哈工大非線性作業(yè)

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《非線性控制》課程作業(yè)

姓名：學(xué)號(hào)：專業(yè)：2023秋季學(xué)期

15S004001控制科學(xué)與工程哈爾濱工業(yè)大學(xué)2023年1月

作業(yè)一

1.動(dòng)態(tài)系統(tǒng)：系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間而變化的系統(tǒng)或者按確定性規(guī)律隨時(shí)間演化的系統(tǒng)，稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)是數(shù)學(xué)上的一個(gè)概念，是一種固定的規(guī)則，它描述一個(gè)給定空間（如某個(gè)物理系統(tǒng)的狀態(tài)空間）中所有點(diǎn)隨時(shí)間的變化狀況。在動(dòng)力系統(tǒng)中有所謂狀態(tài)的概念，狀態(tài)是一組可以被確定下來的實(shí)數(shù)。狀態(tài)的微小變動(dòng)對(duì)應(yīng)這組實(shí)數(shù)的微小變動(dòng)。動(dòng)力系統(tǒng)的演化規(guī)則是一組函數(shù)的固定規(guī)則，它描述未來狀態(tài)如何依靠于當(dāng)前狀態(tài)的。這種規(guī)則是確定性的，即對(duì)于給定的時(shí)間間隔內(nèi)，從現(xiàn)在的狀態(tài)只能演化出一個(gè)未來的狀態(tài)。其特點(diǎn)是:（1）系統(tǒng)的狀態(tài)變量是時(shí)間函數(shù),即其狀態(tài)變量隨時(shí)間而變化；（2）系統(tǒng)狀況由其狀態(tài)變量隨時(shí)間變化的信息來來描述；（3）狀態(tài)變量的持續(xù)性。

數(shù)學(xué)描述形式：一般的，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)表示為一個(gè)元組?T,M,??，其中?:U?T?M?M表示一個(gè)從U到M的映射，用??t,x?表示，稱為“蛻變函數(shù)〞，表示了系統(tǒng)狀態(tài)隨時(shí)間變化的規(guī)律。

??0,x??x??t2,??t1,x?????t1?t2,x?,t1,t2,t1?t2?I?x?其中I?x??

?t?T:?t,x??U?，??t,x?表示了集合M中點(diǎn)的變化，這種變化依據(jù)于變

量t，M稱為狀態(tài)空間。x代表系統(tǒng)的初始狀態(tài)，當(dāng)時(shí)始狀態(tài)固定時(shí)，??t,x?就變?yōu)榱藅的函數(shù)，函數(shù)經(jīng)過x代表的狀態(tài)點(diǎn)。

動(dòng)態(tài)系統(tǒng)也常用微分方程來描述，設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)向量為x，則有一下數(shù)學(xué)描述：

?(t)?f(x,t)xx(0)?x0

式中x為狀態(tài)變量矢量，t為時(shí)間，f為確定性矢量函數(shù)，這個(gè)微分方程即動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的

數(shù)學(xué)描述形式。

對(duì)微分動(dòng)力系統(tǒng)的研究從理論上透露了系統(tǒng)的大量基本性質(zhì)。如對(duì)系統(tǒng)吸引子的研究說明白系統(tǒng)終態(tài)，即定常狀態(tài)的種類（非平衡態(tài)）。又如對(duì)系統(tǒng)穩(wěn)定性條件的研究和相空間拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)對(duì)參量依靠關(guān)系的研究都對(duì)系統(tǒng)的設(shè)計(jì)具有重要指導(dǎo)意義。不用微分方程描述的動(dòng)態(tài)系統(tǒng)模型中最簡單的是映射，一般用差分方程或迭代方程表示。

靜態(tài)系統(tǒng)：與動(dòng)態(tài)系統(tǒng)相對(duì)，系統(tǒng)狀態(tài)不隨時(shí)間變化的系統(tǒng)稱為靜態(tài)系統(tǒng)。系統(tǒng)中各個(gè)狀態(tài)的量之間都有著已經(jīng)固定的關(guān)系并且保持不變，動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的每一個(gè)平衡點(diǎn)都是一個(gè)靜態(tài)系統(tǒng)。

數(shù)學(xué)描述：用微分方程來描述靜態(tài)系統(tǒng)，類比動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，可以有以下數(shù)學(xué)描述

?(t)?f(x)xf(x)?0其中

f(x)?0表示了系統(tǒng)中各個(gè)狀態(tài)變量之間的關(guān)系，即滿足這樣的關(guān)系時(shí)靜態(tài)系統(tǒng)才能

