泛函分析重要內容

本文格式為Word版，下載可任意編輯——泛函分析重要內容們同意前人的提法，認為線性泛函與無窮維空間上引進坐標的思想有關，而對偶理論則有如無窮維線性空間上的解析幾何學。

Chp.1距離線性空間

SS1.選擇公理，良序定理，佐恩引理

有序集的定義：

（1）若a在b之先，則b便不在a之先。（2）若a在b之先，b在c之先，則a在c之先。這種先后關系記作

良序集：A的任何非空子集C都必有一個屬于C的最先元素。良序集的超限歸納法：（1）

為真，這里

是A中最先的元素。

2）那么選擇公理

對一切對一切

皆真。

,為真，則亦真

設N={N}是一個非空集合構成的族，則必存在定義在N上的函數(shù)f，使得對一切部分有序

稱元素族X是部分有序的，假使在其中某些元素對（a,b）上有二元關系

N都有

，它據(jù)有性質：

例如X中包換關系

在部分有序集下，有上界、極大元和完全有序其中完全有序的C：

。

例如在復數(shù)域中，按大小關系定義兩個復數(shù)的關系，則復平面是部分有序的，實軸、虛軸是完全有序的。佐恩引理

設X非空的部分有序集，假使X的任何完全有序子集都有一個上界在X中，則X必含有極大元。

從現(xiàn)代觀點來看，泛函分析研究的主要是研究實數(shù)域或者復數(shù)域上的完備賦范線性空間。

SS2.線性空間，哈邁爾（Hamel）基

線性空間的定義：加法交換、加法結合、有零元，有負元、有單位元等。線性流形：線性空間中的非空子集，假使它加法封閉、數(shù)乘封閉。線性流形的和M+N：所有形如m+n的元素的集合，其中m∈M,n∈N。

線性流形的直和：假使M∩N={θ},則以假使

于是有下述定理：

定理2.1設M,N是線性空間X的線性流形，則

代替M+N

,則稱M與N是代數(shù)互補的線性流形。

當且僅當對每個x∈X都有唯一的表達式

x=m+n,m∈M,n∈N.

定理2.2若

Hamel基的定義：

，則dimX=dimM+dimN

設X是具有非零元的線性空間，X的子集H稱為X的Hamel基，假使（1）H是線性無關的。

（2）H張成的線性流形是整個空間。則有Hamel基和線性無關子集的關系：

定理2.3設X是線性空間，S是X中任意的線性無關子集，則存在X的一個Hamel基使得推論任何非零線性空間必有Hamel基由定理2.3，可有

定理2.4設M是線性空間X的線性流形，則必有線性流形

SS3距離空間（度量空間），距離線性空間

定義了距離（滿足正定性、對稱性和三角不等式的映射）d(x,y)的空間即為距離空間，記為按距離收斂：

設距離空間中的點列

使得

使得

，即N是M的代數(shù)補。

距離線性空間：

設賦有距離d(·,·)的線性空間X滿足

,則稱按d(·，·)收斂到x，簡記為

（1）

（2）

距離線性空間的例子

例1有界序列空間（m）設X代表所有有界數(shù)列定義加法和數(shù)乘：

的集合，設

以及距離：

則它是一個線性距離空間

例2收斂序列空間（c）

元素、加法、數(shù)乘和距離定義同上，序列有極限。

例3本質有界可測函數(shù)空間

定義加法和數(shù)乘：(x+y)(t)=x(t)+y(t),(ax)(t)=ax(t)以及距離：d(x,y)=essup|x(t)-y(t)|

例4所有序列空間（s）元素、加法和數(shù)乘定義同例1，

距離

例5空間設X代表滿足條件距離為

的所有數(shù)列的集合，加法和數(shù)乘同例1，

SS4距離空間中的拓撲，可分空間

中，球、開集、鄰域、閉集、內點、內部的概念同拓撲。

其中，極限點的概念相當于拓撲學中的聚點，連續(xù)函數(shù)的定義和拓撲也是一致的。稠密：設是距離空間，S包含于X稱為稠密的，假使任給

.

