《高等數(shù)學(xué)》教案1

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《高等數(shù)學(xué)》授課教案

第一講高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)介紹、函數(shù)

教學(xué)目的：了解新數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)觀，把握基本初等函數(shù)的圖像及性質(zhì)；熟練復(fù)合函

數(shù)的分解。

重難點(diǎn)：數(shù)學(xué)新認(rèn)識(shí)，基本初等函數(shù)，復(fù)合函數(shù)教學(xué)程序：數(shù)學(xué)的新認(rèn)識(shí)—>函數(shù)概念、性質(zhì)（分段函數(shù)）—>基本初等函數(shù)—>復(fù)合函數(shù)—>初等函數(shù)—>例子（定義域、函數(shù)的分解與復(fù)合、分段函數(shù)的圖像）

授課提要：

前言：本講首先是《高等數(shù)學(xué)》的學(xué)習(xí)介紹，其次是對(duì)中學(xué)學(xué)過(guò)的函數(shù)進(jìn)行復(fù)習(xí)總結(jié)（函數(shù)本質(zhì)上是指變量間相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是事物普遍聯(lián)系的定量反映。高等數(shù)學(xué)主要以函數(shù)作為研究對(duì)象，因此必需對(duì)函數(shù)的概念、圖像及性質(zhì)有深刻的理解）。一、新教程序言

1、為什么要重視數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

（1）文化基礎(chǔ)——數(shù)學(xué)是一種文化，它的確鑿性、嚴(yán)格性、應(yīng)用廣泛性，是現(xiàn)代社會(huì)文明的重要思維特征，是促進(jìn)社會(huì)物質(zhì)文明和精神文明的重要力量；

（2）開(kāi)發(fā)大腦——數(shù)學(xué)是思維訓(xùn)練的體操，對(duì)于訓(xùn)練和開(kāi)發(fā)我們的大腦（左腦）有全面的作用；

（3）知識(shí)技術(shù)——數(shù)學(xué)知識(shí)是學(xué)習(xí)自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)的基礎(chǔ)，是我們生活和工作的一種能力和技術(shù)；

（4）聰慧開(kāi)發(fā)——數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的目的是培養(yǎng)人的思維能力，這種能力為人的一生提供持續(xù)發(fā)展的動(dòng)力。

2、對(duì)數(shù)學(xué)的新認(rèn)識(shí)

（1）新數(shù)學(xué)觀——數(shù)學(xué)是一門(mén)特別的科學(xué)，它為自然科學(xué)和社會(huì)科學(xué)提供思想和方法，是推動(dòng)人類(lèi)進(jìn)步的重要力量；

（2）新數(shù)學(xué)教育觀——數(shù)學(xué)教育（學(xué)習(xí)）的目的：數(shù)學(xué)精神和數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)人的科學(xué)文化素質(zhì)，包括發(fā)展人的思維能力和創(chuàng)新能力。

（3）新數(shù)學(xué)素質(zhì)教育觀——數(shù)學(xué)教育（學(xué)習(xí)）的意義：通過(guò)“數(shù)學(xué)素質(zhì)〞而培養(yǎng)人的“一般素質(zhì)〞。[見(jiàn)教材“序言〞]

二、函數(shù)概念

1、函數(shù)定義：變量間的一種對(duì)應(yīng)關(guān)系（單值對(duì)應(yīng)）。

（用變化的觀點(diǎn)定義函數(shù)），記：y?f(x)（說(shuō)明表達(dá)式的含義）(1)定義域：自變量的取值集合（D）。(2)值域：函數(shù)值的集合，即{yy?f(x),x?D}。例1、求函數(shù)y?ln(1?x)的定義域？

總學(xué)時(shí)64學(xué)時(shí)（XRG）

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2、函數(shù)的圖像：設(shè)函數(shù)y?f(x)的定義域?yàn)镈，則點(diǎn)集{(x,y)y?f(x),x?D}就構(gòu)成函數(shù)的圖像。

例如：熟悉基本初等函數(shù)的圖像。

3、分段函數(shù)：對(duì)自變量的不同取值范圍，函數(shù)用不同的表達(dá)式。例如：符號(hào)函數(shù)、狄立克萊函數(shù)、取整函數(shù)等。分段函數(shù)的定義域：不同自變量取值范圍的并集。

?x2,x?0例2、作函數(shù)f(x)??的圖像？

?2x,x?0?x2，x?0例3、求函數(shù)f(x)??的定義域及函數(shù)值f(?1),f(0),f(1)?

