從力做的功到向量的數(shù)量積（說課稿）

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平面向量是新課程改革以后，高二數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容（必修4其次章）。下面我從教材分析設(shè)計、教學(xué)學(xué)法設(shè)計、教學(xué)過程設(shè)計三個方面對本節(jié)課進(jìn)行說明。一.教材分析.

(1)教材的地位及前后聯(lián)系.

平面向量的數(shù)量積是繼向量的線性運(yùn)算之后的又一重要運(yùn)算，也是高中數(shù)學(xué)的一個重要概念，在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科中應(yīng)用十分廣泛。本節(jié)課的主要學(xué)習(xí)任務(wù)是通過物理中“功〞的事例抽象出平面向量數(shù)量積的概念，在此基礎(chǔ)上探究數(shù)量積的性質(zhì)與運(yùn)算律，使學(xué)生體會類比的思想方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括和推理論證的能力。其中數(shù)量積的概念既是對物理背景的抽象，又是研究性質(zhì)和運(yùn)算律的基礎(chǔ)。同時也由于在這個概念中，既有長度又有角度，既有形又有數(shù)，是代數(shù)、幾何與三角的最正確結(jié)合點(diǎn)，不僅應(yīng)用廣泛，而且很好的表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，使得數(shù)量積的概念成為本節(jié)課的核心概念，自然也是本節(jié)課教學(xué)的重點(diǎn)。(2)教學(xué)教育目標(biāo)

教學(xué)目標(biāo)的分析與確定是教學(xué)設(shè)計的起點(diǎn)，它是教師對學(xué)生學(xué)習(xí)內(nèi)容所達(dá)水平程度的期望，基于本節(jié)課的特點(diǎn)，我從以下三個方面設(shè)定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)：1.知識目標(biāo)：（1）理解兩個向量夾角的概念,夾角的范圍,

(2)把握平面向量數(shù)量積的含義及幾何意義和物理意義。

（3）能用平面向量的數(shù)量積及性質(zhì)、運(yùn)算律處理有關(guān)長度、角度和垂直的問題。

2.能力目標(biāo)：經(jīng)過平面向量的數(shù)量積的概念的建構(gòu)過程,觀測、試驗、類比、歸納等方法培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、分析問題、解決問題的能力．

3.情感目標(biāo)：經(jīng)歷運(yùn)用數(shù)學(xué)來描述和刻畫現(xiàn)實世界的過程；在動手探究、合作交流中培養(yǎng)學(xué)生勇于摸索、敢于創(chuàng)新的特性品質(zhì)．

重點(diǎn)：：向量數(shù)量積的概念及其性質(zhì)、運(yùn)算律.難點(diǎn)：理解平面向量的數(shù)量積的概念．二、教法學(xué)法設(shè)計

在教學(xué)時，主要運(yùn)用“問題情境教學(xué)法〞、“啟發(fā)式教學(xué)法〞和“多媒體輔助教學(xué)法〞．由于新課程所倡導(dǎo)的學(xué)習(xí)是學(xué)生自主探究和建構(gòu)知識的過程，所以，在學(xué)法上，我引導(dǎo)學(xué)生采用以“小組合作,自主摸索〞的自主學(xué)習(xí)模式.

三.教學(xué)過程設(shè)計.

本節(jié)課的教學(xué)過程就是以“四程序,八環(huán)節(jié)〞,即“自學(xué)導(dǎo)練,解疑精講,反饋形成,過關(guān)穩(wěn)定〞的教學(xué)模式來完成這節(jié)課.

(1)自學(xué)導(dǎo)練.

1.先讓學(xué)生看書,然后填空’.

(1)已知非零向量a與b，作OA＝a，OB＝b，則_________＝θ（０≤θ≤π）叫a與b的夾角。(2)兩個向量的數(shù)量積的定義:

定義：兩個向量a、b，它們的夾角為θ，則________叫做向量a與b的數(shù)量積

C（或內(nèi)積）。記作_________，即a?b=__________，讀作：a____b。(3)投影的定義:

___________叫做向量b在a方向上的投影。(4)數(shù)量積的幾何意義:

數(shù)量積a?b等于a的長度______與b在a方向上投影_______的乘積,或b的長度______與

a在b方向上投影_______的乘積,

(5)向量的數(shù)量積的物理意義:

力對物體做功,就是力F與其作用下物體的位移S的________.(6)數(shù)量積的性質(zhì):

設(shè)a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.1．e?a?____?____2．a(chǎn)?b?_____3．a(chǎn)?_____4.cos??_____5.a?b____ab(7)向量的數(shù)量積的運(yùn)算律:

（1）交換律a?b?_____（2）結(jié)合律??a?b?______=_______

??（3）分派律a?b?c?________2.練習(xí):判斷以下各題正確與否。

1．若a=0，則對任一向量b，有a?b=0．2．若a≠0，則對任一非零向量b,有a?b≠0．3．若a≠0，a?b=0，則b=0.4．若a?b=0，則a,b中至少有一個為0．

5．若a?b=a?c,則b?c,當(dāng)且僅當(dāng)a=0時成立．

設(shè)計意圖:本節(jié)課是概念型的新授課,教學(xué)內(nèi)容不僅多,而且抽象,這個環(huán)節(jié)可以儉約大量的時間,通過看書讓學(xué)生梳理本節(jié)課的知識要點(diǎn),從而培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力,理解能力.練習(xí)題可以檢查學(xué)生自學(xué)的效果和幫助學(xué)生理解概念.

