《點(diǎn)集拓?fù)渲v義》第四章 連通性 學(xué)習(xí)筆記

本文格式為Word版，下載可任意編輯——《點(diǎn)集拓?fù)渲v義》第四章連通性學(xué)習(xí)筆記第4章連通性

本章探討拓?fù)淇臻g的幾種拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，包括連通性，局部連通性和弧連通性，并且涉及某些簡(jiǎn)單的應(yīng)用．這些拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)的研究也使我們能夠區(qū)別一些互不同胚的空間．

§4.1連通空間

本節(jié)重點(diǎn):

把握連通與不連通的定義；

把握如何證明一個(gè)集合的連通與否；

把握連通性的拓?fù)洳蛔冃?、有限可積性、可商性．

我們先通過(guò)直觀(guān)的方式考察一個(gè)例子．在實(shí)數(shù)空間R中的兩個(gè)區(qū)間（0，l）和［1，2），盡管它們互不相交，但它們的并（0，1）∪［l，2）＝（0，2）卻是一個(gè)“整體〞；而另外兩個(gè)區(qū)間（0，1）和（1，2），它們的并（0，1）∪（1，2）是明顯的兩個(gè)“部分〞．產(chǎn)生上述不可憐形的原因在于，對(duì)于前一種情形，區(qū)間（0，l）有一個(gè)凝聚點(diǎn)1在［1，2）中；而對(duì)于后一種情形，兩個(gè)區(qū)間中的任何一個(gè)都沒(méi)有凝聚點(diǎn)在另一個(gè)中．我們通過(guò)以下的定義，用術(shù)語(yǔ)來(lái)區(qū)別這兩種情形．

定義4.1.1設(shè)A和B是拓?fù)淇臻gX中的兩個(gè)子集．假使

則稱(chēng)子集A和B是隔離的．

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明顯地，定義中的條件等價(jià)于和同時(shí)成立，也就是

說(shuō)，A與B無(wú)交并且其中的任何一個(gè)不包含另一個(gè)的任何凝聚點(diǎn)．

應(yīng)用這一術(shù)語(yǔ)我們就可以說(shuō)，在實(shí)數(shù)空間R中，子集（0，1）和（1，2）是隔離的，而子集（0，l）和[1，2)不是隔離的．

又例如，易見(jiàn)，平庸空間中任何兩個(gè)非空子集都不是隔離的，而在離散空間中任何兩個(gè)無(wú)交的子集都是隔離的．

定義4.1.2設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g．假使X中有兩個(gè)非空的隔離子集A和B使得X=A∪B，則稱(chēng)X是一個(gè)不連通空間；否則，則稱(chēng)X是一個(gè)連通空間．

顯然，包含著多于兩個(gè)點(diǎn)的離散空間是不連通空間，而任何平庸空間都是連通空間．

定理4.1.1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g．則以下條件等價(jià)：（l）X是一個(gè)不連通空間；

（2）X中存在著兩個(gè)非空的閉子集A和B使得A∩B=（3）X中存在著兩個(gè)非空的開(kāi)子集A和B使得A∩B=（4）X中存在著一個(gè)既開(kāi)又閉的非空真子集．

證明條件（l）蘊(yùn)涵（2）:設(shè)（1）成立．令A(yù)和B是X中的兩個(gè)非空的隔離子集使得A∪B＝X，顯然A∩B=

，并且這時(shí)我們有

和A∪B＝X成立；和A∪B＝X成立；

因此B是X中的一個(gè)閉子集；同理A也是一個(gè)X中的一個(gè)閉子集．這證明白集合A和B滿(mǎn)足條件（2）中的要求．

條件（2）蘊(yùn)涵（3）．假使X的子集A和B滿(mǎn)足條件（2）中的要求，所以A、B為閉集，則由于這時(shí)有A＝和B也滿(mǎn)足條件（3）中的要求．

和B=

，因此A、B也是開(kāi)集，所以A

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條件（3）蘊(yùn)涵（4）．假使X的子集A和B滿(mǎn)足條件（3）中的要求，所以A、B是開(kāi)集，則由A＝