?1，x?0三、基本初等函數(shù)

熟記：五種基本初等函數(shù)的定義域、值域、圖像、性質(zhì)。

四、復(fù)合函數(shù)：設(shè)y=f(u),u=g(x)，且與x對(duì)應(yīng)的u使y=f(u)有意義，則y=f[g(x)]是x的復(fù)合函數(shù)，u稱為中間變量。說(shuō)明：(1)并非任意幾個(gè)函數(shù)都能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。如：y?lnu,u??x就不能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)。(2)復(fù)合函數(shù)的定義域：各個(gè)復(fù)合體定義域的交集。

(3)復(fù)合函數(shù)的分解從外到內(nèi)進(jìn)行；復(fù)合時(shí)，則直接代入消去中間變量即可。例5、設(shè)f(x)?x,g(x)?2,求f(g(x)),g(f(x))?

例6、指出以下函數(shù)由哪些基本初等函數(shù)（或簡(jiǎn)單函數(shù)）構(gòu)成？(1)y?ln(sinx)(2)y?e2?2x2x2(3)

y?1?arctan2x

五、初等函數(shù)：由基本初等函數(shù)經(jīng)有限次復(fù)合、四則運(yùn)算而成的函數(shù)，且用一個(gè)表達(dá)式所表示。

說(shuō)明：（1）一般分段函數(shù)都不是初等函數(shù)，但y?x是初等函數(shù)；（2）初等函數(shù)的一般形成方式：復(fù)合運(yùn)算、四則運(yùn)算。思考題：

1、確定一個(gè)函數(shù)需要有哪幾個(gè)基本要素？[定義域、對(duì)應(yīng)法則]

2、思考函數(shù)的幾種特性的幾何意義？[奇偶性、單調(diào)性、周期性、有界性]3、任意兩個(gè)函數(shù)是否都可以復(fù)合成一個(gè)復(fù)合函數(shù)？你是否可以用例子說(shuō)明？[不能]探究題：

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一位旅客住在旅館里，圖1—5描述了他的一次行動(dòng)，請(qǐng)你根據(jù)圖形給縱坐標(biāo)賦予某一個(gè)物理量后，再表達(dá)他的這次行動(dòng).你能給圖1—5標(biāo)上具體的數(shù)值，確切描述這位旅客的這次行動(dòng)并用一個(gè)函數(shù)解析式表達(dá)出來(lái)嗎？

小結(jié)：函數(shù)本質(zhì)上是指變量間相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型，是事物普遍聯(lián)系的定量反映；復(fù)合函數(shù)反映了事物聯(lián)系的繁雜性；分段函數(shù)反映事物聯(lián)系的多樣性。圖1—5時(shí)間作業(yè)：P4（A：2-3）；P7（A：2-3）

課堂練習(xí)（初等函數(shù)）

1、求以下函數(shù)的定義域？(1)y?x2?1(2)y?ex(3)y?log2(x-1)(4)

y?x?ln(4?x2)x?12、判定以下函數(shù)的奇偶性？

(1)y?f(x)?f(?x)(2)y?ex?e?x(3)y?x2n?1(n為自然數(shù)）3、作以下函數(shù)的圖像？

x2?1?x(1)y?(2)y?e(3)y?sinx

x?14、分解以下復(fù)合函數(shù)？(1)y?

x2?1(2)y?esinx(3)y?11?sin3x(4)y?ln(cosx)2

x2?1)為奇函數(shù)。

2、將函數(shù)y?x?1?2x?1改寫(xiě)為分段函數(shù)，并作出函數(shù)的圖像？

1123、設(shè)f(x?)?2?x,求f(x)？

xx14、設(shè)f(x)=，求f[f(x)]，f?f[f(x)]?？

1?x1、證明函數(shù)y?ln(x?數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)試驗(yàn)：初等函數(shù)圖像認(rèn)識(shí)1、冪函數(shù)：（如y?x,y?x,y?x）

