新高考數(shù)學一輪復習《任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念》課時練習(含詳解)

新高考數(shù)學一輪復習《任意角和弧度制、三角函數(shù)的概念》課時練習一 、選擇題LISTNUMOutlineDefault\l3若α為第三象限角，則()A.cos2α＞0B.cos2α＜0C.sin2α＞0D.sin2α＜0LISTNUMOutlineDefault\l3點P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓按逆時針方向運動eq\f(2π,3)弧長到達Q點，則點Q的坐標為()A.(﹣eq\f(1,2),eq\f(\r(3),2))B.(﹣eq\f(\r(3),2),﹣eq\f(1,2))C.(﹣eq\f(1,3),﹣eq\f(\r(3),2))D.(﹣eq\f(\r(3),2),eq\f(1,2))LISTNUMOutlineDefault\l3設(shè)角θ的終邊經(jīng)過點P(﹣3,4)，那么sinθ＋2cosθ等于()A.eq\f(1,5)B.﹣eq\f(1,5)C.﹣eq\f(2,5)D.eq\f(2,5)LISTNUMOutlineDefault\l3已知點P(sinα﹣cosα，tanα)在第一象限，則在[0,2π]內(nèi)α的取值范圍是()A.(eq\f(π,2),eq\f(3π,4))∪(π,eq\f(5π,4))B.(eq\f(π,4),eq\f(π,2))∪(π,eq\f(5π,4))C.(eq\f(π,2),eq\f(3π,4))∪(eq\f(5π,4),eq\f(3π,2))D.(eq\f(π,4),eq\f(π,2))∪(eq\f(3π,4),π)LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，在Rt△PBO中，∠PBO＝90°，以O(shè)為圓心，OB為半徑作圓弧交OP于點A，若弧AB平分△PBO的面積，且∠AOB＝α，則()A.tanα＝αB.tanα＝2αC.sinα＝2cosαD.2sinα＝cosαLISTNUMOutlineDefault\l3如果角α的終邊經(jīng)過點P(sin780°，cos(-330°))，則sinα=()A.eq\f(\r(3),2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(2),2)D．1LISTNUMOutlineDefault\l3在平面直角坐標系xOy中，角α的頂點為坐標原點，始邊在x軸的非負半軸上，終邊經(jīng)過點P(3,4)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2019π,2)))=()A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)LISTNUMOutlineDefault\l3角α的頂點在坐標原點O，始邊在y軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第三象限內(nèi)的點P，且tanα=－eq\f(3,4)；角β的頂點在坐標原點O，始邊在x軸的正半軸上，終邊與單位圓交于第二象限內(nèi)的點Q，且tanβ=－2.對于下列結(jié)論：①Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))；②|PQ|2=eq\f(10＋2\r(5),5)；③cos∠POQ=－eq\f(3,5)；④△POQ的面積為eq\f(\r(5),5).其中正確結(jié)論的編號是()A.①②③B.①②④C.②③④D.①③④二 、多選題LISTNUMOutlineDefault\l3(多選)下列說法正確的是()A.“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位B.1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π)C.1rad的角比1°的角要大D.用弧度制度量角時，角的大小與圓的半徑有關(guān)LISTNUMOutlineDefault\l3(多選)下列結(jié)論正確的是()A.﹣eq\f(7π,6)是第三象限角B.若圓心角為eq\f(π,3)的扇形的弧長為π，則該扇形面積為eq\f(3π,2)C.若角α的終邊過點P(-3,4)，則cosα＝﹣eq\f(3,5)D.若角α為銳角，則角2α為鈍角三 、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，將該矩形按照如圖所示位置放置在直線AP上，然后不滑動的轉(zhuǎn)動，當它轉(zhuǎn)動一周時(A→A1)叫做一次操作，則經(jīng)過5次這樣的操作，頂點A經(jīng)過的路線長等于________.LISTNUMOutlineDefault\l3已知0＜β＜α＜eq\f(π,2)，點P(1,4eq\r(3))為角α終邊上的一點，且sinαsin(eq\f(π,2)﹣β)＋cosαcos(eq\f(π,2)＋β)＝eq\f(3\r(3),14)，則角β＝________.LISTNUMOutlineDefault\l3設(shè)A，B，C為△ABC的三個內(nèi)角，則下列關(guān)系式中恒成立的是(填寫序號).