工程力學(xué)課程第2章

本文格式為Word版，下載可任意編輯——工程力學(xué)課程第2章第2章教學(xué)方案

——平面簡(jiǎn)單力系

基本內(nèi)容教學(xué)目的重點(diǎn)、難點(diǎn)平面匯交力系的合成與平衡力對(duì)點(diǎn)之矩，合力矩定理力偶，平面力偶系的簡(jiǎn)化與平衡1、把握平面匯交力系的合成和平衡方程，求解未知力。2、把握力對(duì)點(diǎn)之矩，合力矩定理。3、把握力偶系的簡(jiǎn)化與平衡條件。平面匯交力系和力偶系的合成與平衡。第2章平面簡(jiǎn)單力系

當(dāng)力系中的各力作用線都在同一平面上時(shí)，該力系稱為平面力系。若平面力系中各力作用線通過同一點(diǎn)時(shí)，該力系稱為平面匯交力系；若平面力系中的各力均成對(duì)構(gòu)成力偶時(shí)，稱該力系為平面力偶系。尋常將平面匯交力系和平面力偶系稱為平面簡(jiǎn)單力系。

2.1平面匯交力系的合成與平衡

2.1.1平面匯交力系合成與平衡的幾何法

●合成依據(jù)：力的平行四邊形法則或三角形法則。假使是由多個(gè)力構(gòu)成的平面匯交力系，用多邊形法則。

●方法：將力F1，…，F(xiàn)4依次首尾相接，形成一條折線，連接其封閉邊，即從F1的始端指向F4的末端所形成的矢量即為合力，如圖2.1（c）所示，此法稱為力的多邊形法則。

圖2.1

●結(jié)論：平面匯交力系可以合成為一個(gè)合力，該合力等于力系各力的矢量和，合力的作用線通過匯交點(diǎn)。合力FR可用矢量式表示為

FR?F1?F2???Fn??Fi（2-1）

i?1n畫力多邊形時(shí)，改變各分力相加的次序，將得到形狀不同的力多邊形，但最終求得的合力不變，如圖2.1（d）所示。

●平衡條件：平面匯交力系平衡的充分和必要條件是：該力系的合力等于零。以矢量等式表示為

nFi?0（2-2）i?1

●平衡的幾何條件：平面匯交力系的力多邊形自行封閉。

支架ABC由橫桿AB與支撐桿BC組成，如圖2.2（a）所示。A、B、C處均為鉸鏈連接，B端懸掛重物，其重力W=5kN，桿重不計(jì)，試求兩桿所受的力。解：（1）選擇研究對(duì)象，以銷子B為研究對(duì)象。

（2）受力分析，畫受力圖。由于AB、BC桿均為二力桿，兩端所受的力的作用線必過直桿的軸線。F1、F2、W組成平面匯交力系，其受力圖如圖2.2（b）所示。（3）根據(jù)平衡幾何條件求出未知力。當(dāng)銷子平衡時(shí)，三力組成一封閉力三角形，先畫W，

?過矢量W的起止點(diǎn)a、b分別作F2、F1的平行線，匯交于c點(diǎn)，于是得力三角形abc，則線段bc的長(zhǎng)度為F1的大小，線段ca的長(zhǎng)度為F2的大小，力的指向符合首尾相接的原則，如圖2.2（c）所示。由平衡幾何關(guān)系求得圖2.2F1?Wcot30??3W?8.66KNWF??2W?10KN2sin30?根據(jù)受力圖可知AB桿為拉桿，BC桿為壓桿。

起重機(jī)吊起的減速箱蓋重力W=900N，兩根鋼絲繩AB和AC與鉛垂線的夾角分別為α=45°，β=30°，如圖2.3（a）所示，試求箱蓋勻速吊起時(shí)，鋼絲繩AB和AC的張力。

圖2.3

解：（1）選擇研究對(duì)象，以箱蓋為研究對(duì)象。（2）受力分析，畫受力圖。

（3）應(yīng)用平衡幾何條件，求出未知力。W、FAB、FAC必構(gòu)成一自行封閉的力三角形。由正弦定理

FACFABW??

sin30?sin45?sin105?

