第9講 恒定電流的磁場(III)(B425)

電磁場與電磁波Field

and

Wave

Electromagnetics4/7/20231Review磁偶極子磁介質(zhì)的磁化磁場強度磁介質(zhì)中的場方程恒定磁場的邊界條件2恒定磁場的邊界條件如同靜電場和恒定電流場，磁場在經(jīng)過磁介質(zhì)的界面后也會發(fā)生突變。場矢量在不同介質(zhì)的界面上的變化規(guī)律叫做邊界條件分析不連續(xù)性處的特性往往使用描述場分布的積分方程恒定磁場的邊界條件研究磁場強度及磁感應(yīng)強度在界面兩側(cè)的關(guān)系。3恒定磁場的邊界條件磁感應(yīng)強度的邊界條件在場論中，凡用閉合面積分表述基本方程的場量，它的邊界條件一定以法向分量描述?；仡櫞磐ㄟB續(xù)性原理積分形式：4恒定磁場的邊界條件Note1：恒定磁場的磁感應(yīng)強度在介質(zhì)分界面上 法向分量連續(xù)Note2：恒定磁場的磁場強度法向分量在介質(zhì)分 界面上一般不連續(xù)5恒定磁場的邊界條件磁場強度的邊界條件在場論中，凡用閉合回路積分表述基本方程的場量，它的邊界條件一定以切向分量描述?；仡櫚才喹h(huán)路定律積分形式：6恒定磁場的邊界條件顯然，b是與積分路徑成右手螺旋關(guān)系，而l為分界面的切向方向，且為路徑的長度方向矢量，n為分界面法向方向，亦為路徑寬度方向，利用矢量方向關(guān)系可知：l=b×n7恒定磁場的邊界條件Note1：磁場強度切向分量在界面兩側(cè)一般不連續(xù)Note2：若分界面上無面電流，則磁場強度切向連續(xù)8恒定磁場的邊界條件磁場在無面電流界面兩側(cè)的方向磁力線在越過邊界后會發(fā)生方向的改變當(dāng)面電流為零時：考慮到磁感應(yīng)強度法向連續(xù)性條件：θ1θ29第10講恒定電流的磁場(IV)標(biāo)量磁位恒定磁場與靜電場的比擬電感磁場能量磁場力10標(biāo)量磁位對于恒定磁場，無論是否有電流分布，均可引入磁矢位來確定磁場分布對于無電流分布的區(qū)域或存在永磁體的區(qū)域，可以引入標(biāo)量磁位φm。無電流區(qū)域的安培環(huán)路定律：均勻介質(zhì)磁通連續(xù)性原理：標(biāo)量磁位的拉普拉斯方程：φm為磁場的標(biāo)量位函數(shù)，簡稱標(biāo)量磁位.11標(biāo)量磁位Note：標(biāo)量磁位滿足的方程形式與電位方程一致，可 以采用與靜電場同樣的求解方法標(biāo)量磁位的邊界條件Note1：磁標(biāo)位可方便求解無源區(qū)磁場Note2：永磁體中無自由電流，可用磁標(biāo)位求解，而 永磁體的磁導(dǎo)率遠(yuǎn)大于空氣磁導(dǎo)率，因而空氣 中的磁力線幾乎垂直永磁體表面，其表面成為 等位面，可用靜電比擬法求解。12恒定磁場與靜電場的比擬無源均勻磁介質(zhì)中的恒定磁場和無源區(qū)域均勻電介質(zhì)中的靜電場方程具有對偶性：13恒定磁場(靜磁場)與靜電場的對偶14電感在線性磁介質(zhì)中，任一回路在空間產(chǎn)生的磁場與回路電流成正比，因而穿過任意的固定回路的磁通量Φ也是與電流成正比。如果回路由細(xì)導(dǎo)線繞成N匝，則總磁通量是各匝的磁通之和，稱總磁通為磁鏈，用Ψ表示。對于密繞線圈，可以近似認(rèn)為各匝的磁通相等，從而有Ψ=NΦ。15電感由以上分析知穿過閉合回路的磁鏈與產(chǎn)生它的電流之比和電流本身無關(guān)，而是閉合回路的固有參數(shù)，僅與回路尺寸、幾何形狀、周圍媒質(zhì)的磁導(dǎo)率有關(guān)；猶如帶電導(dǎo)體的電位與產(chǎn)生電位的電量之比不是電量的函數(shù)而是導(dǎo)體的固有參量一樣，在靜電場中用電容來描述該特點，在靜磁場中，引入電感來描述磁體的特性；電感就是磁鏈與產(chǎn)生它的電流之比電感包括自感和互感16電感自感一個回路的自感定義為自身回路的磁鏈和回路電流之比，用L表示。自感的單位是H(亨利)。自感的大小決定于回路的尺寸、形狀以及介質(zhì)的磁導(dǎo)率。17電感互感互感是互感系數(shù)的簡稱，只有兩個回路才涉及互感?；ジ校狠d流I1的回路l1產(chǎn)生的、穿過以回路l2為周界的曲面S2的磁鏈ψ12與電流之比：互感的單位與自感相同。18電感同樣，可以用載流回路C2的磁場在回路C1上產(chǎn)生的磁鏈Ψ21與電流I2的比來定義互感M21；互感的大小也取決于回路的尺寸、形狀以及介質(zhì)的磁導(dǎo)率和回路的匝數(shù)。19電感電感的計算用回路系統(tǒng)自身的幾何參數(shù)來表征電感。當(dāng)導(dǎo)線的直徑遠(yuǎn)小于回路的尺寸而且也遠(yuǎn)小于兩個回路之間的最近距離時，兩回路都可以用軸線的幾何回路代替。設(shè)兩個回路都只有一匝。當(dāng)回路C1載有電流I1時，C2上的磁鏈為：20電感A12為電流I1在C2上的磁矢位，即21電感Note1：互感具有互易性Note2：通常只提及互感，而不需關(guān)注是1與2的互感還是 2與1的互感。Note3：互感可正可負(fù)，當(dāng)電流I1產(chǎn)生的穿過回路l2的磁 力線方向與l2的環(huán)向成右手關(guān)系時，穿過l2的磁 鏈(磁通)為正，M為正，反之為負(fù)。Note4：該互感計算公式稱為紐曼(Neumann)公式。22電感自感計算紐曼公式不僅適用于互感計算，同樣可以用于計算回路的自感。計算回路自感，回路橫截面尺寸不可忽略，假定兩條回路：C1：回路的中心軸線C2：回路的內(nèi)緣回路23電感Note1：自感計算公式僅適用于回路橫截面很小的回路；Note2：僅能計算回路的外自感，與導(dǎo)體內(nèi)部磁通相關(guān)的 內(nèi)自感無法用該公式計算。Note3：實際中，對于能用電流容易求出磁感應(yīng)強度的問 題，直接用互感定義求解：24電感計算一個導(dǎo)體的自感的步驟如下：根據(jù)給定的幾何形狀選擇合適的坐標(biāo)系；假設(shè)導(dǎo)線中的電流為I；如果存在對稱性，就利用安培環(huán)路定律從I求出B；如不存在對稱性，就必須用畢奧-薩伐定律來求B；用積分方法，從B求出每一圈所交鏈的磁通Φ