空間X稱為可分的，假使X內有一個可數(shù)的稠密集。

例5、所有序列空間（s）是可分的；有界序列空間（m），例3是可分的。

SS5完備距離空間

完備性：稱是完備的，若對任意的柯西序列都收斂。例C[0,1]:所有復值連續(xù)函數(shù)的集合，是完備的。

定義與例3一致的加法和數(shù)乘，定義距離d(x,y)=max|x(t)-y(t)|，則它是線性距離空間，稱為連續(xù)函數(shù)空間

完備化：對距離空間，若有完備的距離空間,使X等距于，

即有則

為X的完備化。

,且T(x)是中的稠密子集，

進一步，有定理

定理5.1任何距離空間都存在完備化

SS6列緊性

列緊：中集合M是列緊的，假使M中任何序列都有收斂子列。閉的列緊集稱為自列緊集。

ε-網(wǎng)：對中的M,N，ε為給定正數(shù)，若對M中的任一點x，必存在N中的一點x'使得d(x,x')0，總存在由有限元組成的M的ε-網(wǎng)。定理6.1：在距離空間中，列緊性蘊含完全有界性；若更設X完備，則列緊性與完全有界性等價。定理6.2：在距離空間中，任何完全有界集是可分的。定理6.3：在距離空間中，緊（緊致）性和自列緊性等價。

等同連續(xù)：設F是一族從到的函數(shù)，若任給

都有

ρ。賦范線性空間X中，‖x‖是x的連續(xù)函數(shù)。線性算子設T是從

到

的函數(shù)（映射），若對一切x,y∈X和數(shù)a,b都有

T(ax+by)=aT(x)+bT(y)，則稱T是X到Y的線性算子。假使還存在常數(shù)C>0，使對一切x∈X都有如上的C的下確界稱為T的范數(shù)，記為‖T‖

定理7.1設X,Y是賦范線性空間，T是從X到Y的線性算子，則下述等價：（1）T在X某點連續(xù)；（2）T在X中所有點連續(xù)；（3）T是有界的。

線性算子的值域、滿射的線性算子、單射的線性算子，逆算子這些定義是顯然的。其中有界限性算子的逆算子一般未必有界，若有界則稱為有界可逆的。

定義在從線性空間X到復數(shù)域C的線性算子函數(shù)，稱為線性泛函。

命題7.2有限維賦范線性空間中點收斂等價于坐標收斂命題7.3有限維賦范線性空間與同維度實數(shù)域線性同構且同胚。Riesz引理：設M是賦范線性空間X的真子空間，則對任給的正數(shù)且

,則T是有界的

根據(jù)這個引理，我們知道任何賦范線性空間X，若球B(x,r)是列緊的，則X必是有限維的。

Chp.2希爾伯特空間

SS1內積空間

定義設X是復線性空間，假使對任給的x,y∈X都恰有一個復數(shù)，記為(x,y)，與之對應，并且這個對應有以下四條性質：(1)(2)(3)(4)

對任意的x,y∈X和a∈C,則稱(x,y)是x與y的內積，稱X為具有內積的內及空間。正交的定義：(x,y)=0

進一步可以構建正規(guī)正交集，并且向歐幾里得空間那樣構建二范數(shù)‖x‖。

定理1.1給出內及空間X中的正規(guī)正交集{x}，則對任何x∈X

貝塞爾不等式

施瓦茨不等式

.

定理1.2每個內積空間X按二范數(shù)稱為賦范線性空間名義

命題1.1內積(x,y)是x,y的二元連續(xù)函數(shù)，即當x,y有極限時，內積也有極限。命題1.2設點集M在內積空間X中稠密，若有x'∈X使(x,x')=0,對任意x∈X,則x'=0

須知，內積空間中向量的范數(shù)有著異于其它賦范線性空間中向量范數(shù)的獨特性質。命題1.3平行四邊形法則

是否每個賦范線性空間X都能賦以內積(x,y)使得原來的范數(shù)‖x‖總可以表成為X能賦以內積的充要條件是X中的范數(shù)滿足平行四邊形法則。

呢？可以證明：

例1在空間C[0,1]不是內積空間。只需取x(t)=1,y(t)=t,考慮‖x+y‖和‖x-y‖即可。（C[0,1]是完備的）定義1.3若內積空間是完備的，則稱H為希爾伯特空間例2空間