得

sin30?0.5FAB?W??900?466N?0.966sin105

?sin450.707FAC?W??900?659N?0.966sin105

2.1.2力在直角坐標(biāo)軸上的投影

●概念：設(shè)在平面直角坐標(biāo)系Oxy內(nèi)有一已知力F，從力F的兩端A和B分別向x、y軸作垂線，垂足a、b和a′、b′之間的距離再加上適當(dāng)?shù)恼?fù)號(hào)分別稱為力F在x軸和y軸上的投影，以X和Y表示。并且規(guī)定：當(dāng)從力的始端投影到末端投影的方向與坐標(biāo)軸的正向一致時(shí)，取正號(hào)，反之取負(fù)。圖2.4（a）中的X、Y均為正值，圖2.4（b）中的X、為負(fù)值、Y為正值。所以，力在坐標(biāo)軸上的投影是代數(shù)量。

圖2.4

●計(jì)算：力的投影的大小可用三角公式計(jì)算，設(shè)力F與x軸的正向夾角為α，則

X?Fcos?（2-3）

Y?Fsin?

●分力和投影的關(guān)系：如將力F沿x、y坐標(biāo)軸分解，所得分力Fx、Fy的大小與力F在同軸的投影X、Y的絕對(duì)值相等，但必需注意：力的投影與分力是兩個(gè)不同的概念。力的投影是代數(shù)量，而分力是矢量。其關(guān)系可表示為

F?Fx?Fy?Xi?Yj（2-4）

若已知力F在直角坐標(biāo)軸上的投影X、Y，則可按下式求出該力的大小和方向余弦為

F?X2?Y2（2-5）Xcos??F2.1.3合力投影定理

由n個(gè)力構(gòu)成的平面匯交力系，其合力可由（2-1）式求得。若將合力和各分力表示為式（2-4）的形式，即

FR?FRxi?FRyj,Fi?Xii?Yij代入式（2-1）可得

(i?1,2?n)

FR?FRxi?FRyj??Xii??Yij（2-6）

i?1i?1nn即

n?FRx??Xi??i?1（2-7）?n?FRy??Yi?i?1?可得結(jié)論：合力在任一軸上的投影等于各分力在同一軸上的投影的代數(shù)和。這就是合力

投影定理。

2.1.4平面匯交力系合成與平衡的解析法

●合成：設(shè)在剛體上的點(diǎn)O處，作用了由n個(gè)力F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n組成的平面匯交力系，X1和Y1，X2和Y2，…，Xn和Yn分別表示力F1，F(xiàn)2，…，F(xiàn)n在直角坐標(biāo)軸Ox和Oy上的投影。根據(jù)合力投影定理，可求得合力FR在這兩軸上的投影，如式（2-7）所示。

已知力的投影，可以根據(jù)式（2-5）求得合力的大小和方向?yàn)?/p>

22FR?FRx?FRy?(?X)?(?Y)22X?cos??FR（2-8）

式中的α表示合力的正向與x軸所夾的角。

一吊環(huán)受到三條鋼絲繩的拉力，如圖2.5（a）所示。已知F1=2000N，水平向左；F2=2500N，與水平成30°角；F3=1500N，鉛垂向下，試用解析法求合力的大小和方向。

圖2.5

解：以三力的交點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系如圖2.5所示，先分別計(jì)算各力的投影。

1X??F1??2000NF??Fcos30???2500?0.866??2165NF2x2

F3x?0F?01y2y??F2sin30???2500?0.5??1250NF??F??1500NF3y3可得

Rx?Fx?(?2000?2165?0)??4165NRFy?(0?1250?1500)??2750Ny?2222??R?Rx?Ry?(?4165)?(?2750)?4991N

tan??由于Rx和Ry都是負(fù)值，所以合力R應(yīng)在第三象限，如圖2.5（b）所示。Ry2750Rx?4165?0.660??33.4?●平衡方程：平面匯交力系平衡的充分必要條件是力系的合力等于零。根據(jù)（2-8）式，當(dāng)合力為零時(shí)，有

