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(此習題答案僅供學員作業(yè)時參考。因時間匆忙,有錯之處敬請指正,感謝?。?lián)系地址:yangwq@)P50

1.求以下矩陣的特征值、代數(shù)重數(shù)核幾何重數(shù),并判斷矩陣是否可對角化

?1-10??0-1-1??411?????(3)?030?

1(1)020(2)12?????????3??112???21??-102??解:(1)特征值:

?1=1(代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)均為1),?2=?3=2(代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)均為2)

可對角化。(2)特征值:

?1=1(代數(shù)重數(shù)和幾何重數(shù)均為1),?2=?3=2(代數(shù)重數(shù)為2和幾何重數(shù)為1)

不可對角化。(3)特征值:

?1=?2=?3=3(代數(shù)重數(shù)為3、幾何重數(shù)均為1)

不可對角化。

2.求以下矩陣的不變因子、初等因子和Jordan標準形

?1

7-3??3?411??0

??(2)?030?(3)?2(1)-2-5?????0

????-102-4-103??????0

21003210

?34??1??3?

(4)?02??0??1???0000?3000??01-10?

?0020?0112??0解:(1)不變因子是:d1=1,d2=1,d3=(?-1)(?-i)(??i)

初等因子是:(?-1),(?-i),(??i)

?100???Jordan標準形是:0i0????00?i??3(2)不變因子是:d1=1,d2=1,d3=(?-3)

初等因子是:(?-3)

3?310???Jordan標準形是:031????003??

4(3)不變因子是:d1=1,d2=1,d3=1,d4=(?-1)

初等因子是:(?-1)

4?1

?0

Jordan標準形是:?

?0??0

11000110

0?0??1??1?

(4)不變因子是:d1=1,d2=1,d3=1,d4=(?-2)(?-3),d5=(?-1)(?-2)(?-3)

初等因子是:(?-2),(?-3),(?-1),(?-2),(?-3)

?1?0?Jordan標準形是:?0??0??0

0000?2000??0200?

?0030?0003??0??1-10??-33-1??01??????3.設(1)A=020(2)A=-76-1(3)A=11-1??????????122???0-11???1-13??求可逆矩陣P,使得P1AP是Jordan標準形

解:(1)A的特征值為?1=,1?2=?3=2

對應的特征向量是:?1=(1,0,-1)T,?2=(0,0,1)T

(2)二級根向量是:?2=(-1,1,0)T

?10?1??(2)P?(?1,?2,?2)=?001????-110??

100???P?1AP??021????002??(2)A的特征值為?1=?2=?3=2對應的特征向量是:?1=(1,2,1)T

(2)(3)二級根向量和三級根向量是:?1=(1,3,3)T,?1=(0,2,2)T

?110??P?(?1,?1(2),?1(3))=?232????132??

?210??P?1AP??021????002??(3)此題數(shù)據(jù)不便于求解特征值,A的特征多項式是:

?10???????3?2?2-?+1

1f(?)?|?I?A|=?1??1???1??1??0?

4.試求第2題最小多項式。

解:(1)最小多項式是:mA(?)?(?-1)(?-i)(??i)

3(2)最小多項式是:mA(?)?(?-3)4(3)最小多項式是:mA(?)?(?-1)

(4)最小多項式是:mA(?)?(?-1)(?-2)(?-3)

?102???5.設A=0?11,計算方陣多項式g(A)=2A8?3A5?A4?A2?4I????010??解:由于:

g(?)=2?8?3?5??4??2?4?(2??4??5??9??14)(??2??1)?(24??37??10)而f(?)?(??2??1)是A的特征多項式,所以f(A)=0

353232

??348?26???295?61?故有g(A)=24A?37A?10I??0?0?6134???

6.設A是可逆方陣,證明A1可表示為A的方陣多項式。證明:設A是n階方陣,其特征多項式是:

f(?)?a0?n?a1?n?1?...?an?1??an

因A可逆,所以an?0(為什么?自己證明)由f(A)?a0An?a1An?1?...?an?1A?anI?0得

A?1?(a0An?1?a1An?2?...?an?1I)/an

所以A

-1

可表示為A的多項式。

7.設A?0,Ak?0(k?2),證明A不能與對角矩陣相像。

證明:由題設知,A的最小多項式是:mA(?)??2,有重根,所以不能相像對角化。

8.已知Ap?I(p為正整數(shù)),證明A與對角矩陣相像。

證明:由題設知,g(?)??p?1是A的零化多項式,而多項式g(?)??p?1沒有重根(為什么?自己證?。。訟的最小多項式?jīng)]有重根,故與對角矩陣相像

9.設A?A,試證A的Jordan標準形是diag{1,1,…,1,0,…,0}

證明:由于g(?)????是A的零化多項式,且是最小多項式,所以A的特征值只能是0和1,且可對角化,所以A的Jordan標準形是diag{1,1,…,1,0,…,0}10.

設方陣A的特征多項式f(?)和最小多項式m(?)分別為:

422222(1)f(?)?(??2)(??3),m(?)?(??2)(??3)(2)f(?)?(??3)(??5),m(?)?(??3)(??5)試確定A的所有可能的Jordan標準形解:(1)A的可能Jordan標準形為

332?2??21??2

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