；其中S是B在其上存在并與假設(shè)的電流交鏈的面積；用匝數(shù)乘Φ

，求出磁鏈數(shù)Ψ；計算比例，從而求出L。25電感例2求無限長平行雙導(dǎo)線 單位長外自感。解：設(shè)導(dǎo)線中電流為I 由無限長導(dǎo)線磁場公式 可得兩導(dǎo)線軸線所在 平面上的磁感應(yīng)強度為

磁場的方向與導(dǎo)線回路平面垂直。單位長度上的外磁鏈為26磁場能量為簡單起見，先計算兩個分別載流I1和I2的電流回路系統(tǒng)所儲存的磁場能量。假定回路的形狀、相對位置不變，同時忽略焦耳熱損耗。在建立磁場的過程中，兩回路的電流分別為i1(t)和i2(t)最初，i1=0，i2=0最終，i1=I1,i2=I2。在這一過程中，電源作的功轉(zhuǎn)變成磁場能量。Note：系統(tǒng)的總能量只與系統(tǒng)最終的狀態(tài)有關(guān)，與建立狀 態(tài)的方式無關(guān)。27磁場能量為計算這個能量先假定回路2的電流為零，求出回路1中的電流i1從零增加到I1時，電源作的功W1；再假定回路1中的電流I1不變，求出回路2中的電流從零增加到I2時，電源作的功W2。從而得出這一過程中，電源對整個回路系統(tǒng)作的總功Wm=W1+W2。28磁場能量保持回路2的電流i2=0：回路1中的電流i1在dt時間內(nèi)有一個增量di1,周圍空間的磁場將發(fā)生改變，回路1和2的磁通分別有增量dΨ11和dΨ12，相應(yīng)地在兩個回路中要產(chǎn)生感應(yīng)電勢E1=－dΨ11/dt和E2=－dΨ12/dt。感應(yīng)電勢的方向總是阻止電流增加。為使回路1中的電流得到增量di1,必須在回路1中外加電壓U1=－E1；為使回路2電流為零，也必須在回路2加上電壓U2=－E2。所以在dt時間里，電源作功為29磁場能量在回路的電流從零到I1的過程中，電源作功為回路1電流I1保持不變，使回路2的電流從零增到I2：若在dt時間內(nèi)，電流i2有增量di2，這時回路1中感應(yīng)電勢為E1=－dΨ21/dt，回路2中的感應(yīng)電勢為E2=－dΨ22/dt。為克服感應(yīng)電勢，必須在兩個回路上加上與感應(yīng)電勢反向的電壓。在dt時間內(nèi)，電源作功為dW2=M21I1di2+L2i2di2回路1電流保持不變時，電源作功總量為

30磁場能量電源對整個電流回路系統(tǒng)所作的總功為自能與回路1鉸鏈的總磁通31磁場能量N個電流回路系統(tǒng)，其磁能為Iidli=JdV32磁場能量類似于靜電場能量可用電場矢量D和E表示，磁場能量也可用磁場矢量B和H表示，并由此得出磁通密度的概念?；仡櫒尅罤=J

33磁場能量考慮到A∝r-1，H∝r-2，S∝r2當(dāng)積分區(qū)域V趨于無窮時，面積分項為零[定義]磁場能量密度：Note1：單位J/m3Note2：單一回路磁能的表達式為：該回路自感為：34磁場能量例3求無限長圓柱導(dǎo)體單位長度的內(nèi)自感[解]設(shè)導(dǎo)體半徑為a