場。第46頁，共52頁，2023年，2月20日，星期四四、小應(yīng)變幾何方程、應(yīng)變連續(xù)方程2應(yīng)變連續(xù)方程由小應(yīng)變幾何方程可知，三個位移分量一經(jīng)確定，六個應(yīng)變分量也就確定，顯然，它們不應(yīng)是任意的。只有這六