?X?0??（2-9）

?Y?0?即，平面匯交力系平衡的充分必要條件是各力在兩個(gè)正交坐標(biāo)軸上投影的代數(shù)和分別為零。

式（2-9）稱為平面匯交力系的平衡方程。平面匯交力系有兩個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可求解兩個(gè)未知量，可以是力的大小，也可以是力的方向。

簡(jiǎn)易起重裝置如圖2.6（a）所示，重物吊在鋼絲繩的一端，鋼絲繩的另一端跨過定滑輪A，繞在絞車D的鼓輪上，定滑輪用直桿AB和AC支承，定滑輪半徑較小，其大小可忽略不計(jì)，設(shè)重物重W=2kN，定滑輪、各直桿以及鋼絲繩的重量不計(jì)，各處接觸均為光滑。試求勻速提升重物時(shí)，桿AB和AC所受的力。

圖2.6

解：選取滑輪為研究對(duì)象?；喌氖芰D如圖2.6（b）所示。其中只有NAB和NAC的大小未知，兩個(gè)未知數(shù)可由平面匯交力系平衡方程解出。

由Fy?0NACsin30??Fcos30??W?0得W?Fcos30?2?2?0.866NAC???7.46KN?sin300.5再由??F?0?N?Ncos30?Fsin30?0xABAC可得NAB?NACcos30??Fsin30??7.46?0.866?2?0.5?5.46KN兩力求出均為正值，說(shuō)明其方向與所假設(shè)方向一致。

壓榨機(jī)簡(jiǎn)圖如圖2.7（a）所示，在鉸鏈A處作用一水平力F使壓塊C壓緊物體D。若桿AB和AC的重量忽略不計(jì)，各處接觸均為光滑，求物體D所受的壓力。

??

圖2.7

解：先取鉸鏈A為研究對(duì)象，設(shè)二力桿AB和AC均受拉力，因此鉸鏈A的受力圖如圖2.7（b）所示。為了減少方程中未知力的個(gè)數(shù)，投影軸應(yīng)盡量取在與未知力作用線相垂直的方向。這樣在列平衡方程式時(shí)，該未知數(shù)不出現(xiàn)在方程中。建立如圖2.7（b）所示坐標(biāo)系，列出平衡方程Fx?0?Fcos??NACcos(90??2?)?0

cos?FNAC??F??得

sin2?2sin?

解出結(jié)果為負(fù)值表示該力的實(shí)際方向與圖中所假設(shè)方向相反。

再選取壓塊C為研究對(duì)象，畫受力圖，建立坐標(biāo)系，如圖2.7（c）所示。由于AC桿為二力桿，A、C兩端的作用力相等，方向可以用二力平衡條件確定。列平衡方程

/F?0Ncos??N?0yAC

/且NAC?NAC?FFcot?FlN??Ncos???()cos???AC2sin?22h

通過以上的例題，歸納出平面匯交力系平衡方程應(yīng)用的主要步驟和本卷須知如下：1.選擇研究對(duì)象時(shí)應(yīng)注意：（1）所選擇的研究對(duì)象應(yīng)作用有已知力（或已經(jīng)求出的力）和未知力，這樣才能應(yīng)用平衡條件由已知力求得未知力；（2）先以受力簡(jiǎn)單并能由已知力求得未知力的物體作為研究對(duì)象，然后再以受力較為繁雜的物體作為研究對(duì)象。

2.取分開體，畫受力圖。研究對(duì)象確定之后，需要分析受力狀況。為此，需將研究對(duì)象從其周邊物體中分開出來(lái)。根據(jù)所受的外載荷畫出分開體所受的主動(dòng)力；根據(jù)約束性質(zhì)，畫出分開體所受的約束力，最終得到研究對(duì)象的受力圖。

3.選取坐標(biāo)系，計(jì)算力系中所有的力在坐標(biāo)軸上的投影。坐標(biāo)軸可以任意選擇，但應(yīng)盡量使坐標(biāo)軸與未知力平行或垂直，可以使力的投影簡(jiǎn)便，同時(shí)使平衡方程中包括最少數(shù)目的未知量，避免解聯(lián)立方程。