的全體形成的線性空間，是希爾伯特空間。

例3空間是希爾伯特空間。

（注意到上兩例同時也是線性距離空間）命題1.4內積空間X的完備化

SS2正規(guī)正交基

是希爾伯特空間。

現(xiàn)設H表示非零希爾伯特空間

正規(guī)正交基：設S是H中的正規(guī)正交集，假使H中沒有其他的正規(guī)正交集真包含S，則稱S為H的正規(guī)正交基。這等價于：

命題2.1設S是H中的正規(guī)正交集，則S是H的正規(guī)正交基充要條件是H中沒有非零元與S中每個元正交。

定理2.1若H可分，則H必有一個可數(shù)的正規(guī)正交基。定理2.2每個非零的希爾伯特空間都有正規(guī)正交基定理2.3設

推論每個可分的希爾伯特空間都與l^2同構。

SS3射影定理，弗雷切特-利亞茨表現(xiàn)定理

設M是希爾伯特空間H的線性流形，定義補，二者的交為{0}，它也是H的子空間。

定理3.1（射影定理）設M是希爾伯特空間H的子空間，則每個x∈X都可以唯一地表成：

，稱其為M的正交

是H的一個正規(guī)正交基，則對任何的x∈X,都有

稱這個由x與M唯一確定的y為x在M上的正交射影。命題3.1設M是H的線性流形，則設

或對偶空間。

定理3.2弗雷切特-利亞茨表現(xiàn)定理設

定義3.1設φ(x,y)是從H×H到C中的函數(shù)，據(jù)有性質：(1)(2)

則稱它是H上的雙線性泛函

定理3.3設φ(x,y)是H上的有界的共軛雙線性泛函，則恰有H上一個有界限性算子A，使得φ(x,y)=(Ax,y)

使f可表為

表示希爾伯特空間H上全體連續(xù)線性泛函按逐點定義的加法和數(shù)乘形成的線性空間，對

,按這個范數(shù)，它也是完備的賦范線性空間，稱其為H的共軛空間.

SS4希爾伯特共軛算子（伴隨算子），拉克斯-米爾格拉姆定理

希爾伯特共軛算子

設H1,H2都是希爾伯特空間，T是從H1到H2的有界限性算子。稱T^*為T的希爾伯特共軛算子，也稱伴隨算子，即由其定義可見

總之，對于這樣的一個有界限性算子，總有它的伴隨算子使得上式成立，且由其唯一確定。例1對于一個矩陣算子，它的共軛轉置就是它的希爾伯特共軛算子。

Chp.3巴拿赫空間上的有界限性算子

SS1有界限性算子

算子的范數(shù)：設X,Y是賦范線性空間，以下記從X到Y的全體有界限性算子集合為L(X,Y),而L(X,X)簡記為L(X).設A∈L(X,Y)，我們知道A的范數(shù)為‖A‖=sup‖Ax‖/‖x‖，其中x不為零。

命題1.1兩個L(X,Y)中算子和的范數(shù)小于范數(shù)的和，數(shù)乘算子的范數(shù)等于算子范數(shù)的數(shù)乘。命題1.2設X是賦范線性空間，Y是巴拿赫空間，則L(X,Y)也是巴拿赫空間。命題1.3算子積的范數(shù)小于范數(shù)的積。

范數(shù)A強于范數(shù)B，指A的收斂蘊含了B的收斂；假使相互都強于相互，則稱二者是等價的。算子的逆

命題1.5設X,Y都是賦范線性空間，A:X->Y是線性映射，那么A是單射的，且定義在R(A)上的算子A'是連續(xù)的，充分必要條件是存在常數(shù)m>0使得‖Ax‖≥m‖x‖,對任意的X中的x。定理1.1設X是巴拿赫空間，A∈L(X),且‖A‖0.

命題2.3設M是賦范線性空間X中的線性流形，x'∈X，則

x'∈M的閉包當且僅當對X上任何連續(xù)線性泛函f，f(x)=0,對任意x∈M,蘊含f(x')=0.進一步推論設S是賦范線性空間X的子集，x'∈X，則

x'可以用S中的線性組合來迫近當且僅當對X上的任何連續(xù)線性泛函f都有f(x)=0,對任意x∈S蘊含f(x')=0.

命題2.4設M是巴拿赫空間X的有限維子空間，則有X的子空間N，使得X=M+N且M與N的交為{0}。