和B=

易見(jiàn)A和B都是X中的閉集，因此A、B

是X中既開(kāi)又閉的真（∵A、B≠成立．

，A∪B=X，∴A、B≠X）子集，所以條件（4）

條件（4）蘊(yùn)涵（l）．設(shè)X中有一個(gè)既開(kāi)又閉的非空真子集A．令B=．則

A和B都是X中的非空的閉子集，它們是無(wú)交的并且使得A∪B=X．易見(jiàn)兩個(gè)無(wú)交的閉子集必定是隔離的（由于閉集的閉包仍為自己）．因此（l）成立．

例4.1.1有理數(shù)集Q作為實(shí)數(shù)空間R的子空間是一個(gè)不連通空間．這是由于對(duì)于任何一個(gè)無(wú)理數(shù)r∈R-Q，集合（-∞，r）∩Q＝（－∞，r]∩Q是子空間Q中的一個(gè)既開(kāi)又閉的非空真子集．

定理4.1.2實(shí)數(shù)空間R是一個(gè)連通空間．證明我們用反證法來(lái)證明這個(gè)定理．

假設(shè)實(shí)數(shù)空間R是不連通空間．則根據(jù)定理4.1.1，在R中有兩個(gè)非空閉集A和B使得A∩B=可設(shè)a＜b．令

和A∪B＝R成立．任意選取a∈A和b∈B，不失一般性

=B∩[a,b]．于是∩

=

和

∪

和

是R中的兩個(gè)非空閉

有上界

=A∩[a,b]，和

集分別包含a和b，并且使得b，故有上確界，設(shè)為．由于b，由于＝b將導(dǎo)致b∈

=[a，b]成立．集合

是一個(gè)閉集，所以∈

∩

=∩

，并且因此可見(jiàn)＜

．由矛盾．

∩，而這與矛盾．因此（，b]，也與

∩

=

于是一個(gè)閉集，所以∈

．這又導(dǎo)致∈

定義4.1.3設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集．假使Y作為X的子空間是一個(gè)連通空間，則稱(chēng)Y是X的一個(gè)連通子集；否則，稱(chēng)Y是X的一個(gè)不連通子集．

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拓?fù)淇臻gX的子集Y是否是連通的，依照定義只與子空間Y的拓?fù)溆嘘P(guān)(即Y的連通與否與X的連通與否沒(méi)有關(guān)系．)．因此，假使

，則Y是X

的連通子集當(dāng)且僅當(dāng)Y是Z的連通子集．這一點(diǎn)后面要經(jīng)常用到．

定理4.1.3設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)子集，A，B

Y．則A和B是子空

間Y中的隔離子集當(dāng)且僅當(dāng)它們是拓?fù)淇臻gX中的隔離子集．

因此，Y是X的一個(gè)不連通子集，當(dāng)且僅當(dāng)存在Y中的兩個(gè)非空隔離子集A和B使得A∪B＝Y(jié)(定義)當(dāng)且僅當(dāng)存在X中的兩個(gè)非空隔離子集A和B使得A∪B＝Y(jié)．

證明用

、

分別表示A在Y，X中的閉包．由于

因此根據(jù)隔離子集的定義可見(jiàn)定理成立．

定理4.1.4設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)連通子集．假使X中有隔離子集A和B使得Y

AUB，則或者YA，或者Y

B．

AUB，則

證明假使A和B是X中的隔離子集使得Y

這說(shuō)明A∩Y和B∩Y也是隔離子集．然而（A∩Y）∪（B∩Y）＝（A∪B）∩Y＝Y(jié)

因此根據(jù)定理4.1.3，集合A∩Y和B∩Y中必有一個(gè)是空集．假使A∩Y=

定理4.1.5設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX的一個(gè)連通子集，Z

．則Z也是X的一個(gè)連通子集．

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，據(jù)上式馬上可見(jiàn)YB，假使B∩Y＝，同理可見(jiàn)YA．

X滿(mǎn)足條件

證明假設(shè)Z是X中的一個(gè)不連通子集．根據(jù)定理4.1.3，在X中有非空隔離子集A和B使得Z=A∪B，因此Y

或者Y或者Y

A．B,同理,

．

AUB．由于Y是連通的，根據(jù)定理4.1.4，

這兩種情形都與假設(shè)矛盾．

定理4.1.6設(shè)