??（2）解疑精講

問題1:能否將“做功〞的公式中的力與位移推廣到一般的向量？用文字語言該如何表述？

學(xué)生通過思考不難回復(fù)：功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；兩個向量的大小及其夾角余弦的乘積。這樣，學(xué)生事實上已經(jīng)得到數(shù)量積概念的文字表述了，在此基礎(chǔ)上，我進(jìn)一步明晰數(shù)量積的概念。

創(chuàng)設(shè)意圖:讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)向量的數(shù)量積并不是突然的,它和向量的線性運(yùn)算一樣,也有其物理背景,物理中做功的數(shù)學(xué)本質(zhì)就是力與位移的數(shù)量積。并且在物理中“功〞的概念的背景下，融入建構(gòu)數(shù)學(xué)模型的思想，類比的思想.問題2:數(shù)量積的大小由什么決定？

已知非零向量a與b，作OA＝a，OB＝b，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫a與b的夾角。

說明：（1）當(dāng)θ＝０時，a與b同向；（2）當(dāng)θ＝π時，a與b反向；（3）當(dāng)θ＝

?時，a與b垂直，記a⊥b；2（4）當(dāng)θ為銳角，數(shù)量積大于零；當(dāng)θ為鈍角，數(shù)量積小于零；

（5）注意在兩向量的夾角定義中，兩向量必需是同起點(diǎn)的.范圍0?≤?≤180?

C

設(shè)計意圖:通過此環(huán)節(jié)不僅使學(xué)生認(rèn)識到數(shù)量積的結(jié)果與線性運(yùn)算的結(jié)果有著本質(zhì)的不同，

而且認(rèn)識到向量的夾角是決定數(shù)量積結(jié)果的重要因素，為下面更好地理解數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律做好鋪墊。

問題3:如何作圖說明b在a方向上的投影?作圖

定義：bcos?叫做向量b在a方向上的投影。

強(qiáng)調(diào)投影也是一個數(shù)量，不是向量；當(dāng)?為銳角時投影為正值；當(dāng)?為鈍角時投影為負(fù)值；當(dāng)?為直角時投影為0；當(dāng)?=0?時投影為b；當(dāng)?=180?時投影為?b。

設(shè)計意圖:讓學(xué)生從形的方面進(jìn)一步理解投影的概念,也表達(dá)了數(shù)學(xué)中數(shù)形結(jié)合的重要數(shù)學(xué)思想,也加深了學(xué)生對向量數(shù)量積的幾何意義的理解.

(4)實數(shù)運(yùn)算中有哪些乘法運(yùn)算律？向量也滿足這些運(yùn)算律嗎？

學(xué)生回復(fù)：（1）ab?ba（2）?ab?c?a?bc?（3）?a?b?c?ac?bc類似地改寫出相關(guān)的數(shù)量積的式子：

（1）a?b?b?a（2）a?b?c?a?b?c（3）a?b?c?a?c?b?c

讓學(xué)生分組探討上面運(yùn)算律是否正確，學(xué)生通過向量數(shù)量積的定義及其幾何意義確定（1）、

(3)是對的，也不難發(fā)現(xiàn)（2）是不成立的，說明3個向量數(shù)量積的結(jié)合律是不成立的,可由前面所學(xué)的向量的線性運(yùn)算和向量數(shù)量積的定義,把（2）換成兩個向量和一個實數(shù)的乘積是成立的.設(shè)計意圖:進(jìn)一步理解向量的數(shù)量積的運(yùn)算律,通過錯誤的運(yùn)算律加深學(xué)生對結(jié)合律的理解,而用幾何法對分派律的證明不僅讓學(xué)生加深了對向量的數(shù)量積的幾何意義的理解,還表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的重要思想。

??????例1.已知向量a與b共線，且|a|?1，|b|?2，則a?b=_______。

例2．已知向量a與b的夾角θ=1200，且a?b??4，|b|?2，則|a|=_______。例3．已知|a|?3,|b|?4,a與b的夾角θ=600，求(a?2b)?(a?3b)。

本環(huán)節(jié)的創(chuàng)設(shè)意圖:學(xué)生已經(jīng)看書了解了基本的知識點(diǎn),這個環(huán)節(jié)先通過對疑難的問題的探討,再通過3個例題正用、逆用數(shù)量積的公式，加深了對本節(jié)課的理解。

(3)反饋形成.

變式:

1.已知以下命題:?1?若k?R,且kb?0,則k?0或b?0.b滿足a?2?若不平行的兩個非零向量a,(3)若a與b平行,則a?b?ab.其中真命題的個數(shù)是()?b,則a?b?a?b?0.

????A.0B.1C.2D.3

2.已知向量a與b的夾角θ=1200，|a|?4，|b|?2，求(1)a?b??2(2)a?b(3)a?2b22???a?b?(4)3a?4b

3.已知向量a與b的夾角θ=600，|a|?10，|b|?8，求a?b與a的夾角θ的余弦值。

創(chuàng)設(shè)意圖:前面3個例題是向量數(shù)量積的的簡單的應(yīng)用,這兩個變式是例題的引申,是數(shù)量積