高二數(shù)學(xué)同步測試直線與圓錐曲線（八）

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一、選擇題

x2?y2?1的兩個(gè)焦點(diǎn)為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直1.（2023年全國·理7）橢圓4線與橢圓相交，一個(gè)交點(diǎn)為P，則|PF2|=（）

A．

2（2023年全國·理8）設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，若過點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍是（）

A．[－

73B．3C．

2211，]22D．4

B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]

3.（2023年全國·理4）已知圓C與圓(x?1)2?y2?1關(guān)于直線y??x對稱，則圓C的方程為（）

A．(x?1)2?y2?1B．x2?y2?1C．x2?(y?1)2?1D．x2?(y?1)2?14.（2023年全國·文8）已知點(diǎn)A（1，2）、B（3，1），則線段AB的垂直平分線的方程是

（）

A．4x?2y?5B．4x?2y?5C．x?2y?5D．x?2y?55.（2023年全國·理8）在坐標(biāo)平面內(nèi)，與點(diǎn)A（1，2）距離為1，且與點(diǎn)B（3，1）距離為2的直線共有（）A．1條B．2條C．3條D．4條6.（2023年全國·理9）已知平面上直線l的方向向量e=(?43,),點(diǎn)O（0，0）和A（1，55－2）在l上的射影分別是O′和A′，則O?A???e，其中?=（）

A．

1111B．?C．255D．－2

7.（2023年全國·理1）設(shè)集合M??x,y?x?y?1,x?R,y?R，

22N??x,y?x2?y?0,x?R,y?R，則集合M?N中元素的個(gè)數(shù)為（）

A．1

B．2

C．3

D．4

8.（2023年全國·理4）圓x2?y2?4x?0在點(diǎn)P(1,3)處的切線方程為（）A．x?3y?2?0B．x?3y?4?0C．x?3y?4?0D．x?3y?2?09.（2023年全國·理7）設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，兩條漸近線為y??的離心率e?（）

????1x，則該雙曲線25410.（2023年全國理3）過點(diǎn)（－1，3）且垂直于直線x?2y?3?0的直線方程為（）A．2x?y?1?0B．2x?y?5?0C．x?2y?5?0D．x?2y?7?0

A．5B．

5C．

52D．

11.（2023年全國文7）已知函數(shù)y?log1x與y?kx的圖象有公共點(diǎn)A，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)

4為2，則k（）

A．?1111B．C．?D．

4242二、填空題

12.（2023年全國·理14）由動(dòng)點(diǎn)P向圓x2+y2=1引兩條切線PA、PB，切點(diǎn)分別為A、B，∠APB=60°，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為.

13.（2023年全國文16）設(shè)P為圓x2?y2?1上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線3x?4y?10?0的距離的最小值為.

14.（2023年全國·理16）設(shè)P是曲線y2?4(x?1)上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)P到點(diǎn)(0,1)的距離與點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離之和的最小值為.

x2x2??1的焦點(diǎn)，在C上15.（2023年湖南高考·文史類第15題）F1，F(xiàn)2是橢圓C：84滿足PF1⊥PF2的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為__________.

x2y2??1的右焦點(diǎn)，且橢圓上至16.（2023年湖南高考·理工類第16題）設(shè)F是橢圓76少有21個(gè)不同的點(diǎn)Pi（i=1，2，3，…），使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…組成公差為d的等差數(shù)

列，則d的取值范圍為.三、解答題

17.已知拋物線y2?4x的焦點(diǎn)為F，過F作兩條相互垂直的弦AB、CD，設(shè)AB、CD的中點(diǎn)分別為M，N.

（１）求證：直線MN必過定點(diǎn);

（２）分別以AB和CD為直徑作圓，求兩圓相交弦中點(diǎn)H的軌跡方程．

18設(shè)AB是單位圓O的直徑，N是圓上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)N的切線與過點(diǎn)A、B的切線分別交于D、C兩點(diǎn).四邊形ABCD的對角線AC和BD的交點(diǎn)為G，求G的軌跡．

y

D

N

C

G

ABox

19.橢圓的兩焦點(diǎn)分別為F1(0,?1)、F2(0,1)，直線y?4是橢圓的一條準(zhǔn)線．（1）求橢圓的方程；

??????????????????PF1?PF2?????的最大值和最小值．（2）設(shè)點(diǎn)P在橢圓上，且|PF1|?|PF2|?m?1，求????|PF1|?|PF2|

20.已知A（－2，0），B（2，0），動(dòng)點(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)連線的斜率分別為kPA和kPB，且滿足kPA·kPB=t(t≠0且t≠－1).

（１）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

（２）當(dāng)t＜0時(shí)，曲線C的兩焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，若曲線C上存在點(diǎn)Q使得∠F1QF2=120O，求t的取值范圍．.

直線與圓錐曲線（八）參考答案

一、選擇題

1.C2.C3.C4.B5.B6.D7.B8.D9.C10.A11.A

二、填空題

12.x2+y2=413.114.515.216.[?三、解答題

17.解：（１）由題可知F?1,0?，設(shè)A?xA,yA?,B?xB,yB?，M?xM,yM?，N?xN,yN?，直線AB的方程為y?k(x?1)，

2??yA?4xA則?2??yB?4xB11,0)?(0,]1010(1)(2)

（1）—（2）得yA?yB?42，即yM?，代入方程y?k(x?1)，解得kk2?12k同理可得：N的坐標(biāo)為2k2?1,?2k.

y?yNk?直線MN的斜率為kMN?M，方程為2xM?xN1?kky?2k?(x?2k2?1)，21?k2整理得y(1?k)?k(x?3),

顯然，不管k為何值，?3,0?均滿足方程，

所以直線MN恒過定點(diǎn)Q?3,0?.