，則

是拓?fù)淇臻gX的連通子集構(gòu)成的一個(gè)子集族．假使是X的一個(gè)連通子集．

，＝A∪B．任意選取

連通，根據(jù)∩A，所以是連通的．

證明設(shè)A和B是X中的兩個(gè)隔離子集，使得x∈

，不失一般性，設(shè)x∈A．對(duì)于每一個(gè)γ∈Γ，由于

或者

；由于x∈

定理4.1.4，或者

．根據(jù)定理4.1.3，這就證明白

定理4.1.7設(shè)Y是拓?fù)淇臻gX中的一個(gè)子集．假使對(duì)于任意x，y∈Y存在X中的一個(gè)連通子集

證明假使Y=證Y＝

我們?cè)?jīng)說(shuō)過(guò)，拓?fù)鋵W(xué)的中心任務(wù)便是研究拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)（參見(jiàn)§2．2）．所謂拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，乃是為一個(gè)拓?fù)淇臻g具有必為任何一個(gè)與其同胚的拓?fù)淇臻g所具有的性質(zhì)．事實(shí)上，假使拓?fù)淇臻g的某一特性質(zhì)，它是藉助于開(kāi)集或者藉助于經(jīng)由開(kāi)集定義的其他概念表達(dá)的，則此性質(zhì)必然是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)．

使得x，y∈

Y，則Y是X中的一個(gè)連通子集．

,任意選取a∈Y，簡(jiǎn)單驗(yàn)

，顯然Y是連通的．下設(shè)Y≠

并且a∈．應(yīng)用定理4.1.6，可見(jiàn)Y是連通的．

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拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，假使為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有也必然為它在任何一個(gè)連續(xù)映射下的象所具有，則稱(chēng)這特性質(zhì)是一個(gè)在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)．由于同胚是連續(xù)的滿(mǎn)射，所以在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)必然是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì).

拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)，假使為一個(gè)拓?fù)淇臻g所具有也必然為它的任何一個(gè)商空間所具有，則稱(chēng)這特性質(zhì)是一個(gè)可商性質(zhì)．由于拓?fù)淇臻g到它的商空間的自然的投射是一個(gè)連續(xù)的滿(mǎn)射，所以在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)必然是可商性質(zhì)．

以下定理4.1.8指出，連通性（即一個(gè)拓?fù)淇臻g是連通的這一性質(zhì)）是一個(gè)在連續(xù)映射下保持不變的性質(zhì)．因此，它是拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)，也是可商性質(zhì)．

定理4.1.8設(shè)f:X→Y是從連通空間X到拓?fù)淇臻gY的一個(gè)連續(xù)映射．則f（X）是Y的一個(gè)連通子集．

證明假使f（X）是Y的一個(gè)不連通子集，則存在Y的非空隔離子集A和B使得f（X）＝A∪B．于是

（A）和

（B）是X的非空子集，并且

所以

（A）和（A）∪

（B）是X的非空隔離子集．此外，（B）＝

（A∪B）=

(f(X))=X

這說(shuō)明X不連通．與定理假設(shè)矛盾．

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拓?fù)淇臻g的某種性質(zhì)P稱(chēng)為有限可積性質(zhì)，假使任意n＞0個(gè)拓?fù)淇臻g

都具有性質(zhì)p，蘊(yùn)涵著積空間

例如，簡(jiǎn)單直接證明，假使拓?fù)淇臻g間），則積空間

也具有性質(zhì)p．都是離散空間（平庸空

也是離散空間（平庸空間），因此我們可以說(shuō)

拓?fù)淇臻g的離散性和平庸性都是有限可積性質(zhì)．

根據(jù)定理3．2．9以及緊隨其后的說(shuō)明可見(jiàn)：假設(shè)已知拓?fù)淇臻g的某一特性質(zhì)p是一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì)．為了證明性質(zhì)p是一個(gè)有限可積性質(zhì)，我們只要證明任何兩個(gè)具有性質(zhì)p的拓?fù)淇臻g的積空間也是具有性質(zhì)p的拓?fù)淇臻g．