4.列平衡方程，求解未知量。若求出的力為正值，則表示受力圖上所假設(shè)的力的指向與實(shí)際指向一致；若求出的力為負(fù)值，則表示受力圖上力的實(shí)際指向與所假設(shè)的指向相反，在受力圖上不必改正。在答案中要說(shuō)明力的方向。

??2.2力對(duì)點(diǎn)之矩合力矩定理

2.2.1力對(duì)點(diǎn)之矩

●力對(duì)點(diǎn)O的矩的概念：作用在物體上的力使物體繞某一點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)效果的度量?！窳?duì)點(diǎn)O的矩的計(jì)算：如用扳手?jǐn)Q螺母，作用于扳手上的力F使扳手繞固定點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)，如圖2.8所示。力F使扳手繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的效果，取決于兩個(gè)因素：力的大小與O點(diǎn)到該力作用線垂直距離的乘積（F2h）和力使扳手繞O點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的方向?？捎靡粋€(gè)代數(shù)量±Fh來(lái)表示，稱為力對(duì)點(diǎn)O的矩，簡(jiǎn)稱力矩。用公式記為

MO(F)??Fh（2-10）

圖2.8

O點(diǎn)稱為力矩中心，簡(jiǎn)稱矩心，距離h稱為力

臂。在平面問題中，力對(duì)點(diǎn)的矩是一個(gè)代數(shù)量，力矩的大小等于力的大小與力臂的乘積。其正負(fù)號(hào)表示力使物體繞矩心轉(zhuǎn)動(dòng)的方向。尋常規(guī)定：力使物體作逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)力矩為正，反之為負(fù)。

力矩的單位在國(guó)際單位制中為牛頓米（N2m），或千牛頓米（kN2m）。由式（2-10）可知，力矩在以下兩種狀況下等于零：（1）力的大小為零；

（2）力臂等于零，即力的作用線通過矩心。

2.2.2合力矩定理

●合力矩定理：假使平面力系F1、F2、…、Fn可以合成為一個(gè)合力FR，則可以證明

nMO(FR)?MO(F1)?MO(F2)???MO(Fn)??MO(Fi)（2-11）

i?1這說(shuō)明：平面力系的合力對(duì)平面內(nèi)任一點(diǎn)的矩等于力系中各分力對(duì)于同一點(diǎn)力矩的代數(shù)和。這一結(jié)論稱為合力矩定理。

●合力矩定理應(yīng)用：

（1）力矩計(jì)算的解析表達(dá)式：如圖2.9所示，已知力F作用點(diǎn)A（x、y），求力F對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)O的矩。根據(jù)合力矩定理，力F對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)O的矩等于力F的兩個(gè)分力Fx和Fy對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)O的矩的代數(shù)和。即

MO(F)?MO(Fx)?MO(Fy)?xFy?yFx

或MO(F)?xY?yX（2-12）其中X、Y為力F在x、y軸上的投影。

圖2.9

（2）求分布力合力作用點(diǎn)：所謂分布力，是指作用在一定的長(zhǎng)度、面積或體積上的力，如物體的重力、液體的壓力等等。分布力在每一點(diǎn)處作用的載荷強(qiáng)度常用單位長(zhǎng)度（或面積、體積）上作用力的大小q來(lái)表示，稱為載荷集度，單位是N/m（或N/m2、N/m3）。

簡(jiǎn)支梁AB上受三角形分布的載荷作用，如圖2.10所示。載荷在B點(diǎn)的集度為q0，梁長(zhǎng)l。方向一致。求合力作用線位置。

解：建立圖示x坐標(biāo)，在梁上距A點(diǎn)為x處取微段dx，其上作用的載荷大小為q?dx，其中q?為該處的載荷集度。由圖中幾何關(guān)系可知，q??xq。若將分布載荷看成是由一系l圖2.10