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2、指數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)：（如y?e,y?lnx）

YY23x1.5210.51X-2-1-0.512X-2-11234-1-13、三角函數(shù)與反三角函數(shù)：（y?cosx,y?arccosx）4、多項(xiàng)式函數(shù)：（y?Y313x?x2?3x?3）3y132xx3x33202301-4X-3-2-1123-2-10246-15、分段函數(shù)：（y?x,y?sgnx）

1-2010.80.50.60.4-2-1120.2-0.5-1-0.50.51其次講導(dǎo)數(shù)的概念（一）、極限與導(dǎo)數(shù)

教學(xué)目的：復(fù)習(xí)極限的概念及求法；理解導(dǎo)數(shù)的概念，把握用定義求導(dǎo)數(shù)方法?？倢W(xué)時(shí)64學(xué)時(shí)（XRG）

-1《高等數(shù)學(xué)》授課教案

重難點(diǎn)：求極限，導(dǎo)數(shù)定義及由定義求導(dǎo)法教學(xué)程序：極限的定義及求法（例）—>導(dǎo)數(shù)的引入（速度問(wèn)題）—>導(dǎo)數(shù)的概念—>導(dǎo)數(shù)與極限—>基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（定義法）—>例子（簡(jiǎn)單）

授課提要：

前言：在前面的教學(xué)中，我們已探討了變量間的關(guān)系(函數(shù))，本節(jié)將復(fù)習(xí)函數(shù)的變化趨勢(shì)(極限)，在此基礎(chǔ)上探討函數(shù)的變化率問(wèn)題（即函數(shù)的導(dǎo)數(shù)）。導(dǎo)數(shù)是高數(shù)的重點(diǎn)，它的本質(zhì)是極限（比值的極限），在現(xiàn)實(shí)中有極豐富的應(yīng)用。一、理論基礎(chǔ)——極限（復(fù)習(xí)）

1、極限的概念（略講函數(shù)在某點(diǎn)的極限定義）2、極限的四則運(yùn)算法則（略）

3、求函數(shù)的極限（幾類(lèi)函數(shù)的極限）

limf(x)?f(x0)（1）若f(x)為多項(xiàng)式，則x?x0例1：求以下極限

(x?2x?1)(2)lim(x?2x?1)(3)lim(x?2x?1)(1)limx?1x?0x?2

222f(x)f(x)f(x0)?（2）若g(x)為有理分式且g(x0)?0,則lim（代入法）

x?x0g(x)g(x0)例2：求以下極限

x2?2x?2x2?1x?1lim(1)lim(3)lim2x?1x?1x?12x?1(2)x?0x?3f(x)（3）若分式g(x),當(dāng)x?x0時(shí)，f(x0)?g(x0)?0，則用約去零因子法求極限

例3：求以下極限

x?8?3x2?2x?3x2?1limlim(1)limx?1x?1(2)x?1x?1(3)x?1x?1

f(x)（4）若分式g(x),當(dāng)x??時(shí)，分子分母都是無(wú)窮大，則適用無(wú)窮小分出法求極限。

例4：求以下極限

x2?1x2?2x?1x?1limlimlim(1)x??2x2?1(2)x??5x2?1(3)x??2x2?1

3、兩個(gè)重要極限

1xsinxlim(1?)?e或lim(1?x)x?elim?1（1）x?0（2）x??x?0xx說(shuō)明：其中x可以是u(x)的形式，且當(dāng)x?0時(shí)，u(x)?0。

例5：求以下極限

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?x2,x?0例2、探討函數(shù)y??在x=0處的連續(xù)性？

?1,x?0四、初等函數(shù)的連續(xù)性

初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的。其圖像是一條連綿不斷的曲線。五、可導(dǎo)與連續(xù)