定理4.1.9設(shè)是連通空間．

證明根據(jù)前一段中的說(shuō)明，我們只要對(duì)于n=2的情形加以證明．首先我們指出：假使同，則

有一個(gè)連通子集同時(shí)包含x和y

使得對(duì)于任何

有

．

兩個(gè)點(diǎn)有一個(gè)坐標(biāo)相

是n個(gè)連通空間．則積空間

也

不失一般性，設(shè)定義映射k：由于

是取常值的映射，

為恒同映射，

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它們都是連續(xù)映射，其中分別是到第1和第2個(gè)坐標(biāo)空間的

)是連通的．此外易

投射．因此，k是一個(gè)連續(xù)映射．根據(jù)定理4.1.8，k(見(jiàn)，

現(xiàn)在來(lái)證明：屬于

，因此它同時(shí)包含x和y．

中任何兩個(gè)點(diǎn)

同時(shí)，則

的某一個(gè)連通子集．這是由于這時(shí)若令

的一個(gè)連通子集

同時(shí)包含x和z，也有

根據(jù)前段結(jié)論，可見(jiàn)有的一個(gè)連通子集

同時(shí)包含y和z．由于z∈，因此根據(jù)定理4.1.6，

是連通的，它同時(shí)包含x和y．于是應(yīng)用定理4.1.7可見(jiàn)

由于n維歐氏空間

是n個(gè)實(shí)數(shù)空間R的笛卡兒積，而實(shí)數(shù)空間R又是一

是一個(gè)連通空間．

是一個(gè)連通空間．

個(gè)連通空間，所以應(yīng)用這個(gè)定理可見(jiàn)，n維歐氏空間

作業(yè):

P1163．5．6．8．14．

§4.2連通性的某些簡(jiǎn)單應(yīng)用

本節(jié)重點(diǎn):

把握實(shí)數(shù)空間R中的連通子集的“形狀〞

把握實(shí)數(shù)空間R的子集中常見(jiàn)的連通子集與不連通子集.

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把握常見(jiàn)的幾種空間的同胚與否的事實(shí).

讓我們回憶實(shí)數(shù)集合R中區(qū)間的確切定義：R的子集E稱(chēng)為一個(gè)區(qū)間，假使它至少包含兩個(gè)點(diǎn)，并且假使a，b∈E，a＜b，則有

[a，b]={x∈R|a≤x≤b}

E

讀者熟知，實(shí)數(shù)集合R中的區(qū)間共有以下9類(lèi)：

（-∞，∞），（a，∞），［a，∞），（-∞，a），(-∞，a］（a，b），（a，b］，［a，b），［a，b］

由于，一方面以上9類(lèi)集合中的每一個(gè)顯然都是區(qū)間；另一方面，假使ER是一個(gè)區(qū)間，可視E有無(wú)上（下）界，以及在有上（下）界的情形下視其上（下）確界是否屬于E，而將E歸入以上9類(lèi)之一

在定理4．1．2中我們證明白實(shí)數(shù)空間R是一個(gè)連通空間．由于區(qū)間（a，∞），（－∞，a）和（a，b）都同胚于R（請(qǐng)讀者自己寫(xiě)出必要的同胚映射），所以這些區(qū)間也都是連通的；由于

根據(jù)定理4．1．5可見(jiàn)區(qū)間[a，∞），（－∞，a]，[a，b），（a，b]和[a，b］都是連通的．

另一方面，假設(shè)E是R的一個(gè)子集，并且它包含著不少于兩個(gè)點(diǎn)．假使E不是一個(gè)區(qū)間，則

；從而，若令

A=（－∞，c）∩E，B=(c，∞)∩E

則可見(jiàn)A和B都是E的非空開(kāi)集，并且有A∪B=E和A∩B=通.

