北航概率統(tǒng)計07

本文格式為Word版，下載可任意編輯——北航概率統(tǒng)計07一、單項選擇題（每題3分，總分值18分）

1、設事件A、B為任意事件,則以下各式中成立的是()。

(A)P(A?B)?P(A)?P(B)；(B)P(A?B)?P(A)?P(B)；(C)P(A?B)?P(B)?P(AB)?P(A)；(D)P(A?B)?P(A)P(B)。

2、有n(n?3)個人隨機圍坐在一個圓桌的一圈,甲、乙兩人相鄰的概率是（）。

(A)

2n；(B)

2n?1；(C)

2n(n?1)；(D)

1(n?1)!14.

3、已知隨機變量X的概率密度為f(x)??則有()。(A)a?1,b??12?a?bx,0?x?2?0,其它12,且P{X?1}?,

；(B)a????2,212,b?1；(C)a?1,b?；(D)a?12,b?1。

4、設隨機變量X在[?]上聽從均勻分布,則Y?cosX的概率密度為（）。

1?1???1,?1?y?1?y????,?2（A）fY(y)???；1?y22；（B）fY(y)????0,其它??0,其它（C）fY(y)?11?1?y21?2,0?y?1??2,???y???；（D）fY(y)??。1?y??0,其它i5、設隨機變量X1,X2,X3,X4相互獨立,且聽從同一分布,數(shù)學期望EX方差DXi?0,

??2?0,i?1,2,3,4；令X?X1?X2?X3,Y?X2?X3?X4,

則X與Y的相關(guān)系數(shù)?XY為（）.（A）

23；（B）9?；（C）

429?2；（D）2?。

2?e?(x??),6、設總體X的概率密度為f(x,?)???0,x??x??,又x1,x2,???,xn為來自于總體X的樣

本值,則參數(shù)?的極大似然估計為（）。（A）???1nix?ni?1；（B）???max{x1,?,xn}；（C）???min{x1,?,xn}；（D）???1。

二、填空題（每題3分，總分值18分）

1、在一副(不含大小王)52張撲克牌中,隨機抽取2張,則取到的2張恰是不同花且最大點

數(shù)為7的概率為。（普通撲克牌共有四種花，每種13張。）2、某射手在射擊中,每次擊中目標的概率為p(0?p?1),射擊進行到其次次擊中目標為止,

X表示第一次擊中目標時所進行的射擊次數(shù),Y表示其次次擊中目標時所進行的射擊次數(shù),

則二維隨機變量(X,Y)的分布律為P{X?i,Y?j}?。

3、設隨機變量?X,Y?的分布律為

YX-11

則P{X??1|Y?2}?。

1142121404、設隨機變量X的概率密度為f(x)?其中?,?為常數(shù)，且??0。則DX?。

12?exp{?|x??|?},???x???,

5、將n只球(1~號)隨機地放進n只盒子(1~號)中去,一只盒子裝一只球,若將一只

球裝入與球同號碼的盒子中,稱為一個配對,記X為配對的個數(shù),則EX?。

6、設總體X~N??,?2?,

x1,x2,?,xn為X的樣本.

2

在未知方差?，檢驗假設H0:???0時，

選取檢驗用的統(tǒng)計量是。

三、（總分值12分）從0~9這十個數(shù)碼中任意取出4個排成一行數(shù)碼,

求：(1)所取4個數(shù)碼恰排成四位偶數(shù)的概率;(2)所取4個數(shù)碼恰排成四位奇數(shù)的概率;

(3)所取4個數(shù)碼沒排成四位數(shù)的概率.

?ae?(x?y),0?2x?y???四、（總分值12分）設二維隨機變量(X,Y)的概率密度為f(x,y)??,

?0,其它(1)確定常數(shù)a；(2)求(X,Y)關(guān)于X的邊沿概率密度；（3）求(X,Y)關(guān)于Y的邊沿概率密度；（4）求P{X?1,Y?2}.

A6-1

五、（總分值8分）設X1,X2,?,X32為來自于正態(tài)總體N(?,42)的樣本，試求：（1）U?11616?i?1(Xi??)聽從的分布；（2）V?11632?(Xj?17j??)聽從的分布；

216?(X（3）令Y?i?132i??)，求Y聽從的分布。

j?(Xj?17??)2六、（總分值12分）設X給出三個估計量??1?151,X2,X3為來自總體X的一個樣本,EX??,DX??，

310X22X1??12X3,??2?13X1?14X2?512X3,??3?13X1?34X2?112X3,

（1）證明這三個估計量都是總體均值?的無偏估計量；

（2）計算這三個估計量的方差；（3）問這三個估計量哪一個最正確？

[七]、（總分值8分）（此題僅學過1至9章的學生做；學過1至9章和11-13章的學生不做）

接連不斷地擲一顆均勻的骰子,直到出現(xiàn)小于5點為止,以X表示最終一次擲出的點數(shù),以

Y表示擲骰子的次數(shù).

試求:(1)求二維隨機變量(X,Y)的分布律P{X?i,Y?j};

(2)求(X,Y)關(guān)于X邊沿分布律，(X,Y)關(guān)于Y的邊沿分布律;(3)證明：X與Y相互獨立；（4）求EX,EY,E(XY).