1、可導(dǎo)與連續(xù)的圖象特征

（1）連續(xù)函數(shù)的圖像是一條連綿不斷的曲線。（作圖例如）

（2）可導(dǎo)函數(shù)的圖像不僅連綿不斷，并且曲線具有平滑性（無(wú)尖點(diǎn)、折點(diǎn)）2、可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系

定理：若函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)可導(dǎo)，則f(x)在點(diǎn)x0連續(xù)；反之，結(jié)論不成立。例3、試證函數(shù)y?sinx在x=0點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo)。

例4、試證函數(shù)y?3x2在x=0點(diǎn)連續(xù)但不可導(dǎo),但切線存在。

3、極限、連續(xù)、可導(dǎo)之間的關(guān)系

?x2,x?0可導(dǎo)?連續(xù)?有極限；反之不一定成立。如f(x)??在x=0處。

y?1,x?0

y=|x|

x

六、連續(xù)函數(shù)的極限

若f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)，則limf(x)?f(x0)

x?x0y1-1?y=3x

?1-1x例5、求以下極限

xln(1?x)lim（1）limx(2)limcosx（3）lim(4)x?0x?4?2x?0xx?1x??

2

?1?cosx,x?0?例6、探討f(x)??x2在x=0處的連續(xù)性？

2??x?1,x?0思考題：

1．假使f(x)在x0處連續(xù)，問(wèn)|f(x)|在x0處是否連續(xù)？[連續(xù)]2．假使f(x)在x0處可導(dǎo)，問(wèn)|f(x)|在x0處是否可導(dǎo)？[不一定]

總學(xué)時(shí)64學(xué)時(shí)（XRG）

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x2?13．求函數(shù)f(x)?的休止點(diǎn)，并判斷其類(lèi)型。

(x?1)x探究題：作圖說(shuō)明函數(shù)不可導(dǎo)點(diǎn)的類(lèi)型。[不連續(xù)點(diǎn)、尖點(diǎn)、折點(diǎn)]小結(jié)：連續(xù)函數(shù)的美學(xué)意義：和諧與奇異之美。連續(xù)表達(dá)的是自然和諧、社會(huì)發(fā)展的生生不息；休止則表現(xiàn)為不規(guī)則和與眾不同，表達(dá)了自然界的豐富多彩和社會(huì)發(fā)展中的騰躍性。

作業(yè)：P34（A：1-2）；復(fù)習(xí)題（2-5）

課堂練習(xí)（求導(dǎo)公式與法則二）

1、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)y?2x2?3x?1(2)y?x?321x?1?lnx(3)y?xlnx(4)y?xx?12、求函數(shù)y?xlnx在x=1處的導(dǎo)數(shù)值？

3x3?2x?17

3、求曲線y?在點(diǎn)（-1，0）處的切線方程？[]k?23x?21?x2?114、試定義f(0)的值，使函數(shù)f(x)?在x=0處連續(xù)？[]f(0)?2x21?2?xsin,x?05、設(shè)f(x)??，問(wèn)a為何值時(shí)，函數(shù)在x=0處連續(xù)？[2]xx??a?e,x?0

?x2,x?11、作函數(shù)y??的圖像？

?1,x?1f(x)?2，求f?(2)？[2]

x?2x?2[f(x)]3?13、設(shè)f(x)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，f?(2)?2,f(2)?1，求lim？[12]

x?2x?2?x2,x?14、設(shè)f(x)??，問(wèn)a,b為何值時(shí)，函數(shù)f(x)四處連續(xù)、可導(dǎo)？

ax?b,x?1?2、設(shè)函數(shù)f(x)在x=2處連續(xù)，且lim總學(xué)時(shí)64學(xué)時(shí)（XRG）

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35、x=1是函數(shù)y?x?1的（B）x?1（A）連續(xù)點(diǎn)（B）可去休止點(diǎn)（C）騰躍休止點(diǎn)（D）無(wú)窮休止點(diǎn)*6、若f(x)在[0，a]上連續(xù)，且f(0)=f(a)，試證：方程f(x)?f(x?（0，a）內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。[提醒：作新函數(shù)，在[0,a)在2a]上使用零點(diǎn)存在定理]2數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)試驗(yàn)：不可導(dǎo)點(diǎn)的類(lèi)型1、連續(xù)而不可導(dǎo)的點(diǎn)（尖、折點(diǎn)）（如：y?sinx在x?k?，y?123x2在x?0）