綜合以上兩個(gè)方面，我們已經(jīng)證明白：

，因此E不連

,也就是說(shuō),存在a

定義4.4.1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g，x∈X．假使x的每一個(gè)鄰域U中都包含著x的某一個(gè)連通的鄰域V，則稱(chēng)拓?fù)淇臻gX在點(diǎn)x處是局部連通的．

假使拓?fù)淇臻gX在它的每一個(gè)點(diǎn)處都是局部連通的，則稱(chēng)X是一個(gè)局部連通空間．

回到例4.4.1中所定義的拓?fù)淇臻g

．簡(jiǎn)單證明，在其屬于S的每一個(gè)

點(diǎn)處是局部連通的，而在其屬于T的每一個(gè)點(diǎn)處都不是局部連通的．也因此，盡管

是一個(gè)連通空間，但它卻不是一個(gè)局部連通的空間．

局部連通的拓?fù)淇臻g也不必是連通的．例如，每一個(gè)離散空間都是局部連通空間，但包含著多于兩個(gè)點(diǎn)的離散空間卻不是連通空間．又例如，n維歐氏空間

的任何一個(gè)開(kāi)子空間都是局部連通的（這是由于每一個(gè)球形鄰域都同胚

，因而是連通的），特別，歐氏空間

本身是局部連通的．另

于整個(gè)歐氏空間一方面，歐氏空間

中由兩個(gè)無(wú)交的非空開(kāi)集的并作為子空間就一定不是連通

的（請(qǐng)讀者自己證明）．

此外根據(jù)定義馬上可見(jiàn)：拓?fù)淇臻gX在點(diǎn)x∈X處是局部連通的當(dāng)且僅當(dāng)x的所有連通鄰域構(gòu)成點(diǎn)x處的一個(gè)鄰域基，

定理4.4.1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g．則以下條件等價(jià)：（1）X是一個(gè)局部連通空間；

（2）X的任何一個(gè)開(kāi)集的任何一個(gè)連通分支都是開(kāi)集；（3）X有一個(gè)基，它的每一個(gè)元素都是連通的．證明（1）蘊(yùn)涵（2）．設(shè)C是X的一個(gè)連通分支,

．假使x∈C，

由于U是x的一個(gè)鄰域，所以當(dāng)（1）成立時(shí)x有一個(gè)連通鄰域V包含于U．又由于V∩C包含著點(diǎn)x,所以不是空集，根據(jù)定理4．3．1可見(jiàn)C∈

．因此

．這證明C是屬于它的任何一個(gè)點(diǎn)x的鄰域，因此C是一個(gè)開(kāi)集．

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條件（2）蘊(yùn)涵（3）．若（2）成立，則X的所有開(kāi)集的所有連通分支（它們都是開(kāi)集）構(gòu)成的集族，由于每一個(gè)集合是它的所有連通分支之并，恰是X的一個(gè)基．

條件（3）蘊(yùn)涵(1)．顯然．

我們常用到定理4.4.1的一個(gè)推論：局部連通空間的每一個(gè)連通分支都是開(kāi)集．

定理4.4.2設(shè)X和Y都是拓?fù)淇臻g，其中X是局部連通的．又設(shè)f:X→Y是一個(gè)連續(xù)開(kāi)映射．則f（X）是一個(gè)局部連通空間．

證明根據(jù)定理4.4.1，可設(shè)B是X的一個(gè)基，其中的每一個(gè)元素都是連通的．對(duì)于每一個(gè)B∈B，集合f(B)是連通的，并且由于f是一個(gè)開(kāi)映射，f（B）是Y中的一個(gè)開(kāi)集，因此也是f（X）的一個(gè)開(kāi)集．這證明集族B1={f（B）|B∈B}}是一個(gè)由f（X）的連通開(kāi)集構(gòu)成的族．我們指出B1是f(X)的一個(gè)基，這是由于，假使U是f(X)中的一個(gè)開(kāi)集，則

（U）是X中的一個(gè)開(kāi)集，因此

是B1中某些元素之并．于是根據(jù)定理4.4.l可知f（X）是局部連通的．

根據(jù)定理4.4.2易見(jiàn)，拓?fù)淇臻g的局部連通性是一個(gè)拓?fù)洳蛔冃再|(zhì).定理4.4.3設(shè)

是n≥1個(gè)局部連通空間．則積空間

也是局部連通空間．

證明(略)

應(yīng)用這些定理，有些事情說(shuō)起來(lái)就會(huì)簡(jiǎn)單得多．例如，實(shí)數(shù)空間R由于所有的開(kāi)區(qū)間構(gòu)成它的一個(gè)基，所以它是局部連通的；n維歐氏空間

是n個(gè)R

的積空間，所以它也是局部連通的．當(dāng)然這些事情我們?cè)缇椭懒耍?/p>

作業(yè):

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P1271.2.3.