[八]、（12分）（此題僅學過1至9章學生做，學過1-9章和11-13章學生不做）

設X1,X2,???,Xn是總體N(?,?)的樣本，令Yn?1ni21n?ni?1Xi，

Zn?(X?n?1i?1?Yn)，n?2,3,?。

2試作：（1）求EZn；（2）求DZn；（3）證明：對任何??0，成立limPZn??n????2???1。

?答案

一、單項選擇題（每題3分，總分值18分）

1C；2B；3A；4D；5A；6C。

二、填空題（每題3分，總分值18分）

A6-2

1、

117；2、P{X?i,Y?j}?p2(1?p)j?2,i?1,2,???,j?1;j?2,3,???.

233、

；4、2?2；5、1；6、T?x??0s/n~t?n?1?。

三、（總分值12分）

解(1)設A?排成四位偶數(shù),(末尾是2,4,6,8之一,或末尾是0),

P(A)?C8A8C4?A9C1A41012131?4190；(2)設B?排成四位奇數(shù),P(B)?C8A8C5A410121?4090?49;

(3)設C?沒排成四位數(shù),P(C)?A1A9A41013?990?110

四、（總分值12分）

解(1)由1??a?????????????f(x,y)dxdy?13e?3x?13??0dx???2xae?(x?y)dy

0e?3xdx?a(?)|0?a??,得a?3;

(2)(X,Y)關(guān)于X的邊沿概率密度為

??fX(x)???????3e?(x?y)dy?3e?3x,x?0?;f(x,y)dy???2x??0,x?0（3）(X,Y)關(guān)于Y的邊沿概率密度為

y??y?(x?y)?y???23edx?3e(1?e2),y?0?fY(y)??f(x,y)dx??0;

???0,y?0?y(4)P{X?1,Y?2}????e?y2f(x,y)dxdy????2dy?23e1?(x?y)dx

x?1,y?2????23e?y(e?1)dy?3(?ee?1?y?23e?32y)|2?e???3。

五、（總分值8分）

解由條件知，X1,X2,?,X32相互獨立，同聽從N(?,4)分布，Xi??4Xi??4222~N(0,1)，()~?(1)，

A6-3

（1）U?116216?(i?1Xi??4)??(X16i?1116i??)~N(0,1),

（2）(Xi??4)~?(1)，V?21163232?j?17(Xj??)?2?j?17(Xj??4)~?(16),

2216（3）由于U與V相互獨立，由t分布的定義知，Y??(Xi?132i??)???)2UV16~t(16),

?j?17(Xj所以Y聽從自由度為16的t分布。

六、（總分值12分）

證明（1）已知X1,X2,X3獨立同分布,EXi??

13E??1?E(X1?X5102,DX?12EXi??,i?1,2,3,

2?12X3)?15EX1?310EX23?(15?310?12)???,

115131E??2?(??)???,E??3?(??)???,

34123412所以??1,??2,??3都是?的無偏估計量;（2）D??1?D(1215X1?3310X2?112X3)?()DX251?(310)DX2212?()DX23

1238222)?()]???,

51021001212525022?，D??2?[()?()?()]??3412144?[()?(D??3?[()?()?(?221311234)]?22?98144?,

2（3）由于D??2?D??1?D??3,所以??2最正確，（或最優(yōu)）。

[七]、解(1)依題意知X的可能取值為1,2,3,4;Y的可能取值為1,2,3,???;設Bk?第k次

26擲時出5點或6點,Aki?第k次擲時出i點,則P(Bk)?Bk?Ak1?Ak2?Ak3?Ak4?S,

,P(Aki)?16,

{X?i,Y?j}?“擲骰子j次,最終一次擲出i點,前(j?1)次擲出5點或6點?B1???Bj?1Aji,

(各次擲骰子出現(xiàn)的點數(shù)相互獨立)，于是(X,Y)的分布律為

2j?1111j?1P{X?i,Y?j}?()???(),i?1,2,3,4;j?1,2,???

6663A6-4

??(2)P{X?i}??P{Xj?1?i,Y?j}??6?(3)j?111j?1?16?11?13?14,i?1,2,3,4;

44P{Y?j}??P{Xi?1?i,Y?j}??6?(3)i?111j?1?4?11j?121j?1?()?(),j?1,2,???6333(或由題意知,{X?i}?“在擲出點數(shù)小于5的條件下,擲出的是i點〞,于是P{X?i}?14,i?1,2,3,4;

{Y?j}?“擲骰子j次,最終一次擲出的點數(shù)小于5,前(j?1)次擲出5點或6點〞,

于是P{Y?j}?()62j?1?46?21j?1?(),j?1,2,???)3314?1j?111j?1?()?(),即成立33632(3)由于P{X?i}?P{Y?j}?P{X?i,Y?j}?P{X?i}?P{Y?j},i?1,2,3,4;j?1,2,???.所以X與Y相互獨立;

4（4）EX??i?1iP{X?i}?(1?2?3?4)?14?52,

??EY??j?1jP{Y?j}??j?121j?12?j()333??j?11j?12j()??3313?,122(1?)3由于X與Y相互獨立,所以E(XY)?EX?EY?5315??224[八]、解（1）Z（2）由條件知，

?(n?1)S?D?2??2n?S，EZ2n?E