0.81.50.610.40.20.5-7.5-5-2.52.557.5-3-2-1123

2、不連續(xù)點(diǎn)為不可導(dǎo)點(diǎn)：31210.5-3-2-1-1123-2-112-0.5-2-3-1總學(xué)時(shí)64學(xué)時(shí)（XRG）

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Y11.510.50.5-2-1-0.512X-0.5-1-1.5510152025-1

第六講定積分的概念

教學(xué)目的：了解定積分的概念，理解定積分的幾何意義。重難點(diǎn)：作為面積的定積分概念教學(xué)程序：提出問(wèn)題—>解決問(wèn)題（思想）—>定積分定義—>定積分的幾何意義（例子）—>定積分的性質(zhì)（簡(jiǎn)單）

授課提要：

前言：在自然科學(xué)、工程技術(shù)和經(jīng)濟(jì)學(xué)的大量問(wèn)題中，經(jīng)常會(huì)遇到各種平面圖形的面積計(jì)算。對(duì)于三角形、四邊形及直多邊形和圓的面積，可以用初等數(shù)學(xué)的方法計(jì)算，但由任一連續(xù)圍成的圖形的面積就不會(huì)計(jì)算。下面探討由連續(xù)曲線所圍成的平面圖形的面積的計(jì)算方法。

一、問(wèn)題引入

1、曲邊梯形的定義

所謂曲邊梯形是指有三條直線段，其中兩條相互平行，第三條與這兩條相互垂直，第四條邊為一條連續(xù)曲線所圍成的四邊形。（如下圖）

2、引例：如何求曲線y?x,x?0,x?1,y?0所圍成的面積？(特別曲邊梯形)（1）分析問(wèn)題

若將曲邊梯形與矩形比較，差異在于矩形的四邊都是直的，而曲邊梯形有一條邊是曲的。設(shè)想：用矩形近似代替曲邊梯形。為了減少誤差，把曲邊梯形分成大量小曲邊梯形，并用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積。當(dāng)分割越細(xì)，所得的近似值越接近確鑿值，通過(guò)求小矩形面積之和的極限，就求得了曲邊梯形得面積。

（2）解決問(wèn)題（思路）

y第一步：分割2y=x總學(xué)時(shí)64學(xué)時(shí)（XRG）2《高等數(shù)學(xué)》授課教案

其次步：近似代替第三步：求和第四步：取極限0x二、定積分的定義1現(xiàn)實(shí)中大量實(shí)例，盡管實(shí)際意義不同，但解決問(wèn)題的方法是一樣的：按“分割取近似，求和取極限〞的方法，將所求的量歸結(jié)為一個(gè)和式極限。我們稱這種“和式極限〞為函數(shù)的定積分。

定義：

?baf(x)dx?lim?f(?i)?xi（說(shuō)明定積分中各符號(hào)的稱謂）

n??i?1n由定積分的定義知，以上實(shí)例可以表示成定積分：面積A??x012dx

說(shuō)明：定積分是一個(gè)特別的和式極限，因此，它是一個(gè)常量，它只與被積函數(shù)f(x)、積分區(qū)間[a,b]有關(guān)，而與積分變量用何字母表示無(wú)關(guān)。

三、定積分的幾何意義（作圖）

當(dāng)函數(shù)f(x)在[a,b]上連續(xù)時(shí)，定積分可分成三種形式：

1、若在[a,b]上，f(x)?0，則定積分表示由曲線f(x)，直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積A，即

