圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題

解決圓錐曲線(xiàn)綜合問(wèn)題的思路1．對(duì)于圓錐曲線(xiàn)的綜合問(wèn)題，在對(duì)題目?jī)?nèi)涵進(jìn)行深刻挖掘的基礎(chǔ)上，應(yīng)用整體思想，構(gòu)建轉(zhuǎn)化的“框架”，然后綜合利用代數(shù)手段解題．2．圓錐曲線(xiàn)的定義是解決綜合題的基礎(chǔ)．定義在本質(zhì)上揭示了平面上的動(dòng)點(diǎn)與定點(diǎn)(或定直線(xiàn))的距離滿(mǎn)足某種特殊關(guān)系，用數(shù)形結(jié)合思想去理解圓錐曲線(xiàn)中的參數(shù)(a，b，c，e，p等)的幾何意義以及這些參數(shù)之間的相互關(guān)系，進(jìn)而通過(guò)它們之間的關(guān)系組成題設(shè)條件的轉(zhuǎn)化．3．綜合題中常常離不開(kāi)直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系，因此要樹(shù)立將直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)方程聯(lián)立，應(yīng)用判別式、根與系數(shù)的關(guān)系的意識(shí)．已知橢圓的焦點(diǎn)為F1(－3,0)、F2(3,0)，且與直線(xiàn)x－y＋9＝0有公共點(diǎn)，則其中長(zhǎng)軸最短的橢圓方程為_(kāi)_______．點(diǎn)評(píng)：解法1是利用直線(xiàn)與圓有公共點(diǎn)時(shí)，Δ≥0求解；解法2利用橢圓的定義作等價(jià)轉(zhuǎn)化，要細(xì)細(xì)揣摩其思想方法，請(qǐng)?jiān)倬毩?xí)下題：[例6](2010·福建)已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)，且點(diǎn)F(2,0)為其右焦點(diǎn)．(1)求橢圓C的方程；(2)是否存在平行于OA的直線(xiàn)l，使得直線(xiàn)l與橢圓C有公共點(diǎn)，且直線(xiàn)OA與l的距離等于4？若存在，求出直線(xiàn)l的方程；若不存在，說(shuō)明理由．點(diǎn)評(píng)：求圓錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可以用定義法，也可以用待定系數(shù)法，兩種方法比較．定義法計(jì)算簡(jiǎn)單，但不易想到，待定系數(shù)法計(jì)算量大．但方法易于掌握，是常規(guī)方法．對(duì)于探究性問(wèn)題，都是先假設(shè)存在．若真的存在，則一定能確定參數(shù)的值．若不存在，則一定能推出矛盾．例1設(shè)F1、F2分別為橢圓C：＝1(a＞b＞0)的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)．若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線(xiàn)PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時(shí)．求證：kPM·kPN是與點(diǎn)P位置無(wú)關(guān)的定值．題型一定點(diǎn)定值問(wèn)題思維提示①?gòu)奶厥恻c(diǎn)入手，求出定點(diǎn)(定值)，再證明這個(gè)點(diǎn)(值)與變量無(wú)關(guān)；②直接推理計(jì)算，并在計(jì)算過(guò)程中消去變量，從而得到定點(diǎn)、定值.題型二最值與范圍問(wèn)題思維提示①正確理解圓錐曲線(xiàn)的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程；②聯(lián)立方程組，對(duì)有關(guān)參數(shù)進(jìn)行討論.題型三探索性問(wèn)題思維提示①對(duì)歸納型問(wèn)題，要通過(guò)觀(guān)察、比較、分析、抽象、概括、猜測(cè)來(lái)完成；②對(duì)存在性問(wèn)題，從適合條件的結(jié)論存在入手，找出一個(gè)正確結(jié)論即可.[分析](1)根據(jù)△F0F1F2中的|F0F1|、|F1F2|的值，解出a、b、c的值，得出“果圓”的方程．(2)根據(jù)|A1A|＞|B1B|得a、b、c的不等式，再利用c2＝a2－b2，將c用a、b代換，轉(zhuǎn)化為關(guān)于a、b的不等式，求出的范圍．(3)假設(shè)存在直線(xiàn)，設(shè)為y＝t，與“果圓”方程聯(lián)立，求出弦中點(diǎn)的軌跡方程，判斷是否為橢圓方程．

[規(guī)律總結(jié)](1)探索性試題常見(jiàn)的題型有兩類(lèi)：一是給出問(wèn)題對(duì)象的一些特殊關(guān)系，要求解題者探索出一般規(guī)律，并能論證所得規(guī)律的正確性，通常要求對(duì)已知關(guān)系進(jìn)行觀(guān)察、比較、分析，然后概括出一般規(guī)律．二是只給出條件，要求解題者論證在此條件下，會(huì)不會(huì)出現(xiàn)某個(gè)結(jié)論．這類(lèi)題型常以適合某種條件的結(jié)論“存在”、“不存在”、“是否存在”等語(yǔ)句表述．解答這類(lèi)問(wèn)題，一般要先對(duì)結(jié)論作出肯定存在的假設(shè)，然后由此肯定的假設(shè)出發(fā)，結(jié)合已知條件進(jìn)行推理論證，若導(dǎo)致合理的結(jié)論，則存在性也隨之解決；若導(dǎo)致矛盾，則否定了存在性．(2)解決探索性問(wèn)題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：①存在性問(wèn)題，先假設(shè)存在，推證滿(mǎn)足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在．②當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類(lèi)討論．③當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)先假設(shè)成立，再推出條件．④當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法解題很難時(shí)，思維開(kāi)放，采用另外的途徑.已知橢圓方程為，射線(xiàn)y=2x(x≤0)與橢圓的交點(diǎn)為M,過(guò)M作傾斜角互補(bǔ)的兩條直線(xiàn)，分別與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（異于M）.（Ⅰ）求證:直線(xiàn)AB的斜率kAB=2;（Ⅱ）求△AMB面積的最大值.［解析］（Ⅰ）∵斜率k存在，不妨設(shè)k＞0，求出M（－1，－2）.直線(xiàn)MA方程為y＋2=k(x＋1)，直線(xiàn)MB方程y＋2=－k(x＋1)分別與橢圓方程聯(lián)立，可解出

∴∴kAB=2

（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)AB方程為y=2x＋m，與x2＋=2聯(lián)立，消去y得8x2＋4mx＋(m2－8)=0.由Δ>0得－4＜m＜4，且m≠0，點(diǎn)M到

AB的距離為d=