列分力q?dx構(gòu)成的力系，則分布載荷的合力的大小為

F??q?dx?0l1ql2設(shè)合力的作用線坐標(biāo)為h，根據(jù)合力矩定理，合力對(duì)A點(diǎn)的矩等于各分力對(duì)A點(diǎn)的矩的代數(shù)和，即：Fh??q?xdx

0l將q?和F的值代入上式，得h?2l3計(jì)算結(jié)果說(shuō)明，合力大小等于三角形分布載荷圖形的面積，合力作用線通過三角形載荷圖形的形心。這一結(jié)論可以推廣到其他分布力狀況。

圖2.11中皮帶輪直徑D=400mm，皮帶拉力F1=1500N，F(xiàn)2=750N，與水平線夾角θ=15°。求皮帶拉力F1、F2對(duì)輪心O的矩。

解：皮帶拉力沿帶輪的切線方向，則力臂d=D/2，而與角θ無(wú)關(guān)。根據(jù)式（2-10）得

D0.4MO(F1)??F1d??F1??1500???300N?m22

D0.4MO(F)?F2d?F2?750??150N?m222圖2.11

如圖2.12（a）所示，作用于齒輪的嚙合力Pn=1000N，節(jié)圓直徑D=160mm，壓力角α=20°，求嚙合力Pn對(duì)于輪心O的矩。

解：

（1）應(yīng)用力矩公式計(jì)算,由圖2.12（a）中幾何關(guān)系可知力臂

d=D/2cosα則

圖2.12

MO(Pn)??Pnd??1000?0.16cos20???75.2N?m2（2）應(yīng)用合力矩定理計(jì)算

將嚙合力Pn正交分解為圓周力P和徑向力Pr，如圖2.12（b）所示，可知節(jié)圓半徑是圓周力的力臂，根據(jù)合力矩定理，得

D0.16MO(Pn)?MO(P)?MO(Pr)??Pncos??0??1000cos20????75.2N?m22工程中齒輪的圓周力和徑向力是分別給出的，因此其次種方法較為普遍。

?2.3力偶平面力偶系的簡(jiǎn)化與平衡

2.3.1力偶的概念

●力偶的概念：由大小相等、方向相反、作用線相距一段距離的兩個(gè)平行力F與F組成的力系稱為力偶，尋常用符號(hào)（F，F(xiàn)′）表示。兩力作用線所決定的平面稱為力偶的作用面，而力作用線間的垂直距離稱為力偶臂。在工程實(shí)際中，常見力偶作用的例子，如用絲錐攻絲和轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤等都是受到力偶的作用，如圖2.13所示。

圖2.13

●力偶的計(jì)算：構(gòu)成力偶的兩個(gè)等值反向平行力的合力顯然等于零，但它們不能相互平衡，而是使物體產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)效應(yīng)。因此，力和力偶是靜力學(xué)的兩個(gè)基本作用量。力偶不能合成為一個(gè)力或用一個(gè)力來(lái)平衡。

力偶對(duì)物體的轉(zhuǎn)動(dòng)效果，可用構(gòu)成力偶的兩個(gè)力對(duì)其作用面內(nèi)某點(diǎn)的矩的代數(shù)和來(lái)度量。設(shè)有力偶（F，F(xiàn)′），其力偶臂為d，如圖2.14所示。力偶對(duì)作用面內(nèi)的任一點(diǎn)O的矩為mo(F,F?)，則

mo(F,F?)?mo(F)?mo(F?)?F?ao?F??bo?F(ao?bo)?Fd（2-13）

由于矩心O是任意選取的，由此可知，力偶的作用效果決定于力的大小和力偶臂的乘

積，與矩心的位置無(wú)關(guān)。力與力偶臂的乘積稱為力偶矩，記作m（F，F(xiàn)′），簡(jiǎn)記為m。力偶在平面內(nèi)的轉(zhuǎn)向不同，作用效果也不同。因此，力偶對(duì)物體的作用效果，由力偶矩的大小和力偶在作用平面內(nèi)的轉(zhuǎn)向兩個(gè)因素決定。

