第十一屆高數(shù)競(jìng)賽經(jīng)濟(jì)類試題答案

本文格式為Word版，下載可任意編輯——第十一屆高數(shù)競(jìng)賽經(jīng)濟(jì)類試題答案南昌大學(xué)第十一屆高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽(經(jīng)濟(jì)類)試題答案

一、填空題

1、a?2；2、1；3、（10，20）；4、

?2x0f(t)dt?2xf(x)；5、

11?.22e二、單項(xiàng)選擇題

1、C；2、B；3、B；4、A；5、D.

三、解：原式=

limx?0ln(1?x)?ln(x?1?x2)ln(x?1?x2)ln(1?x)

11x?(1?)21?xx?1?x21?x?limx?011ln(1?x)?ln(x?1?x2)1?x1?x2=limx?01?x2?(1?x)22(1?x)ln(1?x)?1?xln(x?1?x)x?1211?x?lim??2x?02ln(1?x)?1?xln(x?1?x)?121?x

ax

四、令y1?xx,y2?xa,y3?xx，則lny1?xalnx,lny2?axlnx,lny3?xlnx，所以

y1??y1(axa?1axalnx?)?xx(axa?1lnx?xa?1)

xxxxaaaxy2??y2(alnalnx?)?x(alnalnx?)

xxxy3??y3(lnx?1)?xx(lnx?1)

所以f?(x)=x(axxaa?1xaxlnx?x)+x(alnalnx?)+axlna[xx(lnx?1)].

xa?1axx五、顯然x2?x1，假設(shè)n?k時(shí)xk?1?xk?0，則有

xk?2?xk?1?xk?1xxk?1?xk?k??0

1?xk?11?xk(1?xk?1)(1?xk)即n?k?1時(shí)也有xk?2?xk?1。由數(shù)學(xué)歸納法可知，xn?1?xn。又顯然0?xn?2，由單調(diào)有界準(zhǔn)則可知limxn存在。

n??設(shè)limxn?a，對(duì)xn?1?1?n??axn1?5兩邊求極限得a?1?，從而a1?，

1?a1?xn2a2?1?51?5（舍去），故limxn?.

n??222六、解：由于f(x)在(??,??)內(nèi)連續(xù)且為偶函數(shù)，f?(x)?2x(2?x2)e?x，令f?(x)?0得x?0或x??2由于f(0)?0，f(?2)?又limf(x)?x????20(2?t)e?tdt?1?e?2

?+?0(2?t)e?tdt?1，故f(x)在x?0處取最小值0，在x??2處取最大值1?e?2.

七、解：設(shè)S(x)???axnn?0?n，則

??S?(x)??nanxn?1n?1，S??(x)??n(n?1)anxn?2n?2??an?2xn?2?S(x)

n?2?S??(x)?S(x)?所以?S(0)?a0?3

?S?(0)?a?11?由特征方程r?1?0得r1?1,r2??1，故通解為

2S(x)?C1ex?C2e?x

再由初始條件可得C1?2,C2?1，所以該冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)為

S(x)?2ex?e?x.

2八、解：記D1?{(x,y)|1?x?2,2x?x?y?x}，則

??Df(x,y)dxdy???xydxdy??xdx?D11222x2x?x2ydy?49.20九、解：

?z?f1?g?(x)?f2??x?2z????f12??h?(y))?f21???f22??h?(y)?(f1?g?(x)?f2?)?g?(x)(?f11．?x?y?y???(g?(x)h?(y)?1)f12???h?(y)f22??=-g?(x)f11十、設(shè)過(guò)拋物線上點(diǎn)P所作的切線交x軸為A(a,0)，交y軸為B(0,b)。則該切線

2方程為y??2x0x?x0?1，故a?112(x0?),b?x0?1。2x0當(dāng)x0?0時(shí)，所圍圖形面積

111312S?ab??(?x2?1)dx?(x0?2x0?)?

024x03S?(x0)?0，得x0?3。3函數(shù)S(x0)在區(qū)間(0,??)內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，而根據(jù)實(shí)際意義S(x0)在區(qū)間(0,??)內(nèi)存在最小值，所以必在該點(diǎn)取得最小值。因此，所求切點(diǎn)為P(32,)。由對(duì)稱性可知，另一切點(diǎn)33為P?(?32,).33?十一、解：1、an??401tn1ntanxdx??dt?tdt?，所以?001?t2n?1ntanx?t1?an1110?k?k?k?1，由k?1?1可知?k?1收斂，從而由比較判別法可知

nn(n?1)nn?1n級(jí)數(shù)?an收斂.kn?1nnn?2、limun?limn??n??ln(n?2)1?limnln(n?2)1an??a?nnn?1由于n?2時(shí)n?2?en，從而1?nln(n?2)?nn；又由于lim，所以

n??limnln(n?2)=1，故limnun?n??n??1a1?1時(shí)，原級(jí)數(shù)收斂；