（２）過M,N作準(zhǔn)線x??1的垂線，垂足分別為E,F.由拋物線的性質(zhì)不難知道：準(zhǔn)線x??1為圓M與圓N的公切線.

設(shè)兩圓的相交弦交公切線于點(diǎn)G，則由平面幾何的知識可知：G為EF的中點(diǎn).所以

2?2kyM?yNyE?yF1xG??1,yG???k??k，

222k1??即G??1,?k?.

k??xM???又由于公共弦必與兩圓的連心線垂直，所以公共弦的斜率為

?1kMNk2?1,?k1k2?1(x?1),所以，公共弦所在直線的方程為y?(?k)?kk即y?(k?1)x,k所以公共弦恒過原點(diǎn).

根據(jù)平面幾何的知識知道：公共弦中點(diǎn)就是公共弦與兩圓連心線的交點(diǎn)，所以原點(diǎn)O、定點(diǎn)Q?3,0?、所求點(diǎn)構(gòu)成以H為直角頂點(diǎn)的直角三角形，即H在以O(shè)Q為直徑的圓上．

18.解：以圓心O為原點(diǎn)，直徑AB為x軸建立直角坐標(biāo)系，則A（－1，0），B（1，0），

單位圓的方程為x2?y2?1設(shè)N的坐標(biāo)為(cos?,sin?)，則切線DC的方程為：xcos??ysin??1，由此可得C?1,?1?cos???1?cos???,D??1,?

sin???sin???1?co?s(x?1)2si?n1?co?sBD的方程為y??(x?1)2si?n1?cos2?22將兩式相乘得：y??(x?1)，

4sin2?AC的方程為y?即x2?4y2?1

當(dāng)點(diǎn)N恰為A或B時(shí)，四邊形ABCD變?yōu)榫€段AB，這不符合題意，所以軌跡不能包括A、B兩點(diǎn)，所以G的軌跡方程為x2?4y2?1，（?1?x?1）．y2x219.解：（１）設(shè)橢圓的方程為2?2?1(a?b?0)，則由

ab?c?1y2x2?2?a?2,c?1,b?3，橢圓方程為??1．?a43??4?c?????4?m??????????|PF1|?2,??|PF1|?|PF2|?4,?（２）由于P在橢圓上，故?????????????????4?m??|PF1|?|PF2|?m,?|PF2|?,??2?????????????????????????????????????????|PF|2?|PF|2?|FF|2m2?81????2?????12?PF1?PF2?|PF1|?|PF2|cos?F1PF2?|PF1|?|PF2|?42|PF1|?|PF2|?????????PF1?PF218??????????(m?)．

m|PF1|?|PF2|4??????????????m?2，所以m?[1,2]．由平面幾何知識||PF1|?|PF2||?|F1F2|，即

記f(x)?x?8，設(shè)x1,x2?[1,2]且x1?x2，則xf(x1)?f(x2)?(x1?x2)(1?8)?0，x1x29，當(dāng)m?2時(shí)，原式取4所以f(x)在[1,2]上單調(diào)遞減，于是，當(dāng)m?1時(shí)原式取最大值

最小值

3．2yyx2y222

?20.解：(１)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y),依題意得=t?y=t(x－4)?+=1x?2x?24?4tx2y2軌跡C的方程為+=1（x≠?2）.

4?4t(２)當(dāng)－1＜t＜0時(shí)，曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，設(shè)PF1=r1，PF2=r2,則r1+r2=2a=4.在△F1PF2中，F(xiàn)1F2=2c=41?t,∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，

2220得4c2=r1+r22－2r1r2cos120=r1+r2+r1r2

=(r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－(所以當(dāng)－

r1?r2221)=3a,∴16（1+t）≥12,∴t≥－.

421≤t＜0時(shí)，曲線上存在點(diǎn)Q使∠F1QF2=120O4當(dāng)t＜－1時(shí)，曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，設(shè)PF1=r1，PF2=r2，則r1+r2=2a=－4t,在△F1PF2中，F(xiàn)1F2=2c=4?1?t.

∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，得

2222204c2=r1+r22－2r1r2cos120=r1+r2+r1r2=(r1+r2)－r1r2≥(r1+r2)－(

r1?r222

)=3a,2∴16（－1－t）≥－12t?t≤－4.

所以當(dāng)t≤－4時(shí)，曲線上存在點(diǎn)Q使∠F1QF2=120O

綜上知當(dāng)t＜0時(shí)，曲線上存在點(diǎn)Q使∠AQB=120O的t的取值范圍是???,?4?????1?,0??4?

最小值

3．2yyx2y222

?20.解：(１)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(x,y),依題意得=t?y=t(x－4)?+=1x?2x?24?4tx2y2軌跡C的方程為+=1（x≠?2）.

4?4t(２)當(dāng)－1＜t＜0時(shí)，曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，設(shè)PF1=r1，PF2=r2,則r1+r2=2a=4.在△F1PF2中，F(xiàn)1F2=2c=41?t,∵∠F1PF2=120O，由余弦定理，

2220得4c2=r1+r22－2r1r2cos120=r1+r2+r1r2

=(r1+r2)2－r1r2≥(r1+r2)2－(所以當(dāng)－

r1?r2221)=3a,∴16（1+t）≥12,∴t≥－.

421≤t＜0時(shí)，曲線上存在點(diǎn)Q使∠F1QF2=120O4當(dāng)t＜－1時(shí)，曲線C為焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，設(shè)PF1=r1，PF2=