①cos(A＋B)=cosC；②coseq\f(B＋C,2)=sineq\f(A,2)；③sin(2A＋B＋C)=－sinA.LISTNUMOutlineDefault\l3已知角α的終邊經(jīng)過點P(－x，－6)，且cosα=－eq\f(5,13)，則eq\f(1,sinα)＋eq\f(1,tanα)=.LISTNUMOutlineDefault\l3《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學成就的杰出代表作，其中“方田”章給出了計算弧田面積時所用的經(jīng)驗公式，即弧田面積=eq\f(1,2)×(弦×矢＋矢2).弧田(如圖)由圓弧和其所對弦圍成，公式中“弦”指圓弧所對弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差，現(xiàn)有圓心角為eq\f(2π,3)，半徑為6米的弧田，按照上述經(jīng)驗公式計算所得弧田面積大約是平方米.(結(jié)果保留整數(shù)，eq\r(3)≈1.73)LISTNUMOutlineDefault\l3如圖，以O(shè)x為始邊作鈍角α，角α的終邊與單位圓相交于點P(x1，y1)，將角α的終邊順時針旋轉(zhuǎn)eq\f(π,3)得到角β，角β的終邊與單位圓相交于點Q(x2，y2)，則x2﹣x1的取值范圍為________.

LISTNUMOutlineDefault\l3\s0答案解析LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：C解析：因為α為第三象限角，所以π＋2kπ＜α＜eq\f(3π,2)＋2kπ(k∈Z)，可得2π＋4kπ＜2α＜3π＋4kπ(k∈Z)，所以2α是第一、二象限角，所以sin2α＞0，cos2α不確定.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：A.解析：點P從(1,0)出發(fā)，沿單位圓逆時針方向運動eq\f(2π,3)弧長到達Q點，∴∠QOx＝eq\f(2π,3)，∴Q(coseq\f(2π,3),sineq\f(2π,3))，(﹣eq\f(1,2),eq\f(\r(3),2))LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：C解析：根據(jù)三角函數(shù)定義知sinθ＝＝eq\f(4,5)，cosθ＝﹣eq\f(3,5)，所以原式＝eq\f(4,5)＋2×(﹣eq\f(3,5))＝﹣eq\f(2,5).LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：B解析：∵點P(sinα﹣cosα，tanα)在第一象限，∴sinα﹣cosα＞0，tanα＞0，即sinα＞cosα，tanα＞0，由sinα＞cosα，可得eq\f(π,4)＋2kπ＜α＜eq\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z.由tanα＞0，可得2kπ＜α＜eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z或π＋2kπ＜α＜eq\f(3π,2)＋2kπ，k∈Z.∴eq\f(π,4)＋2kπ＜α＜eq\f(π,2)＋2kπ，k∈Z或π＋2kπ＜α＜eq\f(5π,4)＋2kπ，k∈Z.當k＝0時，eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)或π＜α＜eq\f(5π,4).∵α∈[0,2π]，∴eq\f(π,4)＜α＜eq\f(π,2)或π＜α＜eq\f(5π,4).LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：B解析：設(shè)扇形的半徑為r，則扇形的面積為eq\f(1,2)αr2.在Rt△PBO中，PB＝rtanα，△PBO的面積為eq\f(1,2)r×rtanα，由題意得eq\f(1,2)r×rtanα＝2×eq\f(1,2)αr2，∴tanα＝2α.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：C.解析：因為sin780°=sin(2×360°＋60°)=sin60°=eq\f(\r(3),2)，cos(-330°)=cos(-360°＋30°)=cos30°=eq\f(\r(3),2)，所以P(eq\f(\r(3),2)，eq\f(\r(3),2))，sinα=eq\f(\r(2),2).LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：C；解析：∵角α的終邊經(jīng)過點P(3,4)，∴sinα=eq\f(4,5)，cosα=eq\f(3,5).∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2019π,2)))=sineq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))α－eq\f(2020π,2)＋eq\f(π,2)eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(,,,,))=sineq\b\lc\(\rc\(\a\vs4\al\co1(,,,,))α＋eq\f(π,2)eq\b\lc\\rc\)(\a\vs4\al\co1(,,,,))=cosα=eq\f(3,5).