若把力偶矩視為代數(shù)量，規(guī)定逆時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)檎?，順時(shí)針轉(zhuǎn)向?yàn)樨?fù)，則

m=±Fd（3-14）

圖2.14圖2.15

力偶矩的單位與力矩一致，也是牛頓2米（N2m）。

2.3.2力偶的性質(zhì)

性質(zhì)一：在同平面內(nèi)的兩個(gè)力偶，假使力偶矩相等，則兩力偶等效。

如圖2.15所示，汽車司機(jī)用雙手轉(zhuǎn)動(dòng)方向盤，作用于方向盤上的力偶（F1，F(xiàn)1′）與具有一致力偶矩的另外一個(gè)力偶（F2，F(xiàn)2′）使方向盤產(chǎn)生完全一致的運(yùn)動(dòng)效應(yīng)。

由此可得出兩個(gè)重要推論：

（1）只要不改變力偶矩的大小和力偶的轉(zhuǎn)向，力偶的位置可以在它的作用平面內(nèi)任意移動(dòng)或轉(zhuǎn)動(dòng)，而不改變它對(duì)物體的作用效果。

（2）只要保持力偶矩不變，可以同時(shí)改變力偶的力的大小和力偶臂的長(zhǎng)短，而不改變力偶對(duì)物體的作用效果。

根據(jù)力偶的這一性質(zhì)，力偶的作用效果只決定于力偶矩，因此，力偶可以用力偶作用面內(nèi)的一個(gè)帶箭頭的圓弧表示。

性質(zhì)二：力偶的兩個(gè)力在任何坐標(biāo)軸上的投影代數(shù)和為零，因此，力偶沒有合力，也不能與一個(gè)力平衡。力偶只能用力偶來(lái)平衡。

2.3.3平面力偶系的合成與平衡

作用在同一物體上同一平面或平行平面內(nèi)的多個(gè)力偶組成的力系，稱為平面力偶系。由于平面內(nèi)的力偶對(duì)物體的作用效果只決定于力偶的大小和力偶的轉(zhuǎn)向，所以平面力偶系合成的結(jié)果必然是一個(gè)合力偶，并且其合力偶矩應(yīng)等于各分力偶矩的代數(shù)和。設(shè)平面力偶系由力偶矩為m1,m2,?,mn的n個(gè)力偶為組成，則該力偶系合成后的合力偶為

M??mi（2-15）

i?1n由于平面力偶系合成的結(jié)果只能是一個(gè)合力偶，當(dāng)其合力偶矩等于零時(shí)，說(shuō)明使物體轉(zhuǎn)動(dòng)的力偶矩為零，物體處于平衡狀態(tài)。因此，平面力偶系平衡的充分和必要條件是：所有力偶矩的代數(shù)和等于零。即

?m?0（2-16）

ii?1n式（2-16）稱為平面力偶系的平衡方程。應(yīng)用平面力偶系的平衡方程可以求解一個(gè)未知量。

如圖2.16所示，用多軸鉆床在水平放置的工件上同時(shí)鉆四個(gè)直徑相等的孔，每個(gè)鉆頭的主切削力在水平面內(nèi)組成一力偶，各力偶矩的大小為m1=m2=m3=m4=15N2m，

轉(zhuǎn)向如下圖。求工件受到的總切削力偶矩是多大？

解：作用于工件的切削力偶有四個(gè)，各力偶矩的大小相等，轉(zhuǎn)向一致，且在同一平面內(nèi)?？汕蟪銎浜狭ε季貫?/p>

M?m1?m2?m3?m4?4?(?15)??60N?m

圖2.16負(fù)號(hào)表示合力偶為順時(shí)針轉(zhuǎn)向。工件在A、B兩點(diǎn)用卡具固定，顯然A、B兩點(diǎn)的約束力應(yīng)構(gòu)成力偶。

一平行軸減速箱如圖2.17（a）所示，所受的力可視為都在圖示平面內(nèi)。減速箱輸入軸Ⅰ上作用輸入力偶，其矩為m1=50N2m；輸出軸Ⅱ上作用輸出力偶，其矩為m2=60N2m。設(shè)與地基固定的地腳螺栓A、B的間距為l=20cm，不計(jì)減速箱重量。試求螺栓