?baf(x)dx?A

2、若在[a,b]上，f(x)?0，則定積分表示由曲線f(x)，直線x=a,x=b,y=0所圍成的曲邊梯形的面積A的相反數(shù)，即

b?baf(x)dx??A

3、若在[a,b]上，f(x)可正可負(fù)，則定積分表示x軸上方圖形的面積A1與下方圖形的面積A2之差，即

?af(x)dx?A1?A2

結(jié)論：定積分的幾何意義：“有號(hào)面積〞，即A?例1、用定積分幾何意義判定以下積分的正負(fù)：（1）

?baf(x)dx。

?20edx（2）??sinxdx

?22

x0例2、用定積分表示由曲線y=x+1,直線x=1,x=3和y=0所圍成的圖形面積？四、定積分的性質(zhì)（簡(jiǎn)單）（1）

?aaf(x)dx?0（2）?f(x)dx???f(x)dx（3）?dx?b?a

ababab（4）積分中值定理：

設(shè)函數(shù)f(x)在以a，b為上下限的積分區(qū)間上連續(xù)，則在a，b之間至少存在一個(gè)?（中值），使?f(x)dx=f(?)(b－a)

a積分中值定理有以下的幾何解釋?zhuān)喝鬴(x)在[a，b]上連續(xù)且非負(fù)，定理說(shuō)明在[a，b]上至少存在一點(diǎn)?，使得以[a，b]為底邊、曲線y=f(x)為曲邊的曲邊梯形的面積，與同

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byy=f(x)f(?)xOa?

b

《高等數(shù)學(xué)》授課教案

課題六、函數(shù)及導(dǎo)函數(shù)的圖像y上頁(yè)主頁(yè)例六、已知某函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)圖像如下，探討原函數(shù)的單調(diào)區(qū)間.解：（如圖）604020xf?(x)?0為0的點(diǎn)(駐點(diǎn))是-2，0，2。當(dāng)x?(??,?2)時(shí)，f?(x)?0，即f(x)?;當(dāng)x?(?2,0)時(shí)，f?(x)?0，即f(x)?;當(dāng)x?(0,2)時(shí)，f?(x)?0，即f(x)?;當(dāng)x?(2，??)時(shí)，f?(x)?0，即f(x)?;故函數(shù)的遞增區(qū)間為(?2,0),(2,??)遞減區(qū)間為(??,?2),(0,2)其大致圖像如右圖-3-2-1-20-40-60123Y105X-3-2-1-5-10-15123第十五講曲線的凹凸性

教學(xué)目的：理解凹凸性的定義，會(huì)求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。重難點(diǎn)：求曲線的凹凸區(qū)間教學(xué)程序：凹凸性的概念—>凹凸性的判定—>求凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)—>應(yīng)用授課提要：

一、凹凸的概念

21、在區(qū)間[0,1]上作函數(shù)y?x,y?x,y?x的圖像。（比較曲線的變化）

說(shuō)明：對(duì)函數(shù)的研究來(lái)說(shuō)，僅有單調(diào)性、極值是不夠的。2、定義：（略）（通過(guò)曲線與切線的位置關(guān)系定義）

說(shuō)明：(1)注意拐點(diǎn)的定義（凹與凸的分界點(diǎn)，即二階駐點(diǎn)）；(2)凹凸性可看成二階導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用。

二、凹凸性判定

定理：若函數(shù)y?f(x)在(a,b)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且對(duì)于任意x?(a,b)有（1）f??(x)?0，則y?f(x)在(a,b)內(nèi)是凹的；（2）f??(x)?0，則y?f(x)在(a,b)內(nèi)是凸的；（3）凹與凸的分界點(diǎn)，稱為拐點(diǎn)。

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《高等數(shù)學(xué)》授課教案

例1、求曲線y?x?9x?48x?52的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)？例2、求曲線y?3x的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)？

三、求曲線凹凸區(qū)間的步驟（比較求單調(diào)區(qū)間與極值的步驟）（1）求f?(x),f??(x)；

（2）求二階駐點(diǎn)和二階奇點(diǎn)；

（3）分段（區(qū)間）探討凹凸性、確定拐點(diǎn)。

例3、求曲線y?3x?4x?1的單調(diào)和凹凸區(qū)間，極值與拐點(diǎn)？

四、凹凸性的應(yīng)用

（1）由曲線的凹凸性可知函數(shù)增長(zhǎng)和減少的快慢程度。

例4、某公司的一次廣告促銷(xiāo)活動(dòng)中，銷(xiāo)量提高了，但銷(xiāo)量關(guān)于時(shí)間的曲線是凹的，這說(shuō)明該公司的經(jīng)營(yíng)狀況如何？為什么？若曲線是凸的呢？[說(shuō)明銷(xiāo)量增長(zhǎng)速度很快]（2）了解曲線的凹凸性便于作函數(shù)的圖像。例5、作函數(shù)y?x?9x?48x?52的圖像？思考題：