§4.5道路連通空間

較之于連通空間的概念，道路連通空間這個(gè)概念似覺(jué)更符合我們的直覺(jué)因而易于理解些．我們先定義“道路〞．

定義4.5.1設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g．從單位閉區(qū)間[0，1]→X的每一個(gè)連續(xù)映射f:[0，1]→X叫做X中的一條道路，并且此時(shí)f(0)和f(1)分別稱(chēng)為道路f的起點(diǎn)和終點(diǎn)．當(dāng)x＝f（0）和y＝f（1）時(shí)，稱(chēng)f是X中從x到y(tǒng)的一條道路．起點(diǎn)和終點(diǎn)一致的道路稱(chēng)為閉路，并且這時(shí)，它的起點(diǎn)（也是它的終點(diǎn)）稱(chēng)為閉路的基點(diǎn)．

假使f是X中的一條道路，則道路f的象集f([0，l])稱(chēng)為X中的一條曲線(xiàn)或弧，并且這時(shí)道路f的起點(diǎn)和終點(diǎn)也分別稱(chēng)為曲線(xiàn)f([0,1])的起點(diǎn)和終點(diǎn)．

或許應(yīng)當(dāng)提醒讀者，“道路〞這個(gè)詞在這里所表達(dá)的意思已經(jīng)與我們對(duì)它原有的理解頗有不同，希望讀者不要因此而混淆了我們?cè)谶@里嚴(yán)格定義的道路和曲線(xiàn)這兩個(gè)不同的概念．

定義4.5.2設(shè)X是一個(gè)拓?fù)淇臻g．假使對(duì)于任何x，y，存在著X中的一條從x到y(tǒng)的道路（或曲線(xiàn)），我們則稱(chēng)X是一個(gè)道路連通空間．X中的一個(gè)子集Y稱(chēng)為X中的一個(gè)道路連通子集，假使它作為X的子空間是一個(gè)道路連通空間．(Y是否道路連通與X是否道路連通沒(méi)有關(guān)系)

實(shí)數(shù)空間R是道路連通的．這是由于假使x，y∈R，則連續(xù)映射f:[0，1]→R定義為對(duì)于任何t∈[0,1]有f(t)=x+t(y-x)，便是R中的一條以x為起點(diǎn)以y為終點(diǎn)的道路、也簡(jiǎn)單驗(yàn)證任何一個(gè)區(qū)間都是道路連通的．

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定理4.5.1假使拓?fù)淇臻gX是一個(gè)道路連通空間，則X必然是一個(gè)連通空間．

證明對(duì)于任何x，y∈X，由于X道路連通，故存在從x到y(tǒng)的一條道路f:[0，l]→X這時(shí)曲線(xiàn)f（[0,1]），作為連通空間[0，l]在連續(xù)映射下的象，是X中的一個(gè)連通子集，并且我們有x，y∈f（[0，1]）．因此根據(jù)定理4.1.7可見(jiàn)X是一個(gè)連通空間．

連通空間可以不是道路連通的．我們已經(jīng)指出例4．4．l中的

是一個(gè)連

通空間．不難證明（留作習(xí)題，見(jiàn)習(xí)題第3題）它不是道路連通的．

道路連通與局部連通之間更沒(méi)有必然的蘊(yùn)涵關(guān)系、例如離散空間都是局部連通的，然而包含著多于兩個(gè)點(diǎn)的離散空間不是連通空間，當(dāng)然也就不是道路連通空間了．

定理4.5.2設(shè)X和Y是兩個(gè)拓?fù)淇?/p>