故選C.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：B；解析：因為tanα=－eq\f(3,4)，α為鈍角，所以sinα=eq\f(3,5)，cosα=－eq\f(4,5)，又因為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))，sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,2)))))，所以Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,5)，－\f(4,5)))，所以①正確；同理，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(5),5)，\f(2\r(5),5)))，所以|PQ|2=eq\f(10＋2\r(5),5)，所以②正確；由余弦定理得cos∠POQ=－eq\f(\r(5),5)，所以③錯誤；sin∠POQ=eq\f(2\r(5),5)，所以S△POQ=eq\f(1,2)×1×1×eq\f(2\r(5),5)=eq\f(\r(5),5)，所以④正確，故選B.二 、多選題LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：ABC解析：對于A，“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位，故A正確；對于B，周角為360°，所以1°的角是周角的eq\f(1,360)，周角為2π弧度，所以1rad的角是周角的eq\f(1,2π)，故B正確；對于C，根據(jù)弧度制與角度制的互化，可得1rad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＞1°，故C正確；對于D，用弧度制度量角時，角的大小與圓的半徑無關(guān)，故D錯誤.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：BC.解析：選項A，﹣eq\f(7π,6)的終邊與eq\f(5π,6)的終邊相同，為第二象限角，故A不正確；選項B，設(shè)扇形的半徑為r，則eq\f(π,3)r＝π，∴r＝3，∴扇形面積為eq\f(1,2)×3×π＝eq\f(3π,2)，故B正確；選項C，角α的終邊過點Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－3，4))，根據(jù)三角函數(shù)定義，cosα＝﹣eq\f(3,5)，故C正確；選項D，角α為銳角時，0＜α＜eq\f(π,2)，0＜2α＜π，故D不正確.三 、填空題LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：30π.解析：由題意可知一次操作完成，頂點A經(jīng)過的路線分別是以AB為半徑的eq\f(1,4)圓弧，AC為半徑的eq\f(1,4)圓弧，AD為半徑的eq\f(1,4)圓弧，所以完成一次操作A經(jīng)過的路線長為eq\f(1,4)×2π×4＋eq\f(1,4)×2π×5＋eq\f(1,4)×2π×3＝6π，所以經(jīng)過5次這樣的操作，頂點A經(jīng)過的路線長等于6π×5＝30π.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：eq\f(π,3).解析：∵P(1,4eq\r(3))，∴|OP|＝7，∴sinα＝eq\f(4\r(3),7)，cosα＝eq\f(1,7).又sinαcosβ﹣cosαsinβ＝eq\f(3\r(3),14)，∴sin(α﹣β)＝eq\f(3\r(3),14).∵0＜β＜α＜eq\f(π,2)，∴0＜α﹣β＜eq\f(π,2)，∴cos(α﹣β)＝eq\f(13,14)，∴sinβ＝sin[α﹣(α﹣β)]＝sinαcos(α﹣β)﹣cosαsin(α﹣β)＝eq\f(4\r(3),7)×eq\f(13,14)﹣eq\f(1,7)×eq\f(3\r(3),14)＝eq\f(\r(3),2).∵0＜β＜eq\f(π,2)，∴β＝eq\f(π,3).LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：②③；解析：因為A，B，C是△ABC的內(nèi)角，所以A＋B＋C=π，eq\f(A＋B＋C,2)=eq\f(π,2).所以cos(A＋B)=cos(π－C)=－cosC，coseq\f(B＋C,2)=coseq\f(π－A,2)=sineq\f(A,2)，sin(2A＋B＋C)=sin(A＋π)=－sinA.故②③恒成立.LISTNUMOutlineDefault\l3答案為：－eq\f(2,3).解析：∵角α的終邊經(jīng)過點P(－x，－6)，且cosα=－eq\f(5,13)，∴cosα=eq\f(－x,\r(x2＋36))=－eq\f(5,13)，解得x=eq\f(5,2)或x=－eq\f(5,2)(舍去)，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,2)，－6))，∴sinα=－eq\f(12,13)，∴tanα=eq