成立。

2.系統(tǒng)的齊次性和疊加性是不是獨(dú)立的兩特性質(zhì)？假使一個(gè)系統(tǒng)具有疊加性，是否可以推斷出該系統(tǒng)一定滿足齊次性？寫出你對(duì)該問題的理解。

二者是獨(dú)立的，二者只在有理數(shù)范圍內(nèi)等效；這個(gè)問題本身屬于群論范疇，盡管直觀上講，二者有一定關(guān)聯(lián)?？梢宰C明在有理數(shù)域內(nèi),假使已知系統(tǒng)具有疊加性,那么它一定同時(shí)具有齊次性。

（1）在整數(shù)范圍內(nèi)證明，當(dāng)a?Z?由疊加性可以得到T?az??T?z?z?????z??aT?z?即滿足齊次性：

當(dāng)a?0顯然成立;

當(dāng)a?0時(shí)由可加性T?az??T??az??0??T?az???T??az?，由上面堆出的結(jié)論可知

T?az??aT?z?

T(az)?T[(a?1)z?z]?T(z)?T[(a?1)z]?T(z)?T(z)???T(z)?aT(z)T?az???T??az??aT?z?

簡言之，式子最終可以分解為a個(gè)T(r)相加，即為a倍T(r)。此時(shí)可加性與齊次性表述了同一條規(guī)則。將這一結(jié)論推廣，可加性可以推出對(duì)于有理數(shù)的齊次性，（2）在有理數(shù)范圍內(nèi)證明

由于有理數(shù)a總可以寫成分?jǐn)?shù)形式

b，其中b,c?Z，c?0，由(1)中推出的結(jié)論知c?b??b??b?bbT?z??T?bz??T?c?z??cT?z???T?z??T?z?

?c??c??c?c在有理數(shù)范圍存在T?az??aT?z?，

故齊次性與可加性在有理數(shù)范圍內(nèi)等效。

但在無理數(shù)范圍內(nèi)及復(fù)數(shù)范圍內(nèi)該結(jié)論不一定成立，反例如下：

（3）雖然實(shí)際中存在好多不同時(shí)滿足齊次性與可加性的例子，但大多數(shù)非線性系統(tǒng)是同時(shí)不滿足二者。具有齊次性的非線性映射，只能在不滿足可加性的無理數(shù)集中去尋覓。假使不要求為連續(xù)函數(shù)，定義抽象函數(shù)如下例，即為一個(gè)滿足齊次性而不滿足可加性的系統(tǒng)：f(x)?0（x為有理數(shù)）f(x)?x（x為無理數(shù)）

即為滿足齊次性對(duì)數(shù)乘封閉f(cx)?cf(x)而不滿足可加性f(x?y)?f(x)?f(y)的實(shí)例。

（4）設(shè)a為復(fù)數(shù)，若系統(tǒng)滿足T?iz??iT?z?其中z?R，則可以推導(dǎo)出齊次性，但是一般的線性系統(tǒng)不滿足這特性質(zhì)。若變量與常數(shù)都可在復(fù)數(shù)域取值，由于復(fù)數(shù)運(yùn)算的特別性，疊加性與齊次性之間不一定等價(jià)。譬如當(dāng)k為復(fù)數(shù)時(shí)，

f(x)?Re?x?，f(kx)?Re?kx?齊次性不成立但是疊加性依舊成立。

3.狀態(tài)空間表達(dá)式如下，Simulink仿真比較線性、非線性模型。

?1??0?x??g?x????2???l1??x?

k??1????x2?m?x2??1???x??gk??x??sin(x)?x2?1??2??m??l

線性系統(tǒng)Simulink仿真模型（藍(lán)色曲線）

非線性系統(tǒng)Simulink仿真模型（紅色曲線）

????x1(0)???（1）對(duì)于初值????20?，兩種系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡如下兩圖所示：x(0)?2??0?X1X2

當(dāng)角度很小時(shí)，兩系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡基本是一致的。

????x1(0)???（2）對(duì)于初值??4，兩系統(tǒng)狀態(tài)軌跡如下：??x2(0)??0???X1X2

當(dāng)時(shí)始角度偏大時(shí)，近似的模型與實(shí)際模型的狀態(tài)軌跡出現(xiàn)了偏差。

????x1(0)???對(duì)于初值????2?，兩系統(tǒng)狀態(tài)軌