1、畫(huà)出f(x)?x?sinx的圖像，說(shuō)明函數(shù)遞增最快的點(diǎn)和遞增最慢的點(diǎn)？

[參見(jiàn)教材P76]

小結(jié)：曲線的凹凸性說(shuō)明函數(shù)的遞增（或遞減）的快慢程度，它是指一階導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性。

作業(yè)：P77（A：1-2；B：1）

課堂練習(xí)（曲線的凹凸性）

1、求以下曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)：（1）f(x)?x?3x?2x?1

323243321(x?0)x432、求曲線y?3x?4x?1的單調(diào)和凹凸區(qū)間，極值與拐點(diǎn)？

（2）f(x)?x?3、已知點(diǎn)（1，2）為曲線y?ax?bx的拐點(diǎn)，求a,b的值？

1、證明曲線f(x)?32x?1有三個(gè)拐點(diǎn)，且其在一條直線上。x2?12432、作以下函數(shù)的圖像：

（1）y?(x?1)(x?2)（2）y?3x?4x?1

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43221-3-2-1-2123-2-1-112-4-6-2

第十六講函數(shù)的最值

教學(xué)目的：理解最值的概念，會(huì)求簡(jiǎn)單實(shí)際問(wèn)題的最值。重難點(diǎn)：求函數(shù)的最值教學(xué)程序：最值的概念—>最值求法（比較法）—>兩種特別狀況的最值—>實(shí)際

問(wèn)題的最值（例子）——>數(shù)學(xué)建模介紹（最優(yōu)化）

授課提要：

一、最值的定義（略）

說(shuō)明：最值是一個(gè)全局概念，是針對(duì)整個(gè)區(qū)間而言的。

二、求連續(xù)函數(shù)f(x)在[a,b]上最值的一般方法（比較法）。例1、求函數(shù)y?x?2x?5在[-2，2]上的最值？

三、兩種特別狀況下求最值：

(1)若f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)、單調(diào)，則f(a),f(b)一定是最值；

(2)若f(x)在某一區(qū)間上僅有唯一駐點(diǎn)，且該駐點(diǎn)是極值點(diǎn)，則此極值點(diǎn)

一定是最值點(diǎn)。例2、求y?e?x在[1，2]上和R上的最值？

例3、求y?x?x在[0，2]上的最值？

四、最值應(yīng)用

在用導(dǎo)數(shù)研究實(shí)際問(wèn)題的最值時(shí)，若所建立的函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)只有唯一駐點(diǎn)，又根據(jù)具體問(wèn)題的實(shí)際意義，可以判定(a,b)內(nèi)必有最大（最?。┲?，且唯一駐點(diǎn)就是最值點(diǎn)，勿需進(jìn)行數(shù)學(xué)判定。

例4、用邊長(zhǎng)為48cm的正方形鐵皮作一個(gè)無(wú)蓋鐵盒，問(wèn)在四周截去多大的四個(gè)一致的小正方形后，才能使所作的鐵盒容積最大？

例5、若長(zhǎng)方形周長(zhǎng)一定時(shí)，何時(shí)面積最大？

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3242《高等數(shù)學(xué)》授課教案

說(shuō)明：求實(shí)際問(wèn)題的最值時(shí)，很重要一點(diǎn)是確定所建立函數(shù)關(guān)系的定義域。

例6、設(shè)總成本和總收入由下式給出C(x)?1.1x?300，R(x)??0.003x?5x，其中

20?x?1000，求獲得最大利潤(rùn)的產(chǎn)量x?

五、最優(yōu)化問(wèn)題及數(shù)學(xué)建模（p71，例15）

求出某些量的最大和最小對(duì)于大量實(shí)際問(wèn)題都很重要，如求時(shí)間最短、利潤